NHẬN DẠNG TAM GIÁCI. TÍNH CÁC GÓC CỦA TAM GIÁC

Bài 201: Tính các góc của
A
BC
Δ
nếu :

()()()()
3
sin B C sin C A cos A B *
2
++ ++ +=Do
A
BC
+ +=π

Nên:
()
3
*sinAsinBcosC
2
⇔ +−=
⎪
⎩
==
⇔
2
2
2
2
2
2
2
=
A
BAB C 3
2 sin cos 2 cos 1
22 2
CAB C1
2cos cos 2cos
22 22
CCAB
4cos 4cos cos 1 0
222
CAB AB
2cos cos 1 cos 0
22 2
CAB AB
2 cos cos sin 0
22 2
CAB
2cos cos

⎨
π
⎪
=
⎪
⎩
C
23
B
AB
0
2
AB
6
2
C
3Bài 202:
Tính các góc của
A
BC
Δ
biết:
()
5
cos2A 3 cos 2B cos2C 0 (*)
2
+++=

⎣⎦
−=
⎧
−=
⎧
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
=
=−
⎪⎪
⎩
⎩
⎧
=
⎪
⇔
⎨
==
⎪
⎩
2
2
2
2
2
0
0
4cos A 4 3cosA.cos B C 3 0
2cosA 3cos B C 3 3cos B C 0

A
BABCC ABC
(*) 2sin cos 2sin cos 2sin sin 2sin
22 2222
CAB CC AB A
2cos cos 2sin cos 2cos 2sin sin
22 22 2 2
CAB C AB
cos cos sin cos cos
22 2 22
CAB AB AB
cos cos cos cos cos
22 2 22
CAB AB
2cos cos cos cos cos
222 22
+−
⇔+=
−+
⇔+=+
−
⎛⎞
⇔+=⋅
⎜⎟
⎝⎠
−+
⎡⎤
⇔+=
⎢⎥
⎣⎦

C120

Bài 204: Tính các góc của
C
ΔΑΒ
biết số đo 3 góc tạo cấp số cộng và
33
sin A sinB sin C
2
+
++=Không làm mất tính chất tổng quát của bài toán giả sử
A
BC
<<

Ta có: A, B, C tạo 1 cấp số cộng nên A + C = 2B
Mà
A
BC++=π
nên
B
3
π
=

Lúc đó:
33

⇔++=
⇔+=
+−
⇔=
−
⇔=
⎛⎞
−
⇔=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
−π
⇔==Do C > A nên có:
C
ΔΑΒ
−π
π
⎧
⎧
=
=
⎪
⎪
⎪
⎪
ππ

+≤
⎪
⎨
++=+
⎪
⎩
22 2
bca 1
sin A sin B sin C 1 2 2Áp dụng đònh lý hàm cosin:
22
bca
cos A
2bc
+−
=
2
2

Do (1): nên
co
22
bca+≤
s A 0
≤

Do đó:
A

=+2
12 1
2
⎛⎞
≤ +⋅
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

()
−
⎛⎞
≤
⎜⎟
⎝⎠
BC
do * và cos 1
2

Mà
sin A sin B sin C 1 2 do (2)++=+

Thạc sĩ. Nguyễn Thạo
Website: email: ĐT: 0905434602
LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC TỐN 10 – 11 – 12 VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
ĐC: Dương Sơn, Hòa Châu, Hòa Vang, Đà Nẵng


⎪
= =
⎪
⎩
A
2
BC
4Bài 206: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2004)
Cho
A
BC
Δ
không tù thỏa điều kiện

( )
cos2A 2 2cosB 2 2cosC 3 *++=

Tính ba góc của
A
BC
Δ* Cách 1: Đặt M =
cos2A 2 2cosB 2 2cosC 3+ +−

Ta có: M =

A
M2cosA42sin 4
2
≤ +−

Mặt khác:
A
BC
Δ
không tù nên
0A
2
π
< ≤⇒≤ ≤
⇒≤
2
0cosA1
cos A cos A
Do đó:
A
M2cosA42sin 4
2
≤+ −2
2

cos 1
2
BC45
A1
sin
2
2
⎧
⎪
=
⎪
⎧
=
−
⎪⎪
=⇔
⎨⎨
==
⎪
⎩
⎪
⎪
=
⎪
⎩

* Cách 2:
()
* cos2A 22cosB 22cosC 3 0⇔+ + −=


22
+−
⇔+ −=
−
⇔−++ −=
−
⎛⎞
⇔−+−+ −
⎜⎟
⎝⎠
−−
⎛⎞⎛
⇔−−−−−
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
−−
⎛⎞
⇔−−−−
⎜⎟
⎝⎠
=
⎞
=
⎟
⎠
C
0(*)
2
=


⎪
−
⎪
=
⎪
⎩⎧
=
⎪
⇔
⎨
==
⎪
⎩
0
0
A90
BC45
Bài 207: Chứng minh
A
BC
Δ
có ít nhất 1 góc 60
0
khi và chỉ khi
sin A sinB sin C
3(*)
cos A cos B cosC

CABCC
2sin cos 2sin cos 0
22 3 2 26 26
CABC
2sin cos cos 0
26 2 26
⎡π π⎤ − π π
⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞
⇔−− +− −
⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
π⎡ − π⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⇔−− +−=
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦
=

π− ππ
⎛⎞ ⎛⎞⎛
⇔−=∨ =−=−
⎜⎟ ⎜⎟⎜
⎝⎠ ⎝⎠⎝
CABC
sin 0 cos cos cos
26 2 26 3 2

A + cos
2
B + cos
2
C – 1. Chứng minh:
a/ Nếu V = 0 thì
A
BC
Δ
có một góc vuông
b/ Nếu V < 0 thì
A
BC
Δ
có ba góc nhọn
c/ Nếu V > 0 thì
A
BC
Δ
có một góc tù

Ta có:
()()
2
11
V
1cos2A 1cos2B cos 1
22
= ++++−



⇔
A
BC
Δ
⊥
tại A hay
A
BC
Δ
⊥
tại B hay
A
BC
Δ
⊥
tại C
b / V 0 cos A.cosB.cosC 0
< ⇔>⇔
A
BC
Δ
có ba góc nhọn
( vì trong 1 tam giác không thể có nhiều hơn 1 góc tù nên
không có trường hợp có 2 cos cùng âm )
c / V 0 cos A.cos B.cosC 0
>⇔ <

cotg
2b
+
=

++
⇔= =
B
cos
2R sin A 2R sin C sin A sin C
2
B
2R sin B sin B
sin
2

+−
⇔=
BACA
cos 2 sin . cos
22
BB
sin 2 sin .cos
22
C
2
B
2

−

ABC vuông tại A hay ABC vuông tại CBài 210: Chứng minh
A
BC
Δ
vuông tại A nếu

bc a
cos B cosC sin BsinC
+=Ta có:
bc a
cos B cosC sin BsinC
+=

⇔+=
+
⇔=
2R sin B 2RsinC 2R sin A
cosB cosC sin Bsin C
sin BcosC sin C cos B sin A
cos B.cos C sin Bsin C()
+

222 2222
⋅⋅−⋅⋅=

Chứng minh
A
BC
Δ
vuông
Ta có:

⇔=+
+− +−
⎡⎤⎡
⇔+ =−−
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣
⎤
⎥
⎦
A
BC1 ABC
(*) cos cos cos sin sin sin
2222 222
1AB ABC11AB AB
cos cos cos cos cos sin
22 22222 2
C
2

−−

⇔−= −
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
−
⎡⎤⎡ ⎤
⇔− − =
⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦
CC C ABC C
cos sin cos cos sin cos
22 2 2 2 2
CCCAB
sin cos cos cos 0
222 2

−
⇔=∨=
−−
⇔ =∨= ∨=
π
⇔=∨=+∨=+
πππ
⇔=∨=∨=
CCCA
sin cos cos cos
222 2
CCABCB
tg 1
22222
C

cotgC=
68
⎧⎧
==
⎪⎪
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎪⎪
=
⎪⎪
⎩⎩
3
3⇔=
π
⇔+=
tgB cotgC
BC
2A
BC
⇔Δ
vuông tại A.

