2.1. Đạo hàm của hàm số thực 43
2.1.29.
Cho
f
khả vi trên
[a; b]
thoả mn
f(a)=f(b)=0;(i)
f
0
(a)=f
0
+
(a) > 0;f
0
(b)=f
0
Ă
(b) > 0:(ii)
Chứng minh rằng tồn tại
c 2 (a; b)
sao cho
f(c)=0
và
f
0
(c) 0
.
2.1.30.
Chứng minh rằng
f(x) = arctan x

e
x
sin

x + n
ẳ
4

;x2 R;ná 1;(a)
(x
n
ln x )
(n)
= n!
à
ln x +1+
1
2
+ ÂÂÂ+
1
n
ả
;x>0;ná 1;(b)
à
ln x
x
ả
(n)
=(Ă1)
n

à
n
k
ả
sin

x + k
ẳ
2

=2
n=2
sin

x + n
ẳ
4

;x2 R;ná 1(a)
n
X
k=1
(Ă1)
k+1
1
k
à
n
k
ả

Cho
f
2n
=ln(1+x
2n
);n2 N
. Chứng minh rằng
f
(2n)
2n
(Ă1) = 0:
44 Chơng 2. Vi phân
2.1.35.
Cho
P
là một đa thức bậc
n
, chứng minh rằng
n
X
k=0
P
(k)
(0)
(k +1)!
x
k+1
=
n
X

f(x)=
1
(1 Ăá
1
x)(1 Ă á
2
x) ÂÂÂ(1 Ă á
n
x)
sẽ đợc xác định trong lân cận 0. Chứng minh rằng với
k 2 N
ta có
f
(k)
(0) > 0
.
2.1.37.
Cho
f
là hàm k hả vi đế n cấp
n
trên
(0; +1)
. Chứng m inh rằng với
x>0
,
1
x
n+1
f

n
của
h = f g
sau:
h
(n)
(t)=
X
n!
k
1
! ÂÂÂk
n
!
f
(k)
(g(t))
à
g
(1)
(t)
1!
ả
k
1
ÂÂÂ
à
g
(n)
(t)

f(x)=
(
e
Ă1=x
2
nếu x 6=0;
0
nếu
x =0;
(a)
g(x)=
(
e
Ă1=x
nếu
x>0;
0
nếu
x 0;
(b)
h(x)=
(
e
Ă
1
xĂa
+
1
xĂb
nếu

(a; b)
.
2.1.41.
Cho
f
là hàm khả vi cấp hai trên
(a; b)
và với các số
đ; ;
thực thoả
mn
đ
2
+
2
> 0
ta có
đf
00
(x)+f
0
(x)+f (x)=0;x2 (a; b):
Chứng minh rằng
f 2 C
1
(a; b)
.
2.2 Các định lý giá trị trung bình
2.2.1.
Chứng minh rằng nếu

g
0
(x)f(x)+f
0
(x)=0:
2.2.3.
Cho
f
là hàm liên tục trên
[a; b];a>0
vàkhảvitrênkhoảngmở
(a; b)
.
Chứng minh rằng nếu
f(a)
a
=
f(b)
b
;
thì tồn tại
x
0
2 (a; b)
sao cho
x
0
f
0
(x

Giả sử
f
và
g
liên tục, khác 0 trong
[a; b]
và khả vi t rên
(a; b)
. Chứng
minh rằng nếu
f(a)g(b)=f(b)g(a)
thì tồn tại
x
0
2 (a; b)
sao cho
f
0
(x
0
)
f(x
0
)
=
g
0
(x
0
)

x
n
+ a
1
x
nĂ1
+ ÂÂÂ+ a
n
có ít nhất một
nghiệm trong
(0; 1)
.
2.2.7.
Xét các số thực
a
0
;a
1
;::: ;a
n
thoả mn
a
0
1
+
2a
1
1
+
2

có ít nhất một nghiệm trong
(1;e
2
)
.
2.2.8.
Chứng m inh rằng nếu mọi nghiệm của đa thức
P
có bậc
n á 2
đều là
thực thì mọi nghiệm của đa thức
P
0
cũng đều là thực.
2.2.9.
Cho
f
khả v i liên tục trên
[a; b]
và khả vi cấp hai trên
(a; b)
,giả
sử
f(a)=f
0
(a)=f(b)=0
. Chứng minh rằng tồn tại
x
1

1
6= x
2
sao cho
f
00
(x
1
)=f
00
(x
2
):
2.2. Các định lý giá trị trung bình 47
2.2.11.
Chứng minh rằng các phơng trình sau:
x
13
+7x
3
Ă5=0;(a)
3
x
+4
x
=5
x
(b)
có đúng một nghiệm thực .
2.2.12.

2
+ ÂÂÂ+ a
n
x
đ
n
=0
có nhiều nhất là
n Ă 1
nghiệm trong
(0; +1)
.
2.2.13.
Chứng minh rằng với các giả thiết của bài trên, phơng trình
a
1
e
đ
1
x
+ a
2
e
đ
2
x
+ ÂÂÂ+ a
n
e
đ




;x2 [a; b]:
Chứng minh rằng tồn tại
x
0
2 (a; b)
sao cho
F
0
(x
0
)=0
.Sửdụngkếtquảvừa
nhận đợc phát biểu định lý giá trị trung bình và định lý giá trị trung bình
tổng quát.
2.2.15.
Cho
f
liên tục trên
[0; 2]
và khả vi cấp hai trên
(0; 2)
. Chứng minh
rằng nếu
f(0) = 0;f(1) = 1
và
f(2) = 2
thì tồn tại

0
(x
1
) <
f(b) Ăf(a)
b Ăa
<f
0
(x
2
):
48 Chơng 2. Vi phân
2.2.17.
Cho
f
là hàm liên tục trên
[0; 1]
và khả vi trên
(0; 1)
. Giả s ử rằng
f(0) = f(1) = 0
và tồn tại
x
0
2 (0; 1)
sao cho
f(x
0
)=1
. Chứng minh rằng

2.2.19.
Chứng minh rằng các hàm số
x 7! ln(1 + x)
,
x 7! ln(1 + x
2
)
và
x 7! arctan x
liêntụcđềutrên
[0; +1)
.
2.2.20.
Giả sử
f
khả vi cấp hai trên
(a; b)
và tồn tại
M á 0
sao cho
jf
00
(x)j
M
với mọi
x 2 (a; b)
. Chứng minh rằng
f
liên tục đều trên
(a; b)

x!a
+
f(x)=+1; lim
x!b
Ă
f(x)=Ă1;(i)
f
0
(x)+f
2
(x)+1á 0;
với
x 2 (a; b);(ii)
thì
b Ăa á ẳ
.
2.2.23.
Cho
f
liên tục trên
[a; b]
và khả vi trên
(a; b)
. Chứng minh rằng nếu
lim
x!b
Ă
f
0
(x)=A

2
;::: ;f
n
và
g
1
;g
2
;::: ;g
n
là các hàm liên tục trên
[a; b]
và
khả vi trên
(a; b)
. Giả sử rằng
g
k
(a) 6= g
k
(b)
với mọi
k =1; 2;::: ;n
. Chứng
minh rằng tồn tại
c 2 (a; b)
sao cho
n
X
k=1

. Ta nói rằng
f
khả vi đều trên
[a; b]
nếu với mọi
">0
,tồntại
>0
sao cho




f(x + h) Ăf(x)
h
Ă f
0
(x)




<"
với mọi
x 2 [a; b]
và
jhj <
,
x + h 2 I
. Chứng minh rằng

[a; b]
.
2.2.28.
Cho
f
khả vi trên
(0; +1)
.Chứngminhrằngnếu
lim
x!+1
f(x)
x
=0
thì
lim
x!+1
jf
0
(x)j =0:
2.2.29.
Tìm tất cả các hàm
f : R ! R
là thoả mnphơng trình hàm
f(x + h) Ă f(x)
h
= f
0
à
x +
1

nhận mọi
giá trị trung gian trong
I
.
2.2.32.
Cho
f
khả vi trên
(0; 1)
. Chứng minh rằng
(a) nếu
lim
x!+1
(f(x) Ăf
0
(x)) = 0
thì
lim
x!+1
f(x)=0
,
50 Chơng 2. Vi phân
(b) nếu
lim
x!+1
(f(x) Ă2
p
xf
0
(x)) = 0

