Kinh tÕ l−îng n©ng cao

BÀI 1 (tiếp theo)
HỒI QUY VỚI BIẾN GIẢ 3. HỒI QUY VỚI BIẾN PHỤ THUỘC LÀ ĐỊNH TÍNH.

Có nhiều hiện tượng kinh tế mà biến phụ thuộc lại là định tính nên phải dùng biến giả để đặc
trưng cho chúng. Chẳng hạn , có nhà hay không có nhà, có xe máy hay không có

3.1. Mô hình xác suất tuyến tính - LPM.

a. Mô hình:
Xét mô hình sau:
Y
i
= β
1
+ β
2
X
i
+ u
i
(1)
Trong đó X
i
là biến giải thích,
Y
i

∼ A(P
i
) nên
E(Y/X
i
) = P
i
⇒ P
i
= β
1
+ β
2
X
i
= E(Y/X
i
)
⇒ Do 0 ≤ P
i
≤ 1 nên 0≤ E(Y/X
i
) ≤ 1
b. Các giả thiết của OLS trong mô hình LPM.

• Trong mô hình LPM phương sai của sai số ngẫu nhiên không đồng đều.
Thật vậy, u
i
= Y
i

⇒ Var(u
i
) = P
i
(1 - P
i
)
• Các sai số ngẫu nhiên không phân phối chuẩn. Phương pháp OLS không đòi hỏi u
i
phân phối
chuẩn, song để tiến hành các suy diễn thống kê thì cần đến giả thiết này. Trong LPM thì u
i
là
biến ngẫn nhiên rời rạc với bảng phân phối xác suất như sau:
Kinh tÕ l−îng n©ng cao

u
i
- β
1
- β
2
X
i
1 - β
1
- β
2
X
i

Bước 1. Dùng OLS ước lượng (1) thu được
Y
ˆ
i
.
Bước 2. Do u
i
có phương sai của sai số thay đổi nên phải khắc phục bằng phép đổi biến số.
Do chưa biết P
i
nên dùng ước lượng của nó là
Y
ˆ
i
. Trước hết phải loại đi các quan sát có
Y
ˆ
i
<
0 và
Y
ˆ
i
> 1 và đặt:
W
i
=
Y
ˆ
i


Từ kết quả ước lượng (2) suy ra ước lượng của mô hình xuất phát.
Ví dụ: điều tra ngẫu nhiên 40 gia đình theo hai chỉ tiêu:
Y = 1 nếu có nhà riêng
Y = 0 nếu không có nhà riêng
X là thu nhập ( ngàn USD/ năm)
GD Y X GD Y X
1 0 8 21 1 22
2 1 16 22 1 16
3 1 18 23 0 12
4 0 11 24 0 11
5 0 12 25 1 16
6 1 19 26 0 11
7 1 20 27 1 20
Kinh tÕ l−îng n©ng cao

8 0 13 28 1 18
9 0 9 29 0 11
10 0 10 30 0 10
11 1 17 31 1 17
12 1 18 32 0 13
13 0 14 33 1 21
14 1 20 34 1 20
15 0 6 35 0 11
16 1 19 36 0 8
17 1 16 37 1 17
18 0 10 38 1 16

.

Có hai loại mô hình thoả mãn được các điều kiện trên là mô hình LOGIT và mô hình
PROBIT.
2.1. Mô hình LOGIT và phương pháp Berkson
( Phương pháp moment)
Trong mô hình LOGIT ta giả thiết rằng:
1
E(Y/X
i
) = P
i
= (3)
1 + e
-(β1 + β2Xi)
Nếu đặt Z
i
= β
1
+ β
2
X
i
thì (11) có dạng
1
P
i
= (4)
Kinh tÕ l−îng n©ng cao


i
/( 1 - P
i
) là tỷ lệ cá cược có lợi cho việc chọn Y = 1. Chẳng hạn nếu P
i
= 0.8 thì có
nghĩa là tỷ lệ cá cược là 4 ăn 1 cho việc chọn Y = 1.

Từ (5) ta có:
Ln(P
i
/(1 - P
i
)) = Z
i
= β
1
+ β
2
X
i
Đặt L
i
= ln(P
i
/(1 - P
i


phần tử, trong đó có n
i
phần tử(n
i
≤ N
i
) mà Y
i
= 1. Khi đó ước lượng điểm của P
i
là tần suất:

n
i
f
i
= (7)
N
i
Kinh tÕ l−îng n©ng cao

Dùng f
i
ước lượng được mô hình (6). Tuy nhiên do (6) có phương sai của sai số thay đổi vì f
i

có phân phối nhị thức với E(f
i
) = P

i
) bằng ước lượng:
1

N
i
f
i
(1 - f
i
)
Như vậy thủ tục ước lượng mô hình Logit bằng phương pháp Moment như sau:
Bước 1: Với mỗi X
i
tính f
i
= n
i
/N
i
, L
i
= Ln(f
i
/(1 - f
i
))
Và W
i
= N

( ngàn USD/năm),N
i
là số gia đình có thu nhập tương
ứng và n
i
là số gia đình có nhà riêng:
X
i
N
i
n
i
6 40 8
8 50 12
10 60 18
13 80 28
15 100 45
20 70 36
25 65 39
30 50 33
35 40 30
40 25 20
Từ kết quả hồi quy, với mỗi X
i
có thể tìm được các P
i
tương ứng( ví dụ, với X
i
= 10).
2.2 Phương pháp Golberger (phương pháp ước lượng hợp lý tối đa).

2i
)

exp(X
i
,β)
= (9)
1 + exp(X
i
,β)
Trong đó X
i
= (1 , X
2i
) β = (β
1
, β
2
)
1 1
⇒ 1 - P
i
= =
1 + exp(β
1
+ β
2
X
2i
) 1 + exp(X

X
1
exp(1(

Ký hiệu
S(β) = ∂LnL/∂β
Và I(β) = E[- ∂
2
LnL/∂β
2
]
Thì I(β) được gọi là ma trận thông tin.

Từ đó phương pháp ước lượng hợp lý tối đa cho kết quả sau:
- β = [I(β)]
β
ˆ
-1
S(β) (11)

Ta có quá trình lặp để ước lượng như sau: Bắt đầu với một giá trị nào đó của β, chẳng hạn β
0
,
tìm được S(β
0
) và I(β
0
) sau đó tìm β mới bằng công thức:
β
1

1 + exp(-
β
ˆ
1
-
β
ˆ
2
X
i
)
Như vậy trong mô hình Logit người ta không nghiên cứu ảnh hưởng trực tiếp của X
i
đến Y
i

mà là ảnh hưởng của X
i
đến xác suất để Y = 1.
Ảnh hưởng biên của X
i
đến P
i
được tính như sau:
∂
P
ˆ
i
/∂X
i

P
ˆ
i
(1 -
P
ˆ
i
) (14)

Ví dụ: Giải lại bài toán về quan hệ Có nhà - Thu nhập bằng phương pháp Golberger, tìm ảnh
hưởng biên khi
X = 10.
3. Mô hình Probit.

Để mô tả hành vi của biến phụ thuộc, mô hình Logit đã sử dụng hàm Logistic. Trong một
số trường hợp khác có thể dùng hàm phân bố chuẩn và sẽ dẫn đến mô hình Probit. ở đây ta sẽ
không thay thế ngay hàm phân bố chuẩn vào chỗ của hàm phân bố Logistic mà kết hợp thêm
với Lý thuyết về độ thoả dụng ( Utility Theory).

Giả sử Y
i
sẽ nhận giá trị bằng 1 hoặc bằng 0 tuỳ thuộc vào một độ thoả dụng I
i
được xác
định bởi các biến giải thích. Độ thoả dụng càng lớn thì xác suất để Y = 1 càng lớn.
I
i
= β
1
+ β

* phân phối chuẩn ta có:
P
i
= P(Y = 1) = P(I
i
* < I
i
) = F(I
i
) =
Ii
= 1/√2π = 1/√2π (16)
∫
−
∞−
dUU )2/exp(
2
∫
− dUU )2/exp(
2
−∞
trong đó U là biến ngẫu nhiênphân phối N(0,1).
Từ đó I
i
= F
-1
(P
i
) = β
1

i
Bước 2: Từ f
i
tra bảng tìm được I
i
theo bảng giá trị tới hạn chuẩn.
Bước 3: Hồi quy mô hình (18) tìm được
β
ˆ
1
và
β
ˆ
2
.

Kinh tÕ l−îng n©ng cao

Chú ý: Mô hình (18) có phương sai của sai số thay đổi:
Var(u
i
) = P
i
(1 - P
i
)/N
i
f
i
2

ii
fN

Với W
i
= (20)

)
ˆ
1(
ˆ
ii
pp −

Ví dụ: Tiến hành lại với các số liệu ghép nhóm của mô hình Logit.
X
i
N
i
n
i
Pf
i
I
i
= F
-1
(P
i
) Z

2
X
2i
(21)
Kí hiệu: X
i
= (1,X
2i
)
β = (β
1
, β
2
)
f là hàm mật độ phân phối chuẩn hoá.
Lúc đó Hàm hợp lý có dạng:
L =
∏
−−
=
n
iiii
YXFYXF )1exp()),(1)(exp()),((
ββ
i 1
Ký hiệu S(β) = ∂lnL/∂β
I(β) = E(-∂
2
lnL/∂β
2

) và I(β
0
). Giá trị tiếp theo
của β được tìm theo công thức:
β = β
0
+ [I(β
0
)]
-1
S(β
0
) (22)
Quá trình kết thúc khi hội tụ.
Cũng giống như mô hình Logit, mô hình Probit không nghiên cứu sự ảnh hưởng trực tiếp của
biến giải thích X
i
đối với Y
i
mà xem xét ảnh hưởng của X
i
đến xác suất để Y = 1, tức là kỳ vọng
toán của Y.
Ảnh hưởng biên của X
i
đến P
i
được tính như sau:

iiii

các P
i
được xác định từ giả thiết I
i
phân phối chuẩn. Vì vậy kết quả của các mô hình này không
thể so sánh trực tiếp.
Amemiya nhận xét rằng nếu lấy các tham số ước lượng được tư mô hình Logit nhân với 0,625
thì sẽ cho kết quả xấp xỉ mô hình Probit.
Đồng thời Amemiya cũng chỉ ra rằng mối liên hệ giữa các tham số của mô hình LPM và Logit
như sau:
β
LPM
≈ 0,25β
Logit
(trừ hệ số chặn)
β
LPM
≈ β
Logit
+ 0,5 đối với hệ số chặn.

Chú ý: Nếu biến phụ thuộc có nhiều hơn hai trạng thái thì có thể sử dụng các lớp mô hình đa
thức