Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
CHƯƠNG 1
NỬA NHÓM VÀ NHÓM

1. NỬA NHÓM
MỤC ĐÍCH YÊU CẦU:
Sinh viên nắm được khái niệm phép toán hai ngôi, nửa nhóm. Biết nhận biết
các khái niệm trên trong các trường hợp cụ thể.
Sinh viên có kỹ năng vận dụng khái niệm trên giải các bài tập .
1.1.Phép toán hai ngôi:
Ví dụ: 1.xét tập số tự nhiên N, với phép toán cộng thông thường. Ta thấy: ∀ a, b ∈
N luôn có: a+b = c ∈ N. Có thể nói phép cộng trong N là một ánh xạ được không?
Hãy lập ánh xạ đó. ( +: NxN → N
(a,b)  c )
2.Cũng hỏi như trên với Phép mũ hoá trong N? Phép trừ trong N ?phép nhân
trong N ?
T: NxN → N
(a,b)  c= a
b
)
các phép toán trên ( trừ phép trừ) đều là các phép toán hai ngôi.
Định nghĩa 1: SGK(37)
Để cho tiện từ nay về sau ta ký hiệu cái hợp thành của x và y là xy. Nếu
không có lý do nào khiến ta phải viết khác.
Định nghĩa 2: sgk(38)
A ⊂ X đgl ổn định với phép toán hai ngôi trong X. ⇔ ∀ x,y ∈ A → xy ∈ A .
(Ta còn nói phép toán trên X đối với bộ phận ổn định A là phép toán cảm sinh trên
A )
 Trong các ví dụ trên phép toán nào có các tính chất: kết hợp; Giao hoán ?
Định nghĩa 3: Tr 38.
 Trong các phép toán trên hãy tìm các cặp phần tử có cái hợp thành chính

1
x
2…
x
n-1
)x
n
gọi là tích của n phần tử lấy theo
thứ tự đó.
Định lý 2: (sinh viên tự CM) tr40.
Định nghĩa 6: X là nửa nhóm:
n ∈ N, n ≠ 0 ∀ a ∈ X ; a
n
gọi là tích của n phần tử bằng a.
Do tính kết hợp ta có:
a
m
.a
n
= a
m+ n
; (a
m
)
n
= a
m.n
( Sinh viên tự CM)
 Nếu phép toán hai ngôi của X ký hiệu là + thì tổng của n phần tử đều bằng a gọi
là bội của n . Ký hiệu là: na. Hãy viết quy tắc trên dưới dạng tổng:

b
n-1
 Ta CM đúng với m = n.
Có (ab)
n
= (ab)
n-1
(ab) = a
n-1
b
n-1
(ab) = a
n-1
(b
n-1
b)a =a
n-1
b
n
a. (1)
Như vậy nếu có b
n
a = ab
n
thì từ (1) suy được ra điều phải CM. Ta đi CM điều đó:
Bằng quy nạp theo n:
- Với n =1 ta có ab = ba
- Với m = n-1 giả sử có : a
n-1
b = ba

= a = a
2
b
2

Nhưng: ab = a ≠ ba = b.
Bài 2:
Gọi X là tập thương Z/nZ = {
0
,
1
,
1−n
} ; ( a ≡ b (modn) . a và b chia
cho n có cùng số dư. Hay : a - b chia hết cho n. ). Với mỗi cặp (
a
,
b
) cho tương
ứng với lớp tương đương
ba +
.
a). CM R có một ánh xạ từ X
2
đến X
b). X là một vị nhóm giao hoán đối với phép toán xác định ở câu a)
c) Nếu với mỗi cặp (
a
,
b

thì: b-b
’
chia hết cho n
Suy ra: (a+b)-(a
’
+b
’
) cũng chia hết cho n hay
ba +
=
''
ba +
Vậy ta có ĐPCM.
b)Ta ký hiệu phép tóan trên là +: X
2
→ X
(
a
,
b
) →
ba +
=
α
Kiểm tra t/c kết hợp: ∀
a
,
b
,
c

