Chng 1 : iu khin ti u
Hc kì 1 nm hc 2005-2006 Chng 1

IU KHIN TI U Vài nét lch s phát trin lý thuyt điu khin .
- Phng pháp bin phân c đin Euler_Lagrange 1766 .
- Tiêu chun n đnh Lyapunov 1892 .
- Trí tu nhân to 1950 .
- H thng điu khin máy bay siêu nh 1955 .
- Nguyên lý cc tiu Pontryagin 1956 .
- Phng pháp quy hoch đng Belman 1957 .
- iu khin ti u tuyn tính dng toàn
phng LQR ( LQR : Linear Quadratic
Regulator ) .
- iu khin kép Feldbaum 1960 .
- Thut toán di truyn 1960 .
- Nhn dng h thng 1965 .
- Logic m 1965 .
- Lut điu khin h thng thích nghi mô hình tham chiu MRAS và b t
chnh đnh STR 1970 ( MRAS : Model-Reference Adaptive System , STR :
Self-Tuning Regulator ) .
- H t hc Tsypkin 1971 .
- Sn phm công nghip 1982 .
- Lý thuyt bn vng 1985 .
- Công ngh tính toán mm và điu khin tích hp 1985 .


ca đi lng đc điu khin x so vi tr s mong mun x
0
, lng quá điu
khin ( tr s cc đi x
max
so vi tr s xác lp
(
)
x
∞
tính theo phn trm ) ,
thi gian quá đ … hay theo mt ch tiêu hn hp trong điu kin làm vic
nht đnh nh hn ch v công sut , tc đ , gia tc … Do đó vic chn mt
lut điu khin và c cu điu khin đ đt đc ch đ làm vic ti u còn
tùy thuc vào lng thông tin ban đu mà ta có đc .
 đây chúng ta có th thy đc s khác bit ca cht lng ti u khi
lng thông tin ban đu thay đi ( Hình 1.2 ) .
Chng 1 : iu khin ti u
Trang 3 Hình 1.2 :
Ti u cc b và ti u toàn cc .

Khi tín hiu điu khin u gii hn trong min [u
1
,u
2
] , ta có đc giá tr ti
u cc đi

]
,
mn
uu
nào đó và tìm
đc giá tr ti u
i
J
∗
thì đó là giá tr ti u cc b . Nhng khi bài toán
không có điu kin ràng buc đi vi u thì giá tr ti u là
()
i
JextremumJ
∗∗
= vi
i
J
∗
là các giá tr ti u cc b , giá tr J
∗
chính là
giá tr ti u toàn cc .
iu kin tn ti cc tr :
•
o hàm bc mt ca J theo u phi bng 0 :
0=
∂
∂
u

là nhanh chóng chuyn t trng thái này sang trng thái khác vi thi gian
quá đ nh nht , ngha là cc tiu hóa thi gian quá đ . Hay khi tính toán
đng c tên la thì ch tiêu cht lng là vt đc khong cách ln nht
vi lng nhiên liu đã cho .
Ch tiêu cht lng J ph thuc vào tín hiu ra x(t) , tín hiu điu khin u(t)
và thi gian t . Bài toán
điu khin ti u là xác đnh tín hiu điu khin u(t)
làm cho ch tiêu cht lng J đt cc tr vi nhng điu kin hn ch nht
đnh ca u và x .
Ch tiêu cht lng J thng có dng sau :
0
[(),(),]
T
JLxtuttdt=
∫

Trong đó L là mt phim hàm đi vi tín hiu x , tín hiu điu khin u và
thi gian t .
Ly ví d v bài toán điu khin đng c đin mt chiu kích t đc lp
kt
constΦ= vi tín hiu điu khin u là dòng đin phn ng i
u
và tín hiu ra
x là góc quay
ϕ
ca trc đng c .
Hình 1.3 :

=
) thì :

2
2
Mu q
d
ki M
dt
ϕ
= (3)
Nu xét theo thi gian tng đi bng cách đt :

/
M
q
tk M
τ
=

thì (3) có dng :

2
2
u
d
i
d
ϕ
τ

=
=
∫

Rõ ràng t phng trình trên ta phi có [(),(),] 1Lxtutt
=
.
Nh vy , đi vi bài toán ti u tác đng nhanh thì ch tiêu cht lng J có
dng :

∫
==
T
TdtJ
0
1

PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 6

• Bài toán nng sut ti u :
Nng sut  đây đc xác đnh bi góc quay ln nht ca đng c trong thi
gian T nht đnh . Khi đó ch tiêu cht lng J có dng :

0
00
[ (), (),] ()
TT
T
JLxtuttdt tdt
ϕϕ ϕ

uuu e
UiRk
ω
=
+
và phng trình cân bng moment :

Mu c q
d
ki M M
dt
ω
−=

Ta tính đc :

2
0
00
()
TT
ec
uu T uu
M
kM
QUidt Ridt
k
ϕϕ
== −+
∫∫

đn .

