BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
________________ Đặng Minh Hải CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ
VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CHÚNG
TRONG DẠY HỌC TOÁN PHỔ THÔNG
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS.LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG
Thành phố Hồ Chí Minh - 2009


: Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản hiện hành
GK
CB11
: Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 cơ bản hiện hành
GK
CB12
: Sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản hiện hành
GV
NC10
: Sách giáo viên Đại số 10 nâng cao hiện hành
GV
NC11
: Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 nâng cao hiện hành
GV
NC12
: Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao hiện hành
GV
CB10
: Sách giáo viên Đại số 10 cơ bản hiện hành
GV
CB11
: Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 cơ bản hiện hành
GV
CB12
: Sách giáo viên Giải tích 12 cơ bản hiện hành
SGK : Sách giáo khoa
SGV : Sách giáo viên
MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Trong chương trình toán ở trường phổ thông, các tính chất đơn điệu, liên tục, khả vi của hàm số

1
. Có thể thấy rõ một đặc trưng chung là các hàm số này đồng thời liên tục và khả vi trên các
khoảng đơn điệu của nó. Với tư cách đối tượng
2
, các khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục,
hàm số khả vi đã được nghiên cứu ở các lớp 10, 11. Điều này khiến chúng tôi tự hỏi rằng: mối liên
hệ giữa ba khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục, đạo hàm được thể hiện như thế nào? Có
chênh lệch gì so với các mối liên hệ của chúng ở cấp độ tri thức khoa học?
Khi chúng tôi học giải tích ở bậc đại học, các giảng viên luôn nhấn mạnh mối liên hệ liên tục-
khả vi, đặc biệt là tính chất “một hàm số liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó”. Các
minh họa bằng đồ thị theo sau các chứng minh chặt chẽ trên các phản ví dụ đã giúp chúng tôi hiểu
rõ vấn đề, đặc biệt nhờ trực giác hình học, chúng tôi có thể dễ dàng xây dựng các phản ví dụ kiểu
này. Như vậy, đồ thị là công cụ hữu hiệu trong việc minh họa trực quan mối liên hệ liên tục-khả vi.
Ở phổ thông, điều này có được tính đến không ? Rộng hơn, đồ thị có được tính đến như một công cụ
cho phép làm rõ các mối liên hệ giữa ba đối tượng: đơn điệu, liên tục, khả vi của hàm số không ?
Từ những vấn đề trên, chúng tôi thấy việc nghiên cứu “Các tính chất của hàm số và mối liên hệ
giữa chúng trong dạy học Toán phổ thông” là cần thiết.
2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Nhằm tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm
vi lý thuyết didactic toán, cụ thể là lý thuyết nhân chủng học với các khái niệm : Chuyển đổi
didactic, tổ chức toán học, mối quan hệ thể chế và mối quan hệ cá nhân với một đối tượng tri thức.
Đây là công cụ hữu hiệu làm rõ mối quan hệ thể chế với mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục
và sự khả vi của hàm số. Bên cạnh đó, lý thuyết tình huống với các khái niệm: tình huống dạy học,
biến didactic, môi trường được sử dụng nhằm xây dựng các tình huống thực nghiệm. Ngoài ra, khái
niệm hợp đồng didactic sẽ được sử dụng nhằm một mặt làm rõ mối quan hệ thể chế, mặt khác khái

1
Chỉ đề cập trong SGK nâng cao.
2
Theo Lê Văn Tiến (2005): “Trong phạm vi toán học ở trường phổ thông, ta hiểu một khái niệm hoạt động dưới dạng Đối tượng

-Nghiên cứu thực nghiệm, nghiên cứu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá
nhân của HS. Nghiên cứu này nhằm trả lời một phần câu hỏi Q3 và câu hỏi được đặt ra liên quan
đến đồ thị.
4. Tổ chức của luận văn
Luận văn gồm phần mở đầu, 3 chương và kết luận chung.
Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày câu hỏi ban đầu, khung lý thuyết tham chiếu, mục
đích và phương pháp nghiên cứu, tổ chức của luận văn.
Chương 1 là phần trình bày nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức khoa học từ việc phân tích
một số giáo trình đại học.
Trong chương 2, chúng tôi trình bày phần nghiên cứu mối quan hệ thể chế với mối liên hệ
giữa ba đối tượng tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số. Trên cơ sở đó, chúng tôi đề
xuất các giả thuyết nghiên cứu và đặt câu hỏi mới.
Chương 3 là phần nghiên cứu thực nghiệm. Thực nghiệm thứ nhất nhằm kiểm chứng tính
thỏa đáng của giả thuyết đã nêu và tìm kiếm các yếu tố trả lời cho câu hỏi được đặt ra ở cuối
chương 2. Thực nghiệm thứ hai nhằm tìm hiểu tác động của đồ thị lên mối quan hệ cá nhân của học
sinh
Phần kết luận, chúng tôi tóm tắt những kết quả đã nghiên cứu và đề xuất hướng nghiên cứu
mới mở ra từ luận văn. Chương 1
MỐI LIÊN HỆ GIỮA BA ĐỐI TƯỢNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU, TÍNH
LIÊN TỤC VÀ SỰ KHẢ VI CỦA HÀM SỐ
Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC

Mục tiêu của chương là tìm câu trả lời cho câu hỏi sau :
Ở cấp độ tri thức khoa học, có thể có những mối liên hệ nào giữa tính đơn điệu, tính liên tục và
sự khả vi của hàm số?
Để đạt được mục tiêu này, chúng tôi chọn nghiên cứu các giáo trình :
 [21]-Nguyễn Đình Trí (2008)-Toán học cao cấp tập 2-Phép tính giải tích một biến số-Nhà

I

R
3
, hàm số f:I→R được gọi là tăng trên J nếu
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
x x J x x f x f x
   

Tăng nghiêm ngặt trên J nếu
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
x x J x x f x f x
   

Giảm trên J nếu
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
x x J x x f x f x
   

Giảm nghiêm ngặt trên J nếu
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
x x J x x f x f x
   

Hàm số tăng hay giảm trên J được gọi là đơn điệu trên J.” [21, tr.46]
Định nghĩa hàm đơn điệu trong [22]:

     

4) Ta nói f giảm nghiêm ngặt khi và chỉ khi :
2
1 2 1 2 1 2 1 2
( , ) , ( , , ( ) ( ))
x x X x x X x x f x f x
     

5)Ta nói f đơn điệu khi và chỉ khi f tăng hoặc f giảm.
6)Ta nói f đơn điệu nghiêm ngặt khi và chỉ khi f tăng nghiêm ngặt hoặc f giảm nghiêm
ngặt. ”
5
[22, tr.103]
Nhận xét :
Theo cách trình bày của [21] và [22], khái niệm hàm số đơn điệu được xét trên một tập con bất kì
khác rỗng của R. Cả [21] và [22] đều phân biệt “tăng (giảm)” với “tăng (giảm) nghiêm ngặt”. [21]
dùng thuật ngữ đơn điệu để chỉ hàm tăng hay giảm còn trong trường hợp hàm “tăng (giảm) nghiêm
ngặt” thì không có một thuật ngữ chung. [22] thì nêu rõ “Ta nói f đơn điệu khi và chỉ khi f tăng hoặc

3
Trong [21] kí hiệu A

B nghĩa là mọi phần tử của A đều thuộc B hay A là tập con của B, A

B nghĩa là mọi phần tử của A
đều thuôc B, và B có ít nhất một phần tử không thuôc A hay A là tập con thực sự của B.
4
P(R) là tập các tập con của R, R
X

.”
6
[22, tr.120]
Nhận xét:
[21] và [22] định nghĩa khái niệm liên tục tại một điểm theo hai cách khác nhau. [21] thông qua khái
niệm giới hạn (tránh ngôn ngữ
,
 
), [22] định nghĩa trực tiếp bằng ngôn ngữ
,
 
(định nghĩa của
Weierstrass). Ngay sau định nghĩa trên, [22] đưa ra định lý: “Cho
:
f I K

,
a I

. Để f liên tục tại
a thì điều kiện cần và đủ là f có giới hạn là f(a) tại điểm a.”[22, tr.120], khẳng định sự tương đương
của hai định nghĩa trên.
Tiếp theo định nghĩa về sự liên tục của hàm tại một điểm, [21] và [22] đều đưa ra định nghĩa
về điểm gián đoạn và phân loại chúng:
“Hàm số f(x) không liên tục tại điểm
o
x
được gọi là gián đoạn tại điểm ấy.
Giả sử hàm f xác định trên đoạn [a,b],
[ , ]

  
được
gọi là bước nhảy của f tại
o
x
;
o
x
được gọi là điểm gián đoạn loại hai nếu nó không thuộc hai
loại trên.” [21, tr.90]
“Ta nói f gián đoạn tại a khi và chỉ khi f không liên tục tại a.
[…]
Gián đoạn loại 1
Ta nói f có điểm gián đoạn loại 1 tại a khi và chỉ khi: f không liên tục tại a, f có giới
hạn trái tại a (nếu f xác định bên trái a), f có giới hạn phải tại a (nếu f xác định bên
phải a).