Q(x)=(x
2
+1)P (x)P
0
(x)+xP
2
(x)+(P
0
(x))
2
có ít nhất
2n Ă 1
nghiệm phân biệt.
2.2.35.
Giả sử rằng đa thức
P (x)=a
m
x
m
+a
mĂ1
x
mĂ1
+ÂÂÂ+a
1
x+a
0
với
a
m

) ÂÂÂ(x Ă a
n
);
trong đó
a
i
a
i+1
;i=1; 2;::: ; nĂ 1
và
P
0
(x)=n(x Ă c
1
)(x Ăc
2
) ÂÂÂ(x Ă c
nĂ1
);
trong đó
a
i
c
i
a
i+1
;i=1; 2;::: ; nĂ 1
. Chứng minh rằng nếu
Q(x)=(x Ăa
1

0
(x)=(n Ă1)(x Ăe
1
)(x Ăe
2
) ÂÂÂ(x Ă e
nĂ2
);
thì
e
i
c
i+1
với
i =1; 2;::: ;nĂ 2
.
2.2. Các định lý giá trị trung bình 51
2.2.37.
Sử dụng giả thiết của bài trên hy chứng minh rằng
(1)nếu
S(x)=(x Ă a
1
Ă ")(x Ă a
2
) :::(x Ă a
n
)
,trongđó
">0
thoả mn

thoả mn
a
n
Ă" a
2
và nếu
T
0
(x)=n(x Ă g
1
)(x Ăg
2
) :::(x Ă g
nĂ1
)
thì
g
1
c
1
.
2.2.38.
Sử dụng giả thiết của bài 2.2.36 hy chứng minh rằng
a
i
+
a
i+1
Ă a
i

thì
f(x) 0
.
2.2.40.
Cho
f
là một hàm khả vi vô hạn trên khoảng
(Ă1; 1)
,
J ẵ (Ă1; 1)
làmộtkhoảngcóđộdài
á
.Giảsử
J
đợc chia thành ba khoảng liên tiếp
J
1
; J
2
; J
3
có độ dài tơng ứng là
á
1
;á
2
;á
3
,tứclàtacó
J

2
(m
kĂ1
(J
1
)+m
kĂ1
(J
3
)):
2.2.41.
Chứng minh rằng với giả thiết của bài trớc, nếu
jf(x)j 1
với
x 2 (Ă1; 1)
thì
m
k
(J)
2
k(k+1)
2
k
k
á
k
;k2 N:
2.2.42.
Giảsửrằngđathức
P (x)=a

p+1
< 0
.
52 Chơng 2. Vi phân
2.3 Công thức Taylor và quy tắc LHôpital
2.3.1.
Giả sử
f :[a; b] ! R
khả vi cấp
n Ă1
trên
[a; b]
.Nếu
f
(n)
(x
0
)
tồn tại
thì với mọi
x 2 [a; b]
,
f(x)=f(x
0
)+
f
0
(x
0
)

(Công thức này đợc gọi là công thức Taylor với phần d dạng Peano).
2.3.2.
Giả sử
f :[a; b] ! R
khả vi liên tục cấp
n
trên
[a; b]
và giả sử rằng
f
(n+1)
tồn tại trong khoảng mở
(a; b)
. Chứng minh rằng với mọi
x; x
0
2 [a; b]
và mọi
p>0
tồn tại
à 2 (0; 1)
sao cho ,
f(x)=f(x
0
)+
f
0
(x
0
)

n
(x)=
f
(n+1)
(x
0
+ à(x Ăx
0
))
n!p
(1 Ăà)
n+1Ăp
(x Ăx
0
)
n+1
đợc gọi là phần d dạng Schlomilch-Roche.
2.3.3.
Sử dụng kết quả trên hy chứng minh các dạng phần d sau:
r
n
(x)=
f
(n+1)
(x
0
+ à(x Ăx
0
))
(n +1)!