1.1.2 Xây dng bài toán ti u
1. Ti u hóa không có điu kin ràng buc
Mt hàm ch tiêu cht lng vô hng
()
0
=
uL đc cho trc là mt hàm
ca mt vector điu khin hay mt vector quyt đnh
m
Ru ∈

. Chúng ta cn
chn giá tr ca
u sao cho L(u) đt giá tr nh nht .
 gii bài toán ti u , ta vit chui Taylor m rng cho đ bin thiên ca
L(u) nh sau :

)3(
2
1
OduLduduLdL
uu
TT
u
++= (1.1)
Vi O(3) có th coi là s hng th 3 . Grad ca L theo u là mt vector m ct :

⎥

1

(1.2)
và đo hàm cp 2 ca L theo u là mt ma trn m x m ( còn gi là ma trn
Hessian ) :

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂∂
∂
=
∂
∂
Δ
ji
uu
uu
L
u
L
L
2
2
2

uu
L (1.6)
Nu L
uu
là xác đnh âm thì đim cc tr chính là đim cc đi ; còn nu L
uu

là không xác đnh thì đim cc tr chính là đim yên nga . Nu L
uu
là bán
xác đnh thì chúng ta s xét đn thành phn bc cao hn trong (1.1) đ xác
đnh đc loi ca đim cc tr .
Nhc li : L
uu
là xác đnh dng ( hoc âm ) nu nh các giá tr riêng ca nó
là dng ( hoc âm ) , không xác đnh nu các giá tr riêng ca nó va có
dng va có âm nhng khác 0 , và s là bán xác đnh nu tn ti giá tr
riêng bng 0 . Vì th nu
0=
uu
L , thì thành phn th hai s không hoàn
toàn ch ra đc loi ca đim cc tr .
2. Ti u hóa vi các điu kin ràng buc
Cho hàm ch tiêu cht lng vô hng
(
)
uxL , , vi vector điu khin
m
Ru ∈
và vector trng thái

u
(1.8)
và:
0
=
+
=
dxfdufdf
xu
(1.9)
Chng 1 : iu khin ti u
Trang 9
T (1.7) ta xác đnh đc x t giá tr u đã có, đ bin thiên dx đc xác đnh
bi (1.9) t giá tr bin thiên du đã có . Nh vy , ma trn Jacobi f
x
không
k d và :
duffdx
ux
1−
−= (1.10)
Thay dx vào (1.8) ta đc :

duffLLdL
ux
T
x
T
u
)(

()
T
x
T
x
ff
1−−
=
. Lu ý rng :

u
dx
L
u
L
=
∂
∂
=0
(1.13)
 thành phn th nht ca dL bng không vi giá tr du tùy ý khi 0=df ,
ta cn có :

0=−
−
x
T
x
T
uu

df
dL
ux
T
u
T
x
(1.15)
H phng trình tuyn tính này xác đnh mt đim dng , và phi có mt
kt qu
[]
T
TT
dudx . iu này ch xy ra nu ma trn h s
(
)( )
mnn +
×
+
1

có hng nh hn n+1 . Có ngha là các hàng ca ma trn tuyn tính vi nhau
đ tn ti mt vector
λ
có n s hng nh sau:

[
]
0.1 =
⎥

(1.18)
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 10

Gii (1.17) ta đc
λ
:

1−
−=
x
T
x
T
fL
λ
(1.19)
và thay vào (1.18) đ có đc (1.14) .
Vector
n
R∈
λ
đc gi là tha s Lagrange , và nó s là công c hu ích
cho chúng ta sau này .  hiu thêm ý ngha ca tha s Lagrange ta xét du
= 0 , t (1.8) và (1.9) ta kh dx đ đc :

dffLdL
x
T
x
1−


(
)
(
)
(
)
uxfuxLuxH
T
,,,,
λλ
+= (1.22)
Vi
n
R∈
λ
là tha s Lagrange cha xác đnh . Mun chn x , u ,
λ
đ có
đc đim dng , ta tin hành các bc sau .
 bin thiên ca H theo các đ bin thiên ca x , u ,
λ
đc vit nh sau :

λ
λ
dHduHdxHdH
TT
u
T

=
=0
(1.26)
Nhc li : nu f = 0 , ta s tìm đc dx theo du t (1.10) . Ta không nên xét
mi quan h gia du và dx đ thun tin trong vic chn
λ
sao cho :
0
=
x
H (1.27)
Sau đó , t (1.23) , đ bin thiên dH không cha thành phn dx. iu này
mang li kt qu
λ
:

