158
E. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN.
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Dạng cơ bản:
.
A0
AB
AB
≥
⎧
<⇔
⎨
<
⎩

.
2
A0
AB B0
AB
⎧
≥
⎪
<⇔>
⎨
⎪
<
⎩

.

b0≥
, ta có:
22
ab a b>⇔ >

+ Với mọi a,b R∈ , ta có:
33
ab a b>⇔ >
II. CÁC VÍ DỤ.
Ví dụ 1:
Giải bất phương trình:
22 2
x3x2 x4x33x5x4−++ −+≥ −+
(ĐH Quốc Gia TPHCM năm 1997).
Giải
Điều kiện
2
2
2
x3x20
x1 x2
x 4x30 x1 x3 x4 x4 (1)
x1 x4
x5x40
⎧
−+≥
≤∨≥
⎧
⎪
⎪⎪

⎭
x4⇒≥ là nghiệm của (3) x 4⇒≥là nghiệm của (2).
* x = 1: (2) thỏa.
* x < 1: (*)
2x 3x24x⇔−+−≥ − (4)
(chia 2 vế (*) cho
1x 0
−
>
)
Với x 1
<
⇒
02x4x 2x 4x
2x 3x24x
03x4x 3x 4x
⎫
<−<−⇒ −< −
⎪
⇒−+−< −
⎬
<−<−⇒ − < −
⎪
⎭

⇒ (4) không thỏa ⇒ (2) không thỏa.
Tóm lại, nghiệm của bất phương trình cho là: x 4 x 1
≥∨=
Ví dụ 2:



BBT:

Vì
xx x
1
lim y lim ( x x 1) lim 0
xx1
→+∞ →+∞ →+∞
=−−= =
+−160
Dựa vào BBT để bất phương trình:
xx1a−−>
có nghiệm
0a1⇔<<

Ví dụ 3:

Giải bất phương trình:
22
(x 3) x 4 x 9−+≤−
↑(ĐH DÂN LẬP VĂN LANG năm 1997).
Giải
Ta có:
22
(x 3) x 4 x 9−+≤−
2

5
x
6
⇒≤−

Tóm lại, nghiệm của bất phương trình là:
5
xx3
6
≤− ∨ ≥
Ví dụ 4:

Giải bất phương trình:
x3 x1 x2−− −< − (1)
(Trường TH Kỹ Thuật Y Tế 3 năm 1997).
Giải
Điều kiện
x30
x10 x3
x20
−≥
⎧
⎪
−≥ ⇔ ≥
⎨
⎪
−≥
⎩

(1) x 3 x 1 x 2⇔−<−+−

(x 1) m x x 2 4
+
+≤ ++ (*)
Với m = 3:
22 2
(*) (x 1) 3 x x 2 4⇔++≤ ++
42 2
x2xxx2
⇔
+≤ + (**)
. x < 0: (**) không thỏa ⇒ bất phương trình VN.
. x = 0: (**) thỏa.
. x > 0: (**)
22
x(x 2) x 2⇔+≤+
22 2 2 22
x(x 2) x 2 x(x 2) 1
⇔
+≤+⇔ +≤
42 2
x2x100x 21
⇔
+−≤⇔≤≤− 0x 21
⇔
≤≤ −
Vậy nghiệm :
0x 21
≤
≤−
2. Xác đònh m để bất phương trình cho thỏa

⎤
∈
⎣
⎦
; f '(t) 2t 1,⇒=−+
1
f'(t) 0 t
2
=
⇔=

162
BBT:

(*) đúng
[
]
x0,1∀∈ thì (****) đúng t0,3
⎡⎤
∀∈
⎣⎦
m3⇔≤ .
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ.
4.1. Cho bất phương trình:
mx x 3 m 1−−≤+

1. Giải bất phương trình với m = 1
2. Với giá trò nào của m thì bất phương trình có nghiệm.
(ĐH HÙNG VƯƠNG KHỐI A năm 1999).



4.7. Giải bất phương trình:
x3 2x8 7x+≥ −+ −

(ĐH Ngoại Thương Khối A năm 2001)

163
HƯỚNG DẪN VÀ GIẢI TÓM TẮT
4.1.
1.
mx x 3 m 1 (1)−−≤+
Với m = 1:
(1) x x 3 2⇔− −≤
2
x2 x3
x5x70
VN
x3
x3
⎧
⎧
−≤ −
−+≤
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
≥
≥
⎪
⎪

⇒ đồ thò (C) của
yx3
=
− như hình vẽ.
Khi đường thẳng
()
∆
: y = mx - m - 1 tiếp xúc với đồ thò (C) phương
trình hoành độ giao điểm của ( )
∆
và (C).
2
x3
mx m 1 x 3
(mx m 1) x 3
≥
⎧
⎪
−−= −⇔
⎨
−
−=−
⎪
⎩

22 2 2
x3
m x (2m 2m 1)x m 2m 4 0
≥
⎧

13
m
4
+
= .

164
⇒ Bất phương trình có nghiệm khi
13
m
4
+
<
.

4.2.
22
x(x 4) x 4x (x 2) 2−−++−< (1) Điều kiện
2
x4x00x4−+ ≥⇔≤≤
Đặt
2
tx4x=− +

(t 0)≥
.
(1)
32 32
tt42tt20⇔− − + < ⇔ + − >
2

≤
⎧
−≥
⎧
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
+=
=−
⎪
⎪
⎩
⎩

22
f
22
⎛⎞
⇒− =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

2
xx x
lim f(x) lim ( 2x 1 x) lim ( 2 x x)
→∞ →∞ →∞
=++=+
xx
lim f(x) lim ( 2 1)x

++
,
'
x
t0x1
=
⇔=
BBT:

Phương trình cho
2
f(t) t 4t 10 m
⇔
=−+≤

f'(t) 2t 4,
=
− f'(t) 0 t 2
=
⇔= (với
[
]
t0,3∈
BBT:

mmaxf(t)10
⇒≥ =4.5.


166
22
4x 12x 9 2x 11x 15−+<−+
2
3
2x x 6 0 x 2
2
⇔−−<⇔−<<

Vậy bất đẳng thức cho
3
2x
2
35
2x2
x
22
3
x2
2
⎡
−≤ <
⎢
⎢
⎧
⎢
⇔⇔−≤≤
≤≤
⎪

x2∀≥
(1)
với
3
1x 2≤<
thì (*)
636
x144xx⇔−≥− +

3
33
55
xx2
44
⇔≥ ⇒ ≤< (2)
(1) và (2)
3
5
x
4
⇒≥4.7.
x3 2x8 7x+≥ −+ −
(1) Điều kiện
4x7≤≤
(*)
2
(1) x 3 ( 2x 8 7 x )⇔+≥ −+ −