1
£23
Tích phân

Luyện thi Đại học
Tích phân
Đề thi 1999-2009
7 tháng 2
2010
2
£1
Tích phân 1999-2008
I.Bất đẳng thức tích phân
1.Chứng minh các bất đẳng thức sau :
1)


2
1
2
1
2
lnxdxdx(lnx)
2)
3
1
x
cotgx
12
3
3

25
3




5)
3
32
1cosxxcos
dx
3
3
0
2
ππ
π




6)
 
108dxx117x254
11
7



3.Giải bất phương trình :




3
1
24
2
dx
1xx
1x
c)



1
0
6
4
dx
1x
1x
d)
2)3x(x
dx
1
0
22


e)

1
2
1)(xx
dx
i)
dx
1xx
26x
2
0
2



£22
3.Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi cho hình
phẳng giới hạn bởi các đường : y = e
x
, y = 1/e, y = e và trục
tung quay xung quanh trục Oy.
Đề thi Tú tài năm 2008
Kỳ I
Tính tích phân
1.Không phân ban


1
0
)xdx
x



1
0
dx13x
2.Phân ban Ban A


1
0
dx
x
e1)(4x
Ban CB


2
1
1)dx4x
2
(6x
3.Bổ túc


1
0
1)dx2x
2
(3x
3

y
4
2
x
4y  ,
.
3.
)x
x
e(1y1)x,(ey 
Đề thi ĐH-CĐ khối A năm 2007
4. x + y = 0, x
2
 2x + y = 0
CĐ KTKT Công nghiệp II năm 2007
5. y = 7  2x
2
, y = x
2
+ 4.
CĐ KT Cao Thắng năm 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới parabol (P) : y = – x
2
+ 4x và
đường thẳng d : y = x.
Đề thi CĐ khối A, B, D năm 2008
Thể tích của các khối tròn xoay
1.Cho hình phẳng H giới hạn bỏi các đường y = xlnx, y = 0, x = e.
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh
trục Ox.

1
2


trong đó a là một số cho trước .
4 Tính :
dx
1)(x
x
lim
1
0
22n
13n
n




Tính các tích phân :
a)
dx
x1
arctgxxx
1
0
2
2



b.



2
1
2
2
1
0
2
dx
127xx
x
2)dx
65xx
114x
1)


1
0
24
34xx
dx
3)


2
0

1)3x1)(x5x(x
1x
22
2
4
£3
2




2
51
1
dx
1
2
x
4
x
1
2
x
3.



1
1
12xx

x
7.



b
0
dx
2
)
2
x(a
2
xa
(a,b là các tham số dương cho trước)
2002-2008
1.
1
0
3
1)(x
xdx


2.
0
2
x1
xdx


6.
dx
x
2
x
22x
2
3x
3
x
4
x
2
1



CĐ GTVT III năm 2007
7.
dx
1
2
x
1x
1
0



CĐ Công Nghiệp Thực phẩm Tp.HCM năm 2007

£20



T
0
Ta
a
f(x)dxf(x)dx
Dùng tính chất chẵn lẻ của hàm số
1999 − 2000
Tính tích phân :





1
1
2
4
dx
1x
sinxx
I
2000 − 2001
1.Chứng minh rằng :
0nx)dx-sin(sinxI
2π
0

3
1)(x
a
f(x) 


TÌm a và b biết rằng f’(0) =  22 và
5dxf(x)
1
0


.
2.Tính tích phân


2
0
dxx
2
xI
3. Tính tích phân
I(x) =


x
1
dt
1)t(t
1

2.a)Tính tíc h phân :
dx)x(1xI
1
0
n32
n


b)Chứng minh rằng
1)3(n
1-2
C
33n
1
C
12
1
C
9
1
C
6
1
C
3
1
1n
n
n
3

2.Tính tích phân :
(x)]dxgmax[f(x),
2
0

trong đ ó : f(x) = x
2
và g(x) = 3x 2 .
3.Cho f(x) = Asin2x + B . Tính A, B để
.3f(x)dx,4(0)f
2π
0
2


2001 − 2002
1.Tính tích phân :
dx
4
0
m-xx

tuỳ theo m.
2.Tính tích phân :
2
1
x
dx
2
1)(2x

3
dx
13x
1x
b.


4
7
2
9xx
dx
c.
dx
23x
1x
2
0
3



d.



1
0
2
2

Tính c ác tích phân :
a.
dxx2xx1)
4
0
23




3
0
23
dxx2xx2)
b.
dxxax1)
a
0
222


(a là hằng số dương )
dx)x(12)
1
0
32


c.
1xx

dxx1.x
3.


10
2
15x
dx
:
6
£5
2002-2008
1.


9
1
dx
3
x1x
2.


1
0
dx
2
x1
3
x .

2
x
7.
dx
1x1
x
2
1


8.


10
5
1x2x
dx
9.


32
5
4
2
xx
dx
10.




x
3
2x
5
x
3
0



14.



3
7
0
dx
3
13x
1x
15.
dx
12x
xdx
1
0


CĐ Nguy ễn tất Thành năm 2007

x
1e
dx
b)
1
1-


dx
21
x
x
4
£18
2.Cho tích phân :


2
π
0
n
n
xdxcosI
với n là số nguy ên dương .
1) Tính I
3
và I
4
.
2) Thiết lập hệ thức giữa I

n+1
.
Công thức Newton
2000 − 2001
1.Tính tích phân :
)*Nn(dx)x-x(1I
1
0
n2


Từ đó chứng minh rằng :
1)2((n
1
C
1)2(n
1)(
C
8
1
C
6
1
C
4
1
C
2
1
n

1
C
2
1
1
1n
n
n
2
n
1
n





3.Cho n là một số nguyên dương .
a)Tính tích phân :
dxx)(1I
1
0
n


b)Tính tổng :
n
n
2
n

1
0
12n



2000-2001
4.a)Chứng minh rằng :
1)!n(m
n!!m
dxx)-(1xI
1
0
nm
nm,



với mọi m,n = 0,1,2,3,…
( Ky ù hiệu m ! = 1.2.3…m và quy ước 0 ! = 1 ) .
b)Giả sử rằng m + n = 10 . Hỏi với m,n nào thì I
m,n
đạt
giá trò lớn nhất , bé nhất ? Tại sao ?
5.Tính tích phân :
)Nn(dx)x-(1I
1
0
n2
n

n


với mọi n = 0,1,2, …
2)Tính I
n+1
theo I
n
va ø tìm :
n
1n
n
I
I
lim


7.Tính tích phân :
1,2,3, )n(
x1)x(1
dx
1
0
n
nn



2001-2002
1.Cho tích phân :

2x
e
2)


1
0
dx
3
2x
e
1
2001-2002
1.




4
4
dx
1
x
6
x
6
cosx
6
sin
π

x
e
2x
e
3.


8ln
ln3
dx
2x
.e1
x
e
4.


ln5
ln2
1
x
e
dx
2x
e
5.


ln3
0

1
dx
x
lnx
2000-2001
e
1
dx
x
x
2
ln1


8
£7
2001-2002
1.
dx
cosx1
sinx)(1
ln
2
π
0
cosx1





e
1
dx
1lnxx
x
2
ln
4.

3
π
4
π
dx
sin2x
(tgx)ln
5.


e
1
3
lnx1x
xd
CĐ Xây dựng số 2 na êm 2007
Tích phân của các hàm lượng giác
1999 − 2000
1.Cho 2 số nguyên dương p và q . Tính :
xdxcospx.cosqI
2π


b)

4
π
0
2
xdxtg
c)
dx
53cosx4sinx
67cosxsinx
π/2
0



d)
xcos
dx
π/4
0
4

£16
2) Từ các kết quả trên , ha õy tính c ác giá trò c ủa I , J và :



3

dx
3
(cosx sinx)



:
2002-2008
Tính ca ùc tích phân


2
π
0
dx
x
2004
cosx
2004
sin
x
2004
sin
13.

2
π
0
sin5xdx
3x

n
n
Ilim

2.Cho :
dx
e1
e
I
1
0
x-
-nx
n



1) Tính I
1
.
2) Với n > 1 hãy tìm c ông thức biểu diễn I
n
qua I
n-1
.
3.Cho tích phân :


1
0

3
cos(x
8.


e
1
lnxdx
x
1
3
x
9.


e
1
lnxdx
x
1
2
x
10.

2
π
0
2xdxsin
cosx
e

0
3
dx
cosxsinx
xdxsin
Jdx
cosxsinx
xdxcos
I
2001-2002
1. Đặt :





6
π
0
2
6
π
0
2
cosx3sinx
xdxcos
J,
cosx3sinx
xdxsin
I

2
dxcosx)sinxcosx(1
i)
dx
cosx1
x4sin
π/2
0
3


j)

3
π
6
π
4
xcosxsin
dx
k)


2
π
0
cosx1
dx
8.Tính tích phân :
dx

22

π
π
π

π
0
4
π/4
0
4
xdxcos4)xdxsin3)


/2
0
441010
x)dxx.sincos-xsinx(cos5)
π

π
0
3
xcos5xdxcos6)
b.
dx
cosxsinx
cosxsinx
1)

6
π
22
dx2xcotgxtg
c.
tgx1
dx
1)
4
π
0



3
π
4
π
4
xdxtg2)








3
π

3)
2
π
0
x



e.



2
2
dx
x
2
sin-4
cosxx
π
π
2001-2002
1.

2
0
xdx
3
sin
π






5.

4
π
0
4
dx
xcos
1
6.


2
0
dx
sinx1
x
3
4cos
π
7.


π2
0

sin2xdxxcos
b) Chứng minh rằng :


2
π
0
5
2
π
0
6
sin6xdxsinxxcoscos6xdxxcos
£14
2.


2
π
0
2xdxsin1)(x
3.


4
π
0
cosxdx1)(x
4.


0
dx
2x
e2)(x
8.


2
π
0
xcosx)cosxd
sinx
(e
9.


4
π
0
dxcosx)
sinx
e(tgx
Pp đổi biến số và pp tích phân từng phần
1999-2000


3
0
1
1-

x
e
5
x
4.

9
2
π
0
dxxsin
CĐ GTVT III năm học 2007
11
£13
10.


2
1
dx
2
x
x)(1ln
11.

e
1
dx
x
xln

0
2
sinxdxx
e.

π
0
34
xdxxsinxcos
2000-2001

3
π
0
xcosxdx1)
xdxxtg2)
π/4
0
2

2001-2002
)dxxexsin(e
2x
1
1-
x
2


2002-2008

 dx
6
π
xcotg
3
π
xtgI
2002-2009
1.

4
π
0
xtgxdx
2
sin
2.


4
π
0
x)dx
8
tg1(
3.


2
π

4
π
0
dx
2xsin1
x
2
sin21
7.


4
π
0
dx
2xsin1
cos2x
8.


2
π
0
dx
cosx1
x
3
4sin
9.


2
3


π
π
CĐ Tài chính – Hải quan năm 2007
13.


2
π
0
dx
x
2
cos5sinx7
cosxdx
14.


2
π
0
dx
3
3)cosx x(sin
cos2x
15.


2
π
0
dx
3cosx1
sinx2xsin
18.



2
π
4
π
dx
2xsin1
cosxsinx
19.

6
π
0
dx
cos2x
x
4
tg
Đề thi ĐH-CĐ khối A năm 2008
20.
4

1
2
dx
x)(1
lnx
c.


2
π
0
dxcosx)cosxln(1
d.



2
π
2
π
2
dx)1x xcosxln(
2000-2001
dx
x
1)ln(x
2
1
2


dx
xcos
xsinx
5.

2
π
0
dxxsin
6.
dxxsin
3
2
π
0
3







7.Cho hàm số f(x) = ax+b với a
2
+ b
2
> 0 . Chứng minh rằng :
0f(x)cosxdxf(x)sinxdx
2

2
1
2)lnxdx(x
2.

e
1
lnxdx
2
x
3.


3
2
x)dx
2
(xln
4.


1
0
dx)
2
x(1xln
5.


2

dx
3
x
xln
Đề thi ĐH Sài gòn khối D, M năm 2007