Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt .

20
Dạng 4 : Hàm số đơn điệu trên tập con của
»
.

Phương pháp:
* Hàm số
( , )
y f x m
=
tăng
x I
∀ ∈
' 0 min ' 0
x I
y x I y
∈
⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔ ≥
.
* Hàm số
( , )
y f x m
=
giảm
' 0 max ' 0
x I
x I y x I y
∈
∀ ∈ ⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔ ≤

Giải :
1.
4
mx
y
x m
+
=
+
luôn nghịch biến khoảng
(
)
;1
−∞ .
*

Hàm số đã cho xác định trên khoảng
(
)
;1
−∞ .
*

Ta có
( )
2
2
4
' ,
m

2 1
1 1
;1
m
m m
m
m m
m

 
− <
− < < − < <
  
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − < ≤ −
  
− ≥ ≤ −
− ∉ −∞
 

 


Vậy : với
2 1
m
− < ≤ −
thì thoả yêu cầu bài toán .
2.
(
)

khi và chỉ khi
(
)
' 0, 1;1
y x≤ ∀ ∈ −
hay.
Xét hàm số
(
)
(
)
(
)
2
3 6 1 , 1;1
g x x x x= − + + ∀ ∈ −

(
)
(
)
(
)
' 6 6 0, 1;1
g x x x g x
⇒
= − − < ∀ ∈ −
⇒ nghịch biến trên khoảng
(
)


(
)
'
g x−
(
)
g x2
−

10
−
Vậy
10
m

lim 10
x
m g x
−
→
≤ = −
.
Vậy
10
m
≤ −
thoả yêu cầu bài toán .

Bài tập tự luyện:
Tìm
m
để các hàm số sau:
1.
1
mx
y
x m
−
=
−
luôn nghịch biến khoảng
(
)
2;
+∞

.
4.
(
)
2
1
3
m x m
y
x m
− +
=
+
luôn nghịch biến khoảng
(
)
0;1
.
Ví dụ 2 : Tìm
m
để các hàm số sau
1.

3 2
2 2 1
y x x mx
= − + −
đồng biến trên khoảng
(
)


Giải :
1.

3 2
2 2 1
y x x mx
= − + −
đồng biến trên khoảng
(
)
1;
+∞
.
*

Hàm số đã cho xác định trên khoảng
(
)
1;
+∞
.
*

Ta có :
2
' 6 4
y x x m
= − +


1;
+∞
, ta có
(
)
(
)
' 12 4 0, 1
g x x x g x
= − > ∀ > ⇔
đồng biến trên khoảng
(
)
1;
+∞

và
(
)
(
)
(
)
2
1 1
lim lim 6 4 2, lim
x
x x
g x x x g x
+ +


+∞

2
−

Dựa vào bảng biến thiên suy ra
2 2
m m
≥ − ⇔ ≥ −

2.

3 2
3 2
y mx x x m
= − + + −
đồng biến trên khoảng
(
)
3;0
−
.
*

Hàm số đã cho xác định trên khoảng
(

2
2 3
3 2 3 0, 3;0 , 3; 0
3
x
mx x x m x
x
−
− + ≥ ∀ ∈ − ⇔ ≥ ∀ ∈ −

Xét hàm số
( )
2
2 3
3
x
g x
x
−
=
liên tục trên khoảng
(
)
3;0
−
, ta có
( ) ( ) ( )
2
4
6 18

3
−

0

(
)
'
g x−
(
)
g x
4
27
−−∞Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt .

*

Ta có :
(
)
2
' 4 1 1
y mx m x m
= + − + −

Hàm số đồng biến trên khoảng
(
)
2;
+∞
khi và chỉ khi
(
)
(
)
(
)
2
' 0, 2; 4 1 1 0, 2;y x mx m x m x
≥ ∀ ∈ +∞ ⇔ + − + − ≥ ∀ ∈ +∞

( )
( ) ( )
2
2

2 2 1
' 0, 2;
4 1
x x
g x x g x
x x
− +
⇒ = < ∀ ∈ +∞ ⇒
+ +
nghịch biến trên khoảng
(
)
2;
+∞
và
( ) ( )
2
9
lim , lim 0
13
x
x
g x g x
+
→+∞
→
= =

Bảng biến thiên.
x


Bài tập tự luyện:
Tìm
m
để các hàm số sau:
1.
(
)
2
1 1
2
mx m x
y
x m
+ + −
=
−
đồng biến trên khoảng
(
)
1;
+∞
.
2.
(
)
(
)
(
)

2
6 2
2
mx x
y
x
+ −
=
+
nghịch biến trên nửa khoảng
)
2;

+∞

.
2.
3 2 2
( 1) (2 3 2) (2 1)
y x m x m m x m m
= − + − − + + −
đồng biến trên nửa
khoảng
)
1;

+∞

.
Giải :

2 2
' 3 2( 1) (2 3 2)
y x m x m m
= − + − − +

Hàm đồng biến trên nửa khoảng
)
2;

+∞

.
)
' 0, 2;y x

⇔ ≥ ∀ ∈ +∞


)
2 2
( ) 3 2( 1) (2 3 2) 0, 2;f x x m x m m x

⇔ = − + − − + ≥ ∀ ∈ +∞


Vì tam thức
( )
f x
có
2

⇔

≥


.
Do đó
)
2
( ) 0 2; 2 ' 5
f x x x m

≥ ∀ ∈ +∞ ⇔ ≤ ⇔ ∆ ≤ −


2 2
5 5
3
2
2
' (5 ) 2 6 0
m m
m
m m m
 
≤ ≤
 
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤
 
∆ ≤ − + − ≤

4 14
'
( 2)
mx mx
y
x
+ +
=
+

Hàm nghịch biến trên nửa khoảng
[1; )
+∞
2
( ) 4 14 0
f x mx mx
⇔ = + + ≤
,
)
(
)
1; *
x

∀ ∈ +∞


.
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt .



m

−∞

0

7
2+∞

'
∆+

0

−

0

+

•

Nếu

không thỏa mãn.
•

Nếu
0
m
<
hoặc
7
2
m
>
. Khi đó
( ) 0
f x
=
có hai nghiệm
2 2
1 2
2 4 14 2 4 14
;
m m m m m m
x x
m m
− + − − − −
=

Vì
0
m


2
0
14
5
5 14 0
m
m
m m

<

⇔ ⇔ ≤ −

+ ≥


.
Cách 2:
)
2
1
14
(*) ( ) 1; min ( )
4
x
m g x x m g x
x x
≥
−

+ − −
=
+
đồng biến trên nửa khoảng
(
;1

−∞

.
2.
( ) ( )
3 2
1
1 1 1
3
y x m x m x
= + − − − +
nghịch biến trên nửa khoảng
(
; 2

−∞ −

.
Ví dụ 4 : Tìm tất cả các tham số
m
để hàm số
3 2
3

m
≥
thì
' 0,
y x
≥ ∀ ∈
»
, khi đó hàm số luôn đồng biến trên
»
, do đó
3
m
≥
không thoả yêu cầu bài toán .
i
Nếu
3
m
<
, khi đó
' 0
y
=
có hai nghiệm phân biệt
(
)
1 2 1 2
,
x x x x
<

x x x x x x m m
⇔ − = ⇔ + − = ⇔ − = ⇔ =
.

Bài tập tương tự :
1. Tìm tất cả các tham số
m
để hàm số
3 2 2
3 1
y x m x x m
= − + + −
nghịch
biến trên đoạn có độ dài bằng
1
?.
2. Tìm tất cả các tham số
m
để hàm số
3 2 2
3 5
y x m x mx m
= − + + + +
đồng
biến trên đoạn có độ dài bằng
3
?.

Ví dụ 5: Tìm
m

0
m
=
thì
(1)
luôn đúng
*
0
m
>
thì
1 1
(1) sin 1 0 1
x x m
m m
⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔ ≤ ⇔ < ≤
»
.
*
0
m
<
thì
1 1
(1) sin 1 1 0
x x R m
m m
⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔ − ≥ ⇔ − ≤ <
.
Vậy

(
)
1 cos
y x m m x
= − +
nghịch biến trên
»
.
2. Tìm
m
để hàm số
.sin cos
y x x m x
= +
đồng biến trên
»
.
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt .

27