CHƯƠNG 2
MÔ HÌNH HỒI QUI HAI BIẾN
ƯỚC LƯỢNG VÀ KIỂM ĐỊNH

(Ordinary Least Square)Giả sử có một mẫu gồm n quan
Giả sử có một mẫu gồm n quan
sát (Y
sát (Y
i
i
, X
, X
i
i
), (i = 1, 2, . . . , n)
), (i = 1, 2, . . . , n)
Theo pp OLS, ta phải tìm
Theo pp OLS, ta phải tìm
sao cho nó càng gần với giá trò
sao cho nó càng gần với giá trò
thực (Y
thực (Y
i
i
) càng tốt, tức phần dư:
) càng tốt, tức phần dư:
i


−
−
−
−
X
X
i
i

i
Y
ˆ
caøng nhoû caøng toát
caøng nhoû caøng toát
1
ˆ
β

i
Y
Y
^
^
i
i
.
.
.
.
.
0
0
SRF
SRF

Do e
Do e
i
i
có thể dương, âm,
có thể dương, âm,
nên ta cần tìm SRF sao
nên ta cần tìm SRF sao
cho tổng bình phương của
cho tổng bình phương của
các phần dư đạt cực tiểu.
các phần dư đạt cực tiểu.
Tức , phải thoả

∑∑
==
⇒β−β−=
n
1i
2
i21i
n
1i
2
i
X
ˆˆ
Ye

Y
Y
Y
Y
X
X
X
X
•
•
•
•
•
•
•


=−β−β−=
β∂
ββ∂
=−β−β−=
β∂
ββ∂
∑
∑
=
=
n
1i
ii21i
2
21
n
1i
i21i
1
21
0)X)(X
ˆˆ
Y(2
ˆ
)
ˆ
,
ˆ
(f

n
1i
ii
2
i2i1
n
1i
n
1i
ii21
Y.XX
ˆ
X
ˆ
YX
ˆˆ
n

Giaỷi heọ p.tr naứy ta ủửụùc:
Giaỷi heọ p.tr naứy ta ủửụùc:
( )


=
=


=
n
1i

i
= Y
= Y
i
i−
−X
ˆ
Y
ˆ
21
β−=β
2
ˆ
β
∑
∑
=
2
2
ˆ
i
ii
x
yx

ββββ
2
i
i
i
''
ˆˆ
''
ˆˆ
''
ˆˆ
''
ˆˆ
X2X2
X2n2
ff
ff
H
2212
2111
Với:
Với:
( )
[ ]
(
)
0xn4
XnXn4
XXn4H
2

,
ˆ
ββ

Thí dụ 2
Thí dụ 2
:
:
Giả sử Y, X có q.hệ t.quan t.t. Hãy
Giả sử Y, X có q.hệ t.quan t.t. Hãy
ước lượng hàm h.qui của Y theo X.
ước lượng hàm h.qui của Y theo X.
Bảng sau cho số liệu về lượng bán
Bảng sau cho số liệu về lượng bán
được (Y- tấn/tháng) và đơn giá
được (Y- tấn/tháng) và đơn giá
của hàng A (X- ngàn đồng/kg)
của hàng A (X- ngàn đồng/kg)

Giải
Giải
:
:
Từ số liệu q.sát của X và Y
Từ số liệu q.sát của X và Y
cho ở bảng trên ta tính được:
cho ở bảng trên ta tính được:

= 120

∑
∑
x
x
i
i
2
2
=24
=24
∑
∑
X
X
i
i
Y
Y
i
i
= 111;
= 111;
375,1
24
33




B
B
iến giải thích là phi ng.n
iến giải thích là phi ng.n


Kỳ vọng toán của U
Kỳ vọng toán của U
i
i
bằng 0,
bằng 0,tức:
tức:E(U
E(U
i
i
/X
/X
i
i
) = 0

j
) = 0
) = 0
(i
(i
≠
≠
j)
j)

U
U
i
i
và X
và X
i
i
không t.quan
không t.quan
với nhau, tức
với nhau, tức
cov(U
cov(U
i
i
, X


Đối với hàm hai biến,
Đối với hàm hai biến,, tương ứng là các
, tương ứng là các
ước lượng t.tính, không
ước lượng t.tính, không
chệch, có p.sai nhỏ
chệch, có p.sai nhỏ
nhất của
nhất của
β
β
1
1
,
,
β
β
2
2
.
.
1
ˆ
β
2
ˆ

X
)
ˆ
var()
ˆ
(se
11
β=β

∑
=
=
n
i
i
x
1
2
2
2
)
ˆ
var(
σ
β
)
ˆ
var()
ˆ
(se

là sai số chuẩn
2
ˆ
σ
2
ˆ
1
2
2
−
=
∑
=
n
e
n
i
i
σ
se:
se:sai số chuẩn
sai số chuẩn(Standard Erorr)
(Standard Erorr)
2

i
Y.nYYY
( )
∑ ∑
= =
β=−
n
1i
n
1i
2
i
2
2
2
i
x)
ˆ
(YY
ˆ

RSS =
RSS =

TSS = ESS + RSS
TSS = ESS + RSS
RSS (
RSS (
Residual Sum of Squares
Residual Sum of Squares

RSS = 0.
RSS = 0.Ngược lại, nếu hàm hồi qui
Ngược lại, nếu hàm hồi qui
mẫu kém phù hợp với các giá
mẫu kém phù hợp với các giá
trò quan sát thì RSS sẽ càng
trò quan sát thì RSS sẽ càng
lớn hơn ESS.
lớn hơn ESS.