BÀI TẬP
ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC
TRƯƠNG VĂN KÌM
0902.789.015
(Sưu tầm, tuyển chọn)
Trang 1
1. Hai ng thng song song
a) nh ngha:
abP
ab
ab
,()
ỡ
è

ớ
ầ=ặ
ợ
P
b) Tớnh cht
ã
()()()
()(),,
()()
()()
PQR
PQaabcủongqui
PRbabc
QRc
ỡ
ạạ

ờ

ở
ù
ợ
PP
P
ã

,
ab
ab
acbc
ỡ
ạ
ị
ớ
ợ
P
PP
2. ng thng v mt phng song song
a) nh ngha: d // (P)

d
ầ
(P) =
ặ

b) Tớnh cht
ã

ã

()()
(),()
PQd
da
PaQa
ỡ
ầ=
ị
ớ
ợ
P
PP

3. Hai mt phng song song
a) nh ngha: (P) // (Q)

(P)
ầ
(Q) =
ặ

b) Tớnh cht
ã

(),
()()
(),()
Pab

ã

()()
()()
()()
QR
PQaab
PRb
ỡ
ù
ầ=ị
ớ
ù
ầ=
ợ
P
P

4. Chng minh quan h song song
a) Chng minh hai ng thng song song
Cú th s dng 1 trong cỏc cỏch sau:

ã
Chng minh 2 ng thng ú ng phng, ri ỏp dng phng phỏp chng minh
song song trong hỡnh hc phng (nh tớnh cht ng trung bỡnh, nh lớ Talột o, )

ã
Chng minh 2 ng thng ú cựng song song vi ng thng th ba.

ã

b) Tớnh cht
ã Gi s
u
r
l VTCP ca a,
v
r
l VTCP ca b. Khi ú
.0
abuv
^=
rr
.
ã

bc
ab
ac
ỡ
ÔÔ
ị^
ớ
^
ợ
2. ng thng v mt phng vuụng gúc
a) nh ngha: d
^
(P)

d

^
ợ
P
ã
ab
ab
aPbP(),()
ỡ
ạ
ị
ớ
^^
ợ
P

ã
PQ
aQ
aP
()()
()
()
ỡ
ị^
ớ
^
ợ
P
ã
PQ

)
,()
ỡ
ậ
ị(
ớ
^^
ợ
P

ãMt phng trung trc ca mt on thng l mt phng vuụng gúc vi on thng ti
trung im ca nú.
Mt phng trung trc ca on thng l tp hp cỏc im cỏch u hai u mỳt ca
on thng ú.
ã nh lớ ba ng vuụng gúc
Cho
(),()
aPbP
^è, a l hỡnh chiu ca a trờn (P). Khi ú b ^ a b ^ aÂ
3. Hai mt phng vuụng gúc
a) nh ngha: (P)
^
(Q)


ã
(
)
0
90

()()
,()
PQ
APaP
aAaQ
ỡ
^
ù
ẻịè
ớ
ù
'^
ợ
ã
()()
()()()
()()
PQa
PRaR
QR
ỡ
ầ=
ù
^ị^
ớ
ù
^
ợ

4. Chng minh quan h vuụng gúc


·
Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P).

·
Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).

·
Chứng minh d // a và a
^
(P).

·
Chứng minh d
Ì
(Q) với (Q)
^
(P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).

·
Chứng minh d = (Q)
Ç
(R) với (Q)
^
(P) và (R)
^
(P).
c) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Để chứng minh (P) ^ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:


,
£ 90
0
b) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng:
· Nếu d ^ (P) thì
·
(
)
,()
dP
= 90
0
.
·Nếu
()
dP
^ thì
·
(
)
,()
dP
=
·
(
)
,'
dd
với d¢ là hình chiếu của d trên (P).
Chú ý: 0

(),
aPac
bQbc
ì
Ì^
í
Ì^
î
Þ
·
(
)
¶
(
)
(),(),
PQab
=
Chú ý:
·
(
)
00
0(),()90
PQ££
d) Diện tích hình chiếu của một đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S¢ là diện tích của hình chiếu (H¢) của (H)
trên (Q), j =
·
(

a) Cho DABC vuông tại A, có đường cao AH.
·
222
ABACBC
+=
·
22
ABBCBHACBCCH
.,.
== ·
222
111
AHABAC
=+
·
ABBCCBCBACCACB
.sin.cos.tan.cot
====
b) Cho DABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là m
a
, m
b
, m
c
; bán kính
đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p.
·Định lí hàm số cosin:
222222
22
222

1
.
2
1
.
2
1
=== · CabBcaAbcS sin
2
1
sin.
2
1
sin
2
1
===
·
R
abc
S
4
= · prS
=
·
(
)
(
)
(

==
f) Hình thang:
( )
hbaS .
2
1
+= (a, b: hai đáy, h: chiều cao)
g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:
1
2
SACBD
.
=
IV. Nhắc lại một số công thức
trong Hình học phẳng
Trang 5
1. Th tớch ca khi hp ch nht:
Vabc
=
vi a, b, c l ba kớch thc ca khi hp ch nht.
2. Th tớch ca khi chúp:
1
3
ủaựy
VSh
.
=
vi S
ỏy
l din tớch ỏy, h l chiu cao ca khi chúp


'''
=
* B sung
ã Din tớch xung quanh ca hỡnh lng tr (hỡnh chúp) bng tng din tớch cỏc mt bờn
ã Din tớch ton phn ca hỡnh lng tr (hỡnh chúp) bng tng din tớch xung quanh vi
din tớch cỏc ỏy.
Baứi 1. Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a. Gúc gia
mt bờn v mt ỏy bng a (45
0
< a < 90
0
). Tớnh th tớch hỡnh chúp.
HD: Tớnh h =
1
2
a
tan
a

ị
Va
3
1
tan
6
=a
Baứi 2. Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh 2a, cnh bờn
SA = a
5

HD: Trong mp(BCD) ly cỏc im P, Q, R sao cho B, C, D ln lt l trung im ca
PQ, QR, RP. Chỳ ý: V
APQR
= 4V
ABCD
=
1
6
APAQARị

Vabcbcacab
222222222
2
()()()
12
=+-+-+-
Baứi 5. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a, SA = 2a v SA ^
(ABC).Gi M v N ln lt l hỡnh chiu ca A trờn cỏc ng thng SB v SC. Tớnh th
tớch khi chúp A.BCNM.
HD:
2
2
2
16
25
SAMN
SABC

0
v
din tớch DABCÂ bng 49
6
cm
2
. Tớnh th tớch lng tr.
Baứi 10. Cho hỡnh vuụng ABCD cnh a, cỏc na ng thng Bx, Dy vuụng gúc vi
mp(ABCD) v v cựng mt phớa i vi mt phng y. Trờn Bx v Dy ln lt ly cỏc
im M, N v gi BM = x, DN = y. Tớnh th tớch t din ACMN theo a, x, y.
Baứi 11. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht vi AB =a, AD = a
2
, SA
^ (ABCD). Gi M,N ln lt l trung im ca AD v SC, I l giao im ca BM v AC.
a) Chng minh mp(SAC) ^ BM.
b) Tớnh th tớch ca khi t din ANIB.
Baứi 12. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a, SA = 2a v SA ^ (ABC).
Gi M v N ln lt l hỡnh chiu ca A trờn cỏc ng thng SB, SC. Tớnh th tớch khi
chúp A.BCNM.
Trang 7
Baứi 1. Cho hỡnh chúp t giỏc u SABCD, cú cnh ỏy bng a v
ã
ASB
a
=
.
a) Tớnh din tớch xung quanh hỡnh chúp.
b) Chng minh chiu cao ca hỡnh chúp bng
2
1

2
+ AD
2
+ BD
2
.
c) Tớnh din tớch ton phn v th tớch khi chúp.
HD: a)
ã
ã
SBABSD;
ab
==

c) S
tp
=
22
22
22
1
22
2
aasin
(sinsin)
cossin
cossin
b
ab
ab

ct SC ti CÂ. Tớnh th tớch khi chúp SABÂCÂDÂ.
HD:
8
15
SABC
SABC
V
V
ÂÂ
=

ị
V
SAB
Â
C
Â
D
Â

=
3
16
45
a
Baứi 5. Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh. Mt mt phng (P) ct SA,
SB, SC, SD ln lt ti AÂ, BÂ, CÂ, DÂ. Chng minh:
SASCSBSD
SASCSBSD
+=+

