BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD: TS. NGUYỄN VĂN HOA
SVTH: PHẠM THỊ MAI

TP. HỒ CHÍ MINH-THÁNG 5/2010 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 1

LỜI CẢM ƠN
Em xin cảm ơn giáo viên hướng dẫn, TS. Nguyễn Văn Hoa, đã định
hướng giúp em tiếp cận vấn đề nghiên cứu trong khóa luận này; động viên và
giúp đỡ em hoàn thành khóa luận.
Em xin cảm ơn PGS.TSKH Lê Văn Hoàng đã đóng góp nhiều ý kiến quý
báu cho khóa luận.
Em xin cảm ơn thầy Lữ Thành Trung đã giúp đỡ em rất nhiều về thuật
toán trong ngôn ngữ lập trình.
Em xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý đã tận tình dạy bảo em

Chương 3 Sử dụng sơ đồ vòng lặp tính các bổ chính năng lượng cơ bản
của nguyên tử Hydro 26
3.1 Mục đích sử dụng sơ đồ vòng lặp 26
3.2 Thiết lập sơ đồ vòng lặp 26
3.3 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro ứng với theo sơ đồ
vòng lặp 28
3.4 Nhận xét 30
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 31
TÀI LIỆU THAM KHẢO 32
PHỤ LỤC 34
Phụ lục 1 Các toán tử sinh – hủy một chiều 34
Phụ lục 2 Dạng chuẩn (Normal) của một số biểu thức trong luận văn 37
Phụ lục 3 Toán tử thế năng 40
Phụ lục 4 Tính các yếu tố ma trận của
ˆ
H
46
Phụ lục 5 Biểu thức của bổ chính bậc cao theo lí thuyết nhiễu loạn 48
Phụ lục 6 Một số chương trình viết bằng ngôn ngữ lập trình Fortran 52 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 3

MỞ ĐẦU
1) Tình hình nghiên cứu
Ngày

nay,


có

những

tính

toán

lý

thuyết

chính

xác.

Trong

khi

đó,

phương

pháp

gần

đúng


dụng

được

cho

bài

toán không

có

nhiễu

loạn.

Trước

tình

hình

đó,

việc

tìm

ra


tâm

trong

những

năm

gần

đây.

Và

phương

pháp

toán

tử

với những

tính

toán

thuần


đang

được

các

nhà

Vật

lý

lý

thuyết

quan

tâm

nghiên

cứu.

Ý

tưởng

về


(Operator

Method)

được

đưa

ra

đầu

tiên

vào

năm

1982

do

nhóm nghiên

cứu

của

giáo


thành

công

cho

một

nhóm

các

bài

toán

trong

vật

lý

chất

rắn,

vật

lý


toán

cụ

thể,

phương

pháp

toán

tử

đã

tỏ

ra

là

một

phương

pháp

nổi


yếu

tố

ma

trận

phức

tạp

mà

thông

thường

phải tính

tích

phân

các

hàm

đặc


và

những

chương

trình

tính

toán

như

Maple,

Mathematica,…để

tự

động hóa

quá

trình

tính

toán.


bất

kỳ.

Với

phương

pháp

toán

tử,

bước

đầu

đã

giải

quyết

một

phần

những


không

ngừng

của

nền khoa

học

kỹ

thuật

toàn

cầu.
2) Lí do chọn đề tài
Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ có một số ít bài toán mà chúng ta
có lời giải chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 4

dừng, đó là: bài toán hạt trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và
bài toán về nguyên tử hydro (chuyển động của hạt trong trường xuyên
tâm). Đây là các hệ đã lí tưởng hóa được gặp trong tự nhiên. Việc nghiên
cứu các hệ đơn giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu được đầy đủ hơn các
phương pháp của cơ học lượng tử. Ngoài ra các kết quả thu được có một

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 5

Do thời lượng nghiên cứu và kiến thức còn hạn chế, nội dụng bài nghiên
cứu này chỉ dừng lại ở mức độ khảo sát tính ưu việt giữa hai hướng tiếp cận:
lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc
tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro.
3) Mục tiêu của đề tài
Trong luận văn này, chúng tôi tiếp cận phương pháp toán tử như một
công cụ mới với mục tiêu cụ thể là:
Tìm hiểu về phương pháp toán tử: cơ sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu
điểm… Kết hợp phương pháp toán tử và lý thuyết nhiễu loạn để tính mức
năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro.
Xây dựng sơ đồ vòng lặp để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử
hidro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng tiếp cận:
lý thuyết nhiễu loạn
và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản
của nguyên tử hydro. Từ đó nhận định xem hướng tiếp cận nào tốt hơn để lựa
chọn cho những bài toán có phức tạp hơn.
4) Phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được
Từ

