TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG
KHOA SƯ PHẠM
#  "

SINH VIÊN THỰC HIỆN: NGUYỄN HÒA LỢI
LỚP: ĐH3A1

TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ
ĐỂ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ
NGHIỆM DUY NHẤT
AN GIANG
GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN : thạc sĩ HOÀNG HUY SƠN

i
i
i
d
d
d
u
u
u
n
n
n
g
g
g
t
t
t
r
r
r
a
a
a

ó
i
i
i
đ
đ
đ
ầ
ầ
ầ
u
u
u
0
0
0



t
h
h
h
i
i
i
ế
ế
ế
t
t
t
,
,
,
đ
đ
đ
ố
ố
ố
i
i
i
t
t

ê
n
n
n
c
c
c
ứ
ứ
ứ
u
u
u
,
,
,
p
p
p
h
h
h
ư
ư
ư
ơ
ơ

g
h
h
h
i
i
i
ê
ê
ê
n
n
n
c
c
c
ứ
ứ
ứ
u
u
u
,
,
,
n
n

g
h
h
h
i
i
i
ê
ê
ê
n
n
n
c
c
c
ứ
ứ
ứ
u
u
u
1
1

:
D
D
D
ự
ự
ự
a
a
a
v
v
v
à
à
à
o
o
o
c
c
c
ô
ô

2



B
B
B
à
à
à
i
i
i
t
t
t
ậ
ậ
ậ
p
p

7



D
D
D
ạ
ạ
ạ
n
n
n
g
g
g
2
2
2
:
:

k
i
i
i
ệ
ệ
ệ
n
n
n
c
c
c
ầ
ầ
ầ
n
n
n
7
7
7

á
á
á
p
p
p
d
d
d
ụ
ụ
ụ
n
n
n
g
g
g
9
9
9
P
h
h
h
ư
ư
ư
ơ
ơ
ơ
n
n
n
g
g
g
p
p
p
h
h
h
á
á
á
p
p

9



B
B
B
à
à
à
i
i
i
t
t
t
ậ
ậ
ậ
p
p

3
1
1
1



D
D
D
ạ
ạ
ạ
n
n
n
g
g
g
4
4

h
á
á
á
p
p
p
d
d
d
ù
ù
ù
n
n
n
g
g
g
t
t
t
í
í

ệ
u
u
u
3
3
3
9
9
9



B
B
B
à
à
à
i
i

ụ
n
n
n
g
g
g
4
4
4
1
1
1



D
D
D
ạ
ạ

n
g
g
g
p
p
p
h
h
h
á
á
á
p
p
p
đ
đ
đ
á
á
á
n
n


B
B
B
à
à
à
i
i
i
t
t
t
ậ
ậ
ậ
p
p
p
á
á





K
K
K
ế
ế
ế
t
t
t
l
l
l
u
u
u
ậ
ậ
ậ
n
n


l
l
l
i
i
i
ệ
ệ
ệ
u
u
u
t
t
t
h
h
h
a
a
a
m
m
m
sinh nâng cao được trình độ đề tài là một nét phát thảo lớn các phương giải “tìm điều
kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất”.
Nội dung của đề tài chia ra
làm năm dạng:
Dang 1:Dựa vào công thức
Dạng 2:Tìm điều kiện cần
Dạng 3:Phương pháp đồ thị
Dạng 4:Phương pháp dùng tính đơn điệu
Dạng 5:Phương pháp đánh giá
Ứng với mỗi dạng được chia làm ba phần :Từ phần tóm tắt phương pháp giải
đến ví dụ minh hoạ cuối cùng là phần bài tập áp dụng.
Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệ
u tham khảo bổ ích cho các bạn sinh viên say mê
học toán.
Em xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy chủ nhiệm khoa ,thầy Hồ Văn
Các,trong thời gian qua đã tạo mọi điều kiện cho em tham gia nghiên cứu đề tài.Em xin
gởi lời cảm ơn thầy Hoàng Huy Sơn đã hướng dẫn em trong thời gian nghiên cứu đề tài
.Và cuối cùng em xin gởi lời cảm ơn đến các thầy trong khoa sư phạm đã góp nhiều ý
ki
ến quý báo và giúp cho đề tài của em được nhiệm thu một cách tốt đẹp.
Mặc dù đã cố gắng hết sức để tài thành công mỹ mảng nhưng chắc chắn không
tránh khỏi những sai sót và khuyết điểm .Kính mong các thầy cô và các bạn sinh viên
đóng góp ý kiến để đề tài ngày càng hoàn thiện hơn,xứng đáng là tài liệu tham khảo bổ
ích. Long Xuyên ngày 9 tháng 10 năm 2004
Tóm Tắt Nội Dung Nghiên Cứu
"  #


Đối với dạng này thì chúng ta quan tâm đến tính chất chẵn lẻ của hàm số. Nếu là
hàm chẵn thì đồ thị của nó đối xứng qua trục tung,còn là hàm số lẻ thì đồ thị của nó đối
xứng nhau qua góc tọa độ. Dựa vào tính chất này mà ta phát hiện ra điều kiện cần .
Cũng có khi chúng ta lại dựa vào điều kiện có nghiệm duy nhất của phương trình bậc
hai để tìm ra điều kiện c
ần. Sau khi đã tìm ra điều kiện cần bước tiếp theo ta thử lại xem
giá trị nào là giá trị tham số cần tìm. Phương pháp này có ưu điểm là giải quyết được
khá nhiều bài tập. Mặc dù vậy nó cũng phải là phương pháp tối ưu vì có hững bài ta chỉ
cần biện luận vài ba câu thì đã xong được bài toán. Chẳng hạn như phương pháp đồ thị
Dạng 3: Phương pháp đồ thị
Ưu điểm của phương pháp này là giải quyết nhanh gọn bài toán. Tuy nhiên, cần
phải biết vẽ đồ thị của từng biểu thức trong hệ phương trình. Sau đó dựa vào hình mà
biện luận. Như đã nói thì không có phuong pháp nào là tối ưu mỗi phương pháp trên
điều có ưu điểm và khuyết điểm. Có những bài toán mà cả ba phương pháp trên điều
khong giải được mà chúng ta phải dùng một phương pháp khác. Đó là phương pháp
dùng tính đơn điệu
Dạng 4: Phương pháp dùng tính đơn điệu

Trong phương pháp này ta lại khai thác tính chất đơn điệu của hàm số trên một
miền D đơn điệu nào đó. Sử dụng tính chất này ta sẽ thu được tính chất tuyệt vời mà
việc giải hệ trở nên đon giản đưa về hệ mà trong đó có một phương trình có dạng x=y.
Sau đó ta thay x hoặc y vào các phương trình còn lại để bện luận. Một phương khác
cũng không kém phần quan trọng là phươ
ng pháp đánh giá
Dạng 5:Phương pháp đánh giá

Nếu biết sử dụng nhuần nhuyễn các bất đẳng thức như: bất đẳng thức Cauchy,
bunnhiacopxki, becnouly,…và các bất đẳng thức khác thì ta sẽ giải được những bài
toán đặc biệt mà các phương pháp trên không giải được. Đối vơi dạng toán thường khó
phát hiện ra sớm nên có thể nói đây là phương pháp khó. Do thời gian hạn hẹp nên em

II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
trong đó ta đi sâu vào các loại hệ phương trình sau:
1/ Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
2/ Hệ phương trình đối xứng loại 1
3/ Hệ phương trình đối xứng loại 2
4/ Hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
5/ Hệ phương trình mũ – Logarit
6/ Hệ phương trình không mẫu mực
III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU :
Dựa vào các bài tập trong các tài liệu tham khảo để tìm ra phương
pháp chung. Đối với loại toán này chung qui có một số phương pháp
cơ bản sau:
1. Dựa vào công thức
2. Tìm điều kiện cần của tham số sau đó thử lại
3. Phương pháp đồ thị
4. Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số
5. Phương pháp đánh giá một biểu thức
IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU :
Tìm cách giải đối với từng dạng và được tiến hành 3 phần:
Phần 1: phương pháp giải
Phần 2: Ví dụ
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-2
Dạng 1 : Dựa vào công thức