6
a
b) S =
2
3
3
a
Baøi 8. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SH = h và góc ở đáy của mặt bên là
a.
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp theo a và h.
b) Cho điểm M di động trên cạnh SC. Tìm tập hợp hình chiếu của S xuống mp(MAB).
HD: a) S
xq
=
2
2
4
1
h
tan
tan
a
a
-
; V =
3
2
4
31
h

1
3
24
a
Baøi 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA
vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc a và hợp với mặt bên SAB một góc b.
a) Chứng minh: SC
2
=
2
22
a
cossin
ab
-
.
b) Tính thể tích khối chóp.
HD: b) V =
3
22
3
asin.sin
(cossin)
ab
ab
-
Baøi 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Cạnh bên SA =2a và
vuông góc với mặt phẳng đáy.
a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
b) Hạ AE ^ SB, AF ^ SD. Chứng minh SC ^ (AEF).

a) Xác định góc a.
b) Chứng minh thể tích lăng trụ là:
3
3
33
8
a sin
sin
a
a
.
HD: a)
·
CBI
¢¢
với I
¢
là trung điểm của A
¢
B
¢

Baøi 18. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A¢B¢C¢D¢, chiều cao h. Mặt phẳng (A¢BD) hợp với
mặt bên ABB¢A¢ một góc a. Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ.
HD: V =
32
1
h tan
a
-

2
Baøi 20. Cho lăng trụ đều ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường chéo AC¢ và
đáy là 60
0
. Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD: V = a
3
6
; S
xq
= 4a
2
6

Baøi 21. Cho lăng trụ tứ giác đều, có cạnh bên là h. Từ một đỉnh vẽ 2 đường chéo của 2 mặt
bên kề nhau. Góc giữa 2 đường chéo ấy là a. Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD: S
xq
= 4h
2
1
cos
cos
a
a
-
.
Baøi 22. Cho lăng trụ tam giác đều ABc.A¢B¢C¢, cạnh đáy bằng a. Mặt phẳng (ABC¢) hợp với
mp(BCC¢B¢) một góc a. Gọi I, J là hình chiếu của A lên BC và BC¢.
a) Chứng minh

0
.
c) Tính thể tích và diện tích toàn phần theo a với giá trị b tìm được.
HD: b) b = a
7
12
c) S
tp
=
2
7321
6
a
()
+
Baøi 24. Cho hình lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A. Mặt
bên ABB¢A¢ là hình thoi cạnh a, nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên
ACC¢A¢ hợp với đáy góc nhị diện có số đo a (0 < a < 90
0
).
a) Chứng minh:
·
AAB
¢
= a.
b) Tính thể tích lăng trụ.
c) Xác định thiết diện thẳng qua A. Tính diện tích xung quanh lăng trụ.
d) Gọi b là góc nhọn mà mp(BCC¢B¢) hợp với mặt phẳng đáy.
Chứng minh: tanb =
2

2
8
a
b) S
xq
= a
2
(1 +
2
2
).
Baøi 26. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC là tam giác đều nội tiếp trong đường tròn
tâm O. Hình chiếu của C¢ lên mp(ABC) là O. Khoảng cách giữa AB và CC¢ là d và số đo
nhị diện cạnh CC¢ là 2j.
a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A¢B¢C¢.
b) Gọi a là góc giữa 2 mặt phẳng (ABB¢A¢) và (ABC) (0 < a < 90
0
).
Tính j biết a + j = 90
0
.
HD: a) V =
33
2
2
31
d tan
tan
j
j

.
·
AHK
=
a
.
b) V =
3
3
2
a
cot
a
.
Baøi 28. Cho hình hộp đứng ABCD.A¢B¢C¢D¢, đáy là hình thoi. Biết diện tích 2 mặt chéo
ACC¢A¢, BDD¢B¢ là S
1
, S
2
.
a) Tính diện tích xung quanh hình hộp.
b) Biết
·
BAD
¢
= 1v. Tính thể tích khối hộp.
Khối đa diện
Trang 11
HD: a) S
xq

+-

c) Tìm hệ thức giữa a, b để A¢D¢CB là hình vuông. Cho d không đổi, a và b thay đổi mà
A¢D¢CB luôn là hình vuông, định a, b để V lớn nhất.
HD: c) 2(cos
2
a
– sin
2
b
) = 1 ; V
max
=
3
2
32
d
khi
a
=
b
= 30
0
(dùng Côsi).
Baøi 30. Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a,
µ
A
= 60
0
. Chân

ABBAABCD
,
¢¢
. Tính a biết a + b =
4
p
.
HD: a) Chân đường cao là tâm của tam giác đều ABD.
b) S
BDD
¢
B
¢
=
2
3
3
a
sin
a
; S
ACC
¢
A
¢
= a
2
tan
a
c)

Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng D. Gọi d = d(O; D).
·Nếu d < R thì D cắt (S) tại hai điểm phân biệt.
·Nếu d = R thì D tiếp xúc với (S). (
D
đgl tiếp tuyến của (S)).
·Nếu d > R thì D và (S) không có điểm chung.
4. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp
Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp
Hình đa diện
Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều
nằm trên mặt cầu
Tất cả các mặt của hình đa diện đều
tiếp xúc với mặt cầu
Hình trụ
Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm
trên mặt cầu
Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và
mọi đường sinh của hình trụ
Hình nón
Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn
đáy của hình nón
Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi
đường sinh của hình nón
5. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
· Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì
tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó.
·Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
– Xác định trục D của đáy (
D
là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm

3
VR
p
=
2
VRh
p
=
2
1
3
VRh
p
=
CHƯƠNG II

KHỐI TRÒN XOAY
Khối tròn xoay
Trang 13
VẤN ĐỀ 1: Mặt cầu – Khối cầu
Baøi 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và )(ABCSA
^
.
a) Gọi O là trung điểm của SC. Chứng minh: OA = OB = OC = SO. Suy ra bốn điểm A,
B, C, S cùng nằm trên mặt cầu tâm O bán kính
2
SC
R = .
b) Cho SA = BC = a và
2aAB =

SMKSOA
DD
:
( với M là trung điểm của SA). Suy ra KS.
c) Chứng minh hình chóp K.ABC là hình chóp đều. suy ra: KA = KB +KC.
d) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Baøi 6. Cho hình chóp S.ABC. biết rằng có một mặt cầu bán kính R tiếp xúc với các cạnh
của hình chóp và tâm I của mặt cầu nằm trên đường cao SH của hình chóp.
a) Chứng minh rằng S.ABC là hình chóp đều.
b) Tính chiều cao của hình chóp, biết rằng 3RIS =
Baøi 7. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh là a.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.
Baøi 8. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc
60
0
.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.
Baøi 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác định tâm và
bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D.
Baøi 10. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là 13, 14, 15. Một mặt cầu tâm O, bán kính R =
5 tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC tại các tiếp điểm nằm trên ba cạnh đó. Tính
Khối tròn xoay
Trang 14
khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng chứa tam giác.
Baøi 11. Hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Baøi 12. Cho hình chóp từ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên và
đáy bằng 60

bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O¢ lấy điểm B
sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO¢AB.
Baøi 4. Một khối trụ có chiều cao bằng 20 cm và có bán kính đáy bằng 10 cm. Người ta kẻ hai
bán kính OA và O’B’ lần lượt trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc 30
0
. Cắt
khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’ của khối
trụ đó. Hãy tính diện tích của thiết diện.
Baøi 5. Một hình trụ có bán kính đáy R = 53 cm, khoảng cách giữa hai đáy h = 56 cm. Một
thiết diện song song với trục là hình vuông. Tính khoảng cách từ trục đến mặt phẳng thiết
diện.
Baøi 6. Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao OO¢ = h, A và B là hai điểm thay đổi trên hai
đường tròn đáy sao cho độ dài AB = a không đổi
(
)
22
4
hahR
><+ .
a) Chứng minh góc giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi.
b) Chứng minh khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi.
Baøi 7. Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một hình
trụ tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay được tạo nên.
b) Tính thể tích của khối trụ tròn xoay được tạo nên bởi hình trụ tròn xoay đó.
Khối tròn xoay
Trang 15

Baøi 8. Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.

b) Gọi
(
)
a
là mặt phẳng qua AB và song song với OO’. Tính khoảng cách giữa trục OO’
và mặt phẳng
(
)
a
.
c) Chứng minh rằng
(
)
a
là tiếp diện của mặt trụ có trục OO’ và có bán kính đáy bằng
2
2
R
.
VẤN ĐỀ 3: Mặt nón – Hình nón – Khối nón
Baøi 1. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A¢B¢C¢D¢ có cạnh đáy bằng a, chiều cao 2a.
Biết rằng O¢ là tâm của A¢B¢C¢D¢ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABCD. Tính thể tích
khối nón có đỉnh O¢ và đáy (C).
Baøi 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢ có cạnh đáy bằng a và chiều cao 2a.
Biết rằng O¢ là tâm của A¢B¢C¢ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABC. Tính thể tích khối
nón có đỉnh O¢ và đáy (C).
Baøi 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một
góc
0
60

0
SAB=6
. Tính độ dài đường
sinh của hình nón theo a.
Baøi 7. Thiết diện qua trục của một khối nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng
a. Tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
Baøi 8. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình
nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông
A’B’C’D’.
Baøi 9. Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được thiết diện là một
tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình và thể tích
của khối nón.
Baøi 10. Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh bên bằng a và góc giữa các mặt bên và
mặt đáy là
a
. Một hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC, Hãy
tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và
a
.
Baøi 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và
·
SAB
a
=
(
a
> 45
0
).
Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình

và (BCD) vuông góc với nhau.
a) Chứng minh tam giác ACD vuông.
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Baøi 5. Cho hình cầu tâm O bán kính R và đường kính SS¢. Một mặt phẳng vuông góc với
SS¢ cắt hình cầu theo một đường tròn tâm H. Gọi ABC là tam giác đều nội tiếp trong
đường tròn này. Đặt SH = x (0 < x < 2R).
a) Tính các cạnh của tứ diện SABC theo R, x.
b) Xác định x để SABC là tứ diện đều, khi đó tính thể tích của tứ diện và chứng minh
rằng các đường thẳng S¢A, S¢B, S¢C đôi một vuông góc với nhau.
Baøi 6. Trong mặt phẳng (P), cho hình thang cân ABCD với AB = 2a, BC = CD = DA = a.
Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với (P) ta lấy một điêm di động S. Một mặt phẳng
qua A vuông góc với SB, cắt SB, SC, SD lần lượt tại P, Q, R.
a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, P, Q, R luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính
diện tích của mặt cầu đó.
b) Co SA =
3
a
. Tính diện tích của tứ giác APQR.
Baøi 7. Cho một đoạn thẳng IJ có chiều dài c. Trên đường thẳng vuông góc với IJ tại I ta lấy
hai điểm A, A¢ đối xứng qua I và IA = IA¢ = a. Trên đường thẳng vuông góc với IJ tại J
và không song song với AA¢ ta lấy hai điểm B, B¢ đối xứng qua J và JB = JB¢ = b.
a) Chứng minh rằng tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA¢B¢B nằm trên đường thẳng
IJ.
b) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA¢B¢B theo a, b, c.
Baøi 8. Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC)
vuông góc với nhau và
·
0
90
BDC =

BAC =
, b = c.
Baøi 11. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác định
tâm, bán kính và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.
ÔN TẬP KHỐI TRÒN XOAY
Khối tròn xoay
Trang 18

Baøi 12. Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính S
xq
và S
tp
của hình trụ.
b) Tính V khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho.
Baøi 13. Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao
3
R
. A và B là 2 điểm trên 2 đường
tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là
0
30
.
a) Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của hình trụ.
b) Tính S
xq
và S
tp
của hình trụ.
c) Tính thể tích khối trụ tương ứng.

Baøi 19. Cho hình nón có bán kính đáy bằng R và góc ở đỉnh là 2
a
. Trong hình nón có một
hình trụ nội tiếp. Tính bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, biết rằng thiết diện qua trục
của hình trụ là một hình vuông.
Baøi 20. Cho hình nón có bán kính đáy R, góc giữa đường sinh và đáy của hình nón là
a
.
Một mặt phẳng (P) song song với đáy của hình nón, cách đáy hình nón một khoảng h, cắt
hình nón theo đường tròn (C). Tính bán kính đường tròn (C) theo R, h và
a
.
Khối tròn xoay
Trang 19
Baøi 1. Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ^ (ABC) và
SA = a. M là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Đặt
·
ACM
=a
, hạ SH vuông góc với
đường thẳng CM.
a) Tìm quỹ tích điểm H. Suy ra giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHC.
b) Hạ AI ^ SC, AK ^ SH. Tính độ dài SK, AK và thể tích tứ diện SAKI.
HD: a) Quĩ tích điểm H là một cung tròn. MaxV
SAHC
=
3
12
a
b) AK =

BC. Hạ AH ^ SI.
a) Chứng minh AH ^ (SBC). Tính độ dài AH theo a, a.
b) K là một điểm thay đổi trên đoạn AI, đặt
AK
x
AI
=
. Mặt phẳng (R) qua K và vuông góc
với AI cắt các cạnh AB, AC, SC, SB lần lượt tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?
Tính diện tích tứ giác này.
HD: a) AH =
2
2
4
a.cos
cos
a
a
+
b) S
MNPQ
=
2
41
axxa
(–)sin
.
Baøi 3. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2x
æö
ç÷

=
.
b) Giả sử M, N thay đổi sao cho OMN vuông tại O. Tính thể tích tứ diện BDMN. Xác
định x, y để thể tích tứ diện này bằng
3
a
4
.
HD: a) MN =
22
2
axy
()
+- b) V =
3
6
a
xy
()
+
, (x, y) =
2
a
a
;
æö
ç÷
èø
hoặc
2

a
ổử
+
ỗữ
ốứ
b) d =
a
tan
cos
a
a
Baứi 6. Trờn na ng trũn ng kớnh AB = 2R ly mt im C tựy ý. Dng CH vuụng
gúc vi AB (H thuc on AB) v gi I l trung im ca CH. Trờn na ng thng It
vuụng gúc vi mt phng (ABC) ti I ly im S sao cho gúc
ã
ASB
= 90
o
.
a) Chng minh tam giỏc SHC l tam giỏc u.
b) t AH = h. Tớnh th tớch V ca t din SABC theo h v R.
HD: b) V =
( )
3
2
Rh2Rh

Baứi 7. Cho hỡnh vuụng ABCD cnh 2a. Trờn ng thng d qua trung im I ca cnh AB
v vuụng gúc vi mt phng (ABCD) ly im E sao cho IE = a. M l im thay i trờn
cnh AB, h EH ^ CM. t BM = x.

a) Chng minh rng khi M thay i trờn cnh AD thỡ ng thng MH ct ng thng
A'B ti mt im c nh.
b) Tớnh t s th tớch ca hai khi a din to bi mt phng A'BM ct hỡnh hp trong
trng hp M l trung im ca cnh AD.
c) Gi s AA' = AB v MB vuụng gúc vi AC. Chng minh rng mt phng A'BM
vuụng gúc vi AC' v im H l trc tõm ca tam giỏc A'BM.
HD: a) MH ct A
Â
B ti trung im I ca A
Â
B. b)
1
2
1
11
V
V
=
Baứi 9. Cho hỡnh vuụng ABCD cnh bng a. I l trung im AB. Qua I dng ng vuụng
gúc vi mt phng (ABCD) v trờn ú ly im S sao cho 2IS = a
3
.
a) Chng minh rng tam giỏc SAD l tam giỏc vuụng.
b) Tớnh th tớch khi chúp S.ACD ri suy ra khong cỏch t C n mt phng (SAD).
HD: b) V =
3
3
12
a
, d =

kỳ nằm trên đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A.
a) Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD khi SA = 2a.
b) M, N lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh CB, CD (M Î CB, N Î CD) và đặt
CM = m, CN = n. Tìm một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng (SMA) và
(SAN) tạo với nhau một góc 45°.
HD: a) V =
3
a6
p
b)
(
)
0
2
2a2mnamn–
++=
Baøi 12. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
()
SAABCD
^
và
2
SAa
=
.Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi. Đặt góc
·
a
=
ACM
. Hạ

2
1sin
a
a
+
a
Baøi 13. Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC đôi một vuông góc. Đặt SA = a,
SB = b, SC = c. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
a) Tính độ dài đoạn SG theo a, b, c.
b) Một mặt phẳng (P) tuỳ ý đi qua S và G cắt đoạn AB tại M và cắt đoạn AC tại N.
i) Chứng minh rằng
3
ABAC
AMAN
+=
.
ii) Chứng minh rằng mặt cầu đi qua các điểm S, A, B, C có tâm O thuộc mặt phẳng
(P). Tính thể tích khối đa diện ASMON theo a, b, c khi mặt phẳng (P) song song với BC
HD: a) SG =
1
222
3
++
abc
b) V =
1
9
abc

Baøi 14. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Trên nửa đường

b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC).
c) Tính thể tích khối chóp S.ABCM theo a, y và x.
d) Biết rằng x
2
+ y
2
= a
2
. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM.
HD: b) d(M, (SAC)) =
2
2
x
c) V =
1
()
6
yaax
+
d) MaxV =
3
3
8
a
khi x =
2
a
Baøi 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A;
·
0

do mặt phẳng (P) tạo ra khi cắt hình chóp.
HD:
1
2
1
12
V
V
=
Baøi 18. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = AD = a, AA’ =
2
3a
và góc
·
0
60
BAD =
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh
rằng AC¢ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
HD: V =
3
3
16
a
Baøi 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh
SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60
o
. Trên cạnh SA lấy
điểm M sao cho AM =
3

uuuruuuruuur

+ Qui tc hỡnh bỡnh hnh: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD, ta cú:
ABADAC
+=
uuuruuuruuur

+ Qui tc hỡnh hp: Cho hỡnh hp ABCD.AÂBÂCÂDÂ, ta cú:
ABADAAAC
''
++=
uuuruuuruuuruuuur

+ Hờù thc trung im on thng: Cho I l trung im ca on thng AB, O tu ý.
Ta cú:
0
IAIB
+=
uuruur
r
;
2
OAOBOI
+=
uuuruuuruur
+ H thc trng tõm tam giỏc: Cho G l trng tõm ca tam giỏc ABC, O tu ý.
Ta cú: 03
GAGBGCOAOBOCOG
;++=++=
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

ã iu kin ba vect ng phng: Cho ba vect
abc
,,
r
rr
, trong ú
avaứb
r
r
khụng cựng
phng. Khi ú:
abc
,,
r
rr
ng phng $! m, n ẻ R:
cmanb
=+
r
rr
ã Cho ba vect
abc
,,
r
rr
khụng ng phng,
x
r
tu ý.
Khi ú: $! m, n, p ẻ R:

00
uhoaởcv
==
rr
rr
. Qui c:
0
uv
.
=
rr
+
0
uvuv
.
^=
rrrr
+
2
uu
=
rr

CH

NG III

PHNG PHP TO TRONG KHễNG GIAN
I. VECT TRONG KHễNG GIAN
PP Toạ độ trong không gian

aaaabbbbkR
(;;),(;;),
==Î
rr
·
112233
abababab
(;;)
±=±±±
r
r
·
123
kakakaka
(;;)
=
r
·
11
22
33
ab
abab
ab
ì
=
ï
=Û=
í
ï

22123
123
33
0
akb
aaa
akbbbb
bbb
akb
,(,,)
ì
=
ï
Û=Û==¹
í
ï
=
î

·
112233
abababab

=++
r
r
·
112233
0
abababab

r
r
r
r
r
r
(với
0
ab,
¹
r
r
r
)
3. Tọa độ của điểm:
a) Định nghĩa:
MxyzOMxyz
(;;)(;;)
Û=
uuur
(x : hồnh độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý:
·
M
Î
(Oxy)
Û
z = 0; M
Î
(Oyz)

·
222
BABABA
ABxxyyzz
()()()
=-+-+-
·Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1):
111
ABABAB
xkxykyzkz
M
kkk
;;
æö

ç÷

èø

·Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
222
ABABAB
xxyyzz
M ;;
æö
+++
ç÷
èø
·Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
333