Bài 213: Cho

cos C(1 sin C) (1 sin C). cos(A B)

⇔− + = −
2
cos C(1 sin C) cos C.cos(A B)

⇔= −+ = −cos C 0 hay (1 sin C) cos C.cos(A B) (*)

⇔=
cos C 0

( Do nên
sin C 0
>
(1 sin C) 1−+ <−
Mà .Vậy (*) vô nghiệm.)
cosC.cos(A B) 1−≥−
Do đó
A
BCΔ
vuông tại C
III. TAM GIÁC CÂN
Thạc sĩ. Nguyễn Thạo
Website: email: ĐT: 0905434602
LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC TỐN 10 – 11 – 12 VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
ĐC: Dương Sơn, Hòa Châu, Hòa Vang, Đà Nẵng


Bài 214:Chứng minh nếu
A

sin
2
CC C
2sin cos 2cos
22
C
cos A cosB
sin
2
+
⇔=
⇔=
⇔=
2⇔
2
CC
sin cos A.cos B do cos 0
22
⎛⎞
=>
⎜⎟
⎝⎠()()(
()
()

22 22
=
ATa có:
33
A
BB
sin .cos sin .cos
22 22
=
A22
A
B
sin sin
11
22
AA BB
cos cos cos cos
22 22
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⇔=
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

22 2 222
⎛⎞⎛⎞
⇔+=+
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⇔−+−=
⎛⎞⎡ ⎤
⇔− +++ =
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎣ ⎦⇔=
A
B
tg tg
22
( vì
22
A
BAB
1tg tg tg tg 0
2222
+ ++ >
)

⇔=
A
B

sin A sin B 2 sin A sin B
+
⎛⎞
⇔=+
⎜⎟
+
⎝⎠
−

22
22 2 2
cos A cos B 1 1 1
1
sin A sin B 2 sin A sin B
+
⎛⎞
⇔+=+
⎜⎟
+
⎝⎠

⎛⎞
⇔=+
⎜⎟
+
⎝⎠
22 2 2
2111
2
sin A sin B sin A sin B
Ta có:
()
C
a b tg atgA btgB
2
+= +

()
⇔+ = +
C
a b cotg atgA btgB
2

⎡⎤⎡
⇔− +−
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣
CC
a tgA cotg b tgB cotg 0
22
⎤
=
⎥
⎦

++
⎡⎤⎡
⇔− +−

−
⇔= −=
A
Bab
sin 0 hay 0
2 cos A cos B

⇔= =
2R sin A 2R sin B
ABhay
cos A cos B

⇔= = ⇔Δ
A
BhaytgA tgB ABC
cân tại C
IV. NHẬN DẠNG TAM GIÁC

Bài 218: Cho
A
BC
Δ
thỏa:
acosB bcosA asinA bsinB (*)
− =−

Chứng minh
A
BC
Δ

ABAB
2
⇔−=−
⇔−=− −−
⇔−= −
⇔−=− + −
⎡⎤
⎣⎦
⇔−−+=
⎡⎤
⎣⎦
⇔−=∨+=
π
⇔=∨+=

vậy
A
BC
Δ
vuông hay cân tại C
Cách khác
()
−=−
⇔−=+ −
22
sin A cos B sin B cos A sin A sin B
sin A B ( sin A sin B) ( sin A sin B)

()
+− +−

)Ta có: (*)
()
( )
( )
()
22 22 2 2 2
4R sin A 4R sin B sin A B 4R sin A sin B sin A B⇔+ −=− +

()() ( )()
22
sin A sin A B sin A B sin B sin A B sin A B 0
⇔−−++−++
⎡⎤⎡
⎣⎦⎣
=
⎤
⎦
=

()
22
2sin A cos A sin B 2sin Bsin A cos B 0⇔−+

Thạc sĩ. Nguyễn Thạo
Website: email: ĐT: 0905434602
LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC TỐN 10 – 11 – 12 VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
ĐC: Dương Sơn, Hòa Châu, Hòa Vang, Đà Nẵng

A
BC
Δ
là tam giác gì nếu:

22
a sin 2B b sin 2A 4ab cos A sin B (1)
sin 2A sin 2B 4 sin A sin B (2)
⎧
+=
⎨
+=
⎩
Ta có:
(1)
22 22 2 2
4R sin A sin 2B 4R sin Bsin 2A 16R sin A sin B cos A
⇔+=

()
22 2
22
sin A sin 2B sin Bsin 2A 4sin A sin Bcos A
2sin A sin B cos B 2sin A cos A sin B 4 sin A sin B cos A
sin A cos B sin B cos A 2sin B cos A (do sin A 0,sin B 0)
sin A cos B sin B cos A 0
sin A B 0
AB
⇔+=
⇔+=

V. TAM GIÁC ĐỀU

Bài 221: Chứng minh
A
BC
Δ
đều nếu:

( )
bc 3 R 2 b c a (*)=+−
⎡⎤
⎣⎦Ta có:(*)
()() ( )
2RsinB 2RsinC 3 R 2 2RsinB 2RsinC 2RsinA⇔=+−
⎡ ⎤
⎣ ⎦

()( )
⇔=+−2 3 sin B sin C 2 sin B sin C sin B C+

()
⇔=+−−2 3 sin Bsin C 2 sin B sin C sin B cos C sin C cos B

⎡⎤⎡
⇔−− +−−
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣

−−
⎜⎟
⎝⎠
≥sin
và
C 0
>
1cosB 0
3
π
⎛⎞
−−
⎜⎟
⎝⎠
≥

Nên vế trái của (1) luôn
0
≥
Do đó, (1)
cos C 1
3
cos B 1
3
⎧π
⎛⎞
− =

333
2
3
sin Bsin C (1)
4
abc
a(
abc
⎧
=
⎪
⎪
⎨
−−
⎪
=
⎪
−−
⎩
2)Ta có: (2)
32233
aabacabc
⇔− − =−−
3

( )
23

⇔=
()()
⇔−−+
⎡⎤
⎣⎦
2cosB C cosB C 3=

(
)
⇔−+
⎡⎤
⎣⎦
2cosB C cosA 3
=

()
π
⎛⎞ ⎛ ⎞
⇔−+= =
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
1
2 cos B C 2 3 do (1) ta có A
23

()
⇔−=⇔=cos B C 1 B C

Vậy từ (1), (2) ta có
A

LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC TỐN 10 – 11 – 12 VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
ĐC: Dương Sơn, Hòa Châu, Hòa Vang, Đà Nẵng

Dấu “=” xảy ra khi:
( )
cos A C 1− =

Tương tự:
sin 2B sin 2C 2sin A
+ ≤
(3)
Dấu “=” xảy ra khi:
( )
cos B C 1− =

Từ (1) (2) (3) ta có:
(
)
(
)
2 sin2A sin2B sin2C 2 sinC sinB sin A++ ≤ ++

Dấu “=” xảy ra
( )
()
()
− =
⎧
⎪
⇔−=

Chứng minh
A
BC
Δ
đều

Ta có: (*)
⇔++
22 22 22
sin 2B.sin 2C sin 2A sin 2C sin 2A sin 2B

()
()
sin2A.sin2B.sin2C
sin 2A sin 2Bsin 2C
2cos A cos BcosC
4 sin A sin Bsin C sin 2A sin 2Bsin 2C
=⋅
=

Mà:
( ) ( )(
=−−+
⎡⎤
⎣⎦
4 sin A sin B sin C 2 cos A B cos A B sin A B
)
+
)
+

sin2Bsin2A sin2Bsin2C sin2Asin2B sin2Asin2C
22

()
2
1
sin2Csin2A sin2Csin2B 0
2
+−=

sin2Bsin2A sin2Bsin2C
sin 2A sin 2B sin 2A sin 2C
sin 2A sin 2C sin 2Csin 2B
=
⎧
⎪
⇔=
⎨
⎪
=
⎩

=
⎧
⇔
⎨
=
⎩
sin 2A sin 2B
sin 2B sin 2C


()
()()
()()
2R sin A cos A 2R sin Bcos B 2R sin C cos C
R sin 2A sin 2B sin 2C
R 2sin A B cos A B 2sinCcosC
2R sin C cos A B cos A B 4R sin Csin A sin B
= ++
=++
⎡⎤
=+−+
⎣⎦
⎡⎤
=−−+=
⎣⎦

Cách 1:
a sin B bsinC csin A
+ +

()
()
2223
2R sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2R sin A sin Bsin C do bđt Cauchy
=++
≥

Do đó vế trái :

⇔=
++abc
4R
abc
2R 2R 2R
bcca
9R
ab
2R 2R 2R
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
+ +
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⇔=
⎛⎞⎛⎞
++
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠( )( )
9abc a b c ab bc ca⇔=++ ++

Do bất đẳng thức Cauchy ta có
3
222
3

( )
sin A B
sin C
cot gA cot gB
sin A sin B sin A sin B
+
+= =2
sin C
sin A sin B
2
≥
+
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
(do bđt Cauchy)
Thạc sĩ. Nguyễn Thạo
Website: email: ĐT: 0905434602
LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC TỐN 10 – 11 – 12 VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
ĐC: Dương Sơn, Hòa Châu, Hòa Vang, Đà Nẵng


22 2
CC C
2sin cos 2sin
22 2
A

BC
2 cot gA cot gB cot gC 2 tg tg tg
222
⎛⎞
++ ≥ ++
⎜⎟
⎝⎠

Do đó dấu “=” tại (*) xảy ra
−−−
⎧
==
⎪
⇔
⎨
⎪
==
⎩
=
A
BACBC
cos cos cos 1
222
sin A sin B sin C

A
BC
A
BC đều.
⇔==

c/
si

n 5A sin 5B sin 5C 0
++=
2. Tính góc C của
A
BC
Δ
biết:
a/
()

()
1cotgA1cotgB 2++=
b/
22
9
A
,Bnhọn
sin A sin B sin C
⎧
⎪
⎨
+=
⎪
⎩

3. Cho
A

m
thì
2>
A
BC
Δ
nhọn
c/ m thì 2<
A
BC
Δ
tù.
5. Chứng minh
A
BC
Δ
vuông nếu:
a/
bc
cos B cosC
a
+
+=

b/
bc a
cos B cos C sin BsinC
+=

Thạc sĩ. Nguyễn Thạo

22
1cosB 2ac
sin B
ac
++
=
−

b/
++
=
+−
sin A sin B sin C A B
cot g .cot g
sin A sin B sin C 2 2

c/
2
tgA 2tgB tgA.tg B+=
d/
CC
a cot g tgA b tgB cot g
22
⎛⎞⎛
−= −
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
⎞
⎟
⎠


b/
cc

cos2Bbsin2B
=+
c/
++
sin 3A sin 3B sin 3C 0
=
d/
()()
4S a b c a c b=+− +−
8. Chứng minh
A
BC
Δ
đều nếu
a/
()
2acosA bcosB ccosC a b c++ =++
b/
()
=++
23 3 3
3S 2R sin A sin B sin C
c/
si

n A sin B sin C 4 sin A sin B sin C