6
I là một trong chín loại khoảng của R: [a,b], [a,b), (a,b], (a,b), (-∞;a), (-∞;a], (b,+∞), [b,+∞), (-∞;+∞). K là

hoặc R. Trong
luận văn này, ta hiểu K là R.
7

( 0) lim ( )
o
o
x x
f x f x


1.1.3 Khái niệm hàm số khả vi
“ Cho
a I

,
I
f K

. Ta nói f khả vi tại a khi và chỉ khi
0
( ) ( )
lim
h
f a h f a
h

 
tồn tại và hữu
hạn; giới hạn này được kí hiệu là f’(a) và được gọi là đạo hàm của f tại a.” [22, tr.139]
“Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b) nói rằng hàm số f(x) khả vi tại điểm
( , )
c a b


nếu tồn tại giới hạn
( ) ( )
lim ,
x c
f x f c
A x c

x
f c x f c
f c
x
 
  


” [21, tr.119]
Sau khi trình bày định nghĩa đạo hàm tại một điểm, cả [21] và [22] đều phân tích rõ ý nghĩa hình
học của đạo hàm.
“Đạo hàm tại mỗi điểm chính là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị của f(x) số tại điểm đó;
và một hàm số khả vi tại một điểm x=c có nghĩa là tại điểm x=c, đồ thị của f(x) có một tiếp
tuyến duy nhất không vuông góc với trục Ox.” [21, tr.120]
“[…] tính khả vi của f được diễn giải hình học bởi sự tồn tại của tiếp tuyến không song song
với (yy’) tại điểm A có tọa độ (a,f(a)) trên đường cong C
f
biểu diễn f.
Tiếp tuyến này có hệ số góc là f’(a)”.
Như vậy, về mặt hình học, một hàm số không khả vi tại một điểm nào đó nếu đồ thị của nó không
có tiếp tuyến tại điểm đó.
1.1.4 Kết luận
Xét trên định nghĩa thì các khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục, hàm số khả vi được định
nghĩa một cách độc lập nhau. Các mối liên hệ giữa ba đối tượng này không được thể hiện trong các
định nghĩa của chúng.
1.2 Mối liên hệ giữa ba khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục và hàm số khả vi
1.2.1 Đơn điệu-Liên tục
Chúng tôi bắt đầu bằng định lý 3.10 trong [21]
“ Điều kiện ắt có và đủ để một hàm số xác định, liên tục trên một khoảng (a,b) là một đơn ánh là
hàm số đơn điệu ngặt trên khoảng đó.” [21, tr.103]

Nhìn theo một góc độ khác, có thể nói một hàm liên tục trên khoảng I phải thỏa mãn thêm điều
kiện đơn ánh trên khoảng đó thì đơn điệu ngặt trên I.
Các tài liệu [21], [22] không đề cập đến tính liên tục của một hàm đơn điệu. Tuy nhiên, ta
biết rằng có những hàm đơn điệu trên một khoảng I nhưng không liên tục trên I, xét ví dụ sau:
O

x

2

1

1

2

4

y

Ví dụ :
:[0,2]
, [0,1)
2 , [1,2]