n +1
trên
[a; b]
,
x; x
0
2 [a; b]
.
Chứng minh công thức Taylor với p hần d dạng tích phân sau:
f(x)=f(x
0
)+
f
0
(x
0
)
1!
(x Ăx
0
)+
f
00
(x
0
)
2!
(x Ăx
0
)

[a; b]
,
x; x
0
2 [a; b]
.
Chứng minh công th ức Taylor sau:
f(x)=f(x
0
)+
f
0
(x
0
)
1!
(x Ăx
0
)+
f
00
(x
0
)
2!
(x Ăx
0
)
2
+ ÂÂÂ+

0
ÂÂÂ
Z
t
2
x
0
f
(n+1)
(t
1
)dt
1
ÂÂÂdt
n
dt
n+1
:
2.3.6.
Chứng minh công thức xấp xỉ sau
p
1+x ẳ 1+
1
2
Ă
1
8
x
2
cho sai số kết quả không vợt quá

([0; 1])
,
g
0
(x) 6=0
với
x 2 (0; 1)
thoả mn
f
0
(0)g
00
(0) 6= f
00
(0)g
0
(0)
.Với
x 2 (0; 1)
xét hàm
à(x)
là một số thoả mn
định lý giá trị trung bình tổng quát, tức là
f(x) Ăf(0)
g(x) Ă g(0)
=
f
0
(à(x))
g

00
(x)+ÂÂÂ+(Ă1)
n+1
x
n
n!
f
(n)
(x)(a)
+(Ă1)
n+2
x
n+1
(n +1)!
f
(n+1)
(àx);
f
à
x
1+x
ả
= f(x) Ă
x
2
1+x
f
0
(x)+ÂÂÂ+(Ă1)
n

R
. Chứngminhrằngvớimọi
x 2 R
tồn tại
à 2 (0; 1)
sao cho
f(x)=f(0) +
2
1!
f
0

x
2

x
2

+
2
3!
f
(3)

x
2

x
2


X
k=0
1
2k +1
à
x
2+x
ả
2k+1
với
n =0; 1;:::
và
x>0
.
2.3.12.
Chứng minh rằng nếu
f
00
(x)
tồn tại thì
lim
h!0
f(x + h) Ă 2f(x)+f(x Ăh)
h
2
= f
00
(x);(a)
lim
h!0

k=0
x
k
k!
;(a)
x Ă
x
2
2
+
x
3
3
Ă
x
4
4
< ln(1 + x) <xĂ
x
2
2
+
x
3
3
;(b)
1+
1
2
x Ă

0
(x)+ÂÂÂ+
h
nĂ1
(n Ă 1)!
f
(nĂ1)
(x)+
h
n
n!
f
(n)
(x + à(h)h);
thì
lim
h!0
à(h)=
1
n +1
:
2.3.16.
Giả sử
f
khả vi trên
[0; 1]
và
f(0) = f(1) = 0
. Hơn nữa tồn tại
f

với
k =0; 1; 2
. Chứng minh rằng
jf
0
(x)j
M
0
c
+(x
2
+ c
2
)
M
2
2c
với
x 2 [Ăc; c];(a)
M
1
2
p
M
0
M
2
với
c á
r

f
làm cho bất đẳng thức trở thành đẳng thức.
2.3.19.
Cho
f
khả vi cấp hai trên
R
,đặt
M
k
=supff
(k)
(x):x 2 (0; 1)g < 1;k=0;1; 2:
Chứng minh rằng
M
1
2
p
M
0
M
2
:
2.3.20.
Cho
f
khả vi cấp hai trên
R
,đặt
M