c). Nếu với mỗi cặp (a/b , c/d) cho tương ứng với lớp tương đương ac/bd. CMR lúc
đó X cũng là một vị nhóm giao hoán.
Bài giải::
4
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
2. NHÓM
(Số tiết: 18 = 9 + 9)
MỤC ĐÍCH YÊU CẦU:
Sinh viên nắm vững khái niệm nhóm, biết nhận biết các nhóm . biết chứng
minh các tính chất về nhóm.
Sinh viên có kỹ năng vận dụng lý thuyết giải các bài tập về nhóm.
PHƯƠNG PHÁP:
Thuyết trình - Luyện tập Đàm thoại
CHUẨN BỊ: SGK- SBT môn ĐSĐC
NỘI DUNG:
2.1. Nhóm:
2.1.1. Định nghĩa 1: X là nửa nhóm.
∃ e ∈ X: ∀ x ∈ X : ex = x
∀ x ∈ X , ∃ x
'
∈ X : x
'
x = xx
'
= e
Khi ấy X là một nhóm.
 X là nhóm hưu hạn nếu nó có số phần tử là hữu hạn. Số phần tử của X
còn gọi là cấp của nhóm X
 Phép toán trong X là giao hoán thì X gọi là nhóm giao hoán ( aben )
Ví dụ: SGK tr 44

-1
x)z hay ey = ez hay y = z.
3. trong một nhóm X phương trinh ax = b và ya = b có nghiệm duy nhất
x= a
-1
b ( y = ba
-1
)
CM:
Ta có: ax = a(a
-1
b) = (aa
-1
) b = eb =b hay x = a
-1
b là nghiệm. Nghiệm này là
duy nhất vì Nếu có c là một nghiệm khác tức: ac = b thì: ax = ac = b thực hiện luật
giản ước ta được: x = c.
5
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
4. X là nhóm: ∀ x , y ∈ X ta có (xy)
-1
= y
-1
x
-1
CM:
(xy)( y
-1
x

1
.x
2
x
n
)
-1
= x
n
-1
x
-1
n-1
x
2
-1
x
1
-1
.
 Đặc biệt (a
n
)
-1
= (a
-1
)
n
∀ n ∈ N, n ≠ 0
 Quy ước viết : a

= exx
’
= x
’’
x
’
xx
’
= x
’’
ex
’
= x
’’
x
’
= e .
Mặt khác: xe = xx
’
x = ex = e
Vây : X là nhóm.
 Sinh viên tự phát biểu và cm cho trường hợp ứng với phần tử đơn vị phải.
6. Một nửa nhóm khác rỗng X là một nhóm khi và chỉ khi:
các phương trình ax =b và ya = b có nghiệm trong X
CM:
→ : đã cm trong t/c 3
Đủ: Do X ≠ φ nên ∃ a ∈ X vì phương trình ya = b có nghiệm nên phương trình
ya = a có nghiệm. Giả sử nghiệm đó là e, ta CM e là phần tử đơn vị trái của X.
Thật vậy: ∀ b ∈ X phương trình ax = b có nghiệm, gọi nghiệm này là c
Ta có: eb = e(ac) = (ea) c = ac = b. hay e là đơn vị trái.

x = e ta cũng có x
-1
x = e nên x
’
x = x
-1
x
hay: x
’
= x
-1
.
Ngược lại nếu A là một bộ phận của X Thoả các điều kiện 1, 2, 3 thì A là một
nhóm ( tính chất 5), do đó là một nhóm con của nhóm X.
 Định lý 1: X là một nhóm; A ⊂ X
1. ∀ x, y ∈ A, xy ∈ A
A là nhóm con của X Khi và chỉ khi 2. e ∈ A, với e là phần tử TLập của X
3. ∀ x ∈ A, x
-1
∈ A
 Hệ quả:
X là một nhóm. A ≠ φ , A ⊂ X các mệnh đề sau là tương đương
a) A là một nhóm con của X a)
b) ∀ x, y ∈ A, xy ∈ A, x
-1
∈ A
c) ∀ x, y ∈ A, xy
-1
∈ A c) b)
CM:

, trong đó A
i
∈ I là họ các nhóm con tuỳ ý của nhóm X
- A≠ φ vì e ∈ A
i
∀ i ∈ I nên e ∈ A
- ∀ x, y ∈ A, nên x , y ∈ A
i
∀ i ∈ I suy ra xy
-1
∈ A
i
∀ i ∈ I ( do A
i
là các
nhóm con ) từ đó xy
-1
∈ A (theo hệ quả đ/l 1). cho đpcm.
* Giả sử U là một bộ phân của một nhóm X thế thì U chứa trong ít nhất một
nhóm con của X ( chẳng hanj chính nhóm con X) theo đ/l 2 giao A của tất cả các
nhóm con của X chứa U cũng là một nhóm con của X chứa U. Đó là nhóm con bé
nhất của X chứa U.
định nghĩa 3:
U ⊂ X, X là một nhóm; A là nhóm con bé nhất của X chứa U .Khi ấy A gọi
là nhóm con sinh ra bởi U.
 Nếu A = X ta nói U là một hệ sinh của X; X được sinh ra bởi U
 Nếu U = {a}, a ∈ X.
Tập hợp A = { a
k
: k ∈ Z }là Nhóm con sinh ra bởi U

e = (1) ; f
1
= (1 2 3); f
2
= (1 3 2 )
f
3
= (1 2 ) ; f
4
= (1 3 ) f
5
= (2 3 )
Tìm các nhóm con là xyclic sinh ra bởi : e; f
1
; f
2
; f
3
; f
4;
f
5
.
Giải:
Giả sử A = { f
1
k
: k ∈ Z }
Ta có : f
1

f
1
r
= f
1
r
trong đó 0 ≤ r < 3. Từ đó suy ra
A = { f
1
k
: k ∈ Z } = {f
1
0
= e ; f
1
1
= f
1
; f
1
2
= f
2
}
( các trường hợp còn lại sinh viên tự CM)
 Ví dụ 2:
Nhóm cộng số nguyên Z là một nhóm xyclic sinh bởi phần tử 1 hoặc -1
(Sinh viên tự CM)
 Giả sử X là một nhóm với phần tử đơn vị e ; a ∈ X. Nếu không có một
số nguyên dương n nào sao cho a

2.2.3.Nhóm con chuẩn tắc- nhóm thương:
X là một nhóm; A là nhóm con của X. Ta định nghĩa quan hệ ~ trong X như
sau: ∀ x, y ∈ A, x~y ⇔ x
-1
y ∈ A.
Bổ đề 1: Quan hệ ~ trong X là một quan hệ tương đương.
CM:
-Phản xạ: ∀ x ∈ A , x
-1
x = e ∈ A → x~x
- đối xứng: ∀ x, y ∈ A, x ~ y tức x
-1
y ∈ A. ta có: (x
-1
y)
-1
∈ A hay y
-1
x ∈ A → y~x
-Bắc cầu: ∀ x~y, y~z , tức x
-1
y ∈ A, y
-1
z ∈ A → (x
-1
y)(y
-1
z) = x
-1
z ∈ A → x~z

∈ A
Hệ quả: X là một nhóm, ∀ x, y ∈ X khi ấy:
+ xA = yA ⇔ x
-1
y ∈ A
+ xA ∩ yA = φ ⇔ x
-1
y ∉ A
 Tập hợp thương của X trên quan hệ tương đương ~ gọi là tập thương của nhóm
X trên nhóm con A, Kí hiệu: X/A. các phần tử của X/A là các lớp trái xA
 Định lý 3: ( đ/l Lagrănggiơ)
Cấp của một nhóm X hữu hạn là bội của cấp mọi nhóm con của nó.
CM:
Giả sử X có cấp n, A là nhóm con của X và có cấp là m.
A = { x
1
, x
2
,….,x
m
} khi ấy ∀ x ∈ X, mọi lớp trái xA có đúng m phần tử dạng:
xx
1
, xx
2
,…., xx
m
. các phần tử này là phân biệt vì nếu xx
1
= xx

ii) X/A cùng với phép toán hai ngôi: (xA, yA) ↦ xyA là một nhóm, gọi là nhóm
thương của X/A.
CM:
i)
Giả sử có xA = x
1
A và yA = y
1
A ta phải CM: xyA = x
1
y
1
A.
Theo hệ quả bổ đề 2 ta có: x
-1
x ∈ A, y
-1
y ∈ A .
Nên (xy)
-1
(x
1
y
1
) = y
-1
(x
-1
x
1

-1
A là phần tử
nghịch đảo trái
Định lý 4: X là một nhóm, A là nhóm con của X. Khi ấy:
A là chuẩn tắc ⇔ xA = Ax , ∀ x ∈ X
CM: → : ∀ xa ∈ xA ( a ∈ A) do A là chuẩn tắc nên: y
-1
ay ∈ A , ∀ y ∈ X, lấy y =
x
-1
thì: xax
-1
∈ A, đặt xax
-1
= a
’
→ xa = a
’
x ∈ Ax Vậy xA ⊂ Ax
∀ ax ∈ Ax, ( a ∈ A) do A là chuẩn tắc nên: x
-1
ax ∈ A, đặt x
-1
ax = a
’
∈ A ,
ta có: ax = xa
’
∈ xA, vậy Ax ⊂ xA. Do đó: Ax = xA.
Ngược lại:

+
→ R ; R
+
: là nhóm nhân các số thực dương; ( đẳng cấu)
x  logx R :nhóm cộng các.số thực
4). A là nhóm con chuẩn tắc của nhóm X. ánh xạ: h : X → X/A ( toàn cấu)
x  h(x) = xA
5) X, Y là hai nhóm tuỳ ý:
f: X → Y
x  e , e là đơn vị của Y ( là đồng cấu tầm thường)
6) f: X → Y là một đẳng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Hỏi f
-1
: Y → X có là đẳng
cấu không ? (f
-1
là song ánh. Mặt khác: ∀ y, y
1
∈ Y , đặt x = f
-1
(y) ; x
1
= f
-1
(y
1
). Ta
có: f(x) = y; f(x
1
) = y
1

Kerf = { x ∈ X { f(x) = e
y
} = f
-1
( e
y
)
Gọi imf là ảnh của đồng cấu f; còn Kerf là hạt nhân của đồng cấu f
 Các tính chất của đồng cấu:
Định lý 5:
X,Y, Z là các nhóm . f: X → Y; g: Y → Z là các đồng cấu. Thế thì ánh xạ
tích gf: X → Z là một đồng cấu.
CM: ∀ a, b ∈ X ta có: gf(ab) = g(f(ab)) = g(f(a).f(b)) = g(f(a))g(f(b)) = gf(a)gf(b)
Định lý 6:
f: X → Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Thế thì:
i) f(e
x
) = e
y
ii) f(x
-1
) = [f(x)]
-1
, ∀ x ∈ X
CM:
11
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
i) ∀ x ∈ X ta có: f(x). f(e
x
) = f(x. e

x
∈ A, f(e
x
) = e
y
∈ f(A)
∀ y, y
1
∈ f(A) → ∃ x, x
1
∈ A sao cho: y = f(x), y
1
= f(x
1
);
xét yy
1
-1
= f(x).[f(x
1
)]
-1
= f(x).f(x
1
-1
) = f(xx
1
-1
) ∈ f(A) ( vì A là nhóm con nên
xx

1
) ∈ B → f(x).f(x
1
-1
) ∈ B vậy: f(xx
1
-1
) ∈ B → xx
1
-1
∈ f
-1
(B)
do đó f
-1
(B) là một nhóm con của X
Hơn thế f
-1
(B) còn là chuẩn tắc, vì: ∀ a ∈ f
-1
(B) ( có: f(a) ∈ B ), ∀ x ∈ X.
xét: f(x
-1
ax) = f(x
-1
)f(a)f(x) = f(x)
-1
f(a)f(x) ∈ B ( do B là chuẩn tắc trong Y) → x
-1
ax

= e
y
Nên: f(x)f(y)
-1
= f(x).f(y
-1
) = f(xy
-1
) = e
y

suy ra: xy
-1
∈ Kerf = { e
x
}, hay: xy
-1
= e
x

→

y
-1
=x
-1
hay y = x tức f là đơn ánh.
Định lý 9:
f: X → Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, p: X → X/Kerf là toàn
cấu chính tắc từ nhóm X đến nhóm thương của X trên hạt nhân của f. Thế thì:

= f(x
-1
)f(x) → f(y) = f(x).
Ta đặt
f
: X/A → Y
xA ↦
f
(xA) = f(x) .
f
là một đồng cấu. Thật vậy:
∀ xA, yA ∈ X/A,
f
(xAyA) =
f
(xyA) = f(xy) = f(x)f(y) =
f
(xA)
f
(yA)
(Do f là đồng cấu nên f(xy) = f(x)f(y))
Từ
f
(xA) = f(x) ∀ x ∈ X ta cố: f(x) =
f
(xA) =
f
(p(x)) =
f
p(x), ∀ x ∈

Vậy Ker
f
= {e
x
A}.→
f
là một đơn cấu ( đ/l 8)
Vì p là toàn cấu và f =
f
p nên → p(X) = X/Y → (im
f
=
f
(X/Y) =
f
(p(X)
=
f
p(X) = f(X).
Hệ quả:
∀ đồng cấu f: X → Y từ một nhóm X đến một nhóm Y, ta có f(X) ~ X/Kerf

Bài tập về nhà : 41,42,43,44,47 tr 75:76
13
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
CHỮA BÀI TẬP
Bài 5 tr70: X là nhóm, với e là đơn vị.CMR: ∀ a ∈ X, a
2
= e thì X là aben.
Bài giải:

X là nửa nhóm khác rỗng, hữu hạn. CMR: X là một nhóm ⇔ luật giản ước
thực hiện được ∀ x ∈ X
Bài giải:
Giả sử X = { x
1
, x
2
, , x
n
} gồm n phần tử. ∀ x
i
∈ X tập hợp
x
i
X= { x
i
x
1
, x
i
x
2
, ,x
i
x
n
} ⊂ X, x
i
X gồm n phần tử phân biệt vì nếu x
i

1
(h
1
∈Z) → k-h = m(k
1
- h
1
) ∈ A. hay A là nhóm con
Cần: Nếu A = {0} thì A = 0Z, m = 0
Nếu A ≠ {0} → ∃ 0≠ a ∈ A gọi m là số nguyên ≠ 0 ∈ A sao cho : /m/ < /a/ ∀
a ∈ A, a ≠ 0 ( m là số có trị tuyệt đối nhỏ nhất trong A)
* → mZ ⊂ A ( vì m ∈ A, nên A chứa mọi bội của m)
* A ⊂ mZ: thật vậy: ∀ a ∈ A ta có: a = mq + r (1) với 0 ≤ / r / </ m/
Từ (1) → r = a – mq ∈ A ( do a ∈ A, mq ∈ A) → r = 0 (vì /m/ là nhỏ nhất trong
A)
Hay a = mq ∈ mZ. Tóm lai A = mZ
14
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
Bài tập về nhà: 13-14-15-18-19-20-21-22-25-28-35. Tr .(71:73)
15
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
Bài 13 tr 71:
X là một nhóm, A ⊂ X, B ⊂ X. ta định nghĩa:
AB = { ab : a ∈ A, b ∈ B }
A
-1
= { a
-1
: a ∈ A }
CMR: a). (AB)C = A(BC)

)
-1
∀ b ∈ (A
-1
)
-1
→ b = (b
-1
)
-1
→ b
-1
∈ A
-1
→ b ∈ A → (A
-1
)
-1
⊂ A
c) ∀ (ab)
–1
∈ (AB)
-1
→ ab ∈ AB → a ∈ A, b ∈ B → a
-1
∈ A
-1
, b
-1
∈ B

∈ A → a = (a
-1
)
-1
∈ A
-1
nên A ⊂ A
-1
∀ a
-1
∈ A
-1
→ a ∈ A do A là nhóm nên: a
-1
∈ A hay: A
-1
⊂ A
Bài 14:
X là một nhóm, A ≠ φ , A ⊂ X. CMR: A là nhóm con của X ⇔ AA
-1
= A
Bài giải:
→ : ∀ a ∈ A → a = ae
-1
∈ AA
-1
→ A ⊂ AA
-1
Mặt khác theo bài 13) ý d) → A
-1

= A.
Cách ≠ : ∀ a, b ∈ A ta có ab
-1
∈ AA
-1
= A, nên A là nhóm con của X
Bài 15:
X là một nhóm, A là nhóm con của nhóm X, a ∈ X. CMR: aA là nhóm con
của nhóm X ⇔ a ∈ A.
Bài giải:
→ : Gọi e là phần tử đơn vị của nhóm X → aa
’
= e ∈ aA → a
’
= a
-1
∈ A nên a
∈ A.
← : aA = A (vì:phương trình ax = b luôn có nghiệm trong A, ∀ a,b nên ∀ b ∈ A
→ b = ax ∈ aA → A ⊂ aA; do a ∈ A nên hiển nhiên aA ⊂ A), mà A là nhóm con
của X, nên aA là nhóm con của X
Bài 18:
X là một nhóm xyclic, ∀ nhóm con A của X → A là xyclic.
Bài giải:
16
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
Giả sử X = < x> , A
⊂
•°
X , ∀ a ∈ A → a = x

= x
mq
. x
r
→ x
r
= (x
m
)
-q
x
k
∈ A vậy r = 0 hay: x
k
= (x
m
)
q
∈ <x
m
>.
hay: A ⊂ <x
m
>
Bài 19:
X là một nhóm với phần tử đơn vị e, a ∈ X, a có cấp n. CMR a
k
= e ⇔ n \ k
Bài giải:
→ : ta có n là số nguyên dương bé nhất để a

n
= e → (ab) (ab)(ab)… (ab) = a(ba)
n-1
b
= e hay: (ba)
n-1
= a
-1
b
-1
= (ba)
-1
→ (ba)
n
= e → ba có cấp hữu hạn giả sử là m →
m \ n)
Giả sử ba có cấp là m → (ba)
m
= e → b(ab)
m-1
a = e → (ab)
m-1
= b
-1
a
-1
= (ab)
-1

nên: (ab)

l
= (a
k
)
l
=a
kl
= e → kl  n → kl/d  n/d ( do d = ƯCLN( k, n) )
nên: (k/d, l/d) = 1 → l  l/d (2)
Từ (1 và (2) → đpcm.
b) Ta có (k,n) = 1 ⇔ d = 1 → b
n/d
= e hay b
n
= e → b là phần tử sinh của X . Vậy số
phần tử sinh của X là số các số tự nhiên nhỏ hơn n và nguyên tố cùng nhau với n
( từ b = a
k
và (k,n) =1)
17
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
Bài 22:
X là một nhóm, ∀ a, b ∈ X: a có cấp r, b có cấp s và ab = ba , (r, s) = 1
CMR: ab có cấp rs.
Bài giải:
Ta có a
r
= e, b
s
= e, với e là trung lập của X. Từ ab = ba nên ∀ n → (ab)

=b
-ts
= e → ts  r do ( r, s ) = 1
nên: t  s và t  r → t  rs.
Mặt ≠ từ (ab)
rs
=e → rs  t hay t = rs
Bài 25:
X là một nhóm, A là nhóm con của X. Giả sử tập X/A có hai phần tử. CMR:
A là chuẩn tắc.
Bài giải:
Giả sử: X/A = { eA, xA }= { A, xA} Khi đó ∀ x ∈ X, ∀ a ∈ A:
Nếu x ∈ A → x
-1
ax ∈ A → A là chuẩn tắc.
Nếu x ∉ A → x ∈ xA , x = ex → x ∈ Ax hay xA ⊂ Ax. Mặt ≠ ∀ x ∈ Ax có: x = ex
= xe, → x ∈ xA, hay Ax ⊂ xA. Tức là xA = Ax. Khi ấy ∀ a ∈ A, ∃ a
’
∈ A: xa = a
’
x
→ a

= x
-1
a
’
x ∈ A. Hay A là chuẩn tắc.
Bài 28:
X là một nhóm, gọi tâm của X là bộ phận C(X) = {a ∈ X: ax = xa ,∀ x ∈ X}

).Vậy C(X) là
nhóm con của X. ∀ a,b ∈ C(X) có ab = ba nên C(X) là giao hoán.
∀ A là nhóm con của C(X) → A là nhóm con của X ,
mặt ≠ : ∀ x ∈ X, ∀ a ∈ A → ax = xa → x
-1
ax =a ∈ A hay A là nhóm con chẩn tắc
của X
18
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
Bài 42:
cho X là một nhóm. CMR ánh xạ: ϕ :X → X
a→ a
-1
Là một tự đẳng cấu nhóm ⇔
X là aben.
Bài giải:
→ : ∀ a,b ∈ X ta có: ϕ (ab) = (ab)
-1
= ϕ(a)ϕ (b) = a
-1
b
-1
. hay: (ab)
-1
= (ba)
-1
→
ϕ (ab) = ϕ (ba), vì ϕ là đơn ánh nên có ab = ba vậy X là giao hoán.
← : ϕ là đồng cấu thật vậy: ∀ a, b ∈ X ,ϕ (ab) = (ab)
-1

: X → X là trung lập, ∀ f ∈ H , f
-1
là nghịch đảo của
f.
Bài 54:
X = Z
3
xác định phép toán hai ngôi:
(k
1
, k
2
, k
3
)( l
1
, l
2
, l
3
) = (k
1
+ (-1)
k
3
.l
1
, k
2
+ l

a
2
=(2, 0, 0 )
a
3
=(3, 0, 0 )
a
n
= ( n, 0, 0 ) ( sinh viên tự CM bằng quy nạp)
∀ x = (k
1
, k
2
, k
3
) ∈ X, ∀ a
k
∈ A
ta có x
-1
a
k
x = ((-1)
-k
3
+ 1
.k
1
, -k
2

a
là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm các tự đẳng cấu trong
của X và hạt nhân của đẳng cấu đó là tâm C(X) của X
e) CMR X/C(X) đẳng cấu với nhóm các tự đẳng cấu trong của X
Bài giải:
a) f
a
là

đồng cấu vì: ∀ x, y ∈ X: f
a
(xy) = a
-1
xy a = a
-1
xa a
-1
ya =
f
a
(x)f
a
(y)
∀ x ∈ Kerf
a
→ f
a
(x) = a
-1
xa = e → x = e → Kerf

xe = x ( ánh xạ đồng nhất e
x
là phần tử trung lập của nhóm G )
∀ f
a
, f
b
∈ T , ∀ x ∈ X, f
a
f
b
(x) = f
a
(f
b
(x)) =f
a
(b
-1
xb) = a
-1
(b
-1
xb)a =(ba)
-1
x(ba) = f
ab
(x)
Vậy f
a

f
a
(x)
Vậy f
a-1
là
phần tử nghịch đảo của f
a
Ta suy ra T là nhóm con của nhóm G
c) H là chuẩn tắc của X thì : ∀ f
a
∈ T ta có f
a
(H) = a
-1
Ha = H
Ngược lại: f
a
(H) = a
-1
Ha = H, ∀ a ∈ X → H là chuẩn tắc theo đ/n
d) xét ánh xạ k: X → T
a → f
a
k là đồng cấu vì: ∀ a,b ∈ X k(ab) = f
ab
= f
a
f
b

dụ?
Định nghĩa 5: Tr 81
Câu hỏi 3:
Làm thế nào để nhận biết một bộ phận A của một vành X có là một vành con
của nó hay không?
Câu hỏi 4:
Ta đã biết giao tất cả các nhóm con của một nhóm X, cũng là một nhóm con
của nhóm X,.Hơn thế nếu A là một bộ phận của X thì A chứa trong ít nhất một
nhóm con của X, khi ấy giao của mọi nhóm con của X chứa A là nhóm con bé nhất
của X chứa A. Điều này còn đúng không đối với một vành? Hãy CM.
1.4. Iđêan và vành thương:
Câu hỏi 5:
Thế nào là một iđêan của một vành X? cho ví dụ?
21
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
Câu hỏi 6:
Nêu và chứng minh dấu hiệu nhận biết một iđêan của một vành X ? Chứng
minh rằng Giao của một họ tuỳ ý các iđêan của vành X là một iđêan của X.
Iđêan chính là gì ?
Câu hỏi 7:
Cho X là một vành, A = { x
1
a
1
+ x
2
a
2
+ + x
n