những

khó

khăn

của


bình

và

những

ưu

điểm

vượt

trội

của

phương

pháp

toán

tử

so

với

phương


trong

quá

trình

thực

hiện

luận

văn

này.
Lập trình bằng ngôn ngữ fortran theo sơ đồ vòng lặp để tính mức năng
lượng cơ bản của nguyên tử hidro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng
tiếp cận:
lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử
cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.
5)
C
ấ
u t
rú
c c
ủ
a
lu
ậ

dựng

cấu

trúc

luận

văn

gồm

3

phần

chính:

Phần

mở

đầu
:

Nêu

lên

tình


dự

kiến

kết

quả

đạt

đ
u
ợc.Phần

nội

dung
:

gồm

4

ch
ươ
ng


c
ơ

học

l
u
ợng

tử

đã

đạt

đ
u
ợc

về

bài

toán nguyên

tử

hydro:



quả

đã

đạt

đ
u
ợc

của

luận

văn,

h
u
ớng

phát

triển sắp

tới

của

đề

m

  

(1.1)
Trong nguyên tử hiđrô, thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân chỉ
phụ thuộc vào khoảng cách
1 2
r r

giữa chúng. Như đã biết từ trong cơ học
giải tích, bài toán chuyển động hai hạt với định luật tương tác
1 2
( )
U r r

rút về
bài toán chuyển động của một hạt có khối lượng rút gọn

trong trường lực
U(r). Trong trường hợp nguyên tử hiđrô
.
e p
e p
m m
m m



. Vì

Phương trình Schrodinger cho các trạng thái dừng của hạt trong trường hợp
này có dạng:

 
2
2
( ) 0
e
m
E U r
 
   

(1.3)
Trong tọa độ cầu, toán tử

có dạng
,
2
2
2
2
,
2 2
2
2 2 2
1
1
1 1
sin

  
 
     
 
  
 
(1.4)
Thay (1.4) vào (1.3) ta được:
 
2
,
2 2 2
21 1
( ) ( ) 0
e
m
r E U r
r r r r
 
 
 
 
    
 

(1.5)
Do
2
,
2

luật bảo toàn của hình chiếu mômen theo trục z định hướng tùy ý trong không Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 9

gian. Muốn vậy ta xét các điều kiện giao hoán của các toán tử
2
ˆ
L
và
ˆ
z
L
với
ˆ
H
.
Trong trường hợp này
ˆ
H
có dạng:

2 2
2
2 2
ˆ
1
ˆ
( ) ( )

các toán tử lấy vi phân theo r.
Như vậy cũng giống như trong cơ học cổ điển, đối với chuyển động trong
trường đối xứng xuyên tâm có ba đại lượng bảo toàn: năng lượng, bình
phương mômen
2
ˆ
L
và hình chiếu mômen
ˆ
Z
L
. Do đó chúng ta sẽ khảo sát các
trạng thái với giá trị đã cho của ba đại lượng này. Một cách tương ứng ta, ta
viết nghiệm của phương trình dưới dạng

,
( , , ) ( ). ( , )
nlm n l m
r R r Y
    
 (1.9)
Năng lượng của hạt được đặc trưng bằng số lượng tử chính n, còn các trị
riêng của các toán tử và được đặc trưng bằng các số lượng tử quĩ đạo l và số
lượng tử từ m. Thay (1.2) và (1.6) vào phương trình (1.9) và chú ý rằng
2
ˆ
( 1)
lm lm
LY l l Y
 

 
 
   
 
 
 
 


(1.10)
1.1.2 Năng lượng của nguyên tử hiđrô
Từ kết quả của cơ học lượng tử ta có công thức tính năng lượng của
nguyên tử hiđrô

4 2
2 2
2
n
me Z
E E
n
   

(CGS) (1.11) Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 10

Trong hệ không thứ nguyên

0
n
E

.
Một số mức năng lượng kích thích
2 3
3,4 ; 1,5 ;
E eV E eV
   
Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta có một số vô hạn các trạng thái liên
kết, bắt đầu ứng với năng lượng
2 4
2
2
mZ e


và kết thúc ứng với năng lượng 0.
Ứng với một giá trị đã cho của n (số lượng tử chính) thì
l
có thể có những
giá trị l = 0, 1, 2, , n- 1. Như vậy có tất cả n giá trị của
l
;
l
gọi là lượng tử số
quỹ đạo và nó xác định độ lớn moment xung lượng

 

z
L m


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 11

Như vậy, ứng với một mức năng lượng E
n
có nhiều trạng thái khác
nhau
nlm

, ta nói có sự suy biến. Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái
suy biến có cùng giá trị năng lượng E
n
là

 
1
2
0
2 1
n
l
l n


, , ,
nlm nl lm
r R r Y
   
 

Với
2
2
2
o
o
Zr
và a
na me

 

(1.15)
a
0
: là bán kính Bohr thứ nhất
Bảng 1.1 Hàm sóng toàn phần


, ,
nlm
r
  
của các hệ giống hydro ứng với

1
0
0

1


3 / 2
0 0 0
1
( / ) (1 / 2 ) exp( / 2 )
2 2
Z a Zr a Zr a

 

3 / 2
0 0 0
1
( / ) ( / ) exp( / 2 ) cos
4 2
Z a Zr a Zr a




3/ 2
0 0 0
1
( / ) ( / )exp( / 2 )sin exp( )


0
1
 2


3/2 2 2 2
0 0 0 0
1
( / ) (1 2 /3 2 /27 )exp( /3 )
3 3
Z a Zr a Z r a Zr a

  
3/ 2
0 0 0 0
2 2
( / ) (1 / 6 )( )exp( /3 )cos
27
Z a Zr a Zr a Zr a


  

3/2
0 0 0 0
2



3/ 2 2 2 2 2 2
0 0 0
1
( / ) ( / )exp( / 3 )sin
162
i
Z a Z r a Zr a e





1.2 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử
hidro
[12]

Xét bài toán nguyên tử hydro, phương trình Schrödinger viết cho nguyên
tử đồng dạng hydro trong hệ SI có dạng:

2 2
0
Δψ( ) ( ) ( )
2 4
Ze
r r E r
m r
 


0 0
4 /
a me



là bán kính Bohr. Khi đó phương
trình (1.17) có dạng không thứ nguyên:

1
Δ ψ( ) ( )
2
Z
r r
r

 
  
 
 
 
(1.17)
Với tọa độ và năng lượng lần lượt có đơn vị là
0
a
và
2 2
0
/
ma


 
1 1
,
2 2
a a
 
 
 
 
 
   

   
 
   
   
   
 
   
(1.20)
với
, ,
x y z


, trong đó


là các tham số thực dương, ta sẽ xác định nó sau

x y z


  
    
  
 


 

 

(1.22) Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 14

Từ (1.20) ta có:



2
2
a a a a

   



 
 
 
       
(1.23)
Ta thay (1.25) vào (1.24) ta được

   
2 2
1
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
1 2
4
T
H a a a a
    


 
 
    
 

(1.24)
Đặt
2 2
ˆ
ˆ ˆ
, ,




1.2.2 Toán tử thế năng
Với số hạng liên quan đến tương tác Culông thì các toán tử sinh huỷ sẽ
nằm ở mẫu số và trong dấu căn cho nên cần phải đưa về dạng chuẩn để có thể
sử dụng trong tính toán. Dùng phép biến đổi Laplace ta có thể viết thành phần
thế năng dưới dạng:

2 2 2
( )
0
2 2 2
1
ˆ
U t x y z
Z Z
dt e
t
x y z
H


  
   
 

(1.27)
(Phụ lục 2 trang 37)
Từ đó ta có thành phần thế năng được viết dưới dạng:

với:


0
ˆ
x
S
: là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử


0
x
S
khi tác dụng
lên vector trạng thái sẽ thu được trạng thái không đổi.
 
 
 
 
 
 
 
2
0
2 2
2 2
1 1 , 1
1 1
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ




  
(1.29)
'
ˆ
x
S
: là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử
'
ˆ
x
S
khi tác dụng lên
vector trạng thái sẽ làm thay đổi trạng thái đang xét.
     
 
 
   
 
'
, 1 1 1
, 1 , 1 , , 1
1 1 1
1
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
! ! ! !
1 2


  
  





  

  



  
  
(1.30)
1.2.3 Toán tử hamilton
Thay (2.31), (2.33) vào biểu thức
ˆ ˆ ˆ
T U
H H H
 
, ta được:
 


     

       

N A A S S S S S S S SS
S SS SS S SS S SS S S
      
 

    
 


 
 






 
 
    
 
 
 
 
     
 
 
    



0
1 1
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
(2 1) ( )
4
x y z
x y z
Z
H N S S S dt
t
 





  


(1.33)
Thành phần toán tử chứa các toán tử không trung hòa, xem như loại toán
tử nhiễu loạn
ˆ
V
, với:

 



(1.34)
Dùng các toán tử
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
, , , ,
a a A A N
 
và qua quá trình tính toán ta tính được
các yếu tố ma trận của
ˆ
H
:
ˆ
nk
H n H k


m
2i-1 2i
(0) 2 1/2
,
2
m=1 i=1
=0 =1
2i m
2i-1 2i
,
2 1/2
2

    

 
 
 
 
(1.35)
n , 2
n , 2
m l
2l-1
' 1/2
m=0 l=1 =0
i m
2i
1/2
i=1 m=0 =1
i m l
2
i=1 m=0 l=1 =0
(-1) (-1)
ˆ
{ [ ( )] ( 2)
m! l!
(-1) (-1)
[ ( )]
i! m!
(-1) (-1) (-1)
[ (
i! m! l!

  
n , 2 2
l-1 2i
1/2 m 1/2
=1
1
)] (k -2l) [ ( 2 )] }
1+2
k l i
k k l
 
  


  

 
  
 
(1.36)
1.3 Sử dụng phương pháp toán tử tính năng lượng cơ
bản của nguyên tử hidro khi chưa có bổ chính
 
(0) 0
0
, ,
0 0 0
1
1/2
0






Do tính chất đối xứng 
x

y

z
nên biểu thức năng lượng bậc
không trở thành: Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 17

(0)
0
1
3
0
2
3 1
4
1
Z
E dt
t

3 1
2
4
(1 2 )
Z
E d
  

 

  




Suy ra
(0)
0
3 2
4
E



  (1.37)
Để so sánh tính ưu việt của các hướng tiếp cận, nên không sử dụng
phương pháp biến phân, tức là chọn thông số biến phân
1



được trong một số tương đối nhỏ các trường hợp đơn giản nhất như: nguyên tử
hydro, bài toán dao động tử điều hòa, chuyển động trong hố thế vuông góc,…
Sự phức tạp của việc giải phụ thuộc vào dạng của thế năng và số chiều của
không gian trong bài toán cần giải. Phần lớn các bài toán của cơ học lượng tử
dẫn tới những phương trình rất phức tạp về mặt toán học, và không thể giải
được một cách chính xác. Do đó thường phải ứng dụng những phương pháp
gần đúng để giải bài toán, nghĩa là phải tìm một cách gần đúng các trị riêng và
hàm riêng của nó. Một trong những phương pháp gần đúng rất quan trọng để
giải bài toán cơ học lượng tử là lý thuyết nhiễu loạn. Nội dung của phương
pháp nhiễu loạn như sau:
Xét phương trình Schrodinger:

ˆ
( ) ( )
H x E x
  
(2.1)
ta tách toán tử Hamilton của bài toán thành hai thành phần:

0
ˆ ˆ ˆ
H H V

  (2.2)
Trong đó:
Thành phần
0
ˆ
H
là toán tử Hamilton có nghiệm riêng chính xác

n

và
n

là nghiệm gần đúng bậc
zero của (2.1), các nghiệm gần đúng bậc cao hơn sẽ được tính bằng cách xét
đến ảnh hưởng của
ˆ
V
thông qua các bổ chính năng lượng và hàm sóng. Ở đây
ta đưa vào tham số nhiễu loạn

để mặc định thành phần nhiễu loạn là nhỏ và
dễ dàng nhìn thấy các bậc nhiễu loạn trong sơ đồ tính toán qua số mũ của

.
Ta giả thiết rằng các trị riêng của
ˆ
H
là không suy biến và có phổ gián
đoạn, hệ hàm riêng
n

của
0
ˆ
H
là đầy đủ và trực giao ứng với năng lượng
n

( )
( ) ( ) ( )
n n k k
k
k n
x x C x
 



  

(2.5)
Ta ký hiệu
(0) (0)
,
n j
E C
là năng lượng và hệ số gần đúng bậc zero, còn
( ) ( )
, , 1
s s
n j
E C s
  
là các bổ chính vào năng lượng và hệ số hàm sóng. Biến
đổi toán học, ta được

(0) (0)
, 0

k
k n
E V C




  

,

1
( ) ( 1) ( ) ( )
(0)
0 1
1
( )
s
s s s t t
j jk k n j
k t
n jj
k n
C V C E C j n
E H
 
 
 

 

ˆ
E
  
V
(2.9)
Do thế nhiễu
ˆ
V
không chứa các số hạng trung hòa nên các phần tử ma
trận trên đường chéo chính của
ˆ
V
bằng 0.
2.2.2 Tính bổ chính bậc hai
Từ (2.14) suy ra biểu thức bổ chính bậc hai cho năng lượng của hệ là:

(2)
(0)
0
nk kn
n
k
n kk
k n
V V
E
E H


 

Trong bài toán nguyên tử hydro gọi k=k
x
+k
y
+k
z
thì biểu thức (2.11)
được viết lại như sau:

,
2
(2)
0
(0) (0)
,
000
0
000
ˆ
x y
x y z
z
x y z
k k
k k k
k
k k k
E
E E


000 200 000 400 000 220
3 3 3
ˆ
000 600
3
bac bac
E
E E E E E E
E E
   
   
   
   
  
   
   


 
V V V
V
2 2
(0) (0) (0) (0) (0)
00 000 420 000 222
6
ˆ ˆ
000 420 000 222
6
bac
E E E E





1
' (0) (0)
2
02 00 00
1 5
0 0
2 2
ˆ ˆ ˆ
2 2 2
ˆ
000 200
4 4
(1 2 )
2 2 2
.
4 6
x y z
S S S
Z
V dt d
t
 
  
 



7
0
2
ˆ ˆ ˆ
ˆ
000 400
1 6
2 3
10
(1 2 )
x y z
S S S
Z
V dt
t
d

 
 





 
   





  






 
   




Các yếu tố ma trận của
(0)
x y z
n n n
E

Các yếu tố ma trận của
(0)
x y z
n n n
E ứng với bậc 2 theo k
 
(0) (0) (0)
(0) (0)
200
1
, ,



   


 



   

   





Các yếu tố ma trận của
(0)
x y z
n n n
E ứng với bậc 4 theo k
 
(0) (0) (0)
(0) 0
400
1
, ,
0
2

   


 



   
 
   





 
(0) (0) (0)
(0) (0)
220
1
, ,
0
2
2 2
1/2 11/2
0
ˆ ˆ ˆ
220 220
1
ˆ ˆ





Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 23

Để đáp ứng yêu cầu khảo sát tính hội tụ nhanh hay chậm của năng
lượng đã bổ chính bậc đến bậc hai theo lí thuyết nhiễu loạn ứng với bậc k
tương đối lớn, tác giả xây dựng chương trình tính bổ chính năng lượng bậc hai
chạy trên máy tính
Xây dựng hàm con cho thành phần không trung hòa
ˆ
V

Để ý: Chỉ có thành phần
ˆ
000 200
V có chứa thành phần động năng khác 0, tất
cả các thành phần không trung hòa
ˆ
V
khác trong biểu thức của
(2)
0
E
 đều có

t





 
  
 

Từ (1.36), suy ra biểu thức của


'
0
ˆ
x
k
S


1/2
(2 )!
1
ˆ
0 | '| 2 ( 1) ( )
! 1 2 (1 2 )
k k
k
S k

ˆ
ˆ ˆ ˆ
1
ˆ
2 1
4
ˆ ˆ ˆ
. .
2( ) 3
2
4
x y z
x y z
k k k x y z x y z
x y z x y z x y z
x y z x y z
x y z
k k k
x y z
E k k k H k k k
k k k S S S k k k
Z
k k k N k k k dt
t
S S S
k k k
z d
 



2 | |2
(1 2 ) (1 2 )
k
i
i
k
k
k i i
k S k




 

 



  
 


0,1,2,
k


(2.15)
-0.08659776166821651 -0.46497691306372401
16
-0.08762909472494362
-0.46600824612045112
Nhận xét: Tương ứng với bậc k càng cao thì năng lượng bổ chính càng
tiến về gần giá trị chính xác là -0.5 hơn. Tuy nhiên tốc độ hội tụ chậm.
Nguyên nhân là vì ta mới chỉ tính đến bổ chính bậc hai. Để thu được kết quả
tốt hơn, ta tiếp tục tính đến bổ chính bậc cao hơn.
2.2.3 Tính bổ chính bậc ba, bốn
Từ sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn, suy ra biểu thức tính bổ chính bậc 3,4
(3)
0
(0) (0) (0) (0)
0 0
000 000
(4)
0
(0) (0)
000
000| | |
( )( )
000| | | |
( )
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
x y z x y z
x y z
y z x y z y z y z
m k
mmm k k k

j m k
mmm k k k
E E E E
E
  
  
  

 



Xây dựng chương trình tính các bổ chính bậc 2,3,4 ứng với bậc k=4
bằng ngôn ngữ lập trình fortran, ta thu được kết quả (xem phụ lục 5)
Bổ chính bậc 2 -0.05330141214290737
Bổ chính bậc 3 -0.02344822671992949
Bổ chính bậc 4 -0.01168803841828004