Ma trận con
Đònh thức
1
Ma trận con
Ma trận con cấp k
Ma trận con tương ứng với một phần tử
2
Đònh thức
Tính đònh thức bằng đònh nghóa
Tính đònh thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Ma trận con cấp k
Ma trận con tương ứng với một phần tử
Ma trận con cấp k
Đònh nghóa (Ma trận con cấp k)
Cho A = (a
ij
)
m×n
. Ma trận con cấp k của A là ma trận có được bằng
cách lấy giao của k dòng, k cột bất kỳ của A (k ≤ m, k ≤ n). Kí hiệu
A
{m
1
, ,m
k
; n
1

1
, ,m
k
; n
1
, ,n
k
}
Ví dụ
Cho A =


0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11


Khi đó A
{1,2; 1,2}
=
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Ma trận con cấp k
Ma trận con tương ứng với một phần tử
Ma trận con cấp k
Đònh nghóa (Ma trận con cấp k)
Cho A = (a
ij
)

=
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Ma trận con cấp k
Ma trận con tương ứng với một phần tử
Ma trận con cấp k
Đònh nghóa (Ma trận con cấp k)
Cho A = (a
ij
)
m×n
. Ma trận con cấp k của A là ma trận có được bằng
cách lấy giao của k dòng, k cột bất kỳ của A (k ≤ m, k ≤ n). Kí hiệu
A
m
1
, ,m
k
; n
1
, ,n
k
Ví dụ
Cho A =


0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11

Đònh thức
Ma trận con cấp k
Ma trận con tương ứng với một phần tử
Ma trận con tương ứng với một phần tử
Đònh nghóa (Ma trận con tương ứng với một phần tử)
Cho A = (a
ij
)
n×n
. Ma trận con tương ứng với phần tử a
ij
của A, kí hiệu
là M
ij
, có được bằng cách bỏ đi dòng i và cột j của A.
Ví dụ: Cho A =


0 1 2
3 4 5
6 7 8


. Khi đó
M
11
=
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức

, . . . , M
23
=
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Ma trận con cấp k
Ma trận con tương ứng với một phần tử
Ma trận con tương ứng với một phần tử
Đònh nghóa
Cho A = (a
ij
)
n×n
. Ma trận con tương ứng với phần tử a
ij
của A, kí hiệu
là M
ij
, có được bằng cách bỏ đi dòng i và cột j của A.
Ví dụ: Cho A =


0 1 2
3 4 5
6 7 8


. Khi đó
M

, có được bằng cách bỏ đi dòng i và cột j của A.
Ví dụ: Cho A =


0 1 2
3 4 5
6 7 8


. Khi đó
M
11
=

4 5
7 8

, . . . , M
23
=

0 1
6 7

, . . . , M
33
=

0 1
3 4

.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
· · · a
nn



. Đònh thức của A, kí hiệu là
detA hay |A|, được xác đònh bởi
n = 1 : detA = det(a
11
) = a
11
n ≥ 2 :
|A| = (−1)
1+1
a
11
|M
11
| + (−1)
1+2

b. Cho A =

2 −1
3 −2

Ta có |A| = 2(−2) − (−1)3 = −1
c. Cho A =


a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33


Ta có |A| = (−1)

23
a
31
a
33




+
(−1)
1+3
a
13




a
21
a
22
a
31
a
32





− a
23
a
32
a
11
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Tính đònh thức bằng đònh nghóa
Tính đònh thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất
Đònh thức
Vậy với A =


a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31

21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33


|A| = a
11
a
22
a
33
+a
12
a
23
a
31
+ · · ·
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Tính đònh thức bằng đònh nghóa

a
33
+ a
12
a
23
a
31
+a
21
a
32
a
13
+ · · ·
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Tính đònh thức bằng đònh nghóa
Tính đònh thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất
Đònh thức
Vậy với A =


a
11
a
12
a

32
a
13
−a
13
a
22
a
31
+ · · ·
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Tính đònh thức bằng đònh nghóa
Tính đònh thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất
Đònh thức
Vậy với A =


a
11
a
12
a
13
a
21
a
22

a
22
a
31
−a
12
a
21
a
33
+ · · ·
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Tính đònh thức bằng đònh nghóa
Tính đònh thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất
Đònh thức
Vậy với A =


a
11
a
12
a
13
a
21
a

13
a
22
a
31
− a
12
a
21
a
33
−a
23
a
32
a
11
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Tính đònh thức bằng đònh nghóa
Tính đònh thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất
Đònh thức
Vậy với A =


a
11
a

+ a
21
a
32
a
13
−a
13
a
22
a
31
− a
12
a
21
a
33
− a
23
a
32
a
11
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Tính đònh thức bằng đònh nghóa
Tính đònh thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất

1 2 3
4 5 6
7 8 9


d
1
↔d
2
→


4 5 6
1 2 3
7 8 9


Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Tính đònh thức bằng đònh nghóa
Tính đònh thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất
Các phép biến đổi sơ cấp
Ví dụ:
Cho A =


1 2 3
4 5 6



9 12 15
4 5 6
7 8 9


Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Tính đònh thức bằng đònh nghóa
Tính đònh thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất
Đònh lý
1
P1: Hoán vò 2 dòng/cột làm đònh thức đổi dấu.
2
P2: Nhân một dòng/cột với một số k = 0 làm đònh thức biến đổi
gấp k lần.
3
P3: Nhân một dòng/cột với một số k rồi cộng vào một dòng/cột
khác không làm đònh thức thay đổi.
Ví dụ
Cho A =


1 0 −3
2 1 1
−1 2 0


b. A =


1 0 −3
2 1 1
−1 2 0


d
1
=2d
1
→


2 0 −6
2 1 1
−1 2 0


= C
⇒ |C| = − 34
c. A =


1 0 −3
2 1 1
−1 2 0



a
i1
|M
i1
| + (−1)
i+2
a
i2
|M
i2
| + · · · + (−1)
i+n
a
in
|M
in
|
|A|
c
j
= (−1)
1+j
a
1j
|M
1j
| + (−1)
2+j
a
2j





1 0 −3 1
−2 1 1 0
1 2 −1 3
−3 1 1 0




⇒ |A|
c
4
= (−1)
1+4
.1.






−2 1 1
1 2 −1
−3 1 1