lấy đó soi sáng nội dung kiến thức về đa thức ở phổ thông.
1. Vành đa thức một ẩn
1.1.Vành đa thức một ẩn:
Cho đa thức thông thường:
f(x) = a
0
+ a
1
x +…+ a
n
x
n
a
i
,

b
j
∈ R , giả sử m ≤ n
g(x) = b
0
+ b
1
x +…+ b
m
x
m
Hãy xác định : f(x) + g(x) = ?; f(x).g(x) = ?
Định nghĩa:
Câu hỏi1:

n
+b
n
, )
(2): (a
0
, a
1
,…, a
n
, ).(b
0
,b
1
,…,b
n
,…) = (c
0
,c
1
,…,c
n
,…)
Trong đó: c
k
= a
0
b
k
+ a

Câu hỏi3:
CMR: ánh xạ: A → P
a (a,0,…,0, ) Là một đơn cấu vành. Ta có thể đồng nhất phần
tử a trong A với phần tử ( a,0,…,0, ) trong P. CMR A là vành con của vành P
Câu hỏi 4:
∀ ( a
0
,a
1
,…, a
n
,…) ∈ P CMR: ( a
0
,a
1
,…, a
n
,…) = a
0
+ a
1
x +…+ a
n
x
n
Định nghĩa 1: Tr 100
1.2. Bậc của một đa thức:
Câu hỏi 5:
Bậc của đa thức là gì? Đa thức không là gì? bậc của nó có hay không?
Giả sử f(x) và g9x) là hai đa thức khác 0. Hãy cho biết bậc của các đa thức

Nêu khái niêm nghiệm bội của một đa thức. Cho ví dụ ?
Câu hỏi 12:
Thế nào là phần tử đại số ? Phần tử siêu việt? Cho ví dụ.
Bài tập: ( 1: 7) tr 107-108
24
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
2. Vành đa thức nhiều ẩn
2.1.Vành đa thức nhiều ẩn:
Với A là một vành giao hoán, có đơn vị . ta đã xây dựng vành đa thức P của
ẩn x Ký hiệu là vành đa thức A[x]. Ta đã biết A[x] cũng là một vành giao hoán, có
đơn vị, như vậy hoàn toàn có thể xây dựng một vành đa thức mới lấy hệ tử trong
vành đa thức một ẩn A[x].
Để cho tiện ta ký hiệu: A
1
= A[x
1
] ; A
2
= A
1
[x
2
] ; …, A
n
= A
n-1
[x
n
].
Định nghĩa 1: Tr 109.

m
i
, i := 0,1,2,…,n là các đa thức
trong vành đa thức A
1
= A[x
1
].
Khi ấy f(x
1
,x
2
) = a
0
(x
1
) + a
1
(x
1
)x
2
+ a
2
(x
1
)x
2
2
+…+ a

i2
) là các
số tự nhiên và ( a
i1,
a
i2
) ≠ ( a
j1,
a
j2
) khi i ≠ j các c
i
gọi là các hệ tử , các
2
2
1
1
aiai
i
xxc
gọi
là các hạng tử của đa thức f( x
1
, x
2
).
Đa thức f(x
1
,x
2

tương ứng là các số hạng "đồng dạng".
Viết công thức tính tổng, tích của hai đa thưca trong vành đa thức A[x
1
,x
2
,….,x
n
]
3.2. Bậc của đa thức:
Định nghĩa 2: TR 111
- Bậc của đa thức đối với một ẩn nào đó
- Bậc của hạng tử trong một đa thức
- Bậc của đa thức đối với toàn thể các ẩn
- Đa thức đẳng cấp bậc k . Đặc biệt khi k = 1, 2,3 .
Câu hỏi 4:
Có những cách nào sắp xếp các hạng tử của một đa thức ? ( các ví dụ Tr 112)
Sinh viên lấy ví dụ minh hoạ cho các định lý- Hệ quả- Bổ đề sau
Định lý 1: Tr 113-
Hệ quả: Tr 114
Bổ đề 1 Tr 114
Hệ quả của bổ đề 1
Định lý 2 : Tr 115
Hề quả : Tr 116.
25