0
(x)=0
.
2.3.22.
Giả sử
f
khả vi liên tục cấp hai trên
(0; 1)
,thoảmn
lim
x!+1
xf(x)=0
và
lim
x!+1
xf
00
(x)=0:
Chứng minh rằng
lim
x!+1
xf
0
(x)=0:
2.3. Công thức Taylor và quy tắc LHôpital 57
2.3.23.
Giả sử
f
khảviliêntụccấphaitrên
(0; 1)

f
0
(a)=f
0
(b)=0
. Chứng minh
rằng nếu
f
00
tồn tại trong
(a; b)
thì tồn tại
c 2 (a; b)
sao cho
jf
00
(c)já
4
(b Ă a)
2
jf(b) Ă f(a)j:
2.3.25.
Giả sử
f[Ă1; 1] ! R
khả vi cấp ba và biết rằng
f(Ă1) = f(0) =
0;f(1) = 1
và
f
0

(x Ă x
0
)+ÂÂÂ+
f
(n)
(x
0
)
n!
(x Ăx
0
)
n
+ r
n
(x);
với
r
n
(x)=
Q
(n)
(x
0
)
n!
(x Ăx
0
)
n+1

D
n
=
f(y
n
) Ă f(x
n
)
y
n
Ă x
n
:
Chứng minh rằng
(a) nếu
x
n
< 0 <y
n
thì
lim
n!1
D
n
= f
0
(0)
.
58 Chơng 2. Vi phân
(b) nếu

D
n
= f
0
(0)
.
(Hy so sánh với 2.1.13và2.1.14.)
2.3.28.
Cho
m 2 N
,xétđathức
P
sau
P (x)=
m+1
X
k=1
à
m +1
k
ả
(Ă1)
k
(x Ăk)
m
;x2 R:
Chứng minh rằng
P (x) 0
.
2.3.29.

+
n
2(n +1)
f
(n+2)
(àx)
x
n+2
(n +2)!
:
2.3.30.
Giả sử rằng
f
(n+p)
tồn tại trong
[a; b]
và liên tục tại
x
0
2 [a; b]
. Chứng
minh rằng nếu
f
(n+j)
(x
0
)=0
với
j =1; 2;::: ;pĂ 1
,

(n)
(x
0
+ à(x)(x Ăx
0
))
n!
(x Ăx
0
)
n
:
thì
lim
x!x
0
à(x)=
à
n + p
n
ả
Ă1=p
:
2.3.31.
Cho
f
là hàm khả vi liên tục cấp hai trên
(Ă1; 1)
và
f(0) = 0

thì
f
bằng không trên một khoảng mở nằm trong
(a; b)
.
2.3.33.
Giả sử rằng
(i)
f
khả vi vô hạn trên
R
,
(ii) tồn tại
L>0
sao cho
jf
(n)
(x)j L
với mọi
x 2 R
và mọi
n 2 N
,
(iii)
f
Ă
1
n
Â
=0với

ả
;
(c)
lim
x!5
(6 Ăx)
1
xĂ5
;
(d)
lim
x!0
+
à
sin x
x
ả
1=x
;
(e)
lim
x!0
+
à
sin x
x
ả
1=x
2
:

;
trong đó
a 2 R:
2.3.36.
Với
a>0
và
a 6=1
hy tính
lim
x!+1
à
a
x
Ă 1
x(a Ă 1)
ả
1=x
:
60 Chơng 2. Vi phân
2.3.37.
Có thể sử dụng quy tắc lHôpital trong những trờng hợp sau đ ợc
không ?
lim
x!1
x Ăsin x
2x +sinx
;(a)
lim
x!1

1=x
2
:(d)
2.3.38.
Hàm
f(x)=
(
1
x ln 2
Ă
1
2
x
Ă1
nếu
x 6=0;
1
2
nếu
x =0
có khả vi tại điểm 0 không ?
2.3.39.
Giả sử
f
khả vi liên tục cấp
n
trên
R
,
a 2 R

