Chương 2
Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
2.1. Hàm đơn điệu
Ký hiệu là nhằm ngầm định một trong bốn tập hợp

hoặc với
Khi hàm số xác định trên tập và thoả mãn điều kiện
với mọi ta đều có
thì là một hàm đơn điệu tăng trên

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG

Đặc biệt, khi ứng với mọi cặp ta đều có
thì là một hàm đơn điệu tăng thực sự trên
Ngược lại, khi
thì là một hàm đơn điệu giảm trên

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Nếu xảy ra


đơn điệu tăng trên
Chứng minh: Nhận xét rằng, ta có hàm số và (2.2) sẽ có
dạng (2.1) với
hiển nhiên được thỏa mãn ứng với là một hàm số đơn điệu tăng trên

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Hệ quả 2.1. Giả sử là hàm đơn điệu tăng trong
Khi đó với mọi dãy số dương và giảm ta đều có

Nhận xét rằng, (2.2’) không là điều kiện cần để là một hàm đồng biến.
Thật vậy, chỉ cần chọn hàm có tính chất
ta dễ dàng kiểm chứng rằng (2.2’) được thoả mãn. Chẳng hạn, hàm số
thoả mãn điều kiện nêu trên và vì vậy nó thoả mãn điều kiện (2.2’). Tuy
nhiên, hàm không là hàm đơn điệu tăng trên

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Nếu bổ sung thêm điều kiện: là hàm đồng biến trên

và là bộ số gồm các số lớn hơn 1, thì ta thu được bất đẳng
thức thực sự:
Tương tự, ta cũng có thể phát biểu các đặc trưng đối với hàm đơn điệu giảm.

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu

•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.7. (Maclaurin, Cauchy) Giả thiết rằng là một hàm đơn điệu
giảm trên Khi đó, ta luôn có
Khi là hàm nghịch biến thì có dấu bất đẳng thức thực sự.

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.8. Giả thiết rằng là một hàm đơn điệu giảm trên
và là một dãy tăng trong Khi đó, ta luôn có
Khi là hàm nghịch biến thì có dấu bất đẳng thức thực sự.

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.9. Giả thiết rằng là một hàm đồng biến trên và
Gọi là hàm ngược của Khi đó, ta luôn có

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Hệ quả 2.2. Giả thiết rằng là một hàm đồng biến trên và
Gọi là hàm ngược của Khi đó, ta luôn có

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU

•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.12 [Bất đẳng thức thứ tự Chebyshev].
Giả sử và là hai hàm đơn điệu tăng và là một dãy đơn
điệu tăng:
Khi đó với mọi bộ trọng :
ta đều có

Bạn đã hoàn thành
Mục 2.1 Chương 2
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.2. HÀM TỰA ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
2.2. Hàm tựa đơn điệu
Giả sử hàm số xác định và đơn điệu tăng trên Khi đó,
với mọi ta đều có
và ngược lại, ta có
khi là một hàm đơn điệu giảm trên Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.2. HÀM TỰA ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG