BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thành Trung SIÊU TÂM CỦA VÀNH NỬA ĐƠN Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số
Mã số : 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


NGƯỜIHƯỚNGDẪNKHOAHỌC:
PGS. TS. BÙI TƯỜNG TRÍ

Thành phố Hồ Chí Minh-2010
THƯ
VIỆN
LỜI CẢM ƠN 
Lờiđầutiêntrongluậnvănnàychotôibàytỏlòngbiếtơnchânthànhđến
PGS.TS.BùiTườngTrívàcácthầycôkhoaToánTrườngĐạiHọcSưPhạmđã


a / a a, ( ,a) 1,
n n
R x x n n x x R
     
. Rõ ràng
T(R)

Z.VấnđềđặtralàvớiđiềukiệnnàocủaRthìsiêutâmtrùngvớitâm.Trongluậnvăn
này,banđầubàitoánđượcđặtravớiRlàvànhchiađượcthìsiêutâmtrùngvớitâm,tiếp
theolàvànhnủađơn.Nhưngsauđó,tôithấyrằngcóthểmởrộngralớpvànhkhôngcónil-
idealkháckhông(phầnnàyđượcđặtraởphầncuốichương3củacuốnluậnvănnày).

Luậnvănđượcchialàmbachương:
Chương1 :Kiếnthứccơbản
Chương2 :Cácđịnhlývềtínhgiaohoán
Chương3 :Siêutâmcủavànhnửađơn.

Chương 1
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1 Module
Định nghĩa 1.1.1: NhómcộngAbelMgọilàR_modulenếucómộtánhxạMxR

M;
(m,r)

mrsaocho
1 2
a
, , ; ,

toànbộM.
Bổ đề 1.1.1: A(M)làmộtidealhaiphíacủaR.Hơnnữa,MlàmộtR/A(M)_moduletrung
thành.
Chứng minh. A(M)làmộtidealhaiphíacủaR.
o
, ( ):
x y A M
 
M(x-y)=Mx-My=0

x-y

A(M)
( ), ,
x A M r R
   
tacó:
o M(xr)=(Mx)r=(0)r=(0)

xr

A(M)
o M(rx)=(Mr)x

Mx=(0)

M(rx)=(0)

rx



r

A(M)=>r+A(M)=0.DođóMlàR/A(M)_moduletrungthành.
KýhiệuE(M)làtậphợptấtcảcáctựđồngcấucủanhómcộngM.Khiđó,E(M)lập
thànhmộtvànhvớiphépcộngvàphépnhânánhxạthôngthường.Vớimỗir

R,tađịnh
nghĩa
r
T
:M

Msaochom
r
T
=mr,

m

M.DoMlàR_modulenên
r
T

E(M).
Tađịnhnghĩaánhxạ

:R

E(M)saocho



thì
,
m M r R
   
tacó
 (m

)r=(m

)
r
T
=m(

r
T
)=m(
r
T

)=(m
r
T
)

=(mr)



(0)vàM

cũnglàmoduleconcủaM.Theogiảthiết,MlàR_modulebấtkhảquy
nênM

=M,suyra


làtoàncấu.Mặtkhác

làđơncấudoker

=0.Nếuker


0thì
ker

=M, suy ra

=0(mâu thuẫn). Vậy

 là đẳng cấu nên tồn tại tự đồng cấu ngược
1



E(M).



củaRđượcgọilàchínhquynếutồntạiphầntửr

Rsaocho
x-rx


,
r R
 
.
NếuvànhRcóđơnvị1thìmọiidealđềulàidealchínhquyvìtachỉcầnchọnr=1thì
vớimọiideal

và
x R
 
thìx-1x=x-x=0


.
Bổ đề 1.1.3.NếuMlàR_modulebấtkhảquythìMđẳngcấu(nhưlàmộtmodule)với
R_modulethươngR/

trongđó

làmộtidealphảitốiđạivàchínhquynàođócủaR.
Ngượclạinếu

làmộtidealphảitốiđạivàchínhquythìR_modulethươngR/



mr
Dễdàngkiểmtra

làđồngcấu.Hơnnữa,domR=Mnên

làtoàncấu.TheođịnhlýNo-
ethertacóđẳngcấuR/ker


M.Đặt

=ker

,tachứngminh

làidealphảitốiđại
chínhquycủaR.
 Hiểnnhiên

làidealphảicủaR.
 

tốiđại
Giảsửcó
'

làidealphảicủaRsaocho



chínhquy
TừđẳngthứcmR=M,suyratồntạir

Rsaochomr=m.Khiđó
x R
 
:m(x-rx)=mx-
mrx=mx-mx=0

x-rx


.
Ngượclạigiảsử

làidealphảitốiđạivàchínhquycủaR.Tasẽchứng
minhR/

làR_modulebấtkhảquy.
 (R/

)R

(0)
Do

làidealphảichínhquynêntồntạir

Rsaochox-rx



khôngcómoduleconthậtsự.
VậyR/

làR_modulebấtkhảquy. 
1.2 Căn Jacobson của một vành
Định nghĩa 1.2.1. CănJacobsoncủavànhR,kýhiệuJ(R)hoặcRad(R),làtậphợptấtcảcác
phầntửcủaRlinhhoáđượctấtcảcácR_modulebấtkhảquy.
 J(R)={
,
/ (0)
r R Mr
 
vớimọiMlàR_modulebấtkhảquy}
NếuRkhôngcóR_modulebấtkhảquythìtaquyướcJ(R)=R.KhiđóvànhRđược
gọilàvànhRadical.Theobổđề1.1.3tacókếtquảvànhRlàvànhRadicalnếuRkhôngcó
idealphảitốiđạichínhquy.
Nhận xét. NếuRcóđơnvị1thìRkhônglàvànhRadical.
Tacó A(M)=


/ 0
r R Mr
 

Khiđó J(R)=
 ( )
A M

(MlàR_modulebấtkhảquy) 

  
        

Suyra(

:R)làidealhaiphíacủaR.Dễdàngkiểmtrađược(

:R)làidealhaiphía
lớnnhấtcủaRnằmtrong

.
Định lý 1.2.1.  J(R)=
( : )
R


(

làidealphảitốiđạivàchínhquy)
Tachỉcầnchứngminh(

:R)làidealhaiphíalớnnhấtcủaRnằmtrong

.
 Dễdàngkiểmtra(

:R)làidealhaiphía.

( : ) .
x R Rx

'
Rx
 
 

x

(

:R)nên
'


(

:R).
Bổ đề 1.2.1. Nếu

làidealphảichínhquythậtsựbấtkỳthìbaogiờcũngnhúng

vàomột
idealphảitốiđạichínhquynàođócủaR.
Định lý 1.2.2.  J(R)=



(

làidealphảitốiđạivàchínhquy)
Chứng minh.Theođịnhlý1.2.1tacó:

,taxéttậphợp
'

=


/
xy x y R
 
.Tachứngminh
'


R.Giảsử
'


R.Khiđó
'

làmộtidealphảichínhquycủaR.Tínhchínhquycủa
'

cóđượclàdota
chọna=-xsuyray-ax=y+xy

'

;


nêny

0

.Vậy

y

R

y

0

do
đó
0

=R(mâuthuẫntínhtốiđạicủa
0

)nên
'

=R.

x


tồntạiw

=M.Dođótồntạit


saochomt=-m.Dot


nên
tồntạis

Rsaochot+s+ts=0.Khiđó,0=m0=m(t+s+ts)=mt+ms+mts=-m+ms-ms=-m.Suyra
m=0(mâuthuẫn).Vậy


J(R).
NhưvậychúngtađãkhảosátcấutrúccănJacobsontrêncơsởMlàR_modulephải.
TrongtrườnghợpMlàR_moduletráitacũngcókếtquảhoàntoàntươngtự.Vấnđềđặtra
làmốiquanhệgiữacănJacobsontráivàcănJacobsonphảinhưthếnào?
Định nghĩa 1.2.2. Phầntửa

Rđượcgọilàtựachínhquyphảinếutồntại
'
a

Rsaocho
a+
'
a
+a
'
a

a
)=1.Vậyphầntử1+acóphầntửnghịchđảo
là1+
'
a
.
Ngượclại,giảsử1+acónghịchđảophảitrongR.Dođótồntạir

Rsaocho
(1+a)r=1

r-1+ar=0.Đặt
'
a
=r-1,tasẽcóđẳngthứca+
'
a
+a
'
a
=0.Vậyalàtựachínhquy
phải.
Mệnh đề 1.2.1. IdealJ(R)làtựachínhquyphải.Nếu

làidealtựachínhquyphảicủavành
Rthì


J(R).Chứng minh.Trongphầnchứng
minhđịnhlý1.2.2tađãchỉrađượcmọiphầntửcủaJ(R)đềulàphầntửtựachínhquyphải


và

làidealtựachínhquyphảinêntồntại
'
x

Rsaochox+
'
x
+x
'
x
=0.
Tacó:0=m0=m(x+
'
x
+x
'
x
)=mx+m
'
x
+mx
'
x
=-m+m
'
x
-m

Rsaochoa+
'
a
+a
'
a
=0.Khi
đó
'
a
=-a-a
'
a

J(R)vàtồntại

Rsaocho
'
a
+
"
a
+
'
a
"
a
=0.Tacóalàphầntửtựanghịchđảo
tráivà
"

n
=0
 Mộtideal(phải,trái,haiphía)đượcgọilànil_idealnếumọiphầntửcủanóđềulàlũy
linh.
 Mộtideal(phải,trái,haiphía)

đượcgọilàlũylinhnếutồntạisốnguyêndươngnsao
cho
1 2 1 2
a a a 0; a ,a , ,a
n n

  
.Điềunàycónghĩalà
0
n


.
Nhận xét. Nếu

làideallũylinhthì

lànil_ideal.Điềungượclạikhôngđúng.Mọi
phầntửluỹlinhđềulàphầntửtựachínhquyphảivàtựachínhquytrái.Thậtvậy,giảsử
alàphầntửlũylinhcủaR,tứctồntạisốnguyêndươngmsaocho
m
a
=0.Đặtb=-a+a
2

 T
a
:A

A;x

xT
a
=xa
 L
a
:A

A;x

xL
a
=ax
làcácphépbiếnđổituyếntínhcủaAtrênF.
 ĐốivớimộtđạisốA,tađịnhnghĩacáckháiniệmideal,đồngcấu, bằngcáchgáncho
chúngthừahưởngcáccấutrúccủaA.Chẳnghạn

đượcgọilàidealcủađạisốAnếu

làidealcủavànhAvà

cũnglàkhônggianconcủakhônggianvectơAtrênF.Sử
dụngcáckháiniệmtrêntacóhoàntoànthểđịnhnghĩacăncủađạisốA.Đólàgiao
củatấtcảcácidealphảichínhquytốiđạicủađạisốA.
Mộtcâuhỏiđượcđặtramộtcáchtựnhiênlàliệucósựtươngđồnghay


)A+

A


(FA)+




Do

chínhquynêntồntạia

Rsaochox-ax


,

x

A.Mà
ax

A
2


nênx

là ideal phải tốiđạichính quy của R. Khi đóta có
J(R)



.Dođótheođịnhlýđồngcấu,

=

/J(R)làmộtidealphảitốiđạichínhquycủa
R
.Thậtvậy,doJ(R)



Rnêntacó
   R/


(R/J(R))/(

/J(R))
Từtínhtốiđạicủa

trongvànhRtasuyratínhtốiđạicủa

/J(R)trongvànhthương
R
.Tachứngminh


chạykhắpcácidealphảichínhquytốiđạicủaRnêntacó
(0)



.Theođịnhlý1.2.2tacóJ(
R
)bằnggiaocủatấtcảcácidealphảichínhquytối
đạicùa
R
màgiaonàynằmtrong
(0)



nêntasuyraJ(
R
)=(0).
Tínhchấtcủa cănJacobson được trình bày trong định lý 1.2.4 ở trên làmột trong
nhữngtínhchấtđượcgọilà“radical_like””giốngnhưcăn”.Nhữngnghiêncứuvềcáctính
chấtnàycủamộtcănJacobsoncủamộtvànhtổngquátđượctiếnhànhbởiAmitsurvàKu-
rosh.Đểkếtthúcmụcnày,tasẽđưarahaiđịnhlýtrìnhbàycáctínhchấtnhưtrên.Tađịnh
nghĩasau:
Định nghĩa 1.2.4.VànhRđượcgọilànửađơnnếuJ(R)=0.
Theođịnhlý1.2.4tacóvànhthươngR/J(R)luônlàvànhnửađơnvớibấtkỳvànhR.
Định lý 1.2.5.NếuAlàmộtidealcủavànhRthìJ(A)=A
( )
J R

.Chứng

làideanphảichínhquytốiđạicủaR
vàđặt
A

=
A


.
NếuA


thìdotínhtốiđạicủa

taphảicóA+

=R.Dođó,theođịnhlýđồngcấu
tacó R/

=(A+

)/


A/(A


)=A/
A




b=a+r với a

A,
r


.Khiđóx-bx=x-ax-rx


.Dorx


nênx-ax


.Tómlại,tồntạia

Asaocho
x-ax

A


=
A

,


A J R A
 
   


.
Hệ quả 1.2.1NếuRlàvànhnửađơnthìmọiidealcủaRcũnglàvànhnửađơn.
Chúng minh.GọiAlàidealcủavànhnửađơnR.Tacó:
  J(A)=J(R)

A=(0)

A=(0)
DođóAcũnglàvànhnửađơn.
Kết luận của định lý 1.2.5 sẽ không còn đúng nếu A chỉ là ideal mộtphía của R.
ChẳnghạntalấyRlàvànhmatrậnvuôngcấp2trêntrườngsốthực.VìRcóđơnvịlàma
trậnđơnvị
1 0
0 1
E
 

 
 
nênJ(R)

R.HơnnữaRkhôngcóidealhaiphíakhôngtầmthường
nêntacóJ(R)=0.Thậtvậy,giảsửAlàidealhaiphíacủaRvàA

(0).

a

,doAlàidealhai
phíacủaRnên
11
11 11
0
0 0
a
E aE A
 
 
 
 
.
Suyra
11
11
11
1
0
0
a
0 0
0 0
a
E A
 
 
 

 
 
 
 
 
 
làmộtidealphảicủa

và mọiphần tử của
1

đều lũy linh. Do đó
1

là nil_idealphải khác (0) của

 suy ra
J(

)

(0) vì ta luôncó
1


J(

).Điềuđócho thấyđịnhlý 1.2.5khôngcònđúngtrong
trườnghợpnàyvìJ(


m
R
)=
( )
m
J R
.
Chúng minh.LấyMlàR_modulebấtkhảquytùyý.Đặt


( )
1 2
( , , , ) /
m
m i
M m m m m M
 

DễdàngkiểmtrađượcM
(m)
làmộtR_modulevớiphépcộnglàphépcộngtheotừngthành
phần,phépnhânngoàichẳngqualàphépnhânvàobênphảicủamộtbộtrongM
(m)
vớimột
matrậntrongR
m
.HơnthếnữaM
(m)
cònlàR_modulebấtkhảquy.Thậtvậy:
 M

(0)và
dođócóm

Mvàr

Rsaochomr

0)
 LấyN

(0)làmoduleconcủaM
(m)
.Ta sẽchứngminh N=M
(m)
hayM
(m)

N. Thật
vậy,doN

(0)nêntồntại(0,0, ,0)

(m
1
,m
2
, ,m
m
)


=x
j
.
Dođó
 
1 2 1 2 1 2
00 0

( , , ) ( , , , ) r r  r

00 0
m m m
x x x m m m N
 
 
 
 
 
 
 
 
 

VậyM
(m)
làR_modulebấtkhảquy.
Nếu(a
ij
)


m.Điềuđócónghĩa
là(a
ij
)

J(R)
m
.VậyJ(R
m
)

J(R)
m
.
ĐểchứngminhbaohàmthứcngượclạitachứngtỏJ(R)
m
làidealphảitựachínhquy
củaR
m
vànhưthếthìtheođịnhlý1.2.3tasuyra

J(R)
m

J(R
m
).Xét
 
11 12 1
1 1

.Tasẽchứngminh
1


J(R
m
),hay
mọiphầntử
1

đềulàphầntửtựachínhquyphải.Xét
 
11 12 1
1
a a  a
00 0

00 0
m
X

 
 
 
 
 
 
 

Lấy 

11
a
=0.Đặt
W=X+Y+XYthìkhiđó
 
12 1
0a  a
00 0

00 0
m
W
 
 
 

 
 
 

SuyraW
2
=0.DođóWlàphầntử

lũylinh

WlàphầntửtựachínhquyphảicủaR
m
.
TồntạiZ

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

làidealtựachínhquyphảicủaR
m
.Dođó
i


J(R
m
);

i=1,2, ,m.DoJ(R
m
)làidealcủaR
m

nênJ(R
m
)làđóngvớiphépcộng.Vìvậytacó
1 2


 
.TasẽchứngminhrằngJ
n
=0.
ĐặtU=


/ (0)
n
x R xJ 
,dễdàngkiểmtrađượcUlàidealhaiphíacủaaR.Cóhaitrường
hợpcóthểxảyranhưsau:
Nếu
n
J U

thì
(0)
n n
J J 
,dođó
2
(0)
n n
J J  

Nếu
n
J U

n
J J R

nên
(0)
n
J


,với
mọiideal

của
R
.VìRlàvànhArtinnên
R
cũnglàvànhArtin.Dođótậphợp


{

là
cácidealkhác(0)của
R
/


n
J
}cóidealtốitiểulà

  
  
nghĩalà
U


,suyra

=(0)(mâuthuẫn).Vậytrườnghợpnàykhôngxảyravàđịnhlýđượcchứngminh.
Hệ quả 1.3.1TrongmộtvànhArtin,mọinil_idealđềulàideallũylinh.
Chứng minh.NếuAlànil_idealcủavànhArtinRthìA

J(R).MặtkháctacóJ(R)lũylinh
nênAcũnglũylinh.
Định nghĩa 1.3.2.Phầntửe

R,e

0đượcgọilàlũyđẳngnếue
2
=e.
Bổ đề 1.3.1.ChoRlàvànhkhôngcóideallũylinhkhác(0).Giảsừ


(0)làidealphảitối
tiểucủaR.Khiđó

=eR,vớielàphầntửlũyđẳngnàođócủaR.
Chứng minh.Taphảicó


nênx

=

suy
ratồntạie


saochoxe=x

xe=xe
2


x(e-xe)=0.Gọi

o
={a


/xa=0}đâylàmộtideal
phảicủaR.Ngoàiratacó

o


(

o



eR


vàeR

(0)(vì0

e=e
2

eR)nên

=eR.
Nhận xét. Trongvànhkhôngcóideallũylinhkhác0thìmọiidealphảikhác0tốitiểuđềulà
idealchínhsinhbởiphầntửlũyđẳng.
NếuidealphảicủavànhArtinchứacácphầntửlũylinhkhác0thìđócũnglàideallũy
linh.Từđócâuhỏiđượcđặtralà“Phảichăngidealphảicóchứaphầntửkhônglũylinh
trongvànhArtinthìtrongđóthếnàocũngtìmđượcphầntửlũyđẳng?”
Bổ đề 1.3.2. ChoRlàvànhtùyý,a

Rsaochoa
2
-alũylinh.Khiđóhoặcchínhalũylinh
hoặctồntạiđathứcq(x)vớihệsốnguyênsaochoe=aq(a)làphầntửlũyđẳng.
Chứng minh. Giảsử(a
2
-a)
k
=0.Khaitriểnvếtráitađượca

 
suyraelũyđẳng.
Định lý 1.3.2.NếuvànhRArtinvà

làidealphảikhác0,khônglũylinhcủaRthếthì

chứaphầntửlũyđẳng.
Định lý 1.3.3.NếuRlàvànhtùyývàelàphầntửlũyđẳngthếthìJ(eRe)=eJ(R)e.
Nhận xét.Rlàvànhtùyý,nhưngeRe={exe/x

R}

RlạilàvànhconcủaRcóđơnvị.
Định lý 1.3.4.GiảsửRlàvànhkhôngcóideallũylinhkhác0,elàphầntửlũyđẳngkhác0
củaR.KhiđóeRlàidealtốitiểucủaRkhivàchỉkhieRelàmộtthể.
Định lý 1.3.5.GiảsửGlàmộtnhómhữuhạnbậc
( )
G

vàFlàtrườngcóđặcsố0hoặcđặc
sốp,p
( )
G

.ThếthìJ(F(G))=(0).
Chứng minh.TrướchếttanhắclạiđịnhnghĩađạisốnhómF(G):
ChoGlànhómhữuhạnG=


1 2 3


  

Lúcđó(F(G),+)trởthànhmộtnhómAbel.HơnnữaF(G)cònlàkhônggianvectơtrên
F.F(G)đượcgọilàđạisốnhómvàdimF(G)=n=cấpcủanhómG,trongđómộtcơsởcủa
khônggianF(G)là


1 2 3
, , , ,
n
g g g g
.Bâygiờtachứngminhđịnhlý.
Nếua

F(G)tađịnhnghĩaánhxạT
a
:F(G)

F(G);x

xa=xT
a

T
a
trởthànhmộtphépbiếnđổituyếntínhkhônggianvectơcủađạisốF(G).
Xétánhxạ

:F(G)


F,đặcbiệtlấyx=1.e=>xa=a=0=>ker

=0.Vậy

đơncấudođó

làđẳngcấu.
Vớimọiphépbiếnđổituyếntínhtabiếtrằngđềucómatrậntươngứng.Dođó,vớig
i


Gtươngứngtacó
i
g
T
,chính
i
g
T
lạicómatrậnđốivớicơsởG=


1 2 3
, , , ,
n
g e g g g

là
1 1

01 00
10..00

00..10
A
 
 
 

 
 
 
mỗihàngcómộtsố1,mỗicộtkhông
cóhaisố1(đểýrằngtrongGcóluậtgiảnướcnênnếu
m i n i m n
g g g g g g
  
)Vếtcủama
trậnAlàtr(A)=
11 22
a a a
nn
  
,đặtbiệt
1
g
T
=T
e
=matrậnđơnvị,nêntacótr(


).
 Nếux

Jvàx

0

xlũylinh(doJlũylinh)dođó
x
T
làphépbiếnđổituyếntínhlũy
linh

tr(
x
T
)=0.
Vìx

0tacóthểgiảsửx=
1 1 2 2

n n
g g g
  
  
với
1
0

Định nghĩa 1.4.1. VànhRđượcgọilàvànhnguyênthủynếunócómộtR_modulebấtkhả
quyvàtrungthành.
Nhận xét. 1. NếuRlàvànhnguyênthủythìtồntạiMlàR_modulebấtkhảquyvàtrung
thành.SuyraA(M)=


/ (0) (0)
r R Mr  
.
Xétánhxạ
: ( )
R E M




:
r
r T M M


saocho
( )
r
T m mr

,vớimọim

M.
TacóMtrungthànhkhivàchỉkhiA(M)=ker

làidealphảitốiđại
chínhquytrongRsaocho(

:R)=(0).TrongtrườnghợpđóRlàvànhnửađơn.Hơnnữa,
nếuvànhnguyênthủyRgiaohoánthìRlàtrường.
Chứng minh.Rnguyênthủykhivàchỉkhitồntạiidealphảitốiđạichínhquy




là
idealhaiphíatốiđại(vìRgiaohoán)

(

:R)=

(vì(

:R)làidealhaiphíalớnnhấtnằm
trong

).Do(

:R)=(0)suyra

=(0).Idealtốiđại

=(0)nênRlàmộttrường.GiảsửRlà
vànhnguyênthủyvàMlàR_modulebấtkhảquyvàtrungthành.TheobổđềSchurtacó:

n
v v v M

độclậptuyếntínhtrên

vàbấtkỳnphầntử
1 2
, , ,
n
w w w
trong
Mthìtồntạir

Rsaocho
; 1,2, ,
i i
w v r i n
 
.
Nhận xét. 1. Ởđâykháiniệmdàyđặcđượchiểutheonghĩa:Lấytùyýhệhữuhạncácvectơ
củaMđộclậptuyếntínhtrên

vàmộthệhữuhạnbấtkỳcủaM.Baogiờcũngtồntạiphép
biếnđổituyếntínhbiếnhệđộclậpnàythànhhệkia.
2. Nếu
dim
M n


(hữuhạn)thì

f Hom M M

 
giảsử
1 2
, , ,
n
e e e
làcơsởcủaM.Đồngcấuf
hoàntoànđượcxácđịnhnếubiếtcácảnh
1 2
, , ,
n
e f e f e f
.Theotínhdàyđặctồntại
r R

sao chovớimọi
1 2
, , ,
n
w w w
M

tacó
i i
e r w

và
i i

R:Vr=(0)vàmr

0(rlinhhóatoànbộVmàkhônglinhhóam).Thậtvậynếuđiềutrên
thỏathìmrR

(0)vàmrRlàmoduleconcủaMtrênR.VìMbấtkhảquy

mrR=M.Dođó
taphảitìms

RsaochomrslàbấtkỳphầntửnàocủaM(mrschạykhắpM).
Lưu ý:Vrs=(0).Giảsử
1 2
, , ,
n
v v v

Mlàhệđộclậptuyếntínhtrên

và
1 2
, , ,
n
w w w


M
tùy ý. Gọi  
i
V

và
(0)
i i
Vt

.Đặtt=
1 2

n
t t t R
   
thìtacó
i i
v t w

theođịnhnghĩaRdày
đặctrênM.
Đểchứngminhđịnhlýtachứngminhnhậnxéttrênbằngquynạptheosốchiềucủa
khônggianvectơVtrên

.

NếudimV=0

V=(0)
, 0 (0)
m M m V m mR
      
(vìMbấtkhảquy)
(Nếu

làidealchínhsinhbởi

).Theogiả
thiếtquynạpvới
A(
0
V
)=


0
/ (0)
x V V x 
thì
0
,
m V r
   

0
( )
A V
sao cho mr

0. Mặt khác, nếu
m
0
( )
A V
=(0) thì m

 Giảsửphảnchứng:
,
m M m V
  
saochotừđẳngthứcVr=(0)suyramr=0.
Xétánhxạ

:M

M
x

x

=ma
trongđóađượcxácđịnhx=

avớia

A(
0
V
)do(1).Tacó

đượcđịnhnghĩatốt.Thậtvậy,
nếux=0thì0=x=

avìvậyalinhhóacảhai
0
V


a)r=

(ar)nên(xr)

=m(ar)=(ma)r=(x

)r.Điềunàychứngtỏ

nằmtrong

.Dođó
ar

A(
0
V
),ma=(

a)

=(


)asuyra(m-


)a=0,

a

củaRánhxạđồngcấuvào
m

.
Chứng minh.GiảsửRlàvànhdàyđặccácphépbiếnđổituyếntínhcủakhônggianvectơV
trênthể

.NếuVhữuhạntrên

thìRdàyđặctrênV,nghĩalàRđẳngcấuvớivànhcác
phépbiếnđổi

tuyếntínhtrênkhônggianV,chínhlà
n

vớin=
dim .
V


 NếukhônggianVtrên

làvôhạnchiềuthìvớimọisốtựnhiênmtồntạicácphần
tửphụthuộctuyếntínhtrên

:
1 2
, , ,
m
v v v V

thìtacóđẳngcấu

/ ( , )
m m m m m
S W Hom V V

  

Mộtứngdụngquantrọngđãđượcchứngminhdựavàođịnhlýdàyđặcnhưsau:(như
làmộtminhhọađẹpvềứngdụngcủađịnhlýdàyđặc).
Định lý 1.4.4.(ĐịnhlýWedderburn-Artin)GiảsửRlàvànhArtinđơnthìkhiđóRđẳngcấu
với
n
D
,trongđó
n
D
làtậphợpcácmatrậnvuôngcấpnlấyhệtửtrênthểD.Hơnnữa,nlà
duynhấtvàDsaikhácmộtphépđẳngcấu.Ngượclại,nếuDlàmộtthểtùyýthì
n
D
là
vànhArtinđơn.
Chứng minh.TrướchếttalưuýrằngmộtvànhvừađơnvừaArtinthìnólàvànhnửađơn.
Thậtvậy,giảsửRlàvànhđơnvàArtin.NếuJ(R)

(0)thìJ(R)=R(đểýrằngvànhđơnlà
vànhkhôngcóidealthựcsựnàovà
2
R

trongthể

=C(M)
tachứngminhrằngR

( , )
Hom M M

.Điềuđóxảyrakhi
dim M

 
.Giảsửcómộtdãy
vôhạncácvectơđộclậptuyếntính
1 2
, , ,
n
v v v
, trongM.Taxâydựngmộtdãygiảmcác
idealphảinhưsau:
Đặt


/ 0, 1,2, ,
n i
x R v x i n

   
={x



và
2 2
v r v

suyrar

1

(vìnólinhhóa
1
v
).Nhưngr

2

vìnó
khônglinhhóa
2
v
.Vậy
1 2
 

,tađượcdãyvôhạnthậtsự
1 2

n
  
   

thìRlàvànhnửađơn.Thậtvậy,giảsửRlàvànhArtinđơn.KhiđóJ(R)lũylinh.Mặtkhác
doRđơnnên
2
(0)
R 
mà
2
R
làidealhaiphíacủaRnên
2
R
=R

(0)suyra
(0);
n
R R n
  

suyraRkhônglũylinh.DođóJ(R)

RmàJ(R)làidealhaiphíacủaRnênJ(R)=(0).Suyra
Rlàvànhnửađơn.
4.Mọivànhnguyênthủyđềulàvànhnguyêntố.Thậtvậy,giảsửRlàvànhnguyênthủy,khi
đótồntạiMlàR_moduletrungthànhbấtkhảquy.GiảsửtacóaRb=(0).Tachứngminha=0
hoặcb=0.Thậtvậy,giảsửa

0,khiđóaRlàidealphảichínhsinhbởia.Cóhaikhảnăng
xảyra:
(a)aR

r R rR 
. Dễ thấy a

R vàa

0 nênJlà ideal củaR và
J

(0).HơnnữatacóJb=(0)(vìb

R).DoMJlàmoduleconcủamodulebấtkhảquyMnên
MJ=(0)thìJ=(0)(mâuthuẫn).DođóMJ=M,khiđóMb=(MJ)b=M(Jb)=(0).Suyrablinhhóa
toànbộMmàMlàmoduletrungthànhnênb=0.
Chương 2
CÁC ĐỊNH LÝ VỀ TÍNH GIAO HOÁN

ChúngtahãybắtđầuvớiđịnhlýWedderburnnổitiếngsau:
Định lý 2.1.(Wedderburn)Mọithểhữuhạnlàmộttrường.

:
D D



  
x x xa ax

 


DođặcsốcủathểDbằngp

0nêntasuyra
a a
p p p
x x x

 
suyra
a a , 0
k k k
p p p
x x x k

   
.Giả
sửPlàtrườngconđơntrongZ,vìphầntửalàphầntửđạisốtrênPnêntrườngP(a)cũng
hữuhạnvàcó
m

x x x x x x
      
    
vìrằnghai
phầntửavà

làgiaohoáncủanhau.Bằngcáchkýhiệuánhxạ

I:
;
D D x x



tasuy
ra

Ivà

giaohoánđượcvớinhau
(a)
P

 
.Đathức
m
p
t t

cóthểphântíchtrênP(a)


 



.
 Vìa

Znên


0.Giảsửklàsốbénhấtsaochotồntại
1 2
, , , (a)
k
P
  

thỏa
1
( ) ( ) 0
k
I I
    
  
.Theogiảthuyếtsốknhưthếtồntại,hơnnữak

1vì





nêntacó
1
a a (a)
k
P
  

  
,hơn
nữa
1
a a
 


do
0
k


.
 TrườngP(a)làhữuhạnvìvậynhómnhâncủanólàxyclicvàdođóbấtkỳhaiphầntử
khác0củaP(a)mànếucóchungmộtbậc(đốivớiphépnhân)thìphầntửnàylàlũythừacủa