-148-
Chơng 12
Các định lý tổng quát của động lực học
Các định lý tổng quát của động lực học là hệ quả của định luật cơ bản của
Niu-Tơn. Nó thiết lập mối quan hệ giữa các đại lợng do chuyển động của chất
điểm hay cơ hệ với các đại lợng đo tác dụng của lực.lên chất điểm hay cơ hệ
đó. Các định lý tổng quát của động lực học cho phép ta nghiên cứu tính chất
quan trọng của chuyển động mà không cần biết chi tiết chuyển động đó. Vì thế
nó cho phép ta giải thuận lợi một số bài toán của động lực học đặc biệt là bài
toán về động lực học của cơ hệ mà nếu áp dụng phơng trình vi phân để giải thì
sẽ gặp rất nhiều khó khăn.
12.1. Các đặc trng hình học khối của cơ hệ và vật rắn.
Khi khảo sát động lực học của cơ hệ ngời ta phải để ý đến khối lợng của
chúng và sự phân bố khối lợng ấy trong không gian. Các đặc trng liên quan
đến phân bố khối lợng của cơ hệ hay vật rắn là khối tâm và mô men quán tính.
12.1.1. Khối tâm của hệ
Xét hệ N chất điểm M
1
, M
2
, M
n
có khối lợng m
1
, m
2
, m
.N
. Véc tơ định
vị chúng là:
r

M
1
z
O
y
r
r
C
=
M
rm
N
1k
kk

=
r
;
(12-1)
x
Với M =
.

=
N
1k
k
m
H
ình 12.1

N
1k
kk

=

Trong đó x
C
, y
C
, z
C
là toạ độ khối tâm C; x
k
, y
k
, z
k
là toạ độ của chất điểm
thứ k trong cơ hệ. Trờng hợp đặc biệt trong trờng trọng lực hệ là vật rắn khối
tâm sẽ trùng với trọng tâm của vật.
12.1.2. Mô men quán tính của vật
12.1.2.1. Mô men quán tính của vật đối với một tâm
Mô men quán tính của vật đối với một tâm ký hiệu là J
o
bằng tổng các tích
số giữa các khối lợng của mỗi chất điểm với bình phơng khoảng cách giữa
chất điểm đó với điểm O (hình 10-1)
J
o

trong hệ toạ độ oxyz là x
k
,y
k
, z
k
thì mô men
quán tính của hệ đối với các trục toạ độ là ox, oy, oz và đối với gốc toạ độ O viết
đợc:
-150-
J
x
=

+ );zy(m
2
k
2
kk
J
y
=

+ );zx(m
2
k
2
kk
J
z

Trong kỹ thuật ta tính mô men quán tính của vật đối với một trục theo
biểu thức:
J
z
= M.
2
M là khối lợng của vật, gọi là bán kính quán tính của vật với trục z.
12.1.2.3. Mô men quán tính của một số vật đồng chất
- Vật là một thanh mỏng đồng chất
Gọi chiều dài của thanh là l, khối lợng của nó là M. Chọn trục Ax dọc
theo thanh (hình 12-2).
y
B
x
m
k
d
x
x
k
Xét một phần tử của thanh có
chiều dài dx ở vị trí cách A một đoạn
x
R
, có khối lợng dm =
1
.dx ở đây

1
là khối lợng riêng trên một đơn

(127)
A
Hình 12.3
B
x
D
C
dx
x
y
-151-
- Vật là một tấm phẳng hình chữ nhật (hình 12-3)
Gọi các cạnh của hình là a, b, khối lợng của tấm phẳng là M. Chia hình
thành nhiều giải nhỏ song song với trục o mỗi giải có bề rộng là dx, có mô men
quán tính đối với trục Ax là J
k
=
2
k
am
3
1
(theo hình 12-3)
Trong đó m
k
là khối lợng của giải đang xét.
Mô men quán tính của cả hình đối với trục A
x
là :
J

y
= Mb
3
1
2
(12- 9)
y
R
C

x
- Vật là một vành tròn đồng chất
Gọi bán kính và khối lợng của vành là R và
M. Tính mô men quán tính của vành đối với trục
Cz vuông góc với mặt phẳng của vành và đi qua
tâm C. (hình 12-4).
H
ình 12.4
Ta có:
x
y
R
O
d
rk
r
k
J
cz
=

Gọi bán kính và khối lợng của tấm là R và M. Ta có thể tính mô men
quán tính đối với trục Cz ký hiệu là J
cz
và mô men quán tính đối với trục Cx hay
Cy trùng với đờng kính của nó ký hiệu là J
x
, J
y
.
Chia tấm thành nhiều vành nhỏ cùng tâm C bán kính mỗi vành thứ k là r
k
.
Bề rộng của mỗi vành thứ k là dr
k
. Khối lợng của lớp vành thứ k là :
m
k
= .2.r
k
.dr
k
Trong đó là khối lợng riêng của tấm trên một đơn vị diện tích = .
R
M
2


Theo công thức (12-10) mô men quán tính của lớp vành thứ k này đối với
trục Cz viết đợc.
J

cz
= .R
2
1
drr2
4
R
o
k
3
k
=


Cuối cùng ta có:
J
cz
=
2
MR
2
1
(12-11)
Để tính J
cz
và J
cy
ta có nhận xét mọi điểm của tấm có z
x
= 0, vì thế theo

2
k
2
kk
;xm)zx(m
-153-
J
cz
= .)yx(m
n
1k
2
k
2
kk

=
+
Từ các biểu thức trên suy ra trong trờng hợp này:
J
cz
= J
cx
+ J
cy
.
Do đối xứng nên sự phân bố khối lợng của tấm đối với trục cx và cy hoàn
toàn nh nhau. Ta có:
J
cx

k

d
d'
k

d
k

B
M
k

y
C
y
k

x
k

Theo định nghĩa J
z1
=

(a)
2
kk
'dm
Kẻ trục cz song song với z

k
suy ra:
d'
k
2
= d
k
2
+ d
2
- 2dx
k
H
ình 12.
6

Thay kết quả vào biểu thức (a) sẽ đợc:
J
z1
=

m
k
(d
k
2
+ d
2
- 2x
k

;

m
k
d
2
= Md
2
còn

m
k
dx
k
= d

m
k
x
k
= dMx
C
Do gốc toạ độ trùng với khối tâm c nên x
C
=0.
Do đó:

m
k
dx

=

=
n
1k
k
r
k
= m

=
n
1k
v
v
r
k
. (12-15)
Đơn vị đo động lợng là kgm/s
Ta cũng có thể biểu diễn động lợng của hệ qua khối lợng và vận tốc
khối tâm của hệ.
Từ (12-1) suy ra:

m
k
r
r
k
= M
r

r
tác dụng trong khoảng thời gian hữu hạn từ t
o
đến t thì đại
lợng véc tơ tính bằng tích phân các xung lực phần tử trong khoảng thời gian đó
gọi là xung lợng của lực trong khoảng thời gian từ tF
r
o
đến t và ký hiệu là
s
r
.
s
r
= (12-18)

=
t
to
t
to
dtFsd
r
r
Theo (10-18) nếu lực
= const thì: F
r
s
r
= . F

). Phơng trình cơ bản viết cho chất điểm:
m
= W
r

=
n
1i
i
F
r

Thay
= W
r
dt
vd
r
vào biểu thức trên sẽ đợc:
m
= W
r

=
=
n
1i
i
F)vm(
dt

k
n
1k
1t
to
k
SdtF
r
r
(12-20)
Chứng minh: Từ phơng trình (10-19) suy ra:
d(m
) =
v
r


=
n
1k
1t
to
k
dtF
r
Tích phân hai vế phơng trình này tơng ứng với các cận tại t
o
và t
1
sẽ có:

=

=
n
1k
k
S
r
Định lý đã đợc chứng minh.
Định lý 12.3: Đạo hàm theo thời gian động lợng của hệ bằng véc tơ
chính của các ngoại lực tác dụng lên hệ.

=
=
N
1k
ke
F
d
t
Kd
r
r
(12-21)
Chứng minh: Xét hệ gồm N chất điểm. Ký hiệu hợp ngoại lực và hợp nội
lực đặt lên chất điểm thứ k là
F
r
ke
và F

FFWm
r
rr

Theo định luật Niu Tơn các lực tác dụng tơng hỗ bằng nhau về độ lớn,
-157-
cùng phơng nhng ngợc chiều vì vậy tổng hình học các nội lực ( các lực tác
dụng tơng hỗ cuả các chất điểm trong hệ) luôn luôn bằng không.
Ta có:

F
r
ki
= 0
Còn lại:

==
=
N
1k
ke
N
1k
kk
FWm
rr

Thay
,K
d

1k
ke
FK
dt
d
r
v
.
Định lý đã đợc chứng minh.
Định lý 12.4: Biến thiên động lợng của hệ trong khoảng thời gian từ t
o

đến t
1
bằng tổng hình học xung lợng các ngoại lực tác dụng lên hệ trong
khoảng thời gian đó.
k
r
1
-
k
r
0
= (12-22)

=
N
1k
ke
S

r
;
k
r
1
-
k
r
o
=

s
r
ke
.
Định lý đã đợc chứng minh.
Chý ý rằng các biểu thức (10-19); (10-20), (10-21) và (10-22) là các biểu
-158-
thức véc tơ, nếu chiếu các biểu thức này lên ba trục toạ độ oxyz ta sẽ đợc các
biểu thức hình chiếu tơng ứng phản ánh sự biến thiên động lợng của chất điểm
và hệ theo hớng các trục toạ độ.
Định luật bảo toàn động lợng của hệ
Từ biểu thức (12-21) suy ra:
Khi

F
r
ke
= 0 thì K = const.
Khi

P
r

Viết biểu thức hình chiếu lên trục ox của
định lý động lợng ta có:
H
ình 12.7
m
(
)


==
t
0
msio1
dtFsinPxxmx
&&

;vx
1
=
&
F
;vx
o0
=
&
ms
= P.cos.f ta có:

d
c
1
c
1
c
c
ut
1
a
1
a
1
a
a
Bài giải:
Xét chuyển động của khối nớc aabc
(xem hình vẽ 12.8). Ngoại lực tác dụng lên
hệ gồm:
Trọng lợng P, hợp lực của áp lực tại
mặt cắt của khối nớc và áp lực do phản lực
của tờng lên nớc.
Theo biểu thức (12-22) ta có:
k
1x
- k
ox
=

S

g


Còn

S
x
là xung lực của các lực tác dụng lên khối nớc theo phơng x.
Nếu gọi các hợp lực theo phơng x này là R
x
ta sẽ có:

S
kx
= R
x
t
1
= Rt
1
.
Thay vào biểu thức (a) các kết quả tìm đợc sẽ có:
-160-
mu = Rt
1
R =
Nh vậy ta tìm đợc áp lực của nớc lên tờng cũng bằng R = 12,8kN có
phơng vuông góc với tờng theo chiều hớng vào mặt tờng.
12.2.2. Định lý chuyển động của khối tâm
-

và hệ các nội lực F
r
1i
, F
r
2i
,
F
r
Ni
. ở đây F
r
ke
và F
r
ki
là hợp lực của ngoại lực và nội lực tác dụng lên chất điểm
thứ k.
Phơng trình chuyển động viết cho hệ là:

=
n
1k
m
k

==
+=
n
1k

M
dt
rd
C
2
2
=
r
hay m

=
n
1k
k
W
r
k
= M W
r
C
Thay vào biểu thức (a) ở trên và lu ý rằng

=
n
1k
F
r
ki
= 0 ta có:
M

2
C
2
dt
Yd
= Y

=
n
1k
k
; M
2
C
2
dt
Zd
= Z

=
n
1k
k
. (12-22)
- Định luật bảo toàn chuyển động của khối tâm:
Từ biểu thức (12-21) suy ra:
Nếu

=
n

tâm.
Sau đây là một vài ví dụ vận dụng định lý chuyển độngcủa khối tâm và
định luật bảo toàn chuyển động của khối lợng.
Thí dụ 12-3:
Trọng tâm phần quay của động cơ điện đặt lệch tâm so với trục quay A
một đoạn AB =a. Trọng lợng của phần quay là P, trọng lợng của vỏ động cơ
(phần không quay) là Q. (hình 12-9)
-162-
Tìm quy luật chuyển động của phần vỏ động
cơ trên sàn nằm ngang. Cho biết vận tốc góc
của phần quay không đổi. Nếu ta cố
định vỏ động cơ trên sàn bằng bu lông D thì
lực cắt lên bu lông đợc xác định nh thế nào.
Coi ma sát giữa nền và động cơ không đáng
kế.

Bài giải:
1. Khi động cơ để tự do trên sàn. Ngoại
lực tác dụng gồm trọng lợng P và Q của
động cơ, phản lực pháp tuyến N của sàn lên
động cơ. Các lực này đều vuông góc với sàn nên có:
x
m
A

P
r
B

Q

)sinax(PQx
=
+

++

Hay: Qx + Px + Pasin = 0
Suy ra x =
QP
sins.a.P
+


Đây chính là phơng trình chuyển động dao động ngang của vỏ động cơ
trên sàn quanh vị trí ban đầu.
2. Khi cố định động cơ trên sàn bằng bu lông D.
Gọi R
x
là lực cắt bu lông theo phơng ngang ta có phơng trình vi phân
chuyển động của khối tâm:
-163-
m
x
2
c
2
R
dt
xd
= ;

+
+
=

R
x
= ;tsina
g
P
2

Đây là lực do bu lông tác dụng lên động cơ, ngợc lại động cơ cũng tác
dụng một lực cắt bu lông bằng trị số nhng ngợc chiều với R
x
.
Lực cắt này sẽ lớn nhất khi sint = 1 và bằng Pa
2
/g, tơng ứng với góc
quay =90
0
.
Thí dụ 12-4: Tay quay AB có
chiều dài r có trọng lợng P quay
đều với vận tốc góc và truyền
chuyển động cho cu lít gắn liền với
pít tông D có trọng lợng chung là
G. Pít tông D chịu tác động lực Q
theo phơng ngang (hình 12-10). Xác định phản lực R
x
lên gối đỡ A theo phơng

N
r
1
,
N
r
2
và lực
Q
r
. Các lực P
r
,
G
r
,
-164-
N
r
1
,
N
r
2
vuông góc với mặt ngang nên phơng trình vi phân chuyển động khối
tâm của hệ theo phơng ngang viết đợc:
M
,QR
dt
Xd

x
2
= a rcost
Suy ra: Mx
c
= )tcosra(
g
G
tcos
2
r
g
P
++
Thay vào biểu thức ta đợc: R
x
= Q + M ;
dt
Xd
2
o
2

Hay : R
x
= Q -
.tcos)G
2
P
(

z
bằng mô men của véc tơ động lợng chất điểm ấy
lấy đối với tâm O hay trục z đó. Ta có:
;v.xmr)v.m(ml
oo
r
r
r
r
r
==
(12-23)
h'.v.m)v.m(ml
zz
==
r
(12-24)
Trong các biểu thức (12-23), (12-24) thì m là khối lợng,
là vận tốc v
r
-165-
chất điểm, v' là hình chiếu của
v
r
trên mặt phẳng vuông góc với trục z. Biểu thức
(12-24) lấy dấu + khi nhìn từ chiều dơng của trục z sẽ thấy v' có chiều quay
vòng quanh z theo chiều ngợc chiều kìm đồng hồ và lấy dấu - trong trờng hợp
ngợc lại.
Tơng tự nh mô men lực dễ dàng suy ra rằng:
[

r
r
=== =m(yz-zy) i
r
+m(zx-xz) +m(xyx)
j
r
k
r
;
l
o
= l
x
i
r
+ l
y
j
r
+ l
z

k
r
. Suy ra :
l
x
= m(yz-zy);
l

r
k
xm
k
v
r
k
; (12-26)
l
z
= m

=
n
1k
z
(m
k
v
r
k
) = l

=
n
1k
kz
= m

=

k
m
k
.
Gọi =
z
ta có :
l
kz
= r
2
k
m
k

z
.
Thay vào biểu thức (12-27) ta có:
l
z
=

l
=
n
1k
zk
= r

=

= J
z
ta đợc:
H
ình 12.11
J
z
= J
z
.
z
Thờng ngời ta chọn hớng dơng của trục quay để
z
= khi đó ta có:
l
z
= J
z
. (12-28)
12.3.2. Định lý mô men động lợng
Định lỹ 12-6: đạo hàm bậc nhất theo thời gian mô men động lợng của
chất điểm lấy đối với một tâm hay đối với một trục bằng tổng hình học hay
tổng đại số mô men của các lực tác dụng lên chất điểm lấy đối với tâm (hay trục
đó).
()
(

=
=
n

,
2
F
r
,
n
F
r
.
Phơng trình cơ bản của động lực học viết đợc:
m
= W
r

=
n
1i
i
F
r
.
-167-
Ta có thể biến đổi thành:

=
i
F
dt
)vm(d
r

() ()
()

=
==+=
n
1i
i
Frvxmr
dt
d
vxm
dt
rd
dt
vmd
r
dt
vmd
r
r
r
r
r
r
r
r
r
.
Biểu thức (12-29) đã đợc chứng minh.

(12-32)
Chứng minh: Xét cơ hệ có N chất điểm. Tách một chất điểm thứ k để xét.
Gọi m
k
,
v
r
k
là khối lợng và vận tốc của nó; gọi F
r
ki
, F
r
ke
là nội lực và ngoại lực
tác dụng lên chất điểm. áp dụng biểu thức (12-29) cho chất điểm này ta có:
() (
keokiook
FmFml
dt
d
)
r
r
r
r
r
+= .
Cho k từ 1 đến N ta đợc hệ phơng trình dạng trên. Nếu cộng vế với vế
hệ phơng trình trình trên ta đợc:

N
1i
ok
l
dt
d
l
dt
d
l
dt
d
r
rr
==

==
.
Còn
(
)

=
N
1k
kio
Fm
r
r
= 0 (theo tính chất của nội lực)

) = 0 thì l
r
o
= const
khi

=
n
1k
m
z
(F
r
ke
) = 0 thì
l
z
= const
Điều này có thể phát biểu thành định luật gọi là định luật bảo toàn mô
men động lợng của hệ nh sau:
Nếu tổng mô men các ngoại lực tác dụng lên hệ lấy đối với một tâm o hay
với trục z bằng không thì mô men động lợng của hệ với tâm o hay đối với trục z
đó đợc bảo toàn.
Thí dụ 12-5: Một đĩa tròn đồng chất trọng lợng P bán kính R quay
quanh trục cz thẳng đứng đặt vuông góc với đĩa. Trên vành đĩa có một viên bi
trọng lợng Q. Tại thời điểm đầu t
o
= 0 viên bi đứng yên trên đĩa quay với vận
tốc
o

v
r
u
r
R
M
Đặc điểm của các lực này có m
z
( F
r
ke
) = 0
Do đó mô men động lợng của hệ đợc bảo
toàn. Ta có: l
z
(o)
= l
z
(1)
.
ở đây:
L
z
(0)
= J
z

o
+
o

+(
g
Q
=
1
2
1
2
RuR(
g
Q
R
g2
P
++ )
Suy ra:
(
g
Q
R
g2
P
)R
g
Q
R
g2
P
1
2

P
r
,
Q
r
và phản lực R
r
o.
o

Q
Q
A
O

R
r
Chọn chiều dơng của trục quay oz hớng vào
mặt sau hình vẽ.
áp dụng định lý mô men động lợng ta có:
v
)R(m)Q(m)P(m)F(m
dt
ld
ozzzkez
z
r
r
rr
r

(Q) = rQ; m
z
(R
o
) = 0.
Thay vào biểu thức ở trên ta có:








+=
22
z
r
g
Q
g
P
dt
d
l
dt
d
= rQ.
Suy ra: =
dt

1
(12-34)
Khi hệ là một vật rắn có thể xác định động năng trong một số trờng hợp
sau đây:
12.4.1.1. Vật rắn chuyển động tịnh tiến
Vì mọi điểm trên vật đều có vận tốc nh nhau và bằng vận tốc khối tâm
nghĩa là v
k
= v
o
. Do đó:
T =

=
N
1k
k
m
2
1
v
2
c
=
2
c
N
1k
k
2

2
1

=
=
22
k
N
1k
k
rm
2
1


=
=
2
k
N
1k
k
rm
2
1

=

Thay
= J

c
2
c
J
2
1
Mv
2
1
+
(12-37)
trong đó M là khối lợng của cả vật, J
c
là mô men quán tính của vật đối
với trục quay qua khối tâm C.
Động năng của vật rắn chuyển động song phẳng bằng động năng của nó
trong chuyển động tịnh tiến theo khối tâm cộng với động năng của nó trong
chuyển động quay quanh trục đi qua khối tâm
và vuông góc với mặt phẳng cơ sở.
x
y
z
F
r


M
1
C
M

r

Thay
F
r


= Fcos
d
s
r
= dt
v
r
ta có: dA = F.v.cosdt
Vì F.v.cos =
. nên F
r
v
r
dA = F.V.dt =
.dF
r
r
r
. (12-39)
Nếu gọi X,Y,Z là hình chiếu của
F
r
và dx, dy, dz là hình chiếu của d