1
Về bài toán chụp cắt lớp của máy CT-scanner

TS Huỳnh Lơng Nghĩa, Trờng Đại học Kỹ thuật Lê Quý Đôn

Tóm tắt
Bài báo giới thiệu cách đặt bài toán cơ bản trong kỹ thuật chụp cắt lớp máy tính X-quang và thuật toán
giải quyết. Đồng thời chỉ ra các đặc điểm của việc ứng dụng thuật toán trong thực tế liên quan tới vấn đề rời
rạc hoá và biến đổi Fourie nhanh ( FFT).
Abstract
The article set up a image reconstructions task which is implemented by retrieving the data supplied
from X-ray. Also the problems concerned about solving algorithm are disscused.
Especially attension is paid to digitizing the X-ray data and FFT ( Fast Fourier Transformation )
application in optimizing computerized tomography algorithm

1. Đặt bài toán cơ bản của chụp cắt lớp X-quang.

1.1.Định luật hấp thụ tổng quát Ber Từ việc nghiên cứu các cơ chế hấp thụ tia X của vật chất, ta có thể xây dựng biểu
thức định lợng biểu diễn mối quan hệ giữa cờng độ tia X I(x) và độ suy giảm tuyến tính
à
(x) nh sau.


) tạo
thành vectơ bán kính

x . Hệ số à(x) là đại lợng đặc trng cơ bản cho cấu trúc vật chất,
đợc xác định nhờ các phơng pháp chụp cắt lớp máy tính và đợc dùng làm cơ sở trong
việc tái tạo hình ảnh chụp cắt lớp.
Tiến hành lấy tích phân biểu thức (1) ta đợc :
)())(exp()( 2
0
dxxIxI
x
o

=
à

Biểu thức (2) là định luật hấp thụ tổng quát Ber. Từ đây có thể rút ra một số nhận xét:
Khi x càng lớn (lớp vật chất càng dày) thì cờng độ chùm tia ló càng nhỏ, tức là tia
Rơnghen bị hấp thụ càng nhiều.
X
x
x+dx
I(x+dx)
I(x)
I
O
Hình 1.: Sơ đồ biểu diễn mối tơng quan I(x) theo
à
(x):
A

x
đã cho
trong tia. Sự thay đổi cờng độ I (
x
)dọc theo tia sẽ đợc xác định chỉ bằng hệ số hấp thụ
tuyến tính
à (
x
) phù hợp với công thức Ber (2).
Gọi phân bố
à (x ) theo tiết diện quét cho trớc là cấu trúc của đối tợng. Chọn trong
mặt phẳng quét một hệ toạ độ Đề-các cố định Oxy với tâm O trên trục quay của hệ thống
(hình 3). Gắn vơí khung di chuyển ( quay) một hệ toạ độ Đề-các di động O
có trục O
hớng từ phần phát đến đầu thu dọc theo tia trung tâm ( đi qua trục quay ). Trục O

định
hớng nh chỉ ra trên hình 3. Vị trí của hệ toạ độ di động so với hệ toạ độ cố định đợc
xác định bởi góc
sao cho:
Hình 2. Sơ đồ thu chụp thông tin
A
A

B
B


(4)
Tơng ứng với công thức (2) ta có dạng:
[]
),exp(),(
0
à
dyxII
R
R


= (5)
, trong đó
à[x,y] là hệ số hấp thụ tuyến tính à đợc lấy trên tia với vị trí hiện thời đợc
xác định bằng góc
và khoảng cách tính từ tia hiện thời đến tia trung tâm (xem hình 3);
I
0
là giá trị cờng độ tia Rơnghen tại đầu ra phần phát, 2R là quãng đờng tia đi qua.
Hiển nhiên là hệ số hấp thụ tuyến tính
à
(x,y) đặc trng cho cấu trúc bên trong đối
tợng nghiên cứu, còn tập hợp các hình chiếu thì biết đợc thông qua các kết quả đo đạc
bên ngoài đối tợng. Vì vậy bài toán chụp cắt lớp máy tính ( CT ) thờng đợc gọi là bài
toán khôi phục cấu trúc hoặc tái tạo hình ảnh.

2. Thuật toán xác định hệ số hấp thụ tuyến tính à(x,y).

2.1. Định lý về tiết diện trung tâmA
A
)
B
B
)


X
Y




O
R




dxif )exp()(
*
(8)
Định lý 2
: Trong không gian n chiều biến đổi Fourier của hàm f ( )x với n biến thực
(
)x = (x
1
, x
2
, x
n
) đợc xác định bằng tích phân bội n theo công thức:





xdxixf )exp()( )(2=) (*f
n/2-

(9)
Trong đó
nn2211
x xxx. +++= là tích vô hớng của vectơ và x; dx là
phần tử thể tích trong không gian n chiều.
Biến đổi ngợc trong không gian n chiều có dạng:




), (12)
Dấu * ở vế trái công thức (11) có nghĩa là biến đổi Fourier hai chiều, còn ở vế phải - là
biến đổi Fourier một chiều (theo đối số thứ nhất).
Nh vậy, biến đổi Fourier 2 chiều
à*(, ) của hệ số hấp thụ tuyến tính à(x,y) khi cố
định giá trị

=

bằng biến đổi Fourier 1 chiều của hình chiếu p tại giá trị góc quay

+

/2
ý nghĩa của ảnh Fourier à*(,) khi = const chính là " mặt cắt " ( tiết diện ) mặt phẳng z
=
à
*(

,

) bằng mặt phẳng

=

= const và điều này giải thích tên của định lý.

2.2. Phơng pháp biến đổi Fourier ngợc



Một vấn đề nghiêm trọng hơn là trong công thức ( 13 ) khi các gía trị (ux+vy) tăng,
hàm dới dấu tích phân sẽ dao động nhanh, dẫn đến các công thức cầu phơng chuẩn
không còn đúng nữa. Thông thờng sử dụng hai cách để giải quyết vấn đề này: trong cách
thứ nhất ngời ta dùng các thuật toán và chơng trình máy tính đặc biệt để lấy tích phân
của các hàm dao động nhanh [4].
Cách thứ hai liên quan tới một chi tiết là: trong mức độ chính xác khôi phục ảnh cho
trớc, các thành phần cao tần của lời giải không mang thông tin hữu ích và thờng chỉ
chứa nhiễu ( sai số ) thiết bị. Vì vậy nếu vứt bỏ các thành phần này ( các " đuôi cao tần " )
thì vẫn có thể sử dụng các chơng trình tính toán mẫu.

2.3. Phơng pháp chiếu ngợcPhơng pháp này cũng dựa trên việc biểu diễn hình chiếu nh trong mục trên, tuy
nhiên thứ tự tính toán và biểu thức cuối cùng khác với lời giải (13).
Hình chiếu ngợc đợc xác định theo công thức:
g(x,y) = (2


=(

1
,

2
)

(u,v);
U
V
O
Hình 4. Mối tơng quan giữa hệ toạ độ cực và hệ toạ độ vuông góc
6
h*( ) là biến đổi ngợc Fourier của hàm h(x,y) =
1
r


Nếu biết trớc gốc hàm của
)(*),(*

hg
thì có thể nhận đợc ngay lời giải dới
dạng tích chập của các gốc hàm này, vì vậy phơng pháp này đợc gọi là phơng pháp
chập với hình chiếu ngợc hay đơn giản là phơng pháp chập.
Nh thực tế chỉ ra : cả phơng pháp biến đổi Fourier lẫn phơng pháp chập khi thực
hiện đều cho sai số lớn, đôi khi đến mức không cho phép do bài toán khôi phục cấu trúc
bên trong đợc đặt ra không chuẩn . Trên thực tế sự không chuẩn bắt đầu thể hiện từ

+=++ (18)
Công thức thứ nhất trong (18) là đẳng thức lợng giác cơ bản, công thức thứ 2 rút ra từ
điều kiện thực hiện vật lý. Tính đến các công thức này có thể viết tích phân ở vế phải đẳng
thức (17) dới dạng:
() () ()()




+=

à
0
*
2/3
cosexp2/,2),( dripd
(19)
Trên thực tế khi thực hiện công thức (19) biểu thức dới dấu tích phân đợc nhân trớc
với một hàm A (
) đợc chọn một cách đặc biệt và đợc gọi là hàm apodize có tác dụng
cắt các hài bậc cao. Theo thuật ngữ sử dụng trong lý thuyết điều khiển tích của hạt nhân
||
trong phép chập (19) với hàm apodize đợc gọi là bộ lọc, còn toán tử giải phơng trình
chập (19) có sử dụng hàm apodize đợc gọi là phép lọc. Do hàm nhận đợc sau khi tính
tích phân bên trong của (19) đợc biến đổi theo công thức tơng tự nh phép chiếu ngợc
nên nói chung phơng pháp này mang tên là phơng pháp chiếu ngợc dùng lọc.
Trên thực tế ngời ta dùng các hàm apodize dới các dạng sau:
a. A
*
=

khi
khi
0
1

7
c. A
*
=
()





>

max
maxmax
/cos


khi
khi
0
2

và một số dạng khác nữa.

3. Rời rạc hóa trong chụp cắt lớp máy tính

y
,
x
(à
trong vùng, có thể tính tích phân dới dạng hàm
tuyến tính nào đó của các tham số
i
à
cho mỗi tia với các tham số
,
:

i
i
i
Ap à),(),(
)(




(20)
Lúc này trong tổng ở vế phải chỉ hiện diện các giá trị của hàm
)
y
,
x
(à
tại các phần tử
mà tia đang xét đi qua. Tiến hành đo cho

N
i
iki
i
jk
pA
1
à
)(
(21)
với ma trận hệ số đợc mở rộng thành ma trận vuông bằng các trị số 0.
Sử dụng dạng ghi chuẩn của hệ phơng trình với ma trận vuông hoặc ma trận chữ nhật
thay cho hệ (21) ta có:


=
=
s
N
i
ijij
pA
1
à
(22)
Để giải hệ (22) có thể sử dụng các thuật toán chuẩn của đại số tuyến tính, tuy nhiên
nếu chú ý rằng để đạt tới độ phân giải chấp nhận đợc của thiết bị phải sử dụng hàng nghìn
giá trị
)
y

à
à



+=
+1
(2.102)
, trong đó k là số vòng lặp; trong trờng hợp đơn giản nhất
ijij
H = , trong đó
ij
là
ký hiệu Croneker ( tức
ij
H
là ma trận đơn vị ). Tham số
k

và ma trận
)(k
ij
H
đợc chọn từ
điều kiện hội tụ tốt nhất của phơng pháp lặp.
b) Phơng pháp trợt nhanh nhất.
c) Thuật toán ART (algebraic reconstruction technique).

4. Kết luận