0=+=
∂
∂
λ
T
xx
fL
x
H
(1.28)
hay
1−
−=
x

λ
T
xx
fL
x
H
(1.31b)

0=+=
∂
∂
λ
T
uu
fL
u
H
(1.31c)
Vi
()
λ
,,uxH xác đnh bi (1.22) . Cách thng dùng là t 3 phng trình
đã cho xác đnh x ,
λ
, và u theo th t tng ng . So sánh 2 phng trình
(1.31b) và (1.31c) ta thy chúng tng ng vi 2 phng trình (1.17) và
(1.18) .
Trong nhiu ng ng , chúng ta không quan tâm đn giá tr ca
λ
, tuy nhiên

du
dx
LL
LL
dudx
du
dx
LLdL
uuux
xuxx
TTT
u
T
x
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦

⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
(1.33)
Vi:

xu
f
f
xu
∂∂
∂
=
Δ
2

 đa ra hàm Hamilton , ta s dng các phng trình sau :

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
λ

(1.34)
Bây gi , đ có đc đim dng ta cn có 0
=
f , và đng thi thành phn
th nht ca dL bng 0 vi mi s bin thiên ca dx và du . Vì 0=f
nên 0=df , và điu này đòi hi 0
=
x

2
1
1
Odu
I
ff
HH
HH
IffdudL
ux
uuux
xuxx
T
x
T
u
T
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣

ffHffffHHffH
I
ff
HH
HH
IffLL
11
1
−−−−
−
−
Δ
+−−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−==
(1.37)
Lu ý rng nu điu kin ràng buc
(

⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
(1)

uSQuu
TT
+=
Δ
2
1
(2)
im cc tr đc xác đnh bi :
0
=
+
=
SQuL
u
(3)
SQu
1−∗
−= (4)
vi
u* dùng đ ch bin điu khin ti u.
Loi ca đim cc tr đc xác đnh bng cách xét ma trn hessian
QL

.
Bng cách thay (4) vào (2) ta s tìm đc giá tr ca hàm ch tiêu cht lng
nh sau :

SQSSQQQSuLL
TT 111**
2
1
)(
−−−
Δ
−==

SQS
T 1
2
1
−
−=
(6)
Gi s cho L nh sau :

[]
uuuL
T
10
21
11
2
1

−
−=
1
1
1
0
11
12
*
u (8)
là mt cc tiu , vì L
uu
> 0 . T (6) ta thy rng giá tr nh nht ca L là L* =
-1/2 .
Các đng đng mc ca L(u) trong (7) đc v trong Hình 1.4 , vi u = [u
1

u
2
]
T
. Các mi tên là gradient .

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++

2
1
),( uuuuuuuL +++= (1)
Vi
21
,uu là các đi lng vô hng . im cc tr xut hin khi đo hàm
riêng ca L theo tt c các đi s phi bng 0 :

0
21
1
=+=
∂
∂
uu
u
L
(2a)

012
21
2
=++=
∂
∂
uu
u
L
(2b)
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 16

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
u
x
u
x
uxuxL 10
21
11
2
1
),( (1)
Vi điu kin ràng buc :

(
)
03,
=
−

(5)
012
=
+
+
=
uxH
u
(6)
Gii (4) , (5) , (6) ta đc : x = 3 , u = -2 ,
λ
= -1 . im dng là :

(
)
(
)
2,3, −=
∗
ux (7)
 xác đnh (7) là đim cc tiu , tìm ma trn un theo (1.37) :
2=
f
uu
L (8)
0>=
f
uu
L , vì th
(

f
f
(9)
đc v trong Hình 1.4 . Và grad ca L(x,u) :

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
12ux
ux
L
L
u
x
(10)
Ti đim cc tiu (3,-2) , grad L(x,u) s có giá tr :

⎥

= -
λ
df = df .
Ví d 1.4 : Hàm ch tiêu cht lng dng toàn phng vi điu kin ràng
buc tuyn tính - Trng hp vô hng .
Xét hàm ch tiêu cht lng dng toàn phng :

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
2
2
2
2
2
1
),(
b
y
a
x
uxL
(1)
Vi điu kin ràng buc tuyn tính :

⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
λ
(3)
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 18

Và điu kin đ có đim dng :
0
=
−
+
=
cmuxH
λ
(4)

0
2
=+=
λ
a
x
H
x
(5)


⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
0
1
1
1
2
22
cx
a
mb
λ

2
2
1
a
m
b
L
f
uu
+= (12)
0>
f
uu
L vì vy ta tìm đc mt đim cc tiu .
Thay (9) và (11) vào (1) ta đc giá tr ti u ca hàm ch tiêu cht lng :

222
2
*
2
1
mba
c
L
+
= (13)
 kim chng (1.21) , lu ý rng:

λ
−=

⎡
1
m
f
f
x
u
(15)
PGS.TS Nguyn Th Phng Hà 20

đc biu din trong Hình 1.6 . GradL là :

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
(17)
iu này tng ng vi (15) , vì vy đim dng xut hin khi f(x,u) = 0 là
đng tip tuyn vi mt đng đng mc ca L(x,u) .
Ví d 1.5 : Hàm ch tiêu cht lng dng toàn phng vi điu kin ràng
buc tuyn tính .
Bây gi ta tng quát hóa ví d 1.4 vi vector
n
Rx ∈ ,
m
Ru ∈ ,
n
Rf ∈ ,
n
R∈
λ
.
Xét hàm ch tiêu cht lng dng toàn phng:

RuuQxxL
TT
2
1
2
1

λ
(4)
0=
+
=
λ
QxH
x
(5)
0=+=
λ
T
u
BRuH (6)
Chng 1 : iu khin ti u -
Trang 21
 gii các phng trình trên , đu tiên ta dùng điu kin (6) đ tìm u theo
λ
:

λ
T
BRu
1−
−= (7)
T (5) ta có :
Qx
−
=
λ

T
QB) và vì
th giá tr u ti u là :
QcBQBBRu
TT 1
)(
−
+−= (12)
So sánh kt qu này vi (11) trong ví d 1.4 .
Thay (12) vào (4) và (9) cho ta giá tr trng thái ti u và tha s Lagrange
ti u :

()
(
)
1
TT
x
IBRBQB BQc
−
=− − + (13)

()
(
)
1
TT
QQBRBQB BQc
λ
−

]
cQBQBBRQBQcL
TTT
1
2
1
*
−
+−= (17)

λ
T
cL
2
1
* = (18)
Vì th :

λ
=
∂
∂
c
L *
(19)
Ví d 1.6 : Bài toán vi nhiu điu kin ràng buc .
Tìm khong cách nh nht gia parabol :
dbxaxy ++=
2
(1)

Chúng ta chn hàm ch tiêu cht lng là mt na ca bình phng khong
cách gia 2 đim này .

2
21
2
212121
)(
2
1
)(
2
1
),,,( yyxxyyxxL −+−= (5)
 gii bài toán này , ta x lý bng cách đt :

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=

Trang 23

Hình 1.7 :
Bài toán vi nhiu điu kin ràng buc .

a ra mt tha s Lagrange cho mi điu kin ràng buc , hàm Hamilton
là :

)()()(
2
1
)(
2
1
2221
2
111
2
21
2
21
cxydbxaxyyyxxH −−+−−−+−+−=
λλ

(7)
Khi đó , đ có đim dng ta cn có :
02
11121
1
=

yyH
y
(10)
0
221
2
=
+
+
−
=
λ
yyH
y
(11)
0
1
2
11
1
=−−−= dbxaxyH
λ
(12)
0
22
2
=
−
−
=

21
2
112
(16)
Khi đó :

(
)
cdxbaxx −+++=
1
2
12
)1(
2
1
(17)
Theo (10) và (11) ,
λ
1
= -
λ
2
, vy t (15) và (17) ta có :

211
xx
−
=
λ


)
0)1()1(2
1
2
11
=−+−+−+ cdxbaxbax (20)
Phng trình bc 3 (20) đc gii đ có giá tr ti u
*
1
x t giá tr a, b, c, d
cho trc . Nu đng thng ct ngang qua parabol thì giao đim s là kt
qu ti u ( khi đó
λ
1
=
λ
2
=0 ) ; ngc li , s có ch mt cp gn nhau nht
(x
1
,x
2
) , (y
1
,y
2
) . Mt khi tìm đc x
1
thì ta s tìm đc x
2

Cho u(t) là hàm thuc lp hàm có đo hàm bc nht liên tc . Trong mt
phng (u,t) cho hai đim (t
0
,u
0
) và (t
1
,u
1
) . Cn tìm qu đo ni hai đim này
sao cho tích phân theo qu đo )(tuu

=
cho bi :

∫
=
1
0
),,()(
t
t
dttuuLuJ

(1.38)
có cc tr .
L là hàm có đo hàm riêng bc mt và bc hai liên tc vi mi bin ca nó .
 thng nht ,  đây ta ly t
0
= 0 và t

−++=
0
)],,(),,([

δδ
(1.39)
Phân tích (1.39) theo chui Taylor và ch kho sát thành phn bc mt ca J
ta đc :

dtu
u
tuuL
u
u
tuuL
uuJ
T
])
),,(
()
),,(
([),(
0



δδδ
∂
∂
+