“
1
( ) sin ( 0), (0) 0
f x x f
x
  
” [6, tr.105]. Hàm đã cho biến [-2,2] thành [-1,1] nhưng rõ ràng
không liên tục trên [-2,2] vì nó bị gián đoạn tại x=0.
Định lý (*) chỉ ra rằng, điều ngược lại sẽ đúng nếu hàm thỏa mãn thêm điều kiện “đơn điệu trên
khoảng I”. Đến đây ta trả lời được câu hỏi “một hàm đơn điệu trên I thỏa mãn thêm điều kiện gì thì
liên tục trên I ?”. Phần tiếp theo dưới đây chúng tôi giới thiệu một ứng dụng quan trọng của định lí
này.
Chúng ta đều biết rằng, các hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định của chúng. Từ sự liên tục của
hàm hằng và hàm số y = x, ta dễ dàng chứng minh được sự liên tục của hàm đa thức, phân thức trên
tập xác định của chúng bằng cách dùng các định lí về tổng, hiệu, tích, thương của các hàm liên tục.
Nhưng việc chứng minh sự liên tục của các hàm sơ cấp cơ bản khác: hàm mũ y = a
x
(a>1), hàm
lôgarit y=log
a
x (a>0, a≠1), hàm lũy thừa y = x
µ
(µ>0 hay µ<0), các hàm lượng giác, các hàm lượng
giác ngược thì phải nhờ đến định lý (*). Chẳng hạn:
“2
o
. Hàm mũ y = a
x
(a>1) đơn điệu tăng khi x biến thiên trong khoảng X=(-∞;+∞).
Giá trị của nó dương và lấp đầy toàn khoảng Y=(0;+∞), điều đó rõ ràng vì lôgarit x = log

x x



Liên tục tại 0 nhưng không khả vi tại 0.
ii)
.:
R R
x x




Liên tục tại 0 nhưng không khả vi tại 0, vì
0
0 1
0,
h
h
h
h
h



   


sin
f h f
h h



không có giới hạn khi h→0.

[22, tr.142]
Vấn đề trên cũng được nêu rõ trong [21], nhưng không có ví dụ và minh họa rõ ràng bằng đồ thị
như [22].
Liên quan đến việc xem xét tính khả vi của một hàm liên tục trên một khoảng, đã từng có một
giai đoạn trong lịch sử (những năm nửa sau thế kỉ 19), người ta nghĩ rằng một hàm số liên tục thì
khả vi trừ ra tại một số hữu hạn các điểm: “đến khoảng những năm 1870, nhiều bài viết về giải tích
đã chứng minh một hàm số liên tục thì khả vi trừ ra tại một số hữu hạn các điểm, ngay cả Cauchy
8

cũng tin như vậy” ([24 , tr.293]). Năm 1872, Weierstrass đã làm sửng sốt cộng đồng toán học khi
đưa ra một ví dụ nổi tiếng về một hàm liên tục trên tập số thực nhưng không khả vi tại điểm nào cả:
 
0
( ) cos
n n
n
f x b a x






, I là một khoảng của R sao cho
o
o
x I

, f : I→R là một ánh xạ.
Nếu f liên tục tại x
o
, f khả vi tại I-{x
o
}, f’ có giới hạn hữu hạn là l tại x
o
thì f khả vi tại x
o
và f’(x
o
)=l, và do đó f’ liên tục tại x
o
.” [22, tr.161]
Định lí trên chỉ ra rằng hàm số f : I→R liên tục tại x
o
nếu khả vi tại mọi điểm của I khác x
o
và f’ có
giới hạn hữu hạn l tại x
o
thì nó khả vi tại x
o
và f’(x
o

f(a)>f(b) ( f(a)<f(b)).” [21, tr.161]
“Định lý 1: Cho f : I → R liên tục trên I, khả vi trên
o
I
. Để f tăng trên I điều kiện cần và đủ
là :
, '( ) 0
o
x I f x
  
.
[…] Khi khảo sát –f thay cho f, ta thu được định lý tương tự như định lý trên bằng cách thay
tăng bởi giảm và

0 bởi

0.” [22, tr.164-165]
Nhận xét:
O
x

2 1
1

4

y

Phát biểu trên trong [21] và [22] cho thấy khi hàm số f(x) liên tục trên I ( khoảng, nửa
khoảng, đoạn), khả vi trên

I
. Nếu
, '( ) 0
  
o
x I f x
và {

o
x I
, f’(x)=0} nhiều nhất đếm
được thì f tăng nghiêm ngặt”.
Một giả thuyết quan trọng của các phát biểu trên là f khả vi trên phần trong của khoảng đang xét, ta
đặt ra câu hỏi: “tồn tại hay không những hàm không khả vi trên
o
I
nhưng vẫn đơn điệu trên I ?”.
Vấn đề này không được đưa ra trong [21] và [22] nhưng có thể trả lời ngay rằng: tồn tại những hàm
không khả vi trên
o
I
nhưng vẫn đơn điệu trên khoảng đó. Ta sẽ thấy rõ qua ví dụ sau:
Ví dụ:
: (0,2)
, (0,1)
3 2 , [1,2)





