Download miễn phí Ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo những bài toán AFIN



Vận dụng mối quan hệgiữa bài toán afin và bài toán xạ ảnh, ta có thểsáng tạo ra
nhiều bài toán afin khác nhau từmột bài toán afin cho trước. Thật vậy, sau khi đã chuyển
một bài toán afin sang bài toán xạ ảnh, với cách chọn các đường thẳng khác nhau làm
đường thẳng vô tận, ta lại thu được nhiều bài toán afin khác nhau. Sau đây là một ví dụ
minh họa


http://s1.liketly.com/flash/edoc/jh2i1fkjb33wa7b577g9lou48iyvfkz6-swf-2014-01-02-ung_dung_hinh_hoc_xa_anh_vao_giai_va_sang_tao_nhun.hAmQLCob0x.swf /tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-53354/
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí

Tóm tắt nội dung tài liệu:

Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010
438
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH
VÀO GIẢI VÀ SÁNG TẠO NHỮNG BÀI TOÁN AFIN
THE APPLICATION OF PROJECTIVE GEOMETRY
TO SOLVE AND CREATE AFFINE PROBLEMS
SVTH: Bùi Thị Anh Đào
Lớp 07ST, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm
GVHD: TS Nguyễn Ngọc Châu
Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm
TÓM TẮT
Mục đích của đề tài này là trình bày mối quan hệ giữa các bài toán xạ ảnh phẳng và các
bài toán afin phẳng. Vận dụng mối quan hệ này để giải và sáng tạo những bài toán afin phẳng
ABSTRACT
The aim of this topic is to present the relation between plane projective problems and plane
affine problems. Using this relation to solve and create plane affine problems.
1. Mở đầu
Hình học xạ ảnh là một trong những môn học chuyên ngành dành cho sinh viên
ngành Toán tại các trường Đại học Sư Phạm trong cả nước. Mục đích của môn học là cung
cấp cho sinh viên cái nhìn tổng quan về các hình học và mối quan hệ giữa chúng. Đồng
thời, hình học xạ ảnh giúp chúng ta có một phương pháp suy luận, phương pháp giải và
sáng tạo một số bài toán thuộc chương trình phổ thông.
Việc ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo những bài toán hình học afin là
một vấn đề cơ bản và cũng là một trong những mục đích, yêu cầu quan trọng dành cho các
sinh viên khi học môn hình học xạ ảnh để hiểu rõ và vận dụng trong công tác giảng dạy
sau này.
Hiện nay, trong các giáo trình Hình học xạ ảnh đã đề cập đến mối quan hệ giữa
hình học xạ ảnh và hình học afin tuy nhiên còn ở mức độ khiêm tốn, việc sáng tạo các bài
toán mới cũng ít được quan tâm.
Nhằm tìm hiểu sâu hơn về hình học xạ ảnh, đồng thời ứng dụng nó vào chương
trình phổ thông, tui chọn đề tài nghiên cứu khoa học cho mình là: “Ứng dụng hình học xạ
ảnh vào giải và sáng tạo những bài toán afin”.
2. Các mô hình
2.1. Mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh
Trong không gian afin 3A , ta bổ sung thêm các phần tử mới như sau:
- Mỗi đường thẳng bổ sung thêm một “điểm vô tận” sao cho hai đường thẳng song
song cắt nhau tại “điểm vô tận”. Đường thẳng bổ sung thêm “điểm vô tận” được gọi là
đường thẳng mở rộng.
Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010
439
- Tập hợp các “điểm vô tận” của mặt phẳng cùng nằm trên một “đường thẳng vô
tận”. Mặt phẳng được bổ sung thêm “đường thẳng vô tận” được gọi là mặt phẳng mở rộng.
Như vậy, trong mặt phẳng mở rộng ta có:
- Hai đường thẳng bất kì cùng thuộc một mặt phẳng thì luôn cắt nhau tại một điểm
(hay là điểm afin thông thường, hay là điểm vô tận).
- Hai mặt phẳng phân biệt luôn có một đường thẳng chung.
- Một đường thẳng bất kì không nằm trong mặt phẳng luôn cắt mặt phẳng tại một
điểm.
Xét một mặt phẳng afin 2A trong không gian afin mở rộng 3A .
Kí hiệu [ 2V ] là tập hợp các không gian vectơ con một chiều của 2V
Đặt  222 VAP  khi đó, 2P là không gian xạ ảnh hai chiều (Mặt phẳng xạ ảnh).
Mặt phẳng afin 2A có bổ sung thêm các điểm vô tận được gọi là mô hình afin của
mặt phẳng xạ ảnh.
2.2. Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin
Xét mặt phẳng xạ ảnh 2P liên kết với không gian vectơ 3V , chọn đường thẳng 
làm đường thẳng vô tận. Khi đó, tập hợp  \22 PA là mặt phẳng afin và được gọi là mô
hình xạ ảnh của mặt phẳng afin. Trong mô hình này, các điểm thuộc  được gọi là các
điểm vô tận, các điểm không thuộc  được gọi là các điểm thông thường.
2.3. Sự liên hệ giữa bài toán afin phẳng và bài toán xạ ảnh phẳng
Từ sự liên hệ giữa mặt phẳng afin và mặt phẳng xạ ảnh ta suy ra được nhận xét sau
về mối liên hệ giữa bài toán afin phẳng và bài toán xạ ảnh phẳng:
- Từ bài toán afin
phẳng, bằng cách bổ sung
vào mặt phẳng afin một
đường thẳng vô tận sao cho
hai đường thẳng song song
cắt nhau tại một điểm nằm
trên đường thẳng vô tận ta
thu được một bài toán xạ
ảnh phẳng.
- Ngược lại, từ một
bài toán xạ ảnh phẳng, bằng
cách cố định một đường
thẳng của mặt phẳng xạ ảnh
làm đường thẳng vô tận ta
thu được một bài toán afin
phẳng.
Nói cách khác, ta có
thể dùng kiến thức của hình
I
P
N
M
C’
A’
'B
B
C
A
Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010
440
học xạ ảnh để giải các bài toán afin và ngược lại.
Ví dụ: Dùng mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin để chứng minh định lý Desargues
Định lý Desargues. Trong không gian xạ ảnh 2P , cho hai tam giác ABC và tam
giác ''' CBA . Khi đó, các đường thẳng nối các cặp đỉnh tương ứng của hai tam giác đồng
quy khi và chỉ khi giao điểm các cặp cạnh tương ứng cùng nằm trên một đường thẳng.
Nhận xét: Nếu ta chọn đường thẳng chứa M, N, P làm đường thẳng vô tận khi đó
trong mô hình MNPA \22  các đường thẳng AB và '' BA ; AC và ''CA ; BC và ''CB
song song với nhau.
Ta thu được bài toán afin như sau: Cho hai tam giác ABC và ''' CBA có các đường
thẳng nối các đỉnh tương ứng đồng quy tại một điểm. Chứng minh rằng nếu hai cặp cạnh
tương ứng của tam giác song song với nhau thì cặp cạnh còn lại cũng song song.
3. Ứng dụng hình học xạ ảnh phẳng vào giải và sáng tạo những bài toán afin phẳng
Vận dụng mối quan hệ giữa bài toán afin và bài toán xạ ảnh, ta có thể sáng tạo ra
nhiều bài toán afin khác nhau từ một bài toán afin cho trước. Thật vậy, sau khi đã chuyển
một bài toán afin sang bài toán xạ ảnh, với cách chọn các đường thẳng khác nhau làm
đường thẳng vô tận, ta lại thu được nhiều bài toán afin khác nhau. Sau đây là một ví dụ
minh họa
Xét bài toán afin. Trong 2A , cho hình bình hành .ABCD Từ điểm M tuỳ ý trên
cạnh AB , ta dựng đường thẳng a cắt cạnh BC tại N. Từ điểm Q tuỳ ý trên cạnh AD, ta
dựng đường thẳng b//a, cắt cạnh CD tại P. Gọi O là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh
rằng O, B, D thẳng hàng.
3.1. Giải bài toán: Ta sẽ dùng mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh để giải bài toán trên
Bổ sung thêm đường thẳng vô tận
 sao cho:
;IBCAD  ;JCDAB 
.KPQMN  với I, J, K .
Ta thu được bài toán xạ ảnh như
sau: Trong P 2 , cho ba đường thẳng a, b, c
phân biệt thuộc chùm tâm I . Trên a lấy
hai điểm J, K. Trên c lấy hai điểm B, C.
Gọi ;bJCD  .bJBA  M, Q lần
lượt nằm trên AB và AD . Gọi
;BCKMN  ;DCKQP 
.NQMPO  Chứng minh rằng B, O, D
thẳng hàng
Ta giải bài toán như sau:
Xét hai tam giác BMN và DPQ .
JDPBM  ,
P O
B
M
A
CN I
J
K
Q D
Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010
441
KPQMN  ,
IQDNB  .
Mà ,I ,J K .
Theo định lý Desargue  ,MP NQ , BD đồng quy.
Mà BDOONQMP  .
Hay B, O, D thẳng hàng.
3.2. Sáng tạo những bài toán mới
Chọn BD làm đường thẳng vô tận, ta thu được bài toán sau
Bài toán 1: Trong mặt phẳng afin, cho hình thang MNIJ ( NIMJ // ) có các cạnh
bên cắt nhau tại K . Trên hai cạnh đáy lấy hai điểm CA,  ...

---