Ch"ơng 1 - toán học

!
!
!
Ch"ơng 1
!
toán học
!
!
1.1. Toán sơ cấp
1.1.1. Đại số và l-ợng giác
1.1.1.1. Các công thức kết hợp - Nhị thức Niu tơn
1. Hoán vị (không lặp) của n phần tử phân biệt (n
ẻ
N)
"#$!%&'()!*!ẻ!+!!!*!,-!./0!12!*3(45*6!789*3!%:;<!=>*3!?@A
B@!!CD*%!*3%EB!
FG&!<H<%!IJK!"L%M*3!,;K@!*!K%N*!0O!K%P*!=&'0!0%-*%!7Q4!<R!0%S!0T!<%:!0B!./0!%:H*!
UD!<VB!*!K%N*!0O!WRA!X$!7Y)!"Z6![6\6!]6!^@!,-!./0!%:H*!UD!<VB!Z!12!0T!*%&5*!WN(!0&5*A!!
!
=@!!_2!%:H*!UD!<VB!*!K%N*!0O!K%P*!=&'0!!
!!`
*
!a!*"*!
-
\@"*!
-
]@AAA\!a!*b!!"\A\A\@!
"!*b!Wc<!,-!giai thừa n!%:;<!n giai thừaA!_2!*-4!=>*3!0$<%!<VB!*!12!0T!*%&5*!WN(!0&5*@A!!
X$!7Y)!_2!%:H*!UD!<VB!Z!12!0T!*%&5*!WN(!0&5*!,-)!

!!
( )
( )( )( )
L
*
*b
k**\*]AAA*L\
*Lb
== +
-
!"\A\A]@!!
X$!7Y)!_2!<%i*%!%jK!<%dK![!<VB!Z!12!0T!*%&5*!WN(!0&5*!,-!!Z
!

!
^
!

!
[!a!l?A!+%8!Ud46!0m!
Z!12!0T!*%&5*!WN(!0&5*6!<R!0%n!,dK!W8j<!l?!12!K%P*!=&'0!3o.![!<%p!12!L%H<!*%B(!WM&!./0A!!
www.vncold.vn
\?! !!!!!!!!sổ tay KTTL * Phần 1 - cơ sở kỹ thuật thủy lợi * Tập 1
<@!!_2!<%i*%!%jK!<%dK!*!<VB!*!K%N*!0O!K%P*!=&'0!<%$*%!,-!12!%:H*!UD!<VB!*!K%N*!0O!WR)!!
!!
*
**
k`
=
A!

\?
[b
=
A!+%8!Ud4!0m!Z!12!0T!
*%&5*!WN(!0&5*6!<R!0%n!,dK!W8j<!\?!0dK!<:*6!Wn!.G&!0dK!3o.![!<%p!12!L%H<!*%B(!WM&!./0A!!
!
<@!!_2!<%i*%!%jK!<%dK!L!<VB!*!K%N*!0O!K%P*!=&'0!3tK!"Lb@!,N*!12!0q!%jK!<%dK!L!<VB!*!K%N*!
0O!WRA!
!
4. Chỉnh hợp (cho phép lặp) chập k của n phần tử phân biệt (n, k
ẻ
N)
B@!!CD*%!*3%EB!
FG&!<H<%!IJK!"<%:!K%uK!,;K@!L!K%N*!0O6!hv0!0m!*!K%N*!0O!K%P*!=&'06!0%-*%!7Q4!<R!
0%S!0T!<%:!0B!./0!chỉnh hợp lặp!<%dK!L!<VB!*!K%N*!0O!WRA!X$!7Y)!"Z6![6![@!,-!./0!<%i*%!
%jK!,;K!<%dK![!<VB!Z!12!0T!*%&5*!WN(!0&5*A!F/0!7Q4!\l!12!?6!12!\!,-!./0!<%i*%!%jK!,;K!
<%dK!\l!<VB!%B&!12!*-4A!
!
=@!!_2!<%i*%!%jK!,;K!<%dK!L!<VB!*!K%N*!0O!K%P*!=&'0!
!!
LL
*
w*
=
!!"\A\A^@!
Ví dụ)!_2!<%i*%!%jK!,;K!<%dK!Z!<VB![!12!0T!*%&5*!WN(!0&5*!,-![
Z
!a!]^[A!+%8!Ud46!!
0m![!<%p!12!\6!]6![!<R!0%n!,dK!W8j<!]^[!7Q4!126!Wn!.G&!7Q4!3o.!Z!12!<R!Ln!0%S!0T!"*x.!
12!*-4!<R!0%n!3&2*3!*%B(!%:;<!L%H<!*%B(!WM&!./0@A!!

@!a!*!W8j<!0$*%!0%}:!<M*3!0%S<)!
!!
\]L
.~.~AAA~.
*
\]L
*b
s
.b.bAAA.b
= !!"\A\AZ@!
CP4!,-!số hoán vị (cho phép lặp) của n cái nhn hiệu của k nhómA!
Ví dụ)!_2!<H<%!IJK!\?!%-*%!L%H<%!U-:![!0:B!0N(!1B:!<%:!0:B!!<R![6!0:B!!<R!]6!0:B!
!<R!Z!,-)!
!!
[~]~Z
\?
\?b
s]Z]?
[b]bZb
==!<H<%A!!
CP4!,-!12!%:H*!UD!,;K!<VB!\?!12!"*%Q*@!66A!
!
<@!rm!<M*3!0%S<!"\A\AZ@!<R!0%n!0hở!,y&!<M*3!0%S<!"\A\A[@!U-!0B!<R!0%n!%&n()!!
!!
( )
L
L
*
*
k

-
!I(t0!%&'*!
L
*
s
!,N*@A!
=@!!sH<!0$*%!<%t0!<VB!L%B&!0h&n*!*%D!0%S<!+&(-09*!
|!!XJ!K%z&!<VB!"\A\Al@!3o.!"*!|!\@!12!%y*3!IJK!0%}:!0%S!0T!".ũ!<VB!B!3&z.!7N*!0m!*!
WJ*!?6!0h:*3!L%&!.ũ!<VB!=!0x*3!7N*!0m!?!WJ*!*!%:;<!*38j<!,y&@A!rh:*3!.G&!12!
%y*36!0q*3!<H<!12!.ũ!<VB!B!U-!=!,(M*!=>*3!*A!
|!!sH<!%'!12!<R!0$*%!W2&!IS*36!0S<!,-)
L*L
**
ss
-
= A!
|!!H'!12!<VB!12!%y*3!1B(!<R!0%n!1(4!0m!%'!12!<VB!12!%y*3!0h8g<!0%}:!<M*3!0%S<)!
!!
(
)
(
)
(
)
( )
L
*
L\
*
s*L H'!12!0h8g<!12!.ũ!<VB!B

!
n Các hệ số khai triển
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1.1.1.2. Số phức
1. Định nghĩa
_2!K%S<!,-!./0!12!<R!7y*3)!!
!! Z!a!B!|!&
!
=!
0h:*3!WR)!
B6!=!,-!%B&!12!0%T<~!
&!,-!W9*!UD!z:!Ug&!&
]
!!a!-\!!
"B!W8j<!3c&!,-!phần thực6!L$!%&'(!R}Z6!<ò*!&
!
=!W8j<!3c&!,-!phần ảo!<VB!Z6!L$!%&'(!.Z~!
L%&!B!a!?6!Z!,-!số!thuần ảo!<ò*!L%&!=!a!?6!Z!,-!số thực@A!

_2!K%S<!<R!0%n!U&J0!78g&!dạng đại số)!!
!! Z!a!B!|!&=!!
%:;<!dạng lOợng giác)!!
!! Z!a!h"<:1
j
!|&
!
1&*
j
@A!
HB&!12!K%S<!<R!<ù*3!K%N*!0%T<!U-!<R!K%N*!z:!W2&!*%B(!W8j<!3c&!,-!hai số phức
liên hợp!"!Z!a!B!|!&=!U-!
Z
!a!B!-!&=@A!
2. Các phép tính trên tập số phức
|!!`%uK!</*3!"%:;<!K%uK!0hm@!<%:!0B!0q*3!"%:;<!%&'(@!%B&!12!K%S<)!
!!"B
\
!|!&=
\
@!

!"B
]
!|!&=
]
@!a!"B
\
!


=
]
!|!B
]
=
\
@!!
|!!`%uK!<%&B!<%:!0B!0%89*3!%B&!12!K%S<!"Ug&!W&ề(!L&'*!Z
]
!ạ!?6!0S<!,-)!
]]
]]
B=?
+ạ
@A!
!!
(
)
(
)
( )( )
\\]]
\\\\]\]\]]\
]]]]
]]]]]]]
]]]]
B&=B&=
Z B&=BB===B=B
&
Z B&=B&=B&=

"<:1
j
\!
|!&!1&*!
j
\
@!!
U-!!!! Z
]
!a!h
]
"<:1
j
]!
|!&!1&*!
j
]
@6!!
0B!<R!0%n!0$*%!.M!W(*!U-!B3(4.}*!<VB!0$<%!%:;<!0%89*3!%B&!12!0%}:!<H<!<M*3!0%S<)!
!!
ẵ
Z
\!

!Z
]
ẵ
!a!
ẵ
Z

www.vncold.vn
\^! !!!!!!!!sổ tay KTTL * Phần 1 - cơ sở kỹ thuật thủy lợi * Tập 1
!!
\
\
]]
Z
Z
ZZ
=!!!"Z
]
!
ạ
!?@~!
!!
\
]
Z
Bh3
Z
=
!Bh3Z
\
!
-
!Bh3Z
]
!a!
j
!\

**
j+pj+p
ổử
=+=-
ỗữ
ốứ
!
|!!wũ4!0%mB!=d<!*!!<VB!./0!12!K%S<!Z!<ò*!<R!0%n!0$*%!W8j<!0%}:!khai triển Niu-tơn)!!
!!
( )
*
*
*L*LL
*
L?
ZB&=sB"&=@
-
=
=+=
ồ
!
U-!*!3&H!0hD!<x*!=d<!*!<ũ*3!<R!0%n!0$*%!W8j<!=>*3!<H<%!3&z&!%'!K%89*3!0hì*%!Wy&!126!
<%ẳ*3!%y*!Wn!L%B&!<x*!=d<!%B&!<VB!Z!a!B!|!&=6!*38ờ&!0B!W;0!
ZI&46
=+
!ho&!3&z&!%')!
!!
]]
I4B6
!!!!!!]I4=

!!(
*
!a!(
\
!|!"*!
-
!\@7!"\A\A{@!
www.vncold.vn
Ch"ơng 1 - toán học \Z

|!!rq*3!*!12!%y*3!WN(!0&5*!<VB!s_s!,-)!
!!
(
)
( )
\*
*\
((*
*
_](*\7
]]
+
ộự
==+-
ởỷ
!"\A\A @!
2. Cấp số nhân (CSN)
s_+!,-!./0!7Q4!12!%p(!%y*!%:;<!UM!%y*6!0h:*3!WR!.G&!12!%y*36!Ln!0m!12!%y*3!0%S!
%B&!0hở!W&6!,(M*!=>*3!12!%y*3!WS*3!0h8g<!*R!*%P*!Ug&!./0!12!L%M*3!Wq&6!3c&!,-!công bội!
!!(

*
\
*\
*
(q\
(q(
_
q\ q\
-
-
==

!!!*J(!q!
ạ
!\!"\A\A\]@!
!!
*\
_*(
=!*J(!q!a!\!!"\A\A\[@!
!!
|!!rq*3!<H<!12!%y*3!<VB!./0!s_+!UM!%y*!Ug&!ẵqẵ!<!\!=>*3)!
!!
\
(
_
\q
=
-
!"\A\A\^@!
sM*3!0%S<!"\A\A\^@!<R!0%n!1(4!0m!"\A\A\]@!L%&!<%:!*!đ!ƠA!

2. Các công thức về lôgarít
!!,:3
B
"+
\
A!+
]
@!a!,:3
B
+
\
!|!,:3
B
+
]
!!!!"+
\
~!+
]
!>!?~!?!<!B!
ạ
!\@!
!!
\
BB\B]
]
+
,:3,:3+,:3+
+
=-!

!ẵ!"+
\
~!+
]
!ạ!?~!?!<!B!ạ!\@!
!!!
!!
)0(log2log
logloglog
2
21
2
1
ạ=
-=
NNnN
NN
N
N
a
n
a
aaa
!
!
1.1.1.5. L"ợng giác
1. Đơn vị đo góc: radian
B@!CD*%!*3%EB!
GR<!./0! radian!,-!3R<!<R!Wi*%!O!ở!0P.!./0!W8ờ*3!0hò*!=H*!L$*%!R6!<%ắ*!./0!
<(*3!kB!0h5*!W8ờ*3!0hò*!<R!W/!7-&!=>*3!RA!

270
0
360
0
Góc tính theo radian
p
180

p
6

p
4

p
3

p
2

p
[
p
2

2p
www.vncold.vn
Ch"ơng 1 - toán học \7

2. Các định nghĩa cơ bản

!
ạ
!?@A!
|!!ri!12!3&pB!%:-*%!W/!U-!0(*3!W/!W&n.!F!,-!<M0B*3!<VB!a!U-!L$!%&'(!,-!<:03a)!!
!!
\<:1
<:03
031&*
a
a==
aa
!!!"<:03
a
!IH<!WD*%!

!1&*
a
!
ạ
!?@!
1&*a~!<:1a~!03a~!<:03a!W8j<!3c&!,-!<H<!giá trị lOợng giác!<VB!<(*3!,8j*3!3&H<!aA!!
CM&!L%&6!*38ờ&!0B!<ò*!W8B!U-:!<H<!L$!%&'()!
\
<:1}<
1&*
a=
a
~!
\
1}<

<:1"@<:1<:11&*1&*~!~!
ab=abab"ab

!
!7@!
1&*"@1&*<:1<:11&*~~
ab=abab"ab
!!
www.vncold.vn
\{! !!!!!!!!sổ tay KTTL * Phần 1 - cơ sở kỹ thuật thủy lợi * Tập 1
rm!*%p*3!<M*3!0%S<!<9!=z*!0h5*6!<ò*!<R!<H<!công thức dẫn xuất!L%H<! !W/<!3&z!
<R!0%n!0T!1(4!hB!W8j<6!<%ẳ*3!%y*)!
!}@!
]
]
\
\03~
<:1
+a=
a
!
]
]
\
\<:03~
1&*
+a=
a
!
! f@!

<:11&*~
]
p
ổử
-a=a
ỗữ
ốứ
!
C/<!3&z!<R!0%n!7ễ!7-*3!0ì.!W8j<!<H<!<M*3!0%S<!=&J*!tổng thành tích~!=&J*! tích
thành tổng~!<H<!<M*3!0%S<!<%:!3&H!0hD!,8j*3!3&H<!<VB!<H<!góc nhân đôi, chia đôi, nhân
ba!<ũ*3!*%8!<H<!<M*3!0%S<!0$*%!1&*I~!<:1I~!03I!0%}:!
I
003A
]
= !
!
4. Các hệ thức l-ợng giác để giải tam giác
!
Gc&)!B6!=6!<!,-!W/!7-&!<H<!<y*%!<VB!0B.!3&H<!kBs6!0%}:!0%S!0T!!W2&!7&'*!Ug&!<H<!3R<!
k6!B6!sA!Gc&!R!,-!=H*!L$*%!W8ờ*3!0hò*!*3:y&!0&JK!0B.!3&H<~!K!,-!*OB!<%(!U&!0B.!3&H<~!h!,-!
=H*!L$*%!W8ờ*3!0hò*!*/&!0&JK!0B.!3&H<A!
#%&!WR6!0B!<R)!
|!!sH<!WD*%!,ý!%ì*%!<%&J()!!
!!B!a!=<:1s!|!<<:1B~!!
!!=!a!<<:1k!|!B<:1s~!!
!!<!a!B<:1B!|!=!<:1kA!
!
|!!CD*%!,ý!% !12!1&*)!!
!!
B=<

1.1.2. Hình học
1.1.2.1. Diện tích hình phẳng
1. Tam giác th-ờng
!!_!a!
\
]
B%
B!
Ug&!%
B
!-!<%&ề(!<B:!S*3!Ug&!!<y*%!BA!
!!_!a
K"KB@"K=@"K<@

!!"sM*3!0%S<!H5-hM*3@~!
!!_!a!
\
B=1&*s~
]
!
!!_!a!K!hA!
!
2. Tứ giác
|!!Hì*%!0%B*3!<R!7&'*!0$<%)!!
!!_!a!
B=
]
+
%!
Ug&)!

www.vncold.vn
]?! !!!!!!!!sổ tay KTTL * Phần 1 - cơ sở kỹ thuật thủy lợi * Tập 1
1.1.2.2. Diện tích và thể tích bề mặt của một số khối cơ bản
1. Diện tích
|! D&'*!0$<%!I(*3!q(B*%!<VB!%ì*%!0hY!0hò*!I:B4)!!
!!_
Iq
!a!s
C
!%!!
|! D&'*!0$<%!I(*3!q(B*%!<VB!%ì*%!*R*!0hò*!I:B4)!!
!!
Iq
_ R
=p
l
!!
0h:*3!WR)!
s
C
!-!<%(!U&!WH4~!
%!-!<%&ề(!<B:~!
R!-!=H*!L$*%!WH4~!
l!-!W/!7-&!W8ờ*3!1&*%A!
!
|!F;0!<N()!!
!!_!a!^
p
R
]!

!_
C
!%!!
|! Hì*%!*R*!<Y0)!!
!!X!a!
(
)
%BB'BB'
[
++
!
www.vncold.vn
Ch"ơng 1 - toán học ]\

|! Hì*%!<N()!!
!!X!a!
[
^ R
[
p
!
ằ
!^6\{{{
[
R
!
Ug&)!
_
C
!-!7&'*!0$<%!WH4!!

!
!!
( )
( )
( )
( )
I
]]]
I4z
4
]]]
I4z
]]]
I4z
z
]]]
I4z
B
<:1<:1B~!OI
BBB
B
<:1<:1B~!O4~BBB?
BBB
B
<:1<:1B~!Oz
BBB
ỡ
ù
a==
ù

!!
(
)
II44 zz
BA=BA=<:1B~=BA=BA=BA=
==++

!
www.vncold.vn
]]! !!!!!!!!sổ tay KTTL * Phần 1 - cơ sở kỹ thuật thủy lợi * Tập 1
r$<%!UM!%8g*3!<VB!%B&!U}<09!<R!0$*%!<%t0!giao hoán, kết hợp, phân bố!W2&!Ug&!K%uK!
</*3A!Điều kiện cần và đủ!Wn!%B&!U}<09!vuông góc!Ug&!*%B(!,-!0$<%!UM!%8g*3!<VB!<%v*3!
=>*3!?A!
rm!<M*3!0%S<!0h5*6!0B!<R!0%n!0$*%!góc hợp giữa hai vectơ khác 0 )!!
!!
( )
BA=
<:1B~=
BA=
=



!
|!!r$<%!<R!"%p(@!%8g*3!<VB!%B&!U}<09!
B~=

!,-!./0!U}<09!
<B~=
ộự

=
ởỷ

!
!+%8!Ud46!!
I4z
I4z
&jL
B~=BBB
===
ộự
=
ởỷ


!
r$<%!<R!%8g*3!<VB!%B&!U}<09!<R!0$*%!<%t0!kết hợp, phân bố!W2&!Ug&!K%uK!</*36!*%8*3!
không có tính giao hoánA!Điều kiện cần và đủ!Wn!%B&!U}<09!cộng tuyến (cùng phOơng)!Ug&!
*%B(!,-!0$<%!<R!%8g*3!<VB!<%v*3!=>*3!
?
ì

!
FM!W(*!<VB!0$<%!<R!%8g*3!%B&!U}<09!=>*3!diện tích của hình bình hành!,dK!*5*!
=ở&!%B&!U}<09!WR6!L%&!0B!W8B!<%v*3!Uề!<ù*3!./0!32<A!
!
|!!Tích hỗn hợp (hỗn tạp)!<VB!=B!U}<09!
B~=~<

!W8j<!Lý!%&'(!,-!

www.vncold.vn
Ch"¬ng 1 - to¸n häc ][

2. §-êng th¼ng trong mÆt ph¼ng (xOy)
B@!`%89*3!0h×*%!W8ê*3!0%¼*3! D! q(B!W&n.!F
?
!U-!<R vect¬ ph¸p!
*"k~ B@?
¹

!<R!0%n!!
U&J0!0%}:)!
|!!Dy*3!U}<09)!!
!!
?
*AFF?
=

!
"
F"I~!4@!
Î
!
D
~!
|!!Dy*3!0cB!W/)!!
!!
( )( )
(
)

!
D
6!"L!
Î
!
Â
!,-!0%B.!12@~!!!
|!!Dy*3!<%$*%!0¾<)!
!!
(
)
(
)
( )
??
]]
II44
B=?~
B=

=+>!!
rh:*3!7y*3!<%$*%!0¾<!*-46!*38ê&!0B!quy Oíc)!L%&!3;K!./0!K%P*!0%S<!*-:!<R!.É(!12!=>*3!?6!
0O!12!089*3!S*3!<ò*3!=>*3!?!0%}:A!s%¼*3!%y*6!K%89*3!0h×*%)!
!!
( )
??
"II@"44@
=?
?=


FF
+F+F
II44
II44

=×

!!
|!!`%89*3!0h×*%!W8ê*3!0%¼*3!<%:!0%}:!W:y*!<%¾*)!!
!!
( )
I4
\!!.~*?
.*
+=¹
!!
=&n(!7&Ô*!W8ê*3!0%¼*3!F+!Ug&)!F".~!?@~!+"?~!*@!,-!%B&!W&n.!,N*!,8j0!*>.!0h5*!OI~!O4A!
www.vncold.vn
]^! !!!!!!!!sổ tay KTTL * Phần 1 - cơ sở kỹ thuật thủy lợi * Tập 1
|!!`%89*3!0hì*%)!!
!!4!a!L"I
-
!I
?
@!|!4
?
!!
=&n(!7&ễ*!./0!W8ờ*3!0%ẳ*3! q(B!W&n.!F
?
!U-!<R!%'!12!3R<!L!a!03j!"j!,-!3R<!%jK!=ở&!

?
jÊ 6!j!<R!0%n!IH<!WD*%!0%}:!<H<!<M*3!
0%S<!1B()!
!!
\]
<:1<:1"*~*@
j=

!!!"L%&!=&J0!%B&!U}<09!K%HK@!!
%:;<)!!
\]
\]
LL
03
\LL
-
j=
+
!"L%&!=&J0!%B&!%'!12!3R<!<VB!%B&!W8ờ*3!0%ẳ*3!W8j<!Iu0@A!
!
}@!C8ờ*3!0%ẳ*3)!
(
)
]]
kI B4s?k B ?
++=+>
<%&B!.;0!K%ẳ*3!0:y!W/!, !=B!K%N*)!!
|!!`%N*!!,-!0dK!%jK!<H<!W&n.!"I~!4@!0%(/<!W8ờ*3!0%ẳ*3!0%:z!.Q*!Wẳ*3!0%S<)!!
!!
.0

!!
=&n(!7&ễ*!./0!W8ờ*3!0hò*!0P.!"-B~! -=@6!=H*!L$*%!
]]
R B=<
=+-ì
rh8ờ*3!%jK!
]]
B=<6
+<
!0B!<R!đOờng tròn ảo6!<ò*!L%&!
]]
B=<6
+=
!W8ờ*3!0hò*!0%(!Uề!W&n.!A!
www.vncold.vn
Ch"ơng 1 - toán học ]Z

=@!BB!W8ờ*3!<M-*&<!"E,&K~!H4K}<=M*~!`BhB=M*@!
`%89*3!0hì*%!0q*3!q(H0!,-)!
!!
( )
(
)
]]]]]
FI~4kI BI4s4 DI E4 F ?6!!k B s?
=+++++=++>
!
_B(!L%&!7ù*3!phép biến đổi trực giao!W8B!7y*3!0:-*!K%89*3!"3o.!=B!12!%y*3!WN(!
<VB!F"I~4@@!Uề!7y*3!<%$*%!0ắ<6!0B!7ù*3!./0!K%uK!Wq&!=&J*!0%$<%!%jK!"K%uK!0D*%!0&J*!%'!
0hY<!0:y!W/@!Wn!W8B!K%89*3!0hì*%!0q*3!q(H0!0h5*!Uề!./0!0h:*3!<H<!7y*3!1B(!WP4)!

+=
!!!
0h:*3!WR)!B6!=!,-!W/!7-&!%B&!=H*!0hY<~!B!>!=!>!?~!+OB!0&5(!<T)!
]]
<B=
=-!
!
<R)!HB&!0hY<!W2&!IS*3)!OI6!O4~!^!Wi*%)!"B~!?@!U-!"?~!=@~!]!0&5(!W&n.!F
\6]
"<~!?@!ẻ!OI~!
rP.!1B&!
<
}
B
=
~!HB&!W8ờ*3!<%(ẩ*)
]
B
I
<
= 6!.G&!W8ờ*3!<%(ẩ*!089*3!S*3!Ug&!./0!
0&5(!W&n.A!
!
r%}:!WD*%!*3%EB6!"E
\
@!,-!0dK!%jK!<H<!W&n.!F"I~!4@)!!
!!FF
\
!|!FF
]

<
= 6!.G&!W8ờ*3!<%(ẩ*!089*3!S*3!Ug&!./0!
0&5(!W&n.A!
r%}:!WD*%!*3%EB6!"E
]
@!,-!0dK!%jK!<H<!W&n.!F"I~4@)!!
!!FF
\
!|!FF
]
!a!]=A!
www.vncold.vn
]l! !!!!!!!!sổ tay KTTL * Phần 1 - cơ sở kỹ thuật thủy lợi * Tập 1
+J(!B!a!=6!"E@!<R!0P.!1B&!=>*3!?!U-!0hở!0%-*%!W8ờ*3!0hò*A!Xg&!},,&K!0%T<6!0P.!1B&!
,(M*!*>.!0h:*3!L%:z*3!"?~!\@A!
!
|!!H4K}<=M*!"H
\
@)!!
!!
]]
]]
I4
\
B=
-=
!!
0h:*3!WR)!B6!=!,-!W/!7-&!%B&!=H*!0hY<~!+OB!0&5(!<T)!
]]
<B=

!!
]]
]]
I4
\
B=
-=-
!!
0h:*3!WR)!B6!=!,-!W/!7-&!%B&!=H*!0hY<~!+OB!0&5(!<T)!
]]
<B=
=+!!
<R)! HB&!0hY<!W2&!IS*3)! OI6! O4!0h:*3!WR! O4!,-! trục thực6! OI!,-! trục ảo!"OI!!
L%M*3!<R!W&n.!<%(*3!Ug&!"H
]
@@~!]!Wi*%!"?~! =@~!]!0&5(!W&n.! F
\6]
"?~! <@! ẻ! O4~!!
rP.!1B&!
<
}
=
=
!>!\~!HB&!W8ờ*3!<%(ẩ*)
]
=
I
<
= 6!.G&!W8ờ*3!<%(ẩ*!089*3!S*3!Ug&!
./0!0&5(!W&n.A!

www.vncold.vn
Ch"ơng 1 - toán học ]7

!!
() ( )
( )
FF
sFI~4)}
7F~
ỡỹ
ùù
=
ớý
D
ùù
ợỵ
!
#%&!}!a!\6!"s@!,-!./0!parabôn~!#%&!}!>!\6!"s@!,-!một nhánh của hypecbôn6!<ò*!L%&!
}!ẻ!"?~!\@!0%ì!"s@!,-!./0!elipA!!
|!!+3:-&!<H<!0h8ờ*3!%jK!WQ!*5(6!0m!K%89*3!0hì*%!0q*3!q(H0!<VB!W8ờ*3!=d<!%B&6!0B!<ò*!
3;K!./0!12!trOờng hợp suy biếnA!CP4!,-!<H<!0h8ờ*3!%jK)!0dK!%jK!<H<!W&n.!"I~!4@!
0%:z!.Q*!K%89*3!0hì*%!%:;<!hG*3!"W8ờ*3!<:*3!z:@!%:;<!0%(!Uề!./0!W&n.!%B4!%B&!
W8ờ*3!0%ẳ*3!*>.!0h:*3!<ù*3!./0!.;0!K%ẳ*3A!
|!!C8ờ*3!<M*&<!<R!0%n!<:&!,-!3&B:!<VB!./0!.;0!*R*!0hò*!I:B4!Ug&!./0!.;0!K%ẳ*3A!
rù4!0%}:!UD!0h$!089*3!W2&!<VB!<%v*3! !3&B:!0(4J*!,-!},&K6!%4K}<=M*6!KBhB=M*!%B4!
%B&!W8ờ*3!0%ẳ*3!<ắ0!*%B(A!
!
4. Mặt phẳng trong không gian (Oxyz)
B@ `%89*3!0hì*%!.;0!K%ẳ*3!"a@!q(B!W&n.!F
?

(
)
]]]
kI B4szD?kBs?A
+++=++>!
!
=@!`%89*3!0hì*%!.;0!K%ẳ*3!"a@!q(B!W&n.!F
?
!U-!<R!%B&!U}<09!<%i!K%89*3)!
!!
\\\\]]]]
("B~=~<@?~("B~=~<@?
ạạ

!
"%B&!U}<09!*-4!L%M*3!W8j<!</*3!0(4J*@!<R!0%n!U&J0!0%}:)!
|!!Dy*3!U}<09)!!
!!
?\]
FF.(*(
=+

!!!
"
F"I~!4~!z@!
ẻ
!"
a
@6!".~!*!
ẻ

\\\
]]]
II44 zz
B=<?A
B=<

=
!
<@ áK!7Y*3!<H<!7y*3!*5(!0h5*6!0B!<R!0%n!U&J0)!
|!!PhOơng trình mặt phẳng qua ba điểm!F6!+6!`!<%:!0h8g<6!L%M*3!0%ẳ*3!%-*3!=>*3!
<H<%!<%c*!%:;<!./0!U}<09!K%HK!"<%ẳ*3!%y*)!
*F+~F`
ộự
=
ởỷ

@!%:;<!%B&!U}<09!<%i!
K%89*3!"<%ẳ*3!%y*)!
F+!U-!F`

@!%:;<!<%c*!7y*3!0q*3!q(H06!ho&!IH<!WD*%!<H<!%'!
12!k6!B6!s6!D!"1B&!L%H<!./0!0%mB!12!*%P*@!1B:!<%:!0:y!W/!=B!W&n.!WQ!<%:!0%:z!.Q*!
7y*3!*-4A!
|!!PhOơng trình!mặt phẳng cho theo đoạn chắn)!!
!!
I4z
\!!".~*~K?@
.*K
++=ạ
!

)
?
?
jÊ 6!j!<R!0%n!IH<!WD*%!0%}:!<M*3!0%S<)!!
!!
(
)
\]
<:1<:1*~*
j=

A!!
}@!F;0!K%ẳ*3)!!
!!
(
)
]]]
kI B4szD?k B s?
+++=++>
!!
<%&B!L%M*3!3&B*!, !=B!K%N*)!!
|!!`%N*!!,-!0dK!%jK!<H<!W&n.!"I~!4~!z@!0%(/<!.;0!K%ẳ*3!0%:z!.Q*!Wẳ*3!0%S<)!
!!
kI B4szD?A
+++=
!
|!!`%N*!6!!,-!0dK!%jK!<H<!W&n.!"I~!4~!z@!,N*!,8j0!0%(/<!%B&!*OB!L%M*3!3&B*!*>.!
%B&!K%$B!.;0!K%ẳ*3!W8j<!Iu0A!DTB!0%}:!<%&ề(!<VB!U}<09!K%HK!"k~!B~!s@!089*3!S*3!
Ug&!<%&ề(!0x*3!<VB!
"kI B4szD@

]]]
B=<76
++=
!.;0!<N(!0%(!Uề!W&n.!A!
!
=@!sH<!.;0!=d<!%B&!<R!K%89*3!0hì*%!0q*3!q(H0!
!!
]]]
F"I~4~z@kI B4szDI4 E4zFzI GI H4z#?6
=+++++++++=
!
0h:*3!WR6!1H(!%'!12!<VB!<H<!12!%y*3!=d<!%B&!L%M*3!0%n!Wo*3!0%ờ&!=>*3!?A!
!
_B(!L%&!7ù*3! phép biến đổi trực giao!W8B!7y*3!0:-*!K%89*3!"3o.!1H(!12!%y*3!!
WN(!<VB!F"I~!4~!z@@!Uề!7y*3!<%$*%!0ắ<6!0B!7ù*3!K%uK!Wq&!=&J*!0%$<%!%jK!"0D*%!0&J*!%'!0hY<!
0:y!W/@!Wn!W8B!K%89*3!0hì*%!0q*3!q(H0!0h5*!Uề!./0!0h:*3!<H<!7y*3!1B(!WP4)!
|!!E,&KIM&0!)!!
!!
]]]
]]]
I4z
\
B=<
++=
!!!!"!B6!=6!<!,-!W/!7-&!=B!=H*!0hY<@A!
|!!H4K}<=M,M&0!]!0N*3)!!
!!
]]]
]]]
I4z

|!!`BhB=M,M&0!%4K}<=M,M&0!"F;0!45*!*3TB@)!!
!!
]]
]]
I4
]KzA
B=
-= !!!
www.vncold.vn
[?! !!!!!!!!sổ tay KTTL * Phần 1 - cơ sở kỹ thuật thủy lợi * Tập 1
|!!F;0!0hY!},,&K0&<)!
!!
]]
]]
I4
\
B=
+=
!"<H<!W8ờ*3!1&*%!1:*3!1:*3!Ug&!0hY<!W2&!IS*3!Oz@A!!
|!!F;0!0hY!%4K}<=M,&<)!!!
!!
]]
]]
I4
\A
B=
-=
!
|!!F;0!0hY!KBhB=M,&<)!
!!

B
B
B
!
\]
]]
[]
B
B
B
!
\[
][
[[
B
B
B
!!
!!!!!!!!!a!B
\\!
B
]]!
B
[[
!|!B
\]!
B
][
!B
[\

!
|!!Quy tắc Sarius!Wn!0$*%!WD*%!0%S<!D!0%n!%&'*!q(B!<H<!=z*3!1B()!
Bz*3!<%p!*%d0!
!!
D!a!
\\
]\
[\
B
B
B
!
\]
]]
[]
B
B
B
!
\[
][
[[
B
B
B
\\
]\
[\
B
B

]]
[]
B
B
B
!!
\[
][
[[
B
B
B
!a!
]]][]\][]\]]
\\\]\[
[][[[\[[[\[]
BBBBBB
BBB
BBBBBB
-+!
!!!!!!a!
\\\\\]\]\[\[
BkBkBk
++6!!
(
&j
k
!W8j<!3c&!,-!phần phụ đại số!<VB!
)
&j

!!
\]
]]
[]
*]
B
B
B
AAA
B
!!
\[\*
][]*
[[[*
*[**
BAAAB
BAAAB
BAAAB
AAA!!!!!!!!AAA
BAAAB
!a!
( )
\]*
L
\j ]j *j
\BBAAAB
-
ồ
!
,-!0q*3!<VB!"*b@!0$<%!*!K%N*!0O!*>.!0h5*!*%p*3!%-*3!U-!</0!L%H<!*%B(!<VB!WD*%!0%S<6!!

\*
]*
**
B
B
AAA
B
!a!B
\\
!k
\\
!|!B
\]
!k
\]
!|!AAA!|!B
\*
!k
\*
!a!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!a!B
\\
!k
\\
!|!B
]\
!k
]\
!|!AAA!|!B
*\

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
BIBIAAABI=
+++=
ỡ
ù
+++=
ù
ớ
ù
ù
+++=
ợ
!
0h:*3!WR!=
&
!U-!B
&j
!"&!a!\6!]6!AAA!6!*~!j!a!\6!]6!AAA!6!*@!,-!<H<!%'!12!WQ!=&J0 U-!I
j
!"j!a!\6!]6!AAA!6!*@!
,-!<H<!ẩ*!12!K%z&!0ì.A!Cn!0ì.!nghiệm của hệ6!WN(!0&5*6!0B!0$*%!<H<!WD*%!0%S<)!!!!!
!!
D
!a!
\\
]\
*\
B
B
AAA

AAA
=
\]
]]
*]
BAAA
BAAA
AAAAAAAAA
BAAA
\*
]*
**
B
B
AAA
B
~!!!
D
]
!a!
\\
]\
*\
B
B
AAA
B
\
]
*

]
*
=
=
AAA
=
!
"CD*%!0%S<!D
j
!<%i!L%H<!WD*%!0%S<!D!ở!</0!0%S!j!,-!</0!<H<!%'!12!0T!7:!=
&
@A!_B(!WR6!0B!HK!
7Y*3!<H<!qui tắc)!
|!!+J(!D!ạ!?!0%ì!%'!K%89*3!0hì*%!"0%8ờ*3!W8j<!3c&!,-!%'!Cramer@!có nghiệm duy nhất)!
!!I
\
!a!
\
D
D
~!I
]
!a!
]
D
D
~!AAA!~!I
*
!a!
*

n!,-!./0!=z*3!<%p!*%d0!3o.!.!!*!12!"W8j<!3c&!,-!<H<!
phần tử!<VB!.B!0hd*@!B
&j
!"&!a!\6!]6!AAA!6!.~!j!a!\6!]6!AAA!6!*@!1ắK!IJK!0%-*%!.!%-*3!U-!*!
</0A!#ý!%&'(!3c*)!
(
)
&j
.6*
kB= !%:;<!Lý!%&'(!WN4!WV!,-)!
!!
\\\]\[\*
]\]]][]*
.\.].[.*
BBBAAAB
BBBAAAB
k
AAAAAAAAAAAAAAA
BBBAAAB
ộự
ờỳ
ờỳ
=
ờỳ
ờỳ
ờỳ
ởỷ
A!
|!!FB!0hd*!<tK!*!!*6!W8j<!3c&!,- ma trận vuông cấp nA!
|!!sH<!K%N*!0O!