o
I
.
 Hàm liên tục trên I, khả vi trên
o
I
thì f tăng (giảm) nghiêm ngặt khi và chỉ khi f’(x)≥0
(f’(x)≤0) trên
o
I
và {

o
x I
, f’(x)=0} không chứa bất kì một khoảng nào có phần trong khác
rỗng.
 Hàm đơn điệu trên I có thể không khả vi trên I.
 Hàm đơn điệu trên I thì khả vi hầu khắp nơi trên I.
1.3 Kết luận chương 1
Từ những phân tích trên, có thể thấy rõ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi có nhiều mối
liên hệ qua lại với nhau, chúng tôi thể hiện bằng sơ đồ sau: Để thấy rõ ý nghĩa của các mối liên hệ giữa 3 đối tượng này, chúng tôi tổng kết dưới dạng các câu
hỏi và câu trả lời đối với từng cực:
Cực Đơn điệu-Liên tục
Hàm số đơn điệu trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn) có liên tục trên I không?


o
x I
, f’(x)=0} không chứa bất kì một khoảng nào có phần trong khác
rỗng.
Một hệ quả được rút ra: Hàm f liên tục trên I, khả vi trên
o
I
thì f tăng (giảm) nghiêm ngặt khi
f’(x)≥0 (f’(x)≤0) trên
o
I
và tập các điểm làm đạo hàm triệt tiêu trên I nhiều nhất đếm được.
Hàm số đơn điệu trên I có khả vi trên I không?
 Hàm đơn điệu trên I có thể không khả vi trên I.
Như vậy, một hàm số đơn điệu trên I có thể không khả vi trên I. Tập các điểm không khả vi của hàm
số trên I (các điểm thuộc I mà tại đó hàm số không khả vi) có gì đặc biệt?
 Hàm đơn điệu trên I thì khả vi hầu khắp nơi trên I (tập các điểm thuộc I mà tại đó hàm số
không khả vi có độ đo lesbgue bằng 0).
Cực Liên tục-Khả vi
Mối liên hệ liên tục-khả vi là mối liên hệ một chiều:
 Hàm khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó.
 Hàm liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó.
Có chướng ngại khoa học luận nào liên quan đến mối liên hệ này?
 Hàm số liên tục trên một khoảng thì khả vi trên khoảng đó, trừ ra một số hữu hạn điểm.
Những kết quả đạt được trong chương này sẽ là cơ sở tham chiếu để chúng tôi tiến hành nghiên cứu
mối quan hệ thể chế ở chương 2, nghiên cứu này nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi Q2 :
Q2: Trong thể chế dạy học toán phổ thông Việt Nam, mối quan hệ thể chế với mối liên hệ giữa
tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số được hình thành ra sao? Có những đặc
trưng và ràng buộc nào? So với tri thức khoa học, mối liên hệ nào được đặt ra? Mối liên hệ

Khái niệm hàm số đơn điệu (đồng biến hay nghịch biến) được đưa vào ở lớp 9 nhưng chưa tổng
quát (định nghĩa trên R). HS được làm quen với tính đồng biến nghịch biến của hàm số bậc nhất và
hàm số bậc hai. Đến đầu lớp 10, một định nghĩa tổng quát hơn được đưa vào, cho đến lúc này, khái
niệm liên tục chỉ hoạt động ngầm ẩn. Đến cuối lớp 11, khái niệm liên tục được chính thức đưa vào
giảng dạy trong chương Giới hạn. Trong chương kế tiếp, chương Đạo hàm, khái niệm đạo hàm xuất
hiện, ngay trong chương này mối quan hệ liên tục-khả vi được thể hiện rõ. Đến đầu năm lớp 12,
trong chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, mối liên hệ đơn điệu-khả vi mới
được đề cập. Như vậy, để trả lời các câu hỏi đã đặt ra, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích SGK ở cả 3
cấp lớp 10 (Đại số), 11 (Đại số và Giải tích) và 12 (Giải tích). Hiện tại có hai bộ sách toán đang
được sử dụng, bộ sách nâng cao và bộ sách cơ bản. Chúng tôi chọn phân tích cả hai bộ sách này. Để
thuận lợi trong trình bày, chúng tôi sử dụng các kí hiệu GK
NC10
, GK
NC11
, GK
NC12
, GV
NC10
, GV
NC11
,
GV
NC12
nhằm chỉ các sách giáo khoa bộ nâng cao: SGK đại số 10, SGK đại số và giải tích 11, SGK
giải tích 12 và các sách GV tương ứng; GK
CB10
, GK
CB11
, GK
CB12

niệm hàm số đơn điệu, với tư cách đối tượng, chỉ được nghiên cứu trong chương này. Bên cạnh đó,
ở lớp 11, chúng tôi cũng lướt qua một số hàm số lượng giác mà tính biến thiên của chúng cũng được
đề cập trước khi khái niệm liên tục xuất hiện chính thức. Đối với thời điểm thứ 2, chúng tôi sẽ chỉ
tập trung phân tích bài hàm số liên tục trong chương giới hạn hàm số, SGK đại số và giải tích lớp
11. Chính trong bài này, hai phương diện đối tượng và công cụ của khái niệm liên tục được đề cập,
mối liên hệ đơn điệu-liên tục có thể được đề cập.
1.4.1 SGK nâng cao
1.4.1.1 Thời điểm định nghĩa hàm số đơn điệu được chính thức đưa vào và khái niệm liên tục hoạt
động ngầm ẩn với đặc trưng “đồ thị là đường liền nét”
*Phần bài học (vị trí GV)
Khái niệm hàm số đơn điệu được chính thức đưa vào ở đầu lớp 10, bài 1- Đại cương về hàm số,
chương II - Hàm số bậc nhất và bậc hai với các bài sau:
Bài 1:Đại cương về hàm số
Bài 2:Hàm số bậc nhất
Bài 3:Hàm số bậc hai
Thực ra, trước lớp 10, khái niệm hàm số đơn điệu đã được giới thiệu ở lớp 9:
“Một cách tổng quát:
Cho hàm số y=f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R
a)Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) cũng tăng lên thì hàm số y=f(x)
được gọi là hàm số đồng biến trên R (gọi tắt là hàm số đồng biến).
b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) lại giảm đi thì hàm số y=f(x)
được gọi là hàm số nghịch biến trên R (gọi tắt là hàm số nghịch biến).
Nói cách khác, với x
1
, x
2
bất kì thuộc R:
Nếu x
1
< x

    
.”
[GK
NC10
, tr.38]
ở đây K không phải là R mà là một tập con của nó: “ta luôn hiểu K là một khoảng (nửa khoảng hay
đoạn) nào đó của R”. [GK
NC10
,tr.38]. So với định nghĩa ở bậc đại học, định nghĩa trên tương đương
với định nghĩa hàm số đơn điệu nghiêm ngặt và có một sự thay đổi: khái niệm đơn điệu của hàm số
được định nghĩa trên khoảng chứ không phải trên một tập con khác rỗng bất kì của R. Sự thay đổi
này là hợp lí, vì trong chương trình toán phổ thông, hàm số thường được nghiên cứu trên các
khoảng (nửa khoảng hay đoạn) hoặc hợp của chúng. Hơn nữa, ở đại học, dù hàm số đơn điệu được
định nghĩa trên tập con khác rỗng bất kì của R nhưng sau đó người ta chỉ nghiên cứu tính đơn điệu
của hàm số trên khoảng (nửa khoảng, đoạn).
Tiếp theo định nghĩa, GK
NC10
đưa ra các kĩ thuật để xét tính đơn điệu của hàm số trên K:
“Đối với hàm số cho bằng biểu thức, để khảo sát sự đồng biến hay nghịch biến của hàm số
đó trên một khoảng (nửa khoảng hay đoạn) K, ta có thể dựa vào định nghĩa (xem ví dụ 3),
hoặc dựa vào nhận xét sau :
Điều kiện “
1 2 1 2
x x f ( x ) f ( x )
  
” có nghĩa là
1 2
x - x
và
1 2

 
1 2
và
x x

1 2
,




f x f x
x x



2 1
2 1
0

Như vậy, để khảo sát sự biến thiên của hàm số f trên K, ta có thể xét dấu tỉ số




f x f x
x x


2 1

viết:
“ -Khi cho hàm số bằng biểu thức, học sinh cần:
[…]
+Biết chứng minh tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số đơn giản trên một
khoảng(đoạn hoặc nửa khoảng) cho trước bằng cách xét dấu tỉ số biến thiên.
[…]
-Khi cho hàm số bằng đồ thị học, sinh cần:
[…]
+Nhận biết được sự biến thiên và biết lập bảng biến thiên của một hàm số thông qua đồ thị
của nó.”[GK
NC10
, tr.69]
Sau định nghĩa và giới thiệu các kĩ thuật để khảo sát sự biến thiên của hàm số, SGK giới thiệu
bảng biến thiên thông qua một ví dụ cụ thể:
“Người ta thường ghi lại kết quả khảo sát sự biến thiên của một hàm số bằng cách lập bảng
biến thiên của nó. Hàm số trong ví dụ 4 có bảng biến thiên như sau:

x -∞ 0 +∞

2
( ) ( 0)
f x ax a
 

Trong bảng biến thiên, mũi tên đi lên thể hiện tính đồng biến, mũi tên đi xuống thể hiện tính
nghịch biến của hàm số.
Cụ thể hơn, hàng thứ hai trong bảng được hiểu như sau: f(0)=0 và khi x tăng trên khoảng

và hàm số bậc 2.
Đối với hàm bậc nhất y = ax+b tính biến thiên của nó đã được học ở lớp 9, nên GK
NC10
chỉ nhắc lại,
tính biến thiên của các hàm số còn lại đều được nghiên cứu theo dựa trên đồ thị của chúng, nghĩa là
kĩ năng “đọc đồ thị” đi kèm với nó là kĩ thuật xét tính biến thiên của hàm số bằng đồ thị được nhấn
mạnh. Tuy nhiên, như đã nói ở trên, các hàm số được nghiên cứu luôn có đồ thị liền nét trên khoảng
đơn điệu của chúng. Dường như có một sự đảm bảo rằng: hàm số đơn điệu trên K thì đồng thời
cũng liên tục trên khoảng đó. Phân tích các tổ chức toán học liên quan đến khảo sát sự biến thiên
của hàm số sẽ cho phép chúng tôi củng cố hoặc bác bỏ nhận định trên.
*Phần bài tập (vị trí GV)
Liên quan đến tính đơn điệu của hàm số trong giai đoạn này chủ yếu là kiểu nhiệm vụ T: “khảo
sát sự biến thiên của hàm số”, gồm các kiểu nhiệm vụ con với kĩ thuật và công nghệ tương ứng như
sau:
T
tt
: Khảo sát sự biến thiên của hàm số cho bằng một công thức không phải là hàm bậc 1 và hàm bậc
2 và không chứa giá trị tuyệt đối trên những khoảng cho trước.
Ví dụ: Bài tập 12
Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau:
a)
y
x


1
2
trên mỗi khoảng (-∞; 2) và (2;+∞); [GK
NC10
, tr.46]




1 2
f x f x

thì kết luận hàm số f nghịch biến (giảm) trên K.
Kĩ thuật τ
2
tt
: Lấy bất kì
x ,x K

1 2
sao cho
x x

1 2
, sau đó, xét dấu của tỉ số




f x f x
x x


2 1
2 1
.

: Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến.
T
b2
: Khảo sát sự biến thiên của hàm số hàm bậc 2 không chứa giá trị tuyệt đối
Ví dụ:
Áp dụng kết quả trên, hãy cho biết sự biến thiên của hàm số
2
4 3
y x x
   

[GK
NC10
, tr.57]
Kĩ thuật τ
b2
: Xét dấu của hệ số a:
 Nếu
0
a

thì kết luận hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng
2
b
;
a
 
 
 
 

 
 
 
 
.

Công nghệ θ
b2
: Đồ thị của hàm số bậc hai.
“Từ đồ thị của hàm số bậc hai, ta suy ra bảng biến thiên sau đây […]”
[GK
NC10
, tr.57]
T
đt
: Khảo sát sự biến thiên của hàm số được cho bằng đồ thị
Ví dụ: Bài tập 3
Hình 2.9 là đồ thị một hàm số có tập xác định là R, dựa vào đồ
thị, hãy lập bảng biến thiên của hàm số đó. [GK
NC10
, tr. 45]
Kĩ thuật τ
đt
:
Xét từ trái qua phải, nếu đồ thị của hàm số “đi lên” trên K thì hàm
số đồng biến (tăng) trên K; nếu đồ thị hàm số “đi xuống” trên K thì hàm số nghịch biến
(giảm) trên K.
Công nghệ θ
đt
: Định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến.