Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 95
5. Đạo hàm gốc Giả sử hàm f và các đạo hàm của nó là các hàm gốc.
f(t) zF(z) - f(0) và n , f
(n)
(t) z
n
F(z) - z
n-1
f(0) - - f
(n-1)
(0) (5.8.5)
Chứng minh
f(t)

+


0
zt
dte)t(f = e
-zt
f(t)|
+
0
+ z

+

0
zt


7. Anh của tích chập
Nếu hàm f và hàm g là các hàm gốc thì tích chập của nó cũng là
hàm gốc.
(f

g)(t)

F(z)G(z) (5.8.7)
Chứng minh

(f

g)(t)


dted)t(g)(f
0
zt
0

+

+







z
d)t(yed)(xe

8. Công thức Duhamel
Giả sử hàm f, hàm g và các đạo hàm của chúng là các hàm gốc.
zF(z)G(z) f(0)g(t) + (fg)(t)
f(t)g(0) + (fg)(t) (5.8.8)
Chứng minh

zF(z)G(z) = f(0)G(z) + (zF(z) - f(0))G(z) f(0)g(t) + (fg)(t)
Ví du
1. Ta có (t) 1 suy ra (t) =


t
0
d)(
z
1
và (t) = (t) 1
2. Ta có t =


t


V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-

o
m
Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace
Trang 96 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
2. Dịch chuyển ảnh a , e
at
f(t) F(z - a) (5.8.2)
5. Đạo hàm ảnh tf(t) - F(z) và n , t
n
f(t) (-1)
n
F
(n)
(z) (5.8.5)
6. Tích phân ảnh
t
1
f(t)





z
d)(F (5.8.6)
7. Anh của tích f(t)g(t)
i2
1



với Rez > - Rea
2. Ta có sint
22
z

+

suy ra tsin

t

-







+

22
z
=
222
)z(
z2
+



- arctgz)

Đ9. Tìm ảnh, gốc của biến đổi Laplace

Gốc của hàm hữu tỷ
Bài toán tìm ảnh của hàm gốc thờng đơn giản, có thể giải đợc ngay bằng cách sử
dụng các công thức (5.7.1) - (5.7.7). Bài toán tìm gốc phức tạp hơn nhiều, để đơn giản
chúng ta giới hạn trong phạm vi tìm hàm gốc của các phân thức hữu tỷ. Trong các ví dụ
ở trên chúng ta đ có các công thức sau đây. az
1

e
at

n
)az(
1

e
at
)!1n(
t
1n


)z(
z
+
=









+


1n22
)z(
1
)1n(2
1

)1n(2
1

tf(t) = (t) (5.9.3)
Click to buy NOW!
P
D
F

c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u






+
1n222
)z(
z
)1n(2
1


2
)1n(2
3n2


f(t) -
2
)1n(2
1

tg(t) = (t) (5.9.4)
Biến đổi
n2
)qpz2z(
NMz
++
+

2
++
++
=
2z
1

+ 2
4)2z(
2z
2
++
+
-
4)2z(
1
2
++

e
2t
+ 2e
-2t
cos2t -
2
1
e
-2t
sin2t = f(t)
2. F(z) =






+ 1z
1
2
-
2
1







+1z
z
2
-
2
1
1
z
1
2
+


(0) (5.9.6)

Giả sử các hàm x(t), , x
(n)
(t) và f(t) là các hàm gốc. Chuyển qua ảnh
x(t) X(z)
x(t) zX(z) - x
0x
(n)
(t) z
n
X(z) - z
n-1
x
0
- - x
n-1

f(t) F(z)
(5.9.6) A(z)X(z) = F(z) + B(z)
Giải ra đợc
X(z) =
)z(A
)z(B)z(F
+
x(t) (5.9.7)
Click to buy NOW!

c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d

Giả sử x(t) và các đạo hàm của nó đều là hàm gốc.
x(t) X(z), x(t) zX(z) - 1, x(t) z
2
X(z) - z - 2 và f(t) = t
3
e
-2t

4
)2z(
6
+

Chuyển qua ảnh
(z
2
+ 4z + 4)X(z) =
4
)2z(
6
+
+ (z + 6)
Giải ra đợc
X(z) =
2z
1
)2z(
4
)2z(
6

e2y2x3y
eyxx
t
t

Giả sử x(t) và y(t) là các hàm gốc, chuyển qua ảnh hệ phơng trình






+

=+
+

=+
1
1z
2
Y)2z(X3
1
1z
1
YX)1z(

Giải hệ phơng trình tuyến tính suy ra
X(z) =
1z

)z(
1
+
, Rez > -
2

(t)
z
1
, Rez > 0
6

e
-

t
cos

t
22
)z(
z
++

+
, Rez > 0
3

(t - ) e
-


n
z
1
, Rez > 0

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d

e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 99
Bài tập chơng 5

1. Tìm ảnh Fourier của các hàm gốc sau đây.
a. e
-2(t-1)
(t) b. e
-2|t-1|
c. (t +1) + (t -1) d. sin(2t +






>
<

2 |t | 0
2 |t| 1 1
1 |t| t
l.

+

|n2t|
e

m. t
2
t
tsin







n.

1

+


de)(FRe
it
= | t | e
-|t|

2. Tìm gốc Fourier của các hàm ảnh sau đây.
a. e

(-) - 2e
-

t
() b.




2
)2(3sin2
c. () - ( - 2) d. e
2i

cos
e. e
-

d|)(F|
2
f. Tìm gốc của ReF()

4. Tính tích chập (fg)(t) bằng biến đổi Fourier ngợc
a. f(t) = te
-2t
(t), g(t) = e
-4t
(t) b. f(t) = te
-2t
(t), g(t) = te
-4t
(t)
c. f(t) = e
-t
(t), g(t) = e
t
(-t) d. f(t) = cos
2
t, g(t) =
t
tsin
5. Giải phơng trình vi phân hệ số hằng bằng biến đổi Fourier.
a. y + 3y + 2y = x + 3x b. y + 5y + 6y = x + 4x
c. y +
2

w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e