BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH NGUYỄN TẤN MINH HÀM ĐƠN DIỆP VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA HÀM ĐƠN DIỆP
Chuyên ngành : Toán Giải Tích

Mã số : 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Luận văn ắt hẳn còn những thiếu sót. Kính mong nhận được sự góp ý nhiệt tình của quý
Thầy Cô.

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan đây là đề tài nghiên cứu của em, các số liệu, các kết quả của
luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì một công trình nào
khác.

Tác giả luận văn
MỞ ĐẦU

Giải tích phức đã xuất hiện trong nửa đầu thế kỉ XVIII, gắn liền với tên tuổi của L.Ơle.
Đỉnh cao của nó là trong thế kỉ XIX, chủ yếu bằng các công trình của Cauchy, Riemann,
Weierstrass. Đến ngày nay, phần cổ điển của giải tích phức - lý thuyết hàm một biến phức - đã
phát triển gần như trọn vẹn. Song, cũng chính điều này, thường xuất hiện những vấn đề chưa
được giải quyết do cách đặt mới của các bài toán toán học cũng như các ứng dụng của nó trong
thực tiễn theo đà phát triển của xã hội.
Hàm đơn diệp là một bộ phận không thể thiếu trong lý thuyết hàm
một biến phức. Hàm
đơn diệp có nhiều tính chất đẹp và được nhiều nhà toán học từ nhiều trường phái quan tâm
nghiên cứu. Việc tập hợp các kết quả đó một cách có hệ thống, rõ ràng, mạch lạc là việc cần
thiết cũng như cần phát hiện thêm
những vấn đề mới từ việc nghiên cứu đề tài. Đây cũng là lí
do em chọn đề tài này.
Mục tiêu của luận văn là trình bày về khái niệm hàm đơn diệp, một số kết quả cơ bản của
hàm đơn diệp, để từ đó nêu ra những tích chất quan trọng của hàm đơn diệp.
Luận văn gồm h

0
, r) cũng thường gọi là  - lân cận của điểm z

0
.
- Giả sử r > 0 bất kỳ, tập hợp các điểm z  C: 0 <
||
z-z

0
< r gọi là  - lân cận thủng của
điểm z

0
 C.
- Tập X gọi là mở nếu mọi z

0
 X, tồn tại hình tròn tâm z

0
, bán kính r > 0 sao cho S(z

0
, r
)  C.
- Điểm z

0
được gọi là điểm biên của X nếu mọi hình tròn S(z


X = X\∂X.
- Tập X được gọi là đóng nếu X =
X
hay nói cách khác X  ∂X.
- Tập X được gọi là bị chặn nếu có một số dương R sao cho hình tròn
||
z
< R chứa toàn
bộ tập X.
- Điểm z

0
được gọi là điểm cô lập của X nếu có một lân cận thủng của z

0
trong đó không
có một điểm nào của X.
- Tập X được gọi là liên thông nếu không tồn tại hai tập hợp mở A, B sao cho X  A ≠
 , X  B ≠  ; X  A  B =  ; X  A  B.
- Miền là một tập hợp con X của C có hai tính chất:
i) Với mỗi điểm thuộc X luôn tồn tại hình tròn đủ bé nhận điểm đó làm tâm và nằm hoàn
toàn trong X (tính mở).
ii) Có thể nối hai điểm bất kì thuộc X bằng một đường cong nằm
hoàn toàn trong X (tính
liên thông).
- Miền X có biên là một tập liên thông gọi là miền đơn liên. Ngược lại, miền X có biên là
một tập không liên thông gọi là miền đa liên.
- Một đường cong có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là đường cong đóng. Đường
cong không có điểm tự cắt gọi là đường cong Jordan. Đường cong Jordan đóng còn gọi là chu

0
là một điểm biên của
X. Ta nói z

0
là điểm chính quy của f nếu tồn tại lân cận mở liên thông  của z

0
và một hàm g
giải tích trong  sao cho g trùng với f trong một tập hợp mở khác rỗng của X   nhận z

0
làm
điểm biên. Trong trường hợp ngược lại ta nói z

0
là một điểm kì dị của f.
- Điểm z

0
 C (mặt phẳng phức mở rộng) được gọi là điểm bất thường cô lập của hàm
số f(z) nếu có một lân cận thủng của z

0
(nếu z

0
là điểm hữu hạn thì lân cận thủng đó là 0 <
||
z-z


- Chuỗi hàm

i = +∞

i = -∞
a

i
(z-z

0
)
i

gọi là chuỗi hàm Laurent và khai triển
f(z)=

i = +∞

i = -∞
a

i
(z-z

0
)
i


Laurent. Chuỗi Laurent gồm hai bộ phận: một bộ phận gồm các số hạng có số mũ không âm,
gọi là phần đều; một bộ phận gồm các số hạng có số mũ âm, gọi là phần chính.
- Điểm bất thường cô lập z

0
của hàm số f(z) là cực điểm của nó khi và chỉ khi phần chính
trong khai triển Laurent của f(z) trong lân cận thủng của z

0
chỉ chứa một số hữu hạn số hạng

i = +

i = -n
a

i
(z-z

0
)
i

, trong đó a

-n
≠ 0 .
- Cho hàm số f xác định trên miền X. Xét lim

∆z  0

0
z ) = 1.
2. Một số định lí sử dụng trong luận văn
- Định lí Ruse: Giả sử f và g chỉnh hình trong miền đóng
X
với biên liên tục
X

và giả sử
()
f
z > ()gz với mọi z 
X

. Khi đó các hàm f và (f + g) có số 0-điểm như nhau trong X.
- Định lí Hurwitz: Giả sử dãy hàm
n
f
chỉnh hình trong miền X, hội tụ đều trên tập con
compắc K
 X bất kì đến hàm f ≠ const. Khi đó, nếu f(
0
z ) = 0 thì trong hình tròn {
0
zz

< r}
 X bất kì mọi hàm
n
f

- Nguyên lí Argument: Giả sử hàm f phân hình trong miền X
 C, G  X là miền mà
biên
G là đường cong liên tục và G không chứa 0-điểm và cực điểm của f. Gọi N và P lần
lượt là tổng số các 0-điểm và tổng số các cực điểm của f trong G. Khi đó N - P =
1
2

G
 argf(z).
- Bổ đề Schwarz: Giả sử hàm f chỉnh hình trong hình tròn D:
z < 1 và
()
f
z ≤ 1,  z  D, f(0) = 0. Khi đó  z  D: ()
f
z ≤ z .
Đẳng thức xảy ra khi f(x) =
i
e

z,  là hằng số thực.
- Bất đẳng thức Lebedev-Milin thứ hai: Gọi
 là một hàm giải tích trong một lân cận của
0 mà
 (0) = 0 và  (z) =
1
k
k
k



≤ (n + 1)exp{
1
1n 
2
11
1
()
nm
k
mk
k
k




}.

Chương 1:
HÀM ĐƠN DIỆP

1.1. Khái niệm hàm đơn diệp
1.1.1. Hàm đơn diệp
Một hàm của biến phức z xác định trên tập A  C là một quy luật f, theo nó mỗi giá trị z
 A được đặt tương ứng một giá trị f(z)  C. Như vậy, một hàm số f xác định trên A là một
ánh xạ f: A
 C, z


,…để trên D

1
, D

2
,…hàm f đơn diệp. Khi đó mỗi miền D

i
, i = 1, 2,…được gọi là một miền
đơn diệp của f.
Ví dụ: Xét hàm
 = z
n

, n ≥ 2. Dễ thấy, nếu A  C không chứa các điểm z

1
, z

2
sao cho
||
z

1
=
||
z


z
) đơn
diệp trong một lân cận của 0.
Ví dụ: Hàm w = z +
1
z
đơn diệp trong z > 1; hàm w =
az b
cz d



(ad-bc
≠ 0) đơn diệp trong C .
Dễ thấy rằng, hàm f(z) đơn diệp trên A thì
1
()
f
z
cũng đơn diệp trên A và ngược lại.
1.1.2. Một số kết quả cơ bản
- Nếu hàm phân hình (trong trường hợp đặc biệt là hàm giải tích)  = f(z) là hàm đơn
diệp trong miền A thì tại mọi điểm chính quy của miền này đạo hàm của nó sẽ khác không.
Thật vậy, nếu tại điểm z

0
nào đó mà f(z

0
) = a, f’(z

. Vì
1
f(z)
cũng là hàm đơn diệp nên z

0
là 0-điểm đơn đối với hàm
1
f(z)
. Suy ra z

0
là cực điểm đơn đối
với hàm f(z).
- Mọi hàm giải tích
 = f(z) đều là hàm đơn diệp trong một lân cận đủ nhỏ của điểm bất
kì mà tại đó đạo hàm của nó khác không.
Thật vậy, giả sử f’(z

0
) ≠ 0. Nếu tại mọi lân cận của z

0
mà f(z) không đơn diệp thì sẽ tồn
tại hai dãy điểm a

n
, b

n

0
) với 0 <
||
z-z

0
≤ . Rõ ràng hàm f(z)-
f(z

0
) chỉ có một 0-điểm bên trong  (kể cả bội) và không có 0-điểm trên .
Mặt khác, do f(z)-f(a

n
)  f(z)-f(z

0
) đều trên  nên theo Định lí Hurwitz, với n đủ lớn thì
f(z)-f(a

n
) cũng có một 0-điểm bên trong  (kể cả bội). Do đó ta thấy mâu thuẫn vì với n đủ lớn
thì hàm này có các 0-điểm là a

n
, b

n
bên trong .
Chú ý rằng nếu w = f(z) đơn diệp thì hàm số ngược z = f


và
trong A có w’ = 2z
≠ 0. Song, qua phép ánh xạ w = z
2

biến A thành hình vành khăn
1
1
4
w

 ,
trong nửa trên của hình vành khăn này hàm số z = f
-1

(w) không đơn trị.
- Mọi hàm phân hình đều là hàm đơn diệp trong một lân cận đủ nhỏ của cực điểm đơn
bất kì.
Thật vậy, nếu z

0
là cực điểm đơn của f(z) thì z

0
là 0-điểm đơn đối với hàm
1
f(z)
.
Suy ra

2
,…, z

n
là các cực điểm của f(z) (số lượng của chúng là không âm và
trong số chúng có thể có
). Từ f(z) ta tính tổng các phần chính của f(z) tại các điểm z

1
, z

2
,…,
z

n
. Khi đó ta được hàm giải tích trên toàn bộ mặt phẳng. Theo Định lí Liouville thì hàm này là
hàm hằng. Suy ra f(z) bằng tổng của hằng số và các phần chính của nó tại các điểm z

1
, z

2
,…, z

n
. Vậy f(z) là hàm hữu tỉ.
- Nếu hàm f(z) là hàm phân hình và đơn diệp trên toàn mặt phẳng thì f(z) là hàm phân
tuyến tính (nghĩa là có dạng
az+b


+ z(1+iz)
-1

có đạo hàm triệt tiêu tại
1
2
(1+i).
Tuy nhiên, nếu f(z) và g(z) đơn diệp trên A thì hàm hợp g[f(z)] (với điều kiện là g(z)
được xác định trên miền giá trị của f(z)) cũng đơn diệp trên A. Nói cách khác, hợp của hai hàm
đơn diệp là hàm đơn diệp.
- Nếu dãy hàm f

n
chỉnh hình và đơn diệp trong miền A, hội tụ đều trên mỗi tập con
compắc K
 A, thì hàm giới hạn f của dãy ấy hoặc là đơn diệp hoặc là hằng số.
Thật vậy, giả sử f(z

1
) = f(z

2
) nhưng z

1
≠ z

2
(z

2
; hàm giới hạn g(z) =
f(z)- f(z

2
) bằng không tại z

1
, do đó theo Định lí Hurwitz, mọi g

n
(z) bắt đầu từ chỉ số nào đó đều
bằng không trong hình tròn này. Điều này trái với tính đơn diệp của các hàm f

n
.
- Điều kiện f’(z

0
) ≠ 0 là cần và đủ của tính đơn diệp địa phương của hàm f chỉnh hình tại
z

0
.
Tính đủ của điều kiện này cũng có thể thu được từ định lí tổng quát về sự tồn tại hàm ẩn
trong giải tích thực (Jacobian
∂(u,v)
∂(x,y)
=
||

- Nếu f giải tích và Re{f’(z)} > 0 trong một miền lồi A thì f đơn diệp trên A.
Thật vậy, cho z

1
, z

2
 D, z

1
≠ z

2
. Khi đó:
f(z

2
) - f(z

1
) =
2
1
'( )
z
z
f
zdz

= (z


=
'( )
'( )
f
z
gz
.
Suy ra Re{h’(w)} > 0 trong A. Theo kết quả trên thì h đơn diệp. Vì vậy, f cũng đơn diệp.
1.2. Định lí diện tích
Chúng ta đã biết rằng Jacobian của một ánh xạ trơn có thể được xem như hệ số khuếch
đại của diện tích. Vì vậy, nếu f giải tích và đơn diệp trong miền A thì diện tích của miền ảnh B
= f(A) được tính S =
2
'( ) dxd
A
f
zy

. Nếu A là một miền Jordan bị chặn bởi một đường cong
Jordan trơn và f giải tích, đơn diệp trong bao đóng của nó thì theo một ứng dụng của Định lí
Green, diện tích của miền ảnh B = f(A) có thể được tính bằng tích phân theo chu tuyến: S =
1
w
2
wd
i


=

2

+ a

3
z
3

+…+ a

n
z
n

+…Gọi S là lớp các hàm f có tính
chất như trên.

Định lí 1: Nếu f  S thí diện tích của f(D) là A = 
2
1
n
n
na



.
Chứng minh
Ta có: w = f(z) = z + a


), D

r
= Int(C

r
),


r
= Int(

r
), A

r
là diện tích của 

r
.

Hình 1
Khi đó: A

r
=
dud
r
v


2
re
i

+…+ na

n
r
n-1

e
i(n-1)

+… =
1(1)
1
nin
n
n
na r e






và
'( )
i
f

2
222
1
n
n
n
na r




+
0
ik
k
k
ce



, c

k
phụ thuộc vào a

n
và r. Suy ra
2
'( )
i

1
n
n
na



r
2n

( vì
2
0
ik
ed




= 0 với k ≠ 0 ).
- Nếu A

r
bị chặn, với 0 < r < 1 thì gọi M là cận trên của A

r
, ta sẽ có 
2
1
N

1
N
n
n
na


≤ M . Vì tổng riêng
2
1
N
n
n
na


bị chặn nên
2
1
n
n
na



hội tụ.
Cho N →
 ta được A =
1
lim

diện tích của f(D) không xác định.
Ví dụ: Xét hàm w =
z
1-z
= z + z
2

+ z
3

+…
Ánh xạ từ D

r
= {z:
||
z
< r, 0 < r < 1} vào hình tròn


r
= {w:
2
2
1
r
w
r




r
→ .
Chú ý rằng khi r →
1

thì hình tròn 

r
tiến tới phủ nửa mặt phẳng Re(w) >
1
2

như hình
vẽ.

Hình 2

Nhận xét
: A =  (1 + 2
2
2
a + …) ≥  . Đẳng thức xảy ra khi f(z) = z.

1.2.2. Định lí diện tích ngoài
Định lí 2: Nếu f giải tích, đơn diệp trên D
*

= {z:
||

1
n
n
nb



] (1.4)
Chứng minh
Với r > 1, gọi
r
 là đường cong ảnh theo f của đường tròn
||
z
= r. Vì f đơn diệp nên
r

là
một đường cong trơn Jordan có định hướng dương. Hình 3
Nếu E

r
được bao quanh bởi
r
 thì E

r

1
() '()
2
zr
f
zf zdz
i


=
2
0
()'()
2
iii
r
f
re f re e d




(1.5)
Từ khai triển (1.3) ta có:
()
i
f
re

= re

m
b
me
r







Sử dụng kết quả
2
0
ik
ed




=
0, 0
2, k=0
k







r



), r > 1.
Cho r giảm đến 1 ta được
B = m(E) =  (1 -
2
1
n
n
nb



) (m(E) là độ đo ngoài của E) (đpcm).
Nhận xét:
- Gọi  là lớp các hàm f giải tích, đơn diệp trên D
*

và có khai triển (1.3). Mỗi hàm f   là
một ánh xạ từ D
*

lên phần bù của một tập E compact, liên thông. Gọi 

là lớp con của tất cả
các hàm f
  mà tập E có độ đo Lebesgue theo hai hướng bằng không. Hàm f  


= 0,  n ≥ 1.
Vậy f(z) = z + b

0
.
Mặt khác, theo giả thiết ta cũng thấy rằng
||
f(z)
→1 khi
||
z
→1.
Ta có
||
f(z)
2

=
||
z+b

0
2

=
||
z
2

+ 2Re(b

||
b

0
2

.
Suy ra 1+2Re(b

0
) +
||
b

0
2

= 1.
Từ đó ta có 2Re(b

0
) +
||
b

0
2

= 0 (1.6)
Cho z → -1 :

b

0
2

= 1.
Từ đó ta có -2Re(b

0
) +
||
b

0
2

= 0 (1.7)
Từ (1.6) và (1.7) suy ra b

0
= 0. Vậy f(z) = z.
Từ Định lí 2 ta thu được hệ quả quan trọng. Hệ quả này đóng vai trò làm nền tảng cơ bản
cho lý thuyết hàm đơn diệp.
Hệ quả 1 (định lí Gronwall-Bieberbach):
Nếu f
  thì
2
1
n
n

b

n
≤ n
-1
2

, n = 1, 2, 3,….Tuy nhiên, bất
đẳng thức này không thoả mãn với mọi n ≥ 2 vì f(z) = z + n
-1
2

z
-n

không đơn diệp. Thật
vậy, f’(z)=1 - n
1
2

.z
-n-1

triệt tiêu tại những điểm chắc chắn nằm trong D
*

nếu n ≥ 2. Nhưng khi n
= 1 thì bất đẳng thức thoả mãn .
Ta có hệ quả quan trọng:


0
; 2e
i
2

+ b

0
].
Chứng minh
Khi
||
b

1
=1 thì b

n
= 0,  n ≥ 2. Vì thế f(z) = z + b

0
+
b

1
z
,
||
b



0
+
e
i

z
suy ra f(z) - b

0
= z +
e
i

z
.
Do đó e
-i
2

[f(z) - b

0
] = e
-i
2

z +
1
e

2

w + b

0
= z + b

0
+
e
i

z
cũng là ánh xạ bảo giác từ
||
z
> 1 vào phần bù của
đoạn thẳng [-2e
i
2

+ b

0
; 2e
i
2

+ b


*

) = C\E = f(D
*

). Vì thế
1
f
g

  , ánh xạ này từ D
*vào D
*

. Vì vậy theo nhận xét thứ hai bên trên thì f  g.
Suy ra b

0
= 

0
, b

1
= 
2


2

= f(z
2

), z  D
*

và hàm h có khai
triển h(z) = z +


0
+


1
z
+ …Khi đó [h(z)]
2

= z
2

+ 2

0
z + (

0

1
.
Vì
1

≤ 1 (theo Hệ quả 2) nên
0
b ≤ 2.
Ta thấy
0
b = 2 
1

= 1  h(z) = z +
2
i
e
z


 [h(z)]
2

= z
2

+ 2
2
i
e

+
i
e
z

.
Dễ thấy f là ánh xạ bảo giác từ D
*

vào C\[0,4
2
i
e

] (theo Hệ quả 2).
1.3. Cận trên đối với môđun hệ số z
2

trong khai triển hàm đơn diệp

Bây giờ, ta lấy g   sao cho g(z) = [f(z
-1

)]
-1

, z  D
*

, f  S. Khi đó g có khai

[1 - (
2
23
.az az ) + (
2
23
az az

 )
2

-…]
=
1
z
- a

2
+ (a

2
2

- a

3
)z + …
Suy ra g(z) = [f(z
-1


= 2 thì g(z)= z - 2e
i

2

+
e
i

z
=
2
2
()
i
ze
z


.
Suy ra f(z) =
2
2
(1 )
i
z
ez


.




đến vô cực (không đi qua gốc toạ độ 0) như hình vẽ.  -

2

o
2
1
4
i
e




v
u

Hình 5
Thật vậy, ta chỉ cần thực hiện liên tiếp các phép biến hình bảo giác sau sẽ có ngay kết
quả: z

1
= -
2

3
= f(z).
1.3.1. Hằng số Koebe
Một ứng dụng quan trọng của định lí trên là dùng để chứng minh định lí sau.
Định lí 4: Nếu f  S thì f(D) chứa hoàn toàn đĩa {z: z <
1
4
},
và nếu tồn tại những điểm trên đường tròn
||
z
=
1
4
không thuộc vào f(D) thì f(z) =
2
2
(1 )
i
z
ez


.
Số
1
4
được gọi là hằng số Koebe.
Chứng minh
Lấy c  D nhưng c  f(D). Ta sẽ phải chỉ ra rằng

, z

2
 D sao cho g(z

1
) = g(z

2
).
Tức là f(z

1
)
1
1
1
[1- ( )]fz
c

= f(z

2
)
1
2
1
[1- ( )]fz
c



= 1 +
1
c
f(z) +
1
c
2

[f(z)]
2

+…
Suy ra g(z) = f(z)
1
1
[1- ( )]
f
z
c

= z + (
1
c
+ a

2
)z
2


1
4
(đpcm).
Khi
||
c
=
1
4
thì
||
a

2
=2. Khi đó f(z) =
2
2
(1 )
i
z
ez


(theo Định lí 3).
Kết quả dưới đây cũng thường được gọi là định lí biến dạng (distortion theorem).
1.3.2. Định lí biến dạng
Định lí 5: Nếu f  S thì
3
1
(1 )

(1 )
z
z


, với λ  C và

= 1, được gọi là phép quay của hàm Koebe ).
Chứng minh
Với mỗi số phức a  D, ta định nghĩa f

a
(z)=
2
()()
1
(1 ) '( )
za
f
fa
az
afa




, f

a
(z) giải tích trên D.

a
f
z =
2
4
(1 ) ''( ) '( )[2(1+ z) ]
11
'( )(1 )
za za
af f aa
az az
fa az




.
Suy ra
'
(0)
a
f = 1. Vì vậy, f

a
 S.
Gọi khai triển của f

a
trong D là f


2
=
''
(0)
2
a
f
và
||
b

2
≤ 2 (theo Định lí 3)
nên
''
2
'
()
(1 ) 2
()
fa
aa
fa

≤ 4 . Suy ra
''
'2
() 2
()
1


≤
2
4
1
z
z
hay
'' 2
'2
() 2
() 1
f
zr
z
f
zr


≤
2
4
1
r
r
(1.9)
Vì f’(z)
≠ 0, z  D, z ≠ 0 và f’(0) = 1 nên ta có thể chọn một nhánh giải tích của lnf’(z)
mà lnf’(0) = 0.
Ta có r



=
Re( )g
r


.
Vì thế
'
[ln ( ) ]rfz
r


= Re[
''
'
()
()
f
z
z
f
z
]
Như đã biết, với số phức
 bất kỳ:
||

≤ c, c  R thì -c ≤ Re() ≤ c.

2
2
24
1
rr
r


≤
'
[ln ( ) ]rfz
r


≤
2
2
24
1
rr
r


.
Vì vậy
2
24
1
r
r



≤
'
ln ( )
f
z ≤
2
0
24
1
r
r
dr
r



(1.11)
Chú ý rằng
2
0
2
1
r
r
dr
r




≤
'
ln ( )
f
z ≤ ln
3
1
(1 )
r
r


.
Vậy
3
1
(1 )
r
r


≤
'
()
f
z ≤
3
1
(1 )



(theo Định
lí 3).
Ta có f’(z) =
2
3
2
1
(1 )
i
i
ez
ez




. Rõ ràng, với z =
2
i
re


và z =-
2
i
re



, 0 < r < 1. Khi đó f(z) =
'
0
()
r
ii
f
eed




,
f(0) = 0. Suy ra
()
f
z ≤
'
0
()
r
ii
f
eed




≤
3

1
4
thì bất đẳng thức luôn đúng.
Xét
()
f
z <
1
4
. Khi đó, theo Định lí 4 ta suy ra rằng { : ξ >
1
4
}  f(D) Cố định z  D
mà
()
f
z
<
1
4
và gọi  là đường cong nối 0 và z trong D sao cho f  là một đoạn thẳng [0; f(z)],
nghĩa là f[
(t)] = tf(z), 0 ≤ t ≤ 1.

Hình 6
Vì thế,
()
f
z =
'

1
(1 )
r
r
dr
r



(vì '( )
f
z ≥
3
1
(1 )
r
r


(do Định lí 5) và wd ≥ d w )
≥
2
(1 )
r
r
(đpcm).
Dễ thấy các đẳng thức xảy ra trong (1.12) tương ứng với các đẳng thức xảy ra trong (1.8).
1.4.2. Định lí quay (rotation theorem)
Định lí 7 (Bieberbach’s rotation theorem):
Nếu f  S thì

'2
() 2
() 1
f
zr
z
f
zr


≤
2
4
1
r
r

.
Vì
''
'
()
Im( )
()
f
z
z
f
z
=

r



≤
'
0
arg ( )
r
f
zdr
r




≤
2
0
4
1
r
dr
r


= 2ln
1
1
r










, f  S, r =
||
z
, z
 D (1.14)

Chứng minh
Ta sử dụng hai định lí sau để chứng minh định lí quay của Goluzin.

Định lí 8: Nếu f  S thì tồn tại một dãy ánh xạ cắt đơn (single-slit mapping)
n
f
 S sao
cho
n
f
→ f đều địa phương trên D.
(Chứng minh: xem [3] hoặc [5])

Định lí 9: i) Nếu k : [0, ) → C là một hàm liên tục sao cho ()kt = 1,
t

t


=
1()
1()
ktv
v
ktv



, t ≥ 0,
v(z,0) = z, với mọi z
 D.
iii) Hơn nữa, trong ii) còn tồn tại hàm f(z,t) sao cho f(z,0) = f(z), z
 D,
f(z, .)

1
C
([0, )) với mỗi z  D, và
(,)
f
zt
t


=
1()


, v(z,0) = z (1.15)
và k: [0,
 )→ C là một hàm liên tục sao cho
()kt
= 1, t ≥ 0.
Theo Định lí Weierstrass ta có f’(z) =
lim '( , )
t
t
ev zt

, với v’(z,t) = (,)vzt
z


,
cũng hội tụ đều địa phương trên D.