BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
________________ Đặng Minh Hải CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ
VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CHÚNG
TRONG DẠY HỌC TOÁN PHỔ THÔNG
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS.LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG
Thành phố Hồ Chí Minh - 2009
GK
CB10
: Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản hiện hành
GK
CB11
: Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 cơ bản hiện hành
GK
CB12
: Sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản hiện hành
GV
NC10
: Sách giáo viên Đại số 10 nâng cao hiện hành
GV
NC11
: Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 nâng cao hiện hành
GV
NC12
: Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao hiện hành
GV
CB10
: Sách giáo viên Đại số 10 cơ bản hiện hành
GV
CB11
: Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 cơ bản hiện hành
GV
CB12
: Sách giáo viên Giải tích 12 cơ bản hiện hành
SGK : Sách giáo khoa
SGV : Sách giáo viên


3
+bx
2
+cx+d, hàm
đa thức bậc bốn trùng phương y=ax
4
+bx
2
+c, hàm phân thức
ax b
y
cx d



(c≠0, ad-bc≠0),
hàm phân thức
2
ax bx c
y
a' x b'




(a≠0, a’≠0)
1
. Có thể thấy rõ một đặc trưng chung là các hàm
số này đồng thời liên tục và khả vi trên các khoảng đơn điệu của nó. Với tư cách đối tượng
2

tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số. Bên cạnh đó, lý thuyết tình huống với
các khái niệm: tình huống dạy học, biến didactic, môi trường được sử d
ụng nhằm xây dựng
các tình huống thực nghiệm. Ngoài ra, khái niệm hợp đồng didactic sẽ được sử dụng nhằm
một mặt làm rõ mối quan hệ thể chế, mặt khác khái niệm này giúp giải thích các ứng xử của
học sinh liên quan đến mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số.

Trong phạm vi lý thuyết đã lựa chọn, từ các câu hỏi ban đầu, chúng tôi phát biểu các
câu hỏi nghiên cứu như sau:
Q1: Ở cấp độ tri thức khoa học, có thể có những mối liên hệ nào giữa tính đơn điệu,
tính liên tục và sự khả vi của hàm số?
Q2: Trong thể chế dạy học toán phổ thông Việt Nam, mối quan hệ thể chế với mối liên
hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tụ
c và sự khả vi của hàm số được hình thành ra sao?
Có những đặc trưng và ràng buộc nào? So với tri thức khoa học, mối liên hệ nào được
đặt ra? Mối liên hệ nào không được đặt ra? Vì sao? Sự biểu diễn hàm số bằng hệ
thống biểu đạt đồ thị có được tính đến như một môi trường cho phép làm rõ mối liên
hệ giữa các đối tượng: tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số
không?
Q3: Những ràng buộc của thể chế ảnh hưởng thế nào đến mối quan hệ cá nhân của
học sinh?
3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu
Trong khuôn khổ một luận văn thạc sĩ, bám sát những câu hỏi đã đặt ra, chúng tôi giới
hạn vấn đề nghiên cứu của mình trên các mối liên hệ giữa ba tính chất đơn điệu, liên tục,
khả vi của hàm số. Mục đích của luận văn là đi tìm một số yếu tố cho phép trả lời các câu
hỏi nghiên cứu Q1, Q2, Q3 đã đặt ra ở trên. Trên cơ sở đó, chúng tôi sẽ tiế
n hành những
nghiên cứu sau:
-Nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức khoa học về các mối liên hệ giữa tính đơn điệu,
tính liên tục và sự khả vi của hàm số bằng cách phân tích một số giáo trình đại học tiêu biểu.

Chương 1 : MỐI LIÊN HỆ GIỮA BA ĐỐI TƯỢNG TÍNH ĐƠN
ĐIỆU, TÍNH LIÊN TỤC VÀ SỰ KHẢ VI CỦA HÀM SỐ Ở CẤP
ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC

Mục tiêu của chương là tìm câu trả lời cho câu hỏi sau :
Ở cấp độ tri thức khoa học, có thể có những mối liên hệ nào giữa tính đơn điệu, tính liên
tục và sự khả vi của hàm số?
Để đạt được mục tiêu này, chúng tôi chọn nghiên cứu các giáo trình :
 [21]-Nguyễn Đình Trí (2008)-Toán học cao cấp tập 2-Phép tính giải tích một biến
số-Nhà Xuất Bản Giáo Dục.
 [22]-Jean-Marie Monier (2002)-Giáo trình toán tập 1-Giải tích 1
-Nhà xuất bản Giáo
dục.
[21] là giáo trình toán được dùng phổ biến trong các trường đại học ở Việt Nam. [22] là
cuốn sách được xuất bản trong khuôn khổ chương trình đào tạo kĩ sư chất lượng cao tại Việt
Nam, với sự trợ giúp của bộ phận Văn hóa và Hợp tác của Đại Sứ quán Pháp tại nước Cộng
hòa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam. Đây là hai tài liệu tham khảo chính. Ngoài ra, ở mộ
t số nội
dung, để làm rõ vấn đề chúng tôi cũng tham khảo thêm :
 [6]-Fichtengon (1977) – Cơ sở Giải tích toán học - NXB Đại học và Trung học
chuyên nghiệp.

 [23]-Richard F. Bass (2009), Real Analysis, (www.math.uconn.edu/~bass/meas.pdf).
 [24]-Israel Kleiner (1989), Evolution of the Function Concept: A Brief Survey, The
College Mathematics Journal, Vol. 20, No. 4 (Sep), tr.282-300 Mathematical
Association of America.


x Jx x fx fx 
Giảm nghiêm ngặt trên J nếu
12 1 2 1 2
,, ()()
x
x Jx x fx fx 
Hàm số tăng hay giảm trên J được gọi là đơn điệu trên J.” [21, tr.46]
Định nghĩa hàm đơn điệu trong [22]:
“ Cho
()
X
R và
X
f
R
2

1)Ta nói f tăng khi và chỉ khi :
2
12 12 1 2 1 2
(, ) ,(, , () ())
x
xXxxXxxfxfx 
2) Ta nói f giảm khi và chỉ khi :
2
12 12 1 2 1 2
(, ) ,(, , () ())
x
xXxxXxxfxfx 
3) Ta nói f tăng nghiêm ngặt khi và chỉ khi :

3
f là hàm số từ X vào R.

nghiêm ngặt”. [21] dùng thuật ngữ đơn điệu để chỉ hàm tăng hay giảm còn trong trường hợp
hàm “tăng (giảm) nghiêm ngặt” thì không có một thuật ngữ chung. [22] thì nêu rõ “
Ta nói f
đơn điệu khi và chỉ khi f tăng hoặc f giảm.”
và “Ta nói f đơn điệu nghiêm ngặt khi và chỉ
khi f tăng nghiêm ngặt hoặc f giảm nghiêm ngặt.”
. Từ đây về sau, trong luận văn này, khi
nói hàm đơn điệu ta hiểu hàm tăng hay giảm, khi nói hàm đơn điệu ngặt ta hiểu hàm tăng
hay giảm nghiêm ngặt.
1.1.2 Khái niệm hàm số liên tục
 Liên tục tại một điểm
“ Cho f(x) là một hàm số xác định trên (a,b); nói rằng f(x) liên tục tại (,)
o
x
ab nếu
lim ( ) ( )
o
o
xx
f
xfx


” [21, tr.89]
“Cho f: I →K,
aI . Ta nói f liên tục tại a khi và chỉ khi:
0, 0, ,( ( ) ( ) )xIxa fx fa

[,]
o
x
ab

là một điểm gián đoạn của f . Ta
nói
o
x
là điểm gián đoạn bỏ qua được nếu (0)(0)
oo
fx fx


5
;
o
x
là điểm gián
đoạn loại một nếu
(0),(0)
oo
f
xRfxR  nhưng (0)(0)
oo
fx fx , hiệu
(0)(0)
oo
fx fx  được gọi là bước nhảy của f tại
o




[…]
Gián đoạn loại 1
Ta nói f có điểm gián đoạn loại 1 tại a khi và chỉ khi: f không liên tục tại a, f
có giới hạn trái tại a (nếu f xác định bên trái a), f có giới hạn phải tại a (nếu f
xác định bên phải a).
Nếu f không liên tục tại a và không có điểm gián đoạn loại 1 tại a, thì ta nói f
có
điểm gián đoạn loại 2 tại a” [22, tr.120-121]
Nhận xét:
Cách định nghĩa điểm gián đoạn của [21] và [22] là giống nhau. Về cách phân loại, điểm
gián đoạn bỏ qua được và điểm gián đoạn loại 1 của [21] tương đương với điểm gián đoạn
loại 1 của [22].
 Liên tục trên khoảng
“Nói rằng hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a,b) nếu f(x) liên tục tại mọi (,)
x
ab

.”
[21, tr.91]
“Cho
:
f
IK
. Ta nói f liên tục trên I khi và chỉ khi f liên tục tại mọi điểm của I.”
[22, tr.121]
1.1.3 Khái niệm hàm số khả vi
“ Cho




Số A; giới hạn của tỉ số
() ()
,
fx fc
x
c
xc



, khi
x
c được gọi là đạo hàm của hàm
số f(x) lấy tại điểm x=c; và kí hiệu f’(c).”
[21, tr.119]
Nhận xét:
Hai cách định nghĩa về hình thức là khác nhau, nhưng thực chất là một. [21] nêu rõ điều này
qua nhận xét sau:
“Nếu đặt
x
cx
thì biểu thức định nghĩa trở thành
0
()()
lim : '( )
x
fc x fc

Chúng tôi bắt đầu bằng định lý 3.10 trong [21]
“ Điều kiện ắt có và đủ để một hàm số xác định, liên tục trên một khoảng (a,b) là một đơn
ánh là hàm số đơn điệu ngặt trên khoảng đó.”
[21, tr.103]
Nhận xét :
Mặc dù định lý phát biểu cho khoảng (a,b), xem xét cách chứng minh trong [21],
chúng tôi thấy rằng, nó vẫn đúng cho khoảng I bất kì. Do đó, ta có thể phát biểu lại định lý
trên như sau : “ cho hàm số f liên tục trên khoảng I. Khi đó, f đơn điệu ngặt trên I khi và
chỉ khi nó đơn ánh trên khoảng đó ”. Định lý trên đề cập đến mối liên hệ giữa tính đơn
điệu ngặt và sự đơn ánh của một hàm liên tục trên một kho
ảng I nào đó. Dễ dàng nhận thấy,
một hàm đơn điệu ngặt trên I thì đơn ánh trên I, nhưng nếu nó đơn ánh trên I thì chưa chắc
đã đơn điệu trên khoảng đó. Điều này được nêu rõ trong [22] :
“ Mọi ánh xạ đơn điệu nghiêm ngặt đều là đơn ánh ; nhưng điều ngược lại không
đúng như ở ví dụ sau :

O
x
2 1
1
2
4
y
,1à1
1, 1
1, 1

 




fR
xx
x
xx

Rõ ràng, f đơn điệu tăng trên [0,2] nhưng
bị gián đoạn tại x=1 nên không liên tục
trên [0,2]. Ta thấy đồ thị của nó là một
đường đi lên từ trái sang phải nhưng
không liên nét trên [0 ;2].

Như vậy, một hàm đơn điệu trên I vẫn có thể bị gián đoạn trên I. Nhưng tập các điểm gián
đoạn và loại của điểm gián đoạn của một hàm đơn điệu trên khoảng I lại
khá “ đặc biệt ”:
 Một hàm đơn điệu trên I thì các điểm gián đoạn nếu có của nó chỉ có thể là điểm gián
đoạn loại 1.
 Một hàm đơn điệu trên I thì tập các điểm gián đoạn của nó nhiều nhất đếm được ”
(tham khảo [25])
Từ đó ta thấy rằng, một hàm đơn điệu trên I vẫn có thể không liên tục trên khoảng đ
ó, điểm
gián đoạn nếu có chỉ có thể có các điểm gián đoạn loại 1 và tập các điểm gián đoạn của nó
là đếm được. Ta đặt ra câu hỏi:
một hàm số đơn điệu trên I cần thỏa mãn thêm điều kiện gì
để liên tục trên I ?

Xét định lí sau:

“Nếu tập các giá trị mà hàm đơn điệu tăng (giảm) f(x) lấy khi x biến thiên trong
khoảng I thuộc khoảng J và lấp đầy khoảng đó thì hàm f(x) liên tục trong khoảng

a
x (a>0, a≠1), hàm lũy thừa y = x
µ
(µ>0 hay µ<0),
các hàm lượng giác, các hàm lượng giác ngược thì phải nhờ đến định lý (*). Chẳng hạn:
“2
o
. Hàm mũ y = a
x
(a>1) đơn điệu tăng khi x biến thiên trong khoảng X=(-
∞;+∞). Giá trị của nó dương và lấp đầy toàn khoảng Y=(0;+∞), điều đó rõ ràng vì
lôgarit x = log
a
y tồn tại đối với bất kì y>0. Thành thử hàm mũ liên tục với giá trị x
bất kì.”
[6, tr.95]
Độc giả quan tâm có thể tham khảo thêm [6, tr.95-96].

Kết luận
Ta có một số tính chất sau thể hiện mối liên hệ giữa tính đơn điệu và liên tục của hàm số:
 Hàm đơn điệu trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn) có thể không liên tục trên I.
Hàm đơn điệu trên I thì chỉ có thể có điểm gián đoạn loại 1 và tập các điểm gián
đoạn của nó trên I nhiều nhất là đếm được.

Hàm liên tục và đơn ánh trên I thì đơn điệu ngặt trên I.

 Hàm đơn điệu trên khoảng I, biến I thành một khoảng của R thì liên tục trên I.
1.2.2 Liên tục-Khả vi
Sau định nghĩa hàm khả vi tại một điểm, [22] đưa ra mệnh đề sau:
“Cho


Liên tục tại 0 nhưng không khả vi tại 0, vì
0
01
0,
h
h
h
h
h



  

iii)
:
1
sin , 0
0,0








“đến khoảng những năm 1870,

nhiều bài viết về giải tích đã chứng minh một hàm số liên tục thì khả vi trừ ra tại một số hữu
hạn các điểm, ngay cả Cauchy
6
cũng tin như vậy” ([24 , tr.293]). Năm 1872, Weierstrass đã
làm sửng sốt cộng đồng toán học khi đưa ra một ví dụ nổi tiếng về một hàm liên tục trên tập
số thực nhưng không khả vi tại điểm nào cả:

0
() cos
nn
n
f
xbax






trong đó a là số nguyên lẻ, b là số thực trong khoảng (0,1) và
3
1
2
ab

 (Bolzano đã đưa ra
một ví dụ như thế vào năm 1834 nhưng không được chú ý) (tham khảo [24, tr.293]).
Như vậy, đã có một giai đoạn trong lịch sử người ta tin rằng, một hàm liên tục chỉ có thể

thì f khả vi tại x
o
và f’(x
o
)=l, và do đó f’ liên tục tại x
o
.” [22, tr.161]
Định lí trên chỉ ra rằng hàm số
f : I→R liên tục tại x
o
nếu khả vi tại mọi điểm của I khác x
o

và
f’ có giới hạn hữu hạn l tại x
o
thì nó khả vi tại x
o
và f’(x
o
)=l .
Kết luận
Với cực liên tục – khả vi, ta có kết luận sau:
 Hàm khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó.
 Hàm liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó.
 Tồn tại một chướng ngại khoa học luận: Hàm số liên tục trên một khoảng
thì khả vi trên khoảng đó, trừ
ra một số hữu hạn điểm.

6

cách thay tăng bởi giảm và
 0 bởi

0.” [22, tr.164-165]
Nhận xét:
Phát biểu trên trong [21] và [22] cho thấy khi hàm số f(x) liên tục trên I ( khoảng,
nửa khoảng, đoạn), khả vi trên
o
I
7
thì hàm đơn điệu tăng (giảm) trên I khi và chỉ khi f’(x)≥0
(f’(x)≤0)
với mọi x thuộc
o
I
.
Về đơn điệu nghiêm ngặt, [22] đưa ra định lí sau:
“Định lý 2: Cho f: I→R liên tục trên I, khả vi trên
o
I
. Để f tăng nghiêm ngặt, điều
kiện cần và đủ là:
,'()0 
o
xIfx và {

o
x
I
, f’(x)=0} không chứa bất kì một khoảng có phần trong

x
2
1
1
4
y
Một giả thuyết quan trọng của các phát biểu trên là f khả vi trên phần trong của khoảng đang
xét, ta đặt ra câu hỏi:
“tồn tại hay không những hàm không khả vi trên
o
I
nhưng vẫn đơn
điệu trên I ?”.
Vấn đề này không được đưa ra trong [21] và [22] nhưng có thể trả lời ngay
rằng:
tồn tại những hàm không khả vi trên
o
I
nhưng vẫn đơn điệu trên khoảng đó. Ta sẽ thấy
rõ qua ví dụ sau:

Ví dụ:
:(0,2)
,(0,1)
32, [1,2)






I
thì f tăng (giảm) nghiêm ngặt khi và chỉ khi
f’(x)≥0 (f’(x)≤0) trên
o
I
và {

o
x
I
, f’(x)=0} không chứa bất kì một khoảng nào có
phần trong khác rỗng.
 Hàm đơn điệu trên I có thể không khả vi trên I.
 Hàm đơn điệu trên I thì khả vi hầu khắp nơi trên I.

1.3 Kết luận chương 1
Từ những phân tích trên, có thể thấy rõ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi có
nhiều mối liên hệ qua lại với nhau, chúng tôi thể hiện bằng sơ đồ sau: Để thấy rõ ý nghĩa của các mối liên hệ giữa 3 đối tượng này, chúng tôi tổng kết dưới dạng
các câu hỏi và câu trả lời đối với từng cực:
Cực Đơn
điệu-Liên tục
Hàm số đơn điệu trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn) có liên tục trên I không?
 Hàm đơn điệu trên I có thể không liên tục trên I.
Như vậy một hàm số đơn điệu trên I có thể không liên tục trên I.

I , f’(x)=0} không chứa bất kì một khoảng nào có
phần trong khác rỗng.
Liên tục
Khả vi
Đơn điệu

Một hệ quả được rút ra: Hàm f liên tục trên I, khả vi trên
o
I
thì f tăng (giảm) nghiêm
ngặt khi f’(x)≥0 (f’(x)≤0) trên
o
I
và tập các điểm làm đạo hàm triệt tiêu trên I nhiều
nhất đếm được.
Hàm số đơn điệu trên I có khả vi trên I không?
 Hàm đơn điệu trên I có thể không khả vi trên I.
Như vậy, một hàm số đơn điệu trên I có thể không khả vi trên I.
Tập các điểm không khả vi
của hàm số trên I (các điểm thuộc I mà tại đó hàm số không khả vi) có gì đặc biệt?

 Hàm đơn điệu trên I thì khả vi hầu khắp nơi trên I (tập các điểm thuộc I mà tại đó
hàm số không khả vi có độ đo lesbgue bằng 0).
Cực Liên tục-Khả vi
Mối liên hệ liên tục-khả vi là mối liên hệ một chiều:
 Hàm khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó.
 Hàm liên tục tại một điểm có th
ể không khả vi tại điểm đó.
Có chướng ngại khoa học luận nào liên quan đến mối liên hệ này?
 Hàm số liên tục trên một khoảng thì khả vi trên khoảng đó, trừ ra một số hữu hạn

Tính chất “hàm số khả vi tại điểm nào thì liên tục tại điểm đó” có được đề cập không? Đặc
biệt, có hay không sự xuất hiện của hàm số liên tục tại một điểm nhưng không khả vi tại
điểm đó? Việc minh họa bằng đồ thị có được tính đến không? Có những kiểu nhiệm vụ nào
liên quan?

Chương 2
MỐI LIÊN HỆ GIỮA BA ĐỐI TƯỢNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU, TÍNH
LIÊN TỤC VÀ SỰ KHẢ VI CỦA HÀM SỐ
Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY

Mục tiêu chính của chương là làm rõ mối quan hệ thể chế với các mối liên hệ giữa tính
đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số. Cụ thể, đối với từng mối liên hệ chúng tôi sẽ
tập trung tìm câu trả lời cho các câu hỏi được đặt ra ở cuối chương 1. Thể chế mà chúng tôi
quan tâm ở đây là thể chế dạy học toán Trung học phổ thông Việt Nam.
Khái niệm hàm s
ố đơn điệu (đồng biến hay nghịch biến) được đưa vào ở lớp 9 nhưng
chưa tổng quát (định nghĩa trên R). HS được làm quen với tính đồng biến nghịch biến của
hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai. Đến đầu lớp 10, một định nghĩa tổng quát hơn được
đưa vào, cho đến lúc này, khái niệm liên tục chỉ hoạt động ngầm ẩn. Đến cuối lớ
p 11, khái
niệm liên tục được chính thức đưa vào giảng dạy trong chương Giới hạn. Trong chương kế
tiếp, chương Đạo hàm, khái niệm đạo hàm xuất hiện, ngay trong chương này mối quan hệ
liên tục-khả vi được thể hiện rõ. Đến đầu năm lớp 12, trong chương ứng dụng đạo hàm để
khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, mối liên hệ đơn điệu-khả vi mới được đề cập. Như vậy, để trả
lời các câu hỏi đã đặt ra, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích SGK ở cả 3 cấp lớp 10 (Đại số),
11 (Đại số và Giải tích) và 12 (Giải tích). Hiện tại có hai bộ sách toán đang được sử dụng,
bộ sách nâng cao và bộ sách cơ bản. Chúng tôi chọn phân tích cả hai bộ sách này. Để thuận
lợi trong trình bày, chúng tôi sử dụng các kí hiệu GK
NC10
, GK
Liên tục
Khả vi
Đơn điệu
Trước hết chúng tôi sẽ tập trung phân tích SGK nâng cao, trên cơ sở đó, đối với SGK cơ bản
chúng tôi chỉ làm rõ những điểm giống và khác SGK nâng cao. Cũng cần nói rõ thêm, định
nghĩa hàm số đơn đơn điệu ở bậc phổ thông ứng với định nghĩa hàm số đơn điệu nghiêm
ngặt ở bậc đại học. Tuy nhiên, sự khác biệt này không ảnh hưởng đến việc tham chiếu các
tính ch
ất đã nêu ở chương 1 vào phân tích trong chương 2 vì các tính chất ấy (ngoại trừ một
số tính chất đã phân biệt rõ đơn điệu và đơn điệu nghiêm ngặt) vẫn đúng cho các hàm số
đơn điệu nghiêm ngặt.
2.1 Mối liên hệ đơn điệu-liên tục
Theo Trần Anh Dũng (2005), trước khi được giảng dạy tường minh, khái niệm hàm số
liên tục hoạt động ngầm ẩ
n thông qua đặc trưng tổng thể “đồ thị là đường nét”. Do đó, để
làm rõ mối liên hệ này, chúng tôi chọn phân tích SGK ở hai thời điểm, thời điểm định nghĩa
hàm số đơn điệu (hàm số đồng biến, nghịch biến) được chính thức đưa vào và khái niệm
hàm số liên tục đang ở giai đoạn ngầm ẩn; thời điểm khái niệm hàm số liên tục đượ
c giảng
dạy tường minh. Đối với thời điểm thứ nhất, chúng tôi chủ yếu tập trung phân tích chương
1, SGK đại số lớp 10 của cả hai bộ sách vì khái niệm hàm số đơn điệu, với tư cách đối
tượng, chỉ được nghiên cứu trong chương này. Bên cạnh đó, ở lớp 11, chúng tôi cũng lướt
qua một số hàm số lượng giác mà tính biến thiên của chúng cũng được đề c
ập trước khi khái
niệm liên tục xuất hiện chính thức. Đối với thời điểm thứ 2, chúng tôi sẽ chỉ tập trung phân
tích bài hàm số liên tục trong chương giới hạn hàm số, SGK đại số và giải tích lớp 11.
Chính trong bài này, hai phương diện đối tượng và công cụ của khái niệm liên tục được đề
cập, mối liên hệ đơn điệu-liên tục có thể được đề cập.

) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên R.
Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1
)>f(x
2
) thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên R.”
[3, tr.44]
Có thể thấy rõ, ở cấp lớp này, khái niệm hàm số đơn điệu được định nghĩa trên chưa
thực sự tổng quát (hàm số đơn điệu trên R). Đến lớp 10, GK
NC10
đưa ra định nghĩa tổng quát
hơn trong bài 1:
“Cho hàm số f xác định trên K
Hàm số f gọi là đồng biến (hay tăng) nếu
12 1 2 1 2
x
,x K,x x f(x ) f(x )   ;
Hàm số f gọi là nghịch biến (hay giảm) nếu
12 1 2 1 2
x
,x K,x x f(x ) f(x )   .”
[GK
NC10
, tr.38]
ở đây K không phải là R mà là một tập con của nó: “ta luôn hiểu K là một khoảng (nửa
khoảng hay đoạn) nào đó của R”. [GK

,x K
12
và
x
x
12
,




fx fx
xx



21
21
0
Hàm số f nghịch biến trên K khi và chỉ khi: x
,x K
12
và
x
x
12
,

từ trái sang phải )”[GK
NC10
, tr 38]
Qua hai trích dẫn trên, GK
NC10
cung cấp kĩ thuật xét tính biến thiên của hàm số trong
trường hợp hàm số được cho bằng công thức và đồ thị. Đối với hàm số cho bằng công thức,
có hai kĩ thuật đại số là dùng định nghĩa và xét dấu tỉ số




f
xfx
xx


21
21
. Đối với hàm số
cho bằng đồ thị thì dùng kĩ thuật đọc đồ thị: từ trái sang phải nếu đồ thị đi lên thì hàm số
đồng biến, nếu đồ thị đi xuống thì hàm số nghịch biến. Phù hợp với điều này, GV
NC10
viết:
“ -Khi cho hàm số bằng biểu thức, học sinh cần:
[…]
+Biết chứng minh tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số đơn giản trên một
khoảng(đoạn hoặc nửa khoảng) cho trước bằng cách xét dấu tỉ số biến thiên.
[…]
-Khi cho hàm số bằng đồ thị học, sinh cần: