Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
1
Chương 7
MÔ TẢ TOÁN HỌC
HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1. HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1.1. Khái niệm
Chương này đề cập đến một loại hệ thống điều khiển có hồi tiếp, trong
đó tín hiệu tại một hay nhiều điểm là một chuổi xung, không phải là hàm
liên tục theo thời gian. Tùy thuộc vào phương pháp lượng tử hoá tín hiệu mà
ta có các loại hệ thống xử lý tín hiệu khác nhau. Phương pháp lượng tử hoá
theo thời gian cho tín hiệu có biên độ liên tục, thời gian rời rạc. Hệ thống xử
lý loại tín hiệu này được gọi là hệ thống rời rạc. Nếu phép lượng tử hoá được
tiến hành theo thời gian và cả theo biên độ thì kết quả nhận được là tín hiệu
số. Hệ thống xử lý tín hiệu số gọi là hệ thống số. Trong hệ thống rời rạc và
hệ thống số, thông số điều khiển – biên độ của tín hiệu chỉ xuất hiện tại các
thời điểm rời rạc cách đều nhau đúng bằng một chu kỳ lấy mẫu tín hiệu. Vì
có thời gian trễ tất yếu do lấy mẫu, việc ổn đònh hệ thống trở nên phức tạp
hơn so với hệ liên tục, do đó đòi hỏi những kỹ thuật phân tích và thiết kế đặc
biệt.
Sự phát triển mạnh mẽ của kỹ thuật số, kỹ thuật vi xử lý và kỹ thuật
máy tính làm cho ngày càng có nhiều hệ thống điều khiển số được sử dụng
để điều khiển các đối tượng. Hệ thống điều khiển số có nhiều ưu điểm so với
hệ thống điều khiển liên tục như uyển chuyển, linh hoạt, dễ dàng thay đổi
thuật toán điều khiển, dễ dàng áp dụng các thuật toán điều khiển phức tạp
bằng cách lập trình. Máy tính số còn có thể điều khiển nhiều đối tượng cùng
một lúc. Ngoài ra, giá máy tính ngày càng hạ trong khi đó tốc độ xử lý, độ
tin cậy ngày càng tăng lên cũng góp phần làm cho việc sử dụng các hệ thống
điều khiển số trở nên phổ biến. Hiện nay các hệ thống điều khiển số được sử
dụng rất rộng rãi, từ các bộ điều khiển đơn giản như điều khiển nhiệt độ,
điều khiển động cơ DC, AC,… đến các hệ thống điều khiển phức tạp như điều

A/D
r(kT) c(t)
u(kT)
u
R
(t)
c
ht
(kT)
Cảm biến
Xử lý rời rạc Giữ dữ liệu
Đ
ối tượng
Lấy mẫu
r(kT) c(t)
u(kT)
u
R
(t)
c
ht
(kT)
Cảm biến
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
3
7.1.2. Đặc điểm lấy mẫu
Lấy mẫu là biến đổi tín hiệu liên tục theo thời gian thành tín hiệu rời
rạc theo thời gian. Xét bộ lấy mẫu có đầu vào là tín hiệu liên tục x(t) và đầu
ra là tín hiệu rời rạc x*(t) (xem hình 7.3). Quá trình lấy mẫu có thể mô tả bởi
biểu thức toán học sau:

*
)()()(
k
kTtkTxtx
G
(7.3)
Biến đổi Laplace hai vế phương trình (7.3) ta được:
¦
f



0
*
)()(
k
kTs
ekTxsX (7.4)
Biểu thức (7.4) chính là biểu thức toán học mô tả quá trình lấy mẫu.
Hình 7.3: Quá trình lấy mẫu dữ liệu
x(t) x
*
(t)
T
x(t)
t
0
s(t)
1
x

Ta tìm hàm truyền của khâu ZOH. Để ý rằng nếu tín hiệu vào của khâu
ZOH là xung dirac thì tín hiệu ra là xung vuông có độ rộng bằng T (hình
7.4b). Ta có:
1)( s
R
(vì r(t) là hàm dirac)
x
*
(t) x
R
(t)
ZOH
x
*
(t)
t
0
x
R
(t)
t
0
T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T
T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T
r(t)
t
1
c(t)
t
0

e
sG
Ts
ZOH



1
)(
(7.6)
Biểu thức (7.6) chính là hàm truyền của khâu giữ bậc 0. Trong các hệ
thống điều khiển thực tế, nếu có thể bỏ qua được sai số lượng tử hóa thì các
khâu chuyển đổi D/A chính là các khâu giữ bậc 0 (ZOH).
Nhận xét:
Bằng cách sử dụng phép biến đổi Laplace ta có thể mô tả quá trình lấy
mẫu và giữ dữ liệu bằng các biểu thức toán học (7.4) và (7.6). Tuy nhiên các
biểu thức toán học này lại chứa hàm e
x
nên nếu ta sử dụng để mô tả hệ rời
rạc thì khi phân tích, thiết kế hệ thống sẽ gặp nhiều khó khăn. Ta cần mô tả
toán học khác giúp khảo sát hệ thống rời rạc dễ dàng hơn, nhờ phép biến đổi
Z trình bày dưới đây chúng ta sẽ thực hiện được điều này.
7.2. PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.1 Đònh nghóa:
Cho x(k) là chuổi tín hiệu rời rạc. Biến đổi Z của x(k) là:
^`
¦
f
f


Z
(7.8)
x
Miền hội tụ (Region Of Convergence – ROC)
ROC là tập hợp tất cả các giá trò z sao cho X(z) hữu hạn.
x
Ý nghóa của phép biến đổi Z:
Giả sử x(t) là tín hiệu liên tục trong miền thời gian, lấy mẫu x(t) với chu
kỳ lấy mẫu T ta được chuổi rời rạc x(k) = x(kT).
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
6
Biểu thức lấy mẫu x(t):
¦
f



0
*
)()(
k
kTs
ekTxsX (7.9)
Biểu thức biến đổi Z:
¦
f



0

)()(
11
zXkx om
Z
)()(
22
zXkx om
Z
Thì:
)()()()(
22112211
zXazXakxakxa om
Z
(7.11)
2. Dời trong miền thời gian:
Hình 7.5: Làm trể tín hiệu k
0
mẫu
x(k)
k
0
1 2 3 4 5 6 7
}
x(k

k
0
)
k
0

zXzkx

om
Z
nên z
1
được gọi là toán tử làm trể 1 chu kỳ lấy mẫu.
3. Tỉ lệ trong miền Z:
Nếu:
)()( zXkx om
Z
Thì :
)()(
1
zaXkxa
k 
om
Z
(7.13)
4. Đạo hàm trong miền Z:
Nếu:
)()( zXkx om
Z
Thì :
dz
zdX
zkkx
)(
)( om
Z

)(
k
k
k
nếu
nếu
G
Theo đònh nghóa:
0
k
G
(k)
1
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
8
^`
1)0()()(
0


f
f

¦
zzkk
k
k
GGG
Z
Vậy: 1)( om

00
01
)(
k
k
ku
nếu
nếu
Theo đònh nghóa:
^`
f
f


f
f


¦¦
zzzzkuzkuku
k
k
k
k

21
0
1)()()(
Z
Nếu 1

om

z
z
z
ku
Z
(ROC: 1!z )
7.2.3.3. Hàm dốc đơn vò:
Hàm dốc đơn vò (liên tục trong miền
thời gian)
¯
®


t

00
0
)(
t
tt
tr
nếu
nếu
Lấy mẫu
r(t) với chu kỳ lấy mẫu là
T, ta được:
¯
®

k
r
(k)
1
}
0
t
r
(t)
1
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
9
Ta tìm biến đổi Z của r(k) bằng cách áp dụng tín chất tỉ lệ trong miền Z:
Ta có:
1
1
1
)(


om
z
ku
Z

21
1
1
)1(1
1



z
Tz
z
Tz
kkTu
Z
Vậy
221
1
)1()1(
)()(



om


z
Tz
z
Tz
kkTukr
Z
(ROC:
1!
z
)
7.2.3.4. Hàm mũ:

k
ke
kx
ka
nếu
nếu
T
 )()( kuekx
kaT

Theo đònh nghóa:
^`


f


f
f

¦¦
221
0
1)()()( zezezkxzkxkx
aTaT
k
k
k
k
Z

aTaT
kaT
ez
z
ze
kue





om
1
)(1
1
)()(
Z

(ROC:
1!ze
aT

aT
ez

!
)
0
t
x

C
k
dzzzX
j
kx
1
).(
2
1
)(
S
với C là đường cong kín bất kỳ nằm trong ROC của X(z) và bao gốc tọa độ.
Tìm x(k) bằng công thức trên rất phức tạp, thực tế ta thường áp dụng
các cách sau:
x
Cách 1: Phân tích X(z) thành tổng các hàm cơ bản, sau đó tra bảng biến
đổi Z.
Thí dụ 7.1:
Cho
)3)(2(
)(


zz
z
zX
. Tìm x(k).
Lời giải:
Phân tích X(z), ta được:
)3()2(



f


¦
zxzxzxzxzkxzX
k
k
Do đó nếu phân tích X(z) thành tổng của chuổi lũy thừa ta sẽ được giá
trò
x(k) chính là hệ số của thành phần
k
z

.
Thí dụ 7.2: Cho
)3)(2(
)(


zz
z
zX
. Tìm x(k).
Lời giải:
65
)3)(2(
)(
2

Cho
)3)(2(
)(


zz
z
zX
. Tìm x(k).
Lời giải: Ta có
21
1
2
65165
)3)(2(
)(








zz
z
zz
z
zz
z

G
Với điều kiện đầu: 0)1( 
k
x
0)2( 
k
x
Thay vào công thức trên ta tìm được:
0)0(
x
; 1)1(
x
; 5)2(
x
; 19)3(
x
; 65)4(
x
,… 
x
Cách 4: Áp dụng công thức thặng dư
>
@
củacựccáctại
Res
)(
1
1
)()(
zXz

>@ >@
0
0
)()(
)!1(
1
)(Res
1
0
1
1
zz
1
zz
kp
p
p
k
zXzzz
dz
d
p
zXz








x
>
@
2
1
2z
1
)()2()(Res





z
kk
zXzzzXz

2
1
)3)(2(
)2(




z
k
zz
z
zz

3
1
)3)(2(
)3(




z
k
zz
z
zz
k
z
k
z
z
3
)2(
3

 Do đó:
kk
kx 32)(  
7.3. MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN
7.3.1 Hàm truyền của hệ rời rạc


)()( )()(
1
1
10
zRbzzRbzRzbzRzb
mm
mm



 )(] [)(] [
1
1
101
1
10
zRbzbzbzbzCazazaza
mm
mm
nn
nn
 





nn
nn

zR
zC
zG







1
1
10
1
1
10)(
)(
)(
(7.18)
G(z) được gọi là hàm truyền của hệ thống rời rạc.
Hệ thống rời rạc
r(k) c(k)
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
13
Hàm truyền (7.18) có thể biến đổi tương đương về dạng:
n
n

)(

] [
)(
)(
)(
(7.19)
Hai cách biểu diễn trên hoàn toàn tương đương nhau, trong thực tế hàm
truyền dạng thứ hai được sử dụng nhiều hơn.
Thí dụ 7.5: Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân:
)()2(2)(3)1(5)2(2)3( k
r
k
r
kckckckc  
Tìm hàm truyền của hệ thống.
Lời giải: Biến đổi Z hai vế phương trình sai phân mô tả hệ thống, ta được:
)()(2)(3)(5)(2)(
223
zRzRzzCzzCzCzzCz  

352
12
)(
)(
)(
23
2



z từ sơ đồ khối có các khâu lấy mẫu. Xét
một số sơ đồ thường gặp sau đây:
7.3.2.1. Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu
Hình 7.6: Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu

)()(
)(
)(
)(
21
zGzG
zR
zC
zG (7.20)
Trong đó:
^`
)()(
11
sGzG
Z

^`
)()(
22
sGzG
Z

R(s)
C
*

Tra bảng biến đổi Z, ta có:
^`
aT
ez
z
as
sGzG



¿
¾
½
¯
®



1
)()(
1
1
ZZ
^`
bT
ez
z
bs
sGzG


)(
)(
)(
)(
21
zGG
zR
zC
zG (7.21)
Trong đó:
^
`
)()()(
21
21
sGsGzGG
Z

Cần chú ý là:
^`^`^ `
)()()()()()()(
21212121
zGGsGsGsGsGzGzG
z

Z
Z
Z
Thí dụ dưới đây sẽ minh họa điều này.
Thí dụ 7.7: Cho

)()()(
11
21
bsas
sGsGzGG
ZZ
R(s)
G
1
(s)
C
*
(s)=C(z)
G
2
(s)
R
*
(s)
TT
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
15

¿
¾
½
¯
®



1
)(
1
)(
1
)(
1
bsbaasab
ZZ
)(
)(
1
)(
)(
1
bTaT
ez
z
ba
ez
z
ab









k


(7.22)
Trong đó:
^`
)()( sGzG
Z^`
)().()( sHsGzGH
Z

Trường hợp H(s) = 1 (hệ thống hồi tiếp âm đơn vò) ta có:
)(1
)(
)(
)(
)(
zG
zG
zR
zC
zG
k


(7.23)
Thí dụ 7.8: Cho

z
as
sGzG



¿
¾
½
¯
®



1
)()(
ZZ
^`
))()((
)(1
.
1
)()()(
bTaT
aTbT
ezezab
eez
bsas
sHsGzGH


z
zGH
zG
zR
zC
zG











)())()((
))((
)(
aTbTbTaT
bT
k
eezezezab
zezab
zG





C(s)
G(s)
+

H(s)
T
R(s)
G(s)
C(s)
+

H(s)
T T
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
17
)()(1
)(
)(
)(
)(
zHzG
zG
zR
zC
zG
k


(7.25)
Trong đó:

^
`
)()(
1
1
sGzG
Z^
`
)()(
2
2
sGzG
Z^
`
)()()(
2
2
sHsGzHG
Z

7.3.2.7. Sơ đồ dòng tín hiệu – Công thức Mason cho hệ rời rạc
Có thể mở rộng khái niệm sơ đồ dòng tín hiệu đã trình bày trong chương
2 cho hệ liên tục để áp dụng vào hệ rời rạc với một vài thay đổi nhỏ. Để sử
dụng công thức Mason cho hệ rời rạc cần để ý các nguyên tắc dưới sau đây:

THÁI
7.4.1 Thành lập phương trình trạng thái từ phương trình sai phân
7.4.1.1. Vế phải của phương trình sai phân không chứa sai phân của tín
hiệu vào
Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra mô tả
bởi phương trình sai phân:
)()()1( )1()(
011
krbkcakcankcankc
nn


(7.26)
Chú ý: ở phương trình trên hệ số 1
0
a . Nếu 1
0
za ta chia hai vế cho
0
a
để được phương trình sai phân có dạng (7.26).
Tương tự như đã làm đối với hệ liên tục, ta đặt các biến trạng thái để
biến đổi tương đương phương trình sai phân bậc
n ở trên thành hệ n phương
trình sai phân bậc 1.
Đặt các biến trạng thái như sau:
)()(
1
kckx
)1()(

)()()( )()1(
01211
krbkxakxakxakx
nnnn


 )()()( )()1(
01211
krbkxakxakxakx
nnnn


 

Kết hợp phương trình trên với các biểu thức đặt biến trạng thái ta được
hệ phương trình sau:
°
°
°
¯
°
°
°
®

 





)1(
)1(
0
1
2
1
1221
1
2
1
kr
bkx
kx
kx
kx
aaaaakx
kx
kx
kx
n
n
nnnn
n
»
»
»
»
»
»
¼

»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª


»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª

¬
ª


)(
)(
)(
)(
0001)()(
1
2
1
1
kx
kx
kx
kx
kxkc
n
n


Đặt:
»
»
»
»
»
»
¼

»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª


 1221
10000
00100
00010
aaaaa
nnn
d





A
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

Ta được hệ phương trình biến thái:
¯
®


 
)()(
)()()1(
kkc
krkk
d
dd
xD
B
x
A
x
Thí dụ 7.9: Cho hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân
)(3)(4)1(5)2()3(2
k
r
k
c
k
c
k
c
k
c 
Hãy viết hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống.

)()(
1
kckx
)1()(
12
 kxkx
)1()(
23
 kxkx
Hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống đã cho là:
¯
®


 
)()(
)()()1(
kkc
krkk
d
dd
xD
B
x
A
x
Trong đó:
x
»
»

¬
ª


»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª


5.05.22
100
010
100
010
123
aaa
d
A
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
21
x
»
»

>@
001
d
D

7.4.1.2
Vế phải của phương trình sai phân có chứa sai phân của tín hiệu vào
Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra mô tả
bởi phương trình sai phân:


)()1( )1()(
11
kcakcankcankc
nn
)()1( )1()(
110
krbkrbnkrbnkrb
nn


(7.27)
Chú ý: ở phương trình trên hệ số 1
0
a . Nếu 1
0
za ta chia hai vế cho
0
a
để được phương trình sai phân có dạng (7.27).

 


Trong đó:
00
b
E
0111
E
E
ab 
021122
E
E
E
aab 
03122133
E
E
E
E
aaab 
0413223144
E
E
E
E
E
aaaab 
…

ExD
B
x
A
x
Trong đó:
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª


)(
)(
)(
)(
)(
1

10000
00100
00010
aaaaa
nnn
d





A
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª



k
c
k
c
k
c  
Hãy viết hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống trên.
Lời giải:
Ta có:
)(3)2()(4)1(5)2()3(2
k
r
k
r
k
c
k
c
k
c
k
c  
 )(5.1)2(5.0)(2)1(5.2)2(5.0)3(
k
r
k
r
k
c
k

b
E
5.005.05.0
0111
u 
E
E
ab
25.005.25.05.00
021122
 uu 
E
E
E
aab
375.05.05.2)25.0(5.05.1
03122133
uu 
E
E
E
E
aaab
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
23
Hệ phương trình biến trạng thái có dạng:
¯
®



1
kx
kx
kx
k
x
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª


5.05.22
100
010
d
A
»
»
»
¼
º
«
«








1
1
1
1
1
10
)(
)(
)(


(7.28)
Chú ý: ở hàm truyền trên hệ số
1
0
a
. Nếu
1
0
za
ta chia tử số và mẫu số
cho
0

kcakcankcankc
nn

)()1()1()(
110
krbkrbmkrbmkrb
nn







Áp dụng phương pháp đã trình bày ở mục 7.4.1.2 ta rút ra được hệ
phương trình biến trạng thái.
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
24
Thí dụ 7.11: Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có
hàm truyền là:
452
3
)(
)(
)(
23
2




k
r
k
c
k
c
k
c
k
c  
Xem tiếp lời giải đã trình bày ở thí dụ 7.10.
Cách 2
: Do
nn
nn
mm
mm
azazaz
bzbzbzb
zR
zC
zG







1

nn



 (7.30)
(7.30)

)()()1()1()(
11
krkeakeankeanke
nn



Áp dụng phương pháp đã trình bày ở mục 7.4.1.1, đặt các biến trạng thái:
)()(
1
kekx
)1()(
12
 kxkx  )1()(
2

kekx
)1()(
23
 kxkx  )2()(
3

kekx

)1(
)1(
)1(
1
2
1
1221
1
2
1
kr
kx
kx
kx
kx
aaaaakx
kx
kx
kx
n
n
nnnn
n
»
»
»
»
»
»
¼

»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª


»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª




Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
25

>@
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª



)(
)(
)(
)(

A
x
Trong đó:
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª


)(
)(
)(
)(
)(
1
2
1
kx

aaaaa
nnn
d





A
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª

1
0
0
0

5.15.0
)(
)(
)(
23
2



zzz
z
zR
zC
zG
Đặt biến phụ
)(
z
E
sao cho:
¯
®



)()25.25.0()(
)()5.15.0()(
23
2
zEzzzzR
zEzzC