Nếu ta gặp được hệ cho dưới dạng
⎩
⎨
⎧
=

23
23
tức là cho dưới dạng hệ phương trình bậc nhất , hệ phương trình đối
xứng loại 1 ,hệ phương trình dối xứng loại 2 thì ta giải như sau:
- Đối với hệ phương trình nhất:
+ Tính D =
a
b
a
a
′′

+ Cho D 0 để tìm m m là giá trị cần tìm để hệ có nghiệm duy
nhất
≠
⇒
- Đối với hệ đối xứng loại 1 :
+ Đặt

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+=
=
≥−
yxs

∆
< 0 để hệ đã cho có
nghiệm duy nhất (so sánh với giá trị m đã tìm ở hệ (I) rồi rút ra kết
luận).
Ví dụ 1: Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất:
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-3

⎩
⎨
⎧
=
+
=+
45
3
myx
ymx

Giải
+ Ta có D =
m
m
1
5
= 5 – m
2

≠
0
⇔

⎧
=+++
=+++
=+++
=
−
++++
1
32
2
31
3
21

1

321
n
mxmxmx
n
mxmxmx
n
mxmxmx
n
n
mxmxmxmx
Giải

Ta có D =


. m
n

≠
0
⇔ m
≠
0
Vậy với m 0 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất.
≠
Ví dụ 3 : Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=++
+=+
2
1
22
mxyyx
myxxy
Giải
Đặt Đ/K S
⎩
⎨
⎧
=

mp
∨
⎩
⎨
⎧
+=
=
1
1
mS
p
Với
thỏa điều kiện S
⎩
⎨
⎧
=
+=
1
1
S
mp
2
– 4p 0
≥

⇔
1 – 4 (m+1) 0
≥
⇔

2
– (m+1)Y + 1 = 0
Để hệ có nghiệm duy nhất xảy ra các trường hợp sau:
a/
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
∆
<∆
0
1
0
2
m = -⇔
4
3
thỏa điều kiện
b/
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
∆
=∆
0

1 m
vô nghiệm
Vậy với m = -
4
3
hoặc m = 1 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất
Ví dụ 4 : (I)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
axyyx
axyxy
2
2
Giải
(I)
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+−
=−+++
0)1)((
22)(

22)(
2
)(
)(
1
22)(
2
)(
II
yx
axyxyyxyx
III
yx
axyxyyxyx
Giải hệ (II) : ⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=−+++
yx
axyxyyxyx
22)(
2
)(


⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
1
2
1
S
p
vô nghiệm
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-6
Vì S
2
- 4p = 1 – 4.
2
1
< 0
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất
Ngược lại nếu giải (III) :
Ta có (III)
⇔
⎪
⎪
⎩
⎪

⎨
⎧
=
=
0
0
x
y
∨
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
yx
x
2
1

Vậy hệ đã cho có ít nhất hai nghiệm do đó không thỏa. Tóm lại a =
1 hệ đã cho có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 5 :
⎪
⎨
(I)
⎪
⎩
⎧

+−=
1)(3
22
2
4
32
ayxyxyx
ayyyx
Giải hệ (II):(II)
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=+−
yx
ayyy 0)5
2
(
⇔
⎩
⎨
⎧
=
=
0
0
x

⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−+−+
+−=
)1(03
2
)3(
2
)2(
2
4
32
ayyxyx
ayyyx
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-7
Từ (1) ta có:
= -3y
x
∆
2
+ 6y + 9 – 4a .Xét tam thức bậc hai theo biến y
còn
y
∆
′
= 36 – 12a < 0

22
2)
(Đặt S=x+y,P=xy,Đáp số:m=9/4)
⎩
⎨
⎧
=−++
=++++
022
02
2
xymyx
yxyxyx
3)
(đáp số :m=2)
⎩
⎨
⎧
+=−
=−++++
yxmxy
xyyyxx
)(2
0)1(2)1()1(
4)
(Đáp số:m=-3)
⎪
⎩
⎪
⎨

2
(Đáp số:a
0
≠
)
6)
(Đáp số:b>4
]
[
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+−
=+−−++−
03
022)(
223
22
xbyyy
byxyxyxyx

Dạng 2 : Tìm điều kiện cần

Cho hệ phương trình

⎪
⎪
⎪

Do tính duy nhất nghiệm nên M
≡
M1 . Từ đó ta tìm được điều
kiện cần của m ( m
∈
D
m
)
+ Với m1
∈
Dm (ta xét cụ thể) ta giải hệ phương trình đơn giản
không còn giá trị m1 hoặc có m1 nhưng hệ đơn giản, từ đó nhận xét
với giá trị m1 đó thì bài toán được thỏa mãn không. Nếu thỏa thì giá trị
m1 đó là điều kiện cần và đủ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Nếu m1 không thỏa được bài toán thì tiếp tục xét m2
∈
Dm. Tương
như vậy đến khi nào ta xét hết các giá trị m
∈
Dm thì dừng.
Kết hợp 2 bước trên ta kết luận bài toán. ( Có ưu điểm giải được
nhiều loại hệ phương trình).
Ví dụ 1 :

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++=+

⎧
=
=
1
0
y
a

∨
⎩
⎨
⎧
−
=
=
1
2
y
a

-Điều kiện đủ:
+Với a=0 ta có hệ phương trình

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
+=+

Từ (2)
⇒

x
2
= y

x
= x
2
(3)
Từ (1) , (2) , (3)
⇒
. Vậy a=0 là một giá trị cần tìm
⎩
⎨
⎧
=
=
0
1
x
y
+ Với a = 2 ta có hệ phương trình
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-9

⎪
⎩
⎪
⎨

- Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y) là nghiệm của (I) thì (x,-y) cũng là
nghiệm của (I) , do tính duy nhất nghiệm nên y = -y
⇒
y = 0 hệ
phương trình trở thành x = a = -3
- Điều kiện đủ: với a = -3 ta có hệ phương trình:

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=+
−=−
3
2
3
2
sin
yx
yx
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
−=+
)1(0

2
)1(
2
22
)1(
- Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y) là nghiệm của (I) thì (y,x) cũng là
nghiệm của (I) . Do tính duy nhất nghiệm nên x = y .
Khi đó (I) trở thành 2x
2
+ 2x + 1 – a = 0 ( )
∗
(I) có nghiệm duy nhất thì Ĩ) có nghiệm duy nhất

⇔ = 1 – 2 + 2a = 0 ∆
′
⇔
a = 1/ 2
- Điều kiện đủ : Với a = 1/ 2 ta có hệ phương trình

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=++
=++
2
1

Vậy a = 1/ 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài tập tương tự :
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-10
1/
⎩
⎨
⎧
+
=++
=+
2
2)(
mxyyx
myxxy

2/

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+
=+
=++
azxyz
bzxyz
zyx

≤≤−
56
2
3)223()223(
0
2
)65
2
(
2
06
xxa
yy
xaay
x

5/

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−=
+−=
mxxxy
myyyx
2
4
32

22
sin

8/
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+++
=+
ayx
ayx
21
3

9/

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=+
mxyyx
myx
22
10/


]
=
−
+
+
+
−
xazyx
xyazayx
zyxxyyxz
2
22
)1(
2
01)1ln(1)
2
sin(
0)sin()2()cos(

12/
(
)
(
)
(
)
(
)
⎪
⎪

++
++
11
2
3
2
1
2
1
xay
a
xx
yx

14/
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−=−
=+
)1(22
22
mxy
y
x
myx

15/

22

17/

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=+
=+
5
22
2cos
ayx
xy

Hướng dẫn giải
1/
⎩
⎨
⎧
+
=
++
=+
2
2)(
mxyyx
myxxy

∨
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
2
22
x
m
∨

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
−=
2
22
x
m

Điều kiện đủ:
+ Với m=1 ta có hệ phương trình

⎩

2
xy
yx
. Hệ
⎩
⎨
⎧
=
=
+
==
Syx
Pxy
1
2
vô nghiệm do S
2
-4p = 1-4.2 < 0
. Hệ
⎩
⎨
⎧
=
=
==+
pxy
Syx
1
2
có nghiệm duy nhất x = y = 1

24
pS
Sp
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−=
2
22
S
p
∨

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
=
22
2
S
p

. Hệ

⎨
⎧
++=
+−=
2211
2211
x
y

Vậy m = -2
2
không thỏa
+ Với m = 2
2
ta có hệ phương trình

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=++
=+
222
24)(
xyyx
yxxy

⇔


⎨
⎧
==+
==
Syx
pxy
2
22
vô nghiệm S
2
– 4p = 4 - 8
2
< 0

. Hệ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==+
==
Syx
pxy
22
2
có nghiệm duy nhất x = y =
2

Vậy với m = 1 hoặc m = 2

∨
⎩
⎨
⎧
=
=
2S
mp

+ Với
thỏa điều kiện S
⎩
⎨
⎧
=
=
mS
p 2
2
– 4p 0
≥

⇔
m
2
– 8 0
≥
⇔
m
≤

⎨
⎧
<
∆
=∆
0
1
0
2
⇔
⎩
⎨
⎧
>
±=
1
22
m
m

⇔
m = 2
2

b/

⎪
⎩
⎪
⎨

⎪
⎪
⎨
⎧
=∆
=∆
=
0
1
0
2
21.2
2 m
⇔
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
−=
=
1
22
22
2
m

Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y,z) là nghiệm (I) thì (-x,-y,z) cũng là nghiệm
của (I) . Do tính duy nhất nghiệm nên x = -x , y = -y
x = y = 0 ⇔
Khi đó hệ trở thành
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==
=
baz
z 4
2
⇔

⎩
⎨
⎧
==
=
−===
2
2
baz
baz

Điều kiện đủ:
+ Với a = b = 2 ta có hệ phương trình


⎨
⎧
=+
=−
=++
)1(2
)2(0)1(
)3(4
222
zxyz
zzxy
zyx
Tứ (1)
z
⇒
≠
0
• Nếu x = 0 y = 0 , z = 2
⇒
• Nếu y = 0 x = 0 , z = 2
⇒
• Nếu z = 1

⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=

yx
(III)
Hệ (II) và (III) luôn có nghiệm do S
2
– 4p > 0
Do đó hệ đã cho ngoài nghiệm (0,0,2) còn có nghiệm
(x,y,1)
Vậy a = b = 2 không thỏa
+ Với a = b= -2 ta có hệ phương trình: ⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=+
−=+
=++
2
2
2
4
222
zxyz
zxyz

⇒
• Nếu y = 0 x = 0 , z = -2
⇒
• Nếu z = 1
⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
=+
3
3
22
xy
yx
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
−=+
3
3
2
)(
xy

032
22
032
22
axyxyyx
axyxyyx
(I)
Điều kiện cần: Dễ thấy (x,y) là nghiệm (I) thì (-x,y) cũng là nghiệm của
(I) . Do tính duy nhất nghiệm nên x = -x
x = 0.
⇒
Khi đó hệ trở thành y
2
- 3y + a = 0 (*).Hệ có nghiệm duy nhất thì (*) có
nghiệm duy nhất
⇔
a = 9/4
Điều kiện đủ:
+ Với a = 9 /4 ta có hệ phương trình

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+−−++
=++−−+
)1(0


Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-16
⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=−
=++−−+
0)12(2
0
4
9
32
22
yx
xyxyyx

⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=

4
1
2
y
xxx

⇒
⎩
⎨
⎧
=
=
0
2/3
x
y

∨
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=+
2/1
01
2
y
x

2
(
2
06
xxa
yy
xaay
x
(I)
Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y) là nghiệm (I) thì (x,-y) cũng là nghiệm của
(I) . Do tính duy nhất nghiệm nên y = -y
y = 0 .Khi đó ta có
⇒⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎢
⎢
⎣
⎡

⎩
⎨
⎧
−=
=
3
0
x
y

Điều kiện đủ:
• Với a = -1 ta có hệ phương trình
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-17

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
++=++−
=−
≤≤−
26
2
)223()223(
0
2
12

X -6 -3 0
f(x) - +
f’(x) 2 x
2
+ 6x + 2 2
≤
Do đó (II)
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=++−
226
2
2)223()223(
xx
yy⇔
⎩

thay vào hệ (I) thấy không thỏa
⎩
⎨
⎧
−=
=
6
0
x
y
Vậy
là nghiệm duy nhất
⎩
⎨
⎧
=
=
0
0
x
y

2
2
-7
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-18
Với a = 2 ta có hệ phương trình

x
y
Vậy với a = 2 hoặc a = -1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
5/ (I)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−=
+−=
mxxxy
myyyx
2
4
32
2
4
32
Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y) là nghiệm (I) thì (y,x) cũng là nghiệm của
(I). Do tính duy nhất nghiệm nên x = y.Khi đó x
3
–5x
2
+mx = 0 (1)
⇔ (*)
⎢
⎣
⎡
=+−

+−=
0
2
33
2
)(
2
4
32
myyyxxyx
myyyx

(II) (I
II)
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+−=
yx
myyyx
2
4
32
∨
⎪
⎩

⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=
05
2
myy
xy
⇔

⎩
⎨
⎧
=
=
0
0
x
y
Giải (III) : Xét phương trình bậc hai đối với x
x
2
+ x(y-3) + y
2
– 3y +m = 0 (*) có
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-19

x

yxtg
sin1
2
1
22
(I)
Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y) là nghiệm (I) thì (-x,y), cũng là nghiệm của
(I) . Do tính duy nhất nghiệm nên x = -x
x = 0 . Khi đó hệ trở
thành:
⇒⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
=
1
1
2
ay
y
⇔

⎩
⎨
⎧

22
yxx
yxtg

Từ (2)

⇒
1≤y
,
tgx

≤
1
Từ (1) ta có : 2x
2
+
xsin
+ 1 1
≥
Còn hàm f(y) = y là hàm đồng biến trên [ -1,1 ]
f(y)
f(1) = 1
≤
Từ (1)
x = 0 Khi đó ta có hệ y = 1
⇒
⎪
⎩
⎪
⎨

⎧
=
−=
π
kx
y 1
Vậy hệ có vô số nghiệm
a = 0 không thỏa
⇒
Vậy a = 2 thì hệ có nghiệm duy nhất.
7/
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=+
=+
xyax
yx
cos)1(
1
22
sin
(I)
Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y) là nghiệm của (I) thì (-x,y) cũng là nghiệm
của (I) . Do tính duy nhất nghiệm nên x = -x
x = 0 . Khi đó hệ trở
thành:
⇒

=
1
0
y
a
Điều kiện đủ:
+ Với a = 0 ta có hệ phương trình:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
)1(0cos
)2(1
22
sin
xy
yx

Ta thay
là nghiệm của hệ.Do dó hệ có vô số nghiệm
⎩
⎨
⎧
=
−=
π
2


Từ (3) ta có : cosx
≤
1
Do đó cosx + y
≤
1 + 1 = 2
Còn 2(
x
+1 ) 2
≥
Do đó , từ (3)

⇒
⎩
⎨
⎧
=
=
0
1
x
y
Vậy a = 2 thì hệ có nghiệm duy nhất.