,
đồng thời thoả mnđiềukiện
(i)
g
0
(x) 6=0
với
x 2 (a; b)
,
(ii)
lim
x!a
+
g(x)=+1(Ă1)
,
(iii)
lim
x!a
+
f
0
(x)
g
0
(x)
= L; Ă1 L +1:
Khi đó
lim
x!a
+

p
xf
0
(x)) = L;
thì
lim
x!+1
f(x)=
L
a
:
Các kết quả trên có còn đ ú ng đ ối với trờng hợp
a
âm không ?
2.3.42.
Giả sử
f
khả vi cấp ba trên
(0; 1)
sao cho
f(x) > 0
,
f
0
(x) > 0
,
f
00
(x) > 0
với mọi

f
là hàm k hả vi vô hạn trên
(Ă1; 1)
và
f(0) = 0
. Chứng
minh rằng nếu
g
đợc xác định trên
(0; 1)nf0g
theo công thức
g(x)=
f(x)
x
thì
tồn tại mộ t mở rộng của
g
khả vi vô hạn trên
(Ă1; 1)
.
2.4 Hàm lồi
Định nghĩa 1. Một hàm
f
đợc gọi là lồi trong khoảng
I ẵ R
nếu
f(áx
1
+(1Ă á)x
2

phơng trên một khoảng mở
I
với hằng số Lipschitz
L>0
nếu với mọi
x; y 2 I
,
x 6= y
thì
jf(x) Ăf(y)j Ljx Ăyj:
2.4.1.
Chứng minh rằng
f
khả vi trên một khoảng mở
I
là lồi khi và chỉ khi
f
0
tăng trong
I
.
2.4.2.
Chứng minh rằng
f
khả vi cấp hai trên m ột khoảng mở
I
là lồi khi
và chỉ khi
f
00

f(x
2
)+ÂÂÂ+ á
n
f(x
n
)
đúng với mọi
x
1
;x
2
;::: ;x
n
2 I
và mọi bộ số thực dợng
á
1
;á
2
;::: ;á
n
thoả
mn
á
1
+ á
2
+ ÂÂÂ+ á
n

X
k=1
x
k
á
n
v
u
u
t
n
Y
k=1
x
k
với
x
1
;x
2
;::: ;x
n
> 0:
2.4.6.
Chứngminhrằngvới
a 6= b
ta có bất đẳng thức
e
b
Ă d

X
k=1
x
k
!
đ

1
n
n
X
k=1
x
đ
k
:
2.4.9.
Cho
x
1
;x
2
;::: ;x
n
2 (0; 1)
và các số dơng
p
1
;p
2

ả
p
k
;(a)
1+
n
P
k=1
p
k
x
k
1 Ă
n
P
k=1
p
k
x
k

n
Y
k=1
à
1+x
k
1 Ă x
k
ả

;(a)
n
Y
k=1
sin x
k
x
k

à
sin x
x
ả
n
:(b)
2.4.11.
Chứng minh rằng với
a>0
và
x
1
;x
2
;::: ;x
n
2 (0; 1)
thoả mn
x
1
+

n
Y
k=1
2
k
Ă 1
2
kĂ1

à
2 Ă
2
n
+
1
n  2
nĂ1
ả
n
:
2.4.13.
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
n
2
x
1
+ x
2
+ ÂÂÂ+ x
n

đ
1
1
ÂÂÂx
đ
n
n
đ
1
x
1
+ ÂÂÂ+ đ
n
x
n
(b)
với
đ
k
;x
k
> 0;k=1; 2;::: ;n
thoả mn
n
P
k=1
đ
k
=1
.

(c)
với
y
k
;x
k
á 0;đ
k
> 0;k =1; 2;::: ;n
sao cho
n
P
k=1
đ
k
=1
.
m
X
j=1
n
Y
i=1
x
đ
i
i;j

n
Y

R
.
64 Chơng 2. Vi phân
2.4.15.
Liệu một hàm lồi giới nội trên
(a; 1)
hoặc trên
(Ă1;a)
có luôn là
hàm hằng không ?
2.4.16.
Giả sử rằng
f :(a; b) ! R
lồi trên
(a; b)
,trongđó
Ă1 a; b 1
.
Chứng minh rằng hoặc
f
đơn điệu trên
(a; b)
hoặc tồn tại
c 2 (a; b)
sao cho
f(c)=minff(x):x 2 (a; b)g
đồng thời f giảm trong (a; c] và tăng trong [c; b).
2.4.17.
Cho
f :(a; b) ! R

Giả sử
f :(a; b) ! R
lồi trên
(a; b)
,trongđó
Ă1 a; b 1
. Chứng
minh rằng đạo hàm m ộ t phía của
f
tồntạivàđơnđiệutrên
(a; b)
. Hơn nữa
đạo hàm phải và trái của nó bằng nhau bên ngoài một tập đếm đợc.
2.4.20.
Giả sử
f
khả vi cấp hai trên
R
và
f;f
0
;f
00
tăng chặt trên
R
.Với
a; b
cho trớc,
a b
cho

i
j

n
X
i=1
jx
i
j
p
!
1=p

n
X
i=1
jy
i
j
q
!
1=q
:
2.4. Hàm lồi 65
2.4.22.
Sử dụng bất đẳng thức Holder chứng minh bấ t đẳng thức Mikowski
sau: Nếu
p>1
thì


p
!
1=p
:
2.4.23.
Chứng minh rằng nếu chuỗi
1
P
n=1
a
4
n
hội tụ thì
1
P
n=1
a
n
n
4=5
hội tụ.
2.4.24.
Cho
x
i
;y
i
á 0
,
i =1; 2;::: ;n

p
n
)
1=p
:
2.4.25.
Chứng minh bất đẳng th ức Minkowski tổng quát sau: Cho
x
i;j
á 0
,
i =1; 2;::: ;n;j =1; 2;::: ;m
và
p>1
, chứng minh rằng

n
X
i=1

m
X
j=1
x
i;j
!
p
!
1=p


f
lồi trên
I
.
2.4.27.
Chứng minh rằng đ iều kiện liên tục trong bài 2.4.26 là không thể
bỏ đợc. (Hy chỉ ra phản ví dụ).
2.4.28.
Cho
f
liên tục trên
I
sao cho
f
à
x + y
2
ả
<
f(x)+f(y)
2
với
x; y 2 I
,
x 6= y
. Chứng minh rằng
f
lồi chặt trên
I
.

;x
2
2 (0; 1),
f(x
1
;x
2
) f(x
1
)+f(x
2
):
Chứng minh rằng
(a) nếu
x 7!
f( x)
x
giảm trên
(0; 1)
thì
f
dới cộng tính.
(b) nếu
f
lồi và dới cộng tính trên
(0; 1)
thì hàm
x 7!
f(x)
x

,hàm
g
d
(x)=f(x + d) Ă f(x)
thuộc lớp
C
1
(R)
. Chứng minh rằng
f
thuộc
C
1
(R)
.
2.4.34.
Giả sử
a
n
::: a
2
a
1
và
f
lồi trên đoạn
[a
n
;a
1

,
Ă1 a; b
1
. Chứng minh rằng nếu
a<f(x) <x
với
x 2 (a; b)
và
lim
x!a
+
f
0
+
(x)=1;
2.5. Các ứng dụng của đạo hàm 67
thì với
x; y 2 (a; b)
ta có
lim
n!1
f
n+1
(x) Ăf
n
(x)
f
n+1
(y) Ă f
n

2!
+
x
4
4!
;
với
x 6=0;(c)
sin x<xĂ
x
3
3!
+
x
5
5!
;
với
x>0:(d)
2.5.2.
Cho
n 2 N
và
x>0
hy kiểm tra các khẳng định sau:
x Ă
x
3
3!
+

4n+1
(4n +1)!
;
1 Ă
x
2
2!
+
x
4
4!
ĂÂÂÂ+
x
4nĂ4
(4n Ă 4)!
Ă
x
4nĂ2
(4n Ă 2)!
< cos x(b)
< 1 Ă
x
2
2!
+
x
4
4!
ĂÂÂÂ+
x

f
0
(x
1
)=(b + a)
f
0
(x
2
)
2x
2
=(b
2
+ ab + a
2
)
f
0
(x
3
)
3x
2
3
: