
Giáo trình toán lớp
11 Tổ hợp xác suất

Chơng II: Tổ Hợp Xác Suất
Chơng II: Tổ HợP - XáC SUấT

,,abc
,tập hợp
B =
{
}
1, 2,3, 4
.Số phần tử của A B tính theo công
thức no ? Số phần tử của C l tập hợp các phần
tử có dạng (x;y) trong đó x
,
A
yB l bao nhiêu
?
Đặt vấn đề cho bi mới .Cho học sinh đọc bi toán
mở đầu trang 51 sgk.
- Chuẩn bị trả lời câu hỏi

- Nhận xét câu trả lời của bạn

- Hồi tởng kiến thức cũ chuẩn
bị cho bi mới
- Phát hiện vấn đề mới .

Hoạt động 2:Tiếp cận quy tắc cộng .

hoạt động của Giáo viên hoạt động của Học sinh
Gv: Trịnh Ngọc Bình Trờng THPT Cẩm Thuỷ I
1
Chơng II: Tổ Hợp Xác Suất


Đọc quy tắc nhân
Thông qua H3 để đa đến quy tắc
nhân tổng quát
Quy tắc nhân tổng quát.
HĐTP3:Củng cố quy tắc nhân .
Yc hs đọc vd4,vd5 sgk v lên bảng
trình by lời giải .
Nhận xét đánh giá lời giải của học sinh
.
HĐTP4:Hệ thống hóa , mở rộng kiến thức

Đọc vd3 , giải vd3
- Nhận xét lời giải của bạn .
- Khái quát kết quả tìm đợc - Ghi nhận kiến thức mới
- Khái quát hóa kiến thức mới . - Nhận dạng quy tắc nhân thông
qua giải bi tập 3b;4a,b. Hoạt động 4:Củng cố ton bi
Câu hỏi 1 : - Những nội dung chính đã học ? dạng toán đã học ?
Câu hỏi 2 : Cho hs ghi nhận những kiến thức cơ bản thông qua nội dung sau :
- Bản chất toán học của quy tắc cộng l công thức tính số phần tử của 2 tập
hợp hữu hạn không giao nhau .
- khi phát biểu quy tắc cộng ngầm hiểu 2 phơng án A v B l phân biệt,

A
BAB+

Tổng quát: Cho
123
, , , ,
n
A
AA A
l n tập hữu hạn v
ij
AA


=
với
thì
( , 1,2,3, , )ijij n=
1
23

n
A
AA A
=
11 1
n
iik ik
iikn ikln
l

- Nhớ các công thức tính số các hoán vị , số các chỉnh hợp chập k v số các tổ
hợp chập k của một tập hợp có n phần tử.
2. Về kỹ năng : Giúp học sinh :
- Biết tính số hoán vị , số chỉnh hợp chập k , số tổ hợp chập k của một tập hợp có
n phần tử .
- Biết đợc khi no dùng tổ hợp , khi no dùng chỉnh hợp trong các bi toán đếm
.
- Biết phối hợp việc sử dụng các kiến thức về hoán vị , chỉnh hợp v tổ hợp để giải
các bi toán đếm tơng đối đơn giản .
3. Về t duy , thái độ :
- Xây dựng t duy lôgíc , linh hoạt ; Biết quy lạ thnh quen
- Cẩn thận chính xác trong tính toán , lập luận v trong vẽ đồ thị .
II . Chuẩn gị của giáo viên v hoc sinh :
1. Giáo viên : Giáo án đồ dùng dạy học v phiếu học tập .
2. Học sinh : Bi cũ ,đồ dùng học tập .
III . Phơng pháp dạy học :
Vấn đáp gợi mở , đan xen hoạt động nhóm.
IV . Tiến trình bi dạy học :
Hoạt động 1: Kiểm tra bi cũ
Câu hỏi 1 : Phát biểu quy tắc cộng , cho ví dụ .
Câu hỏi 2 : Một lớp học có 10 học sinh nam v 20 học sinh nữ . Cần chọn 2
học sinh của lớp ,1 nam ,1 nữ để tham dự trại hè . Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác
nhau ?
Câu hỏi 3 : Một chiếc ghế có 4 chỗ ngồi , đợc đánh số từ 1 đến 4 . Có 4 bạn l
An , Bình , Cờng ,Dũng ngồi một cách ngẫu nhiên ,mỗi ngời ngồi 1 vị trí đợc
đánh số trên ghế . Hỏi có bao nhiêu cách ngồi khác nhau ?

hoạt động của Giáo viên hoạt động của Học sinh
Gv: Trịnh Ngọc Bình Trờng THPT Cẩm Thuỷ I
4

vị .
Vậy tập A có bao nhiêu hoán vị ?
- Đa ra định nghĩa hoán vị
- Yêu cầu học sinh nhắc lại định v lấy ví dụ về
hoán vị .
- Đa ra bi toán : Nếu tập hợp A có n phần tử
,thì có tất cả bao nhiêu hoán vị của A ?(đây l
bi toán tổng quát của câu hỏi 3)
- Đa đến định lý :Số các hoán vị của 1 tập hợp
có n phần tử l :

! ( 1)( 2)( 3) 2.1.
n
Pnnn n n==
- Hớng dẫn hs cách chứng minh đlý - Củng cố định lý :Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể
lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác
nhau ? Tìm số hoán vị của tập A

Nhắc lại định nghĩa, v lấy ví dụ
về hoán vị . Phát hiện cách giải bi toán
Hồi tởng kiến thức về quy tắc

- Củng cố định nghĩa bằng cách cho học
sinh lm ví dụ 3, v viết tất cả các chỉnh
hợp chập 2 của tập
{
}
,,
A
abc=

- Lm bi tập 6 sgk
- Đặt câu hỏi để đa đến cách tính số các
chỉnh hợp của 1 tập hợp A gồm n phần
tử .

- Nhận nhiệm vụ
- Tìm lời giải bi toán
- Chuẩn bị lên bảng giải btoán
- Nhận xét lời giải của nhóm khác
- Chuẩn bị chiếm lĩnh kiến thức về
chỉnh hợp
- Từ việc chính xác hóa lời giải câu

A
nk
=

!
(2)
- Quy ớc : 0! = 1 ,
0
1
n
A =
- Công thức (2) đúng với mọi số nguyên k
thỏa mãn
0.

kn
- Thực hnh nên dùng công thức (1). Công
thức ny đúng với k nguyên dơng.
- Phát biểu định nghĩa .
- Lm ví dụ 3 sgk
- Viết các chỉnh hợp chập 2 của tập
A
- Lm bi tập 6

- Suy nhĩ để chứng minh đlý bằng
cách phát hiện quy luật.


tập
{
}
,,,,
A
abcde=
.
- Lm bi tập 8a.
- Hai tổ hợp khác nhau khi no ?
HĐTP3: Định lý
- Giới thiệu ký hiệu l số các tổ hợp chập k
của n phần tử
k
n
C
(0 )kn


- Định lý :

!
!( )!
k
n
n
C
kn k
=

(0 )kn .(1)

dạng khác

( 1)( 2)( 3) ( 1)
!!
k
k
n
n
Ann n n nk
C
kk
+
==
(2)
Quy ớc : 0!=1 . C
n
0
=1
HĐTP4:Các tính chất cơ bản của tổ hợp
a, Cho các số nguyên dơng n v số nguyên
k với .Khi đó :
0 kn

kn
nn
CC
k

=
b, Cho các số nguyên n v k với

để viết
k
n
C
dới dạng khác

- Chứng minh các tính chất cơ bản
của tổ hợp
- Nhận xét lời giải của bạn

- Tìm các ví dụ về tổ hợp
- Thực hnh máy tính
Lm bi trên phiếu học tập Gv: Trịnh Ngọc Bình Trờng THPT Cẩm Thuỷ I
7
Chơng II: Tổ Hợp Xác Suất
- Thực hnh máy tính
!
(0 )
!( )!
k
n
n
Ck
kn k

Ôn tập , củng cố kiến thức v kỹ năng về hai quy tắc đếm cơ bản , hoán vị , chỉnh
hợp v tổ hợp.
II. Chuẩn bị của gv v hs
Giáo viên : Giáo án , phiếu học tập , đồ dùng dạy học
Học sinh : Học thuộc các khái niệm v tính chất ,công thức ở bi 1 v bi 2 của
chơng II .
Lm bi tập sgk v sbt
III. Phơng pháp dạy học :
Gợi mở , vấn đáp với hoạt động nhóm .

IV. Tiến trình bi dạy :

Hoạt động 1: Hệ thống lại kiến thức đã học

hoạt động của Giáo viên hoạt động của Học sinh
HĐTP1: Gọi 2 hs lên bảng lm 2 nhiệm vụ sau :
Học sinh 1: Nhắc lại quy tắc cộng , quy tắc
nhân ; các kn về hoán vị , chỉnh hợp , tổ hợp .
Học sinh 2: Viết các công thức tính số các hoán
vị , số các chỉnh hợp , số các tổ hợp v các tính
chất .
HĐTP2:Nhận xét câu trả lời của trò v chính
xác hóa kiến thức đã dạy
- Nhận nhiệm vụ
- Chuẩn bị vở bi tập v lên
bảng trả lời câu hỏi
- Nêu nhận xét của mình về câu
trả lời của bạn

Hoạt động 2 : Lm các bi tập từ bi 9 đến bi 14 sgk trang 63

Vậy theo quy tắc nhân ta có :
9.10.10.10.10.2 = 180000 số nh vậy .
Nhận nhiệm vụ , chuẩn bị
vở bi tập , lên bảng thực
hiện nhiệm vụ
- Nhận xét lời giải của các
nhóm khác

- Chỉ ra chỗ sai của bạn

- Trong mỗi bi biết sử
dụng khái niệm no vo bi
toán l đúng .

hoạt động của Giáo viên hoạt động của Học sinh
11. a, có 2.3.2.5=60 cách đi
b, có 24 cách đi
c, có 3.4.2.5 = 120 cách đi
d, có 3.4.2.2 = 48 cách đi
12. Mạng điện có 64 49 = 15 trạng thái
thông mạch từ P tới Q.
13. a, b,
4
15
1365C =
3
15
2730A =
14. a, có kết quả có thể
4

Suy ra số cách chọn ít nhất 1 nữ l
C
5
10
C
5
8
= 196 .
16 . Số cách chọn 5 em ton nam l ?
Số cách chọn 4 nam v 1 nữ l ?
Đáp số bi toán l : C
5
7
+ C
3
7
C
1
3
=126
- Lên bảng giải

- Nghe gợi ý để trả lời

- Hệ thống các câu trả lời để trình
bầy lời giải bi toán hon chỉnh

- Ghi lời giải vo vở

Gv: Trịnh Ngọc Bình Trờng THPT Cẩm Thuỷ I

4. Về thái độ : Cẩn thận , chính xác .
II. Phơng pháp dậy học :
Gợi mở , vấn đáp v hoạt động nhóm .
III.Chuẩn bị giáo viên v học sinh
Giáo viên : Giáo án , bảng phụ , phiếu học tập .
Học sinh : Học bi cũ
IV. Tiến trình bi dạy
Hoạt động 1: Kiểm tra bi cũ
1. Nhắc lại các hằng đẳng thức : (a +b)
2
; (a + b)
3
; (a + b)
4
; ; v có thể viết công
thức (a +b)
n
?
2. Viết công thức C
n
k
= ? v các tính chất của nó .

hoạt động của Giáo viên hoạt động của Học sinh
- Giao nhiệm vụ
- Nhận xét đánh giá kết quả của hs
- Hệ thống hóa kiến thức vừa kiểm tra.
- Cho học sinh viết các hệ số của khai triển
các hằng đẳng thức trên .
- Nhớ lại kiến thức trên v dự kiến


b. Củng cố kiến thức

hoạt động của Giáo viên hoạt động của Học sinh
- Khai triển có bao nhiêu số hạng ,
đặc điểm chung của các số hạng đó .
(
n
ab+ )
- Khai triển (x +1)
5
; (- x + 3)
6
; (2x
+1)
7
(chia lm 3 nhóm ).
- Tìm hệ số của x
3
trong các khai triển trên
.
- Tìm hệ số của x
5
y
8
trong khai triển (x + y)
13

- Với b = - b hãy viết công thức khai triển
(a b)

3
= 280.

Hoạt động 3:Tam giác Pa-xcan
a. Tiếp cận kiến thức :

hoạt động của Giáo viên hoạt động của Học sinh
Giao nhiệm vụ : (Mỗi nhóm mỗi câu )
- Tính hệ số của khai triển :
(a + b)
4
; (a + b)
5
;(a + b)
6
- Viết vo giấy theo từng hng
C
0
0
1
C
1
0
C
1
1
1 1
C
2
0

13
Chơng II: Tổ Hợp Xác Suất
- Dựa vo công thức
1
1
kk
nn
CCC

+
=+
k
n
)

- Suy ra quy luật của các hng.
- Đỉnh của tam giác đợc ghi số 1. Tiếp theo
hng thứ nhất ghi 2 số 1.
- Nếu biết hng thứ thì hng thứ n
+1 tiếp theo đợc thiết lập nh thế no ?
(1nn
- Các số ở hng thứ n trong tam giác Pa-
xcann l dãy gồm n + 1 số
0123
, , , , , .
n
nnnn n
CCCC C
- Tam giác vừa xây dựng l tam
giác Pa-xcan.

A.32x
5
+ 80x
4
+80x
3
+ 40x
2
+ 10x +1
B. 16x
5
+ 40x
4
+ 20x
3
20x
2
+5x +1 .
C.32x
5
80x
4
+ 80x
3
40x
2
+10x- 1.
D 32x
5
+80x

Gv: Trịnh Ngọc Bình Trờng THPT Cẩm Thuỷ I
14
Chơng II: Tổ Hợp Xác Suất

1. Câu hỏi v bi tập :
17.Số hạng chứa x
101
y
99
trong khai triển (2x 3y)
200
l
(
)
101
99 99
200
2(3)Cx y .
Do vậy hệ số của khai triển x
101
y
99
l
99 101 99
200
23C

.
18.
8

Chơng II: Tổ Hợp Xác Suất
Ngy tháng năm 2007

Tiết 32 :

Luyện tập

I.Mục tiêu :
Rèn luyện kỹ năng vận dụng công thức nhị thức Niu-tơn v vận dụng nó để
khai triển đa thức dạng (ax b)
n
,(ax +b).
Kiểm tra việc học sinh đã biết thiết lập hng thứ n +1 từ hng thứ n của tam
giác Pa xcan hay cha .
II.Phơng pháp dạy học : Vấn đáp gợi mở ,v hoạt động theo nhóm .
III.Chuẩn bị của giáo vên v học sinh :
Giáo án , phiếu học tập
Học bi cũ , lm bi tập ở nh Hoạt động của giáo viên
IV.Tiến trình bi dạy

Hoạt động 1 : Kiểm tra bi cũ:
Câu hỏi :1, Viết công thức khai triển (a + b)
n
,viết hệ số khai triển đó theo các tổ
hợp .Số hạng thứ k của khai triển trên l số no ?
2,Viết tam giác Pa-xcan với n =1, n=2, n =3v n = 10 .

hoạt động của Giáo viên hoạt động của Học sinh
- Đặt câu hỏi cho học sinh
- Cho 2 học sinh lên bảng thực hiện nhiệm vụ

x
xx
+=
=+ + + +
=+ + + +

22.Hệ số của x
7
l
787
15
32.C


23.Ta có :
25 10 3 5 10
()().
x
yxxy= Vậy hệ số của x
25
y
10
l
.
10
15
3003C =
24. Từ điều kiện
2
2

- Học sinh phải thnh thạo khai triển các đa thức dạng (ax +b)
n
,(ax b )
n
.
- Biết xác định hệ số của khai triển bậc 2,3,4,,n của đối số x.
- Lm thêm bi tập sbt:

Bi 1 : Viết 4 số hạng đầu tiên của lũy thừa tăng dần của x của các đa thức
sau : a, (1 3x)
12
; b, (1 2x )
9
; c,
20
1.
3
x





Đáp số : a,
23
1 36 594 5940
x
xx+
.
b,

x

=

Số hạng thứ 11 l :
10 10 2 10 10
12 12
(2) 2CxCx

= .
- Có thể lm thêm bi 2.33.sbt, trang 65.
Gv: Trịnh Ngọc Bình Trờng THPT Cẩm Thuỷ I
17
Chơng II: Tổ Hợp Xác Suất
Ngy tháng năm 2007
Tiết 33 - 34: Đ4: Biến cố v xác suất của biến cố

I. Mục tiêu bi học:
1. Về kiến thức:
- Nắm đợc phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu biến cố liên quan đến phép
thử ngẫu nhiên. Định nghĩa cổ điển, định nghĩa thống kê xác suất của biến cố.
- Biết đợc: Biến cố chắc chắn, biến cố không thể.
2. Về kỹ năng: Giúp học sinh:
- Biết tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển của xác suất.
- Biết tính xác suất thực nghiệm (tần suất) của biến cố theo định nghĩa thống
kê của xác suất.
II. Chuẩn bị của giáo viên v học sinh:

Nêu không gian mẫu
+> Thực hnh VD1, VD2:

1
=
{}
6;5;4;3;2;1
+> Ví dụ 2: Nêu không gian mẫu của phép
thử: Gieo 2 đồng xu phân biệt

2
=
{
}
NSNNSSSN ;;;

+> Cho ví dụ: T l phép thử, gieo 1 con xúc
sắc, xét biến cố A:" Số chấm xuất hiện trên
mặt l số lẻ ?"; "Số chấm xuất hiện trên mặt
l số nguyên tố?"
Yêu cầu HS nêu

A
,
B
+> Nghe, nhận nhiệm vụ, trả lời.

A
=
{}

diện nạp kết quả cho giáo viên (bằng
giấy), thông báo một số kết quả theo yêu
cầu của giáo viên.
+> Xét biến số A "Tổng số chấm xuất
hiện trên mặt của 2 con xúc sắc l 7".
Hãy nêu tập hợp các kết quả thuận lợi
cho A ?
+> Suy nghĩ v trả lời theo yêu cầu:
{
}
1) (6, ; 2) (5, ; 3) (4, ; 4) (3, 5); (2, );6;1(
=

A
+> Giáo viên: Tỷ số
6
1
36
6
=
đợc coi l
xác xuất của A.

Gv: Trịnh Ngọc Bình Trờng THPT Cẩm Thuỷ I
19
Chơng II: Tổ Hợp Xác Suất
+> Yêu cầu học sinh tham khảo SGK v
nêu định nghĩa của xác suất biến cố A.
+> Thực hiện nhiệm vụ :


l tần số của A trong N lần thực hiện phép thử T.
- Tỷ số giữa tần số của A với số N đợc gọi l tần
suất của A trong N lần thực hiện phép thử T.
- Ngời ta chứng minh đợc rằng: Khi số lần thử N
cng lớn thì cng gần với một số xác định, số đó gọi
l xác suất của A theo thống kê.
- GV yêu cầu học sinh tìm hiểu VD7, VD8 (SGK -
trang 74 - 75). Hoạt động 4: Củng cố:
1.
Bi tập: Chọn ngẫu nhiên 1 số nguyên dơng lớn hơn 35.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Gọi a l biến số (số đợc chọn l số nguyên tố. Hãy liệt kê kết quả thuận
lợi cho A.
c) Tính xác suất của A.
d) Tính xác suất để số lựa chọn nhỏ hơn 0.
Gv: Trịnh Ngọc Bình Trờng THPT Cẩm Thuỷ I
20
Chơng II: Tổ Hợp Xác Suất
Giáo viên: Yêu cầu học sinh lm theo 4 tổ. Cử đại diện trình by (mỗi tổ 1
câu).
Học sinh: Thực hiện nhiệm vụ đợc giao.
2. Giao nhiệm vụ về nh cho học sinh:
- Học kỹ lý thuyết. - Lm bi tập trong SGK.
Bi tập thêm: 2 ngời thay nhau gieo 1 con xúc sắc cân đối đồng chất. Giả sử
ngời thứ nhất gieo đợc mặt có 4 chấm. Tính xác suất để ngời thứ hai gieo đợc
mặt có số chấm lớn hơn ngời thứ nhất.
Gv: Trịnh Ngọc Bình Trờng THPT Cẩm Thuỷ I

Kiểm tra bi cũ:
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
GV nêu câu hỏi yêu cầu học sinh trả lời:
H1: Thế no l phép thử ngẫu nhiên ?
H2: Nêu khái niệm biến cố, xác suất của biến
cố ?
H3: Nêu định nghĩa cổ điển của xác suất,
công thức tính P(A).
H4: Nêu định nghĩa thống kê của xác suất?
Học sinh nghe câu hỏi, suy nghĩ trả
lời.

- 4 học sinh dứng tại chỗ, lần lợt trả
lời 4 câu hỏi.

Hoạt động 2: Giải bi tập áp dụng:
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
BT30 - trang 177:
-
Yêu cầu học sinh đọc đề v lm bi độc lập.
- Gọi 2 học sinh lên bảng trình by bi (mỗi
em 1 câu) .

- Nhận nhiệm vụ
Gv: Trịnh Ngọc Bình Trờng THPT Cẩm Thuỷ I
22
Chơng II: Tổ Hợp Xác Suất

0009,0)
029,0


- Trả lời câu hỏi:
- Số KQ có thể: 7
3
- Số KQ thuận lợi: A
3
7
- Xác suất:
49
30

BT33 (trang 77)
Cho học sinh thảo luận nhóm, đại diện 1
nhóm lên bảng trình by lời giải.

Nhận, thực hiện nhiệm vụ.
ĐS: 2/9
Bi tập ra thêm: Trong 1 nhóm có n ngời . Biết bằng không có ai sinh vo
năm nhuận.
a) Tính xác suất để trong nhóm có ít nhất 2 ngời có cùng ngy sinh (tức cùng
ngy, cùng tháng).
b) Hãy xác định xem n nhỏ nhất phải bằng bao nhiêu để xác suất nêu ở câu a
lớn hơn 0,5.
Đáp số
: a)
n
N
nNNNN
AP
)1) (2)(1(

I. Mục tiêu:

1) Về kiến thức
: Giúp học sinh
- Nắm chắc các khái niệm hợp v giao của hai biến cố.
- Biết đợc khi no 2 biến cố xung khắc, 2 biến cố độc lập.
2) Về kỹ năng:

Giúp học sinh biết vận dụng các quy tắc cộng v nhân xác suất để giải các bi
toán xác suất đơn giản.
II. Chuẩn bị của giáo viên v học sinh:

1) Giáo viên
:
- Các bảng phụ v phiếu học tập.
- Giáo án, máy tính bỏ túi.
2. Học sinh:

- Đồ dùng học tập: thớc kẻ, com pa, máy tính bỏ túi.
- Bi cũ.
- Bảng v bút dạ (cho nhóm).
III. Phơng pháp dạy học:

- Vấn đáp gợi mở.
- Phát hiện v giải quyết vấn đề.
- Hoạt động nhóm đan xen.
IV. Tiến trình bi học:

Hoạt động 1:
Kiểm tra bi cũ: