Hong ngọc diệp (Chủ biên)
đm thu hơng - lê thị hoa - nguyễn thị thịnh - đỗ thị nội Thiết kế bi giảng

trung học cơ sở Nh xuất bản H nội 2005
tập Hai Phần đại số
Tiết 37 Đ4.Giải hệ phơng trình bằng
phơng pháp cộng đại số
A. Mục tiêu
Giúp HS hiểu cách biến đổi hệ phơng trình bằng quy tắc cộng đại số.
HS cần nắm vững cách giải hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn bằng




=


x53y
4(5 3
y
)5
y
3
=+


+
+=
x3
y
5
17
y
17
=
+




xy5
y
5. 5 3
y
15

=


+=

xy5
2
y
15

=


=








=



GV : nhận xét, cho điểm hai HS. HS lớp nhận xét bài làm của các bạn.
GV : Ngoài các cách giải hệ phơng
trình đã biết, trong tiết học này các
em sẽ đợc nghiên cứu thêm một
cách khác giải hệ phơng trình, đó là
phơng pháp cộng đại số.

Hoạt động 2
1. Quy tắc cộng đại số. (10 phút)
GV : Nh đã biết, muốn giải một hệ
phơng trình hai ẩn ta tìm cách quy
về việc giải phơng trình một ẩn.
Quy tắc cộng đại số cũng chính là
nhằm tới mục đích đó.

Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi
một hệ phơng trình thành hệ
phơng trình tơng đơng.
Quy tắc cộng đại số gồm hai bớc.

hai, ta đợc hệ nào ?
Ta đợc hệ phơng trình :
3x 3
xy2
=


+
=

hoặc
2x y 1
3x 3
=


=


GV : cho HS làm
HS :
áp dụng qui tắc cộng đại số để biến
đổi hệ (I), nhng ở bớc 1 hãy trừ
từng vế hai phơng trình của hệ (I)
và viết ra các hệ phơng trình mới
thu đợc.
(2x y) (x + y) = 1 2

hoặc
x2
y
1
2x
y
1

=


=


GV : Sau đây ta sẽ tìm cách sử dụng
quy tắc cộng đại số để giải hệ hai
phơng trình bậc nhất hai ẩn. Cách
làm đó là giải hệ phơng trình bằng
phơng pháp cộng đại số.

Hoạt động 3
2. áp dụng (18 phút)
1) Trờng hợp thứ nhất.
Ví dụ 2. Xét hệ phơng trình :
(II)
2x
y
3
x
y


Hãy tiếp tục giải hệ phơng trình.
HS nêu :
3x 9
x
y
6
=



=


x3
3
y
6
=


=
x3
y
3
=


GV : Em hãy nêu nhận xét về các hệ
số của x trong hai phơng trình của
hệ (III)
HS : Các hệ số của x bằng nhau.
Làm thế nào để mất ẩn x ?
Ta trừ từng vế hai phơng trình của
hệ đợc 5y = 5.
GV : áp dụng quy tắc cộng đại số,
giải hệ (III) bằng cách trừ từng vế hai
phơng trình của (III)

GV gọi một HS lên bảng trình bày.
HS : (III)
5y 5
2x 2
y
9
=


+
=



phơng trình không bằng nhau và
không đối nhau)
Ví dụ 4 : Xét hệ phơng trình :
(IV)
3x 2
y
7(1)
2x 3
y
3(2)
+=


+=


GV : Ta sẽ tìm cách biến đổi để đa
hệ (IV) về trờng hợp thứ nhất.

Em hãy biến đổi hệ (IV) sao cho các
phơng trình mới có các hệ số của ẩn
x bằng nhau.
HS : Nhân 2 vế của phơng trình (1)
với 2 và của (2) với 3 ta đợc
(IV)

6x 4y 14
6x 9y 9
+
=


==


GV cho HS làm bằng cách hoạt
động nhóm.
HS hoạt động theo nhóm.
Cách nhóm có thể giải các cách khác
nhau.
Yêu cầu mỗi dãy tìm một cách
khác để đa hệ phơng trình (IV) về
trờng hợp thứ nhất.
Sau 5 phút đại diện các nhóm trình
bày.
Cách 1 : (IV)
6x 4y 14
6x 9y 9
+=



=
5y 5 x 3

2x 3y 3 y 1
= =


==


Cách 3 : (IV)
9x 6
y
21
4x 6
y
6
+=



=


GV : Qua các ví dụ và bài tập trên, ta
tóm tắt cách giải hệ phơng trình bằng
phơng pháp cộng đại số nh sau.

5x 15 x 3

3x 2
y
7
y
1
==


=


3x
y
35x10
2x
y
73x
y
3
+= =




=+=
x2 x2
6
y
3
y
3
==




+
=+=



+
=+=
2x 6 x 3
2x
y
46
y
4
= =



+
=+=

x3
y
2
=

=

0,3x 0,5
y
3
1, 5x 2
y
1, 5

+=



=

1, 5x 2, 5y 15
1, 5x 2y 1, 54,5
y
13,5
y
3
1, 5 x 2
y
1, 5 x 5
=
=


(10 phút)
GV nêu yêu cầu kiểm tra.
HS
1
: Giải hệ phơng trình :
3x
y
5
5x 2
y
23
=


+=


bằng phơng pháp thế và phơng
pháp cộng đại số.
Hai HS lên kiểm tra.
HS
1
: Giải bằng phơng pháp thế.
3x
y
5
5x 2
y
23


=


=


Giải bằng phơng pháp cộng đại số.
3x
y
5
5x 2
y
23

=


+
=
6x 2
y
10
5x 2
y
23

=


x3
y
4
=


=


GV nhấn mạnh : hai phơng pháp
này tuy cách làm khác nhau, nhng
cùng nhằm mục đích là quy về giải
phơng trình 1 ẩn. Từ đó tìm ra
nghiệm của hệ phơng trình.
Nghiệm của hệ phơng trình
(x, y) = (3 ; 4).
HS
2
: Chữa bài 22 (a).
Giải hệ phơng trình bằng phơng
pháp cộng đại số
5x 2
y
4
6x 3
y
7
+ =


2
x
3
2
6. 3
y
7
3

=





=



2
x
3
3
y
11

=




Hoạt động 2
Luyện tập (32 phút)
GV tiếp tục gọi 2 HS lên bảng làm
bài tập 22 (b) và 22 (c).
Giải hệ phơng trình bằng phơng
pháp cộng đại số hoặc thế.
HS
1
: Bài 22 (b).
2x 3
y
11 (Nhân với 2)
4x 6y 5
=


+ =
4x 6
y
22
4x 6
y
5
=

y
3
33
=



=

3x 2
y
10
3x 2
y
10

=



=
0x 0
y
0

dạng 0x + 0y = m thì hệ sẽ vô
nghiệm nếu m 0 và vô số nghiệm
Vậy hệ phơng trình vô số nghiệm
(x, y) với x R
và y =
3
x5
2


(HS có thể giải bằng phơng pháp thế)
nếu m = 0.
GV tiếp tục cho HS làm bài 23 SGK.

Giải hệ phơng trình.
(I)
(1 2)x (1 2 )
y
5
(1 2)x (1 2)
y
3

++=


+++=

y
2

=

2
y
2
=Thay
2
y
2
=
vào phơng trình (2)
(1 2 )(x y) 3
+
+=

x + y =
3
12+

x =
3
12+
y
x =

(x ; y) = (
72 6
2

;
2
2

).
Bài 24 tr 19 SGK.
2(x y) 3(x y) 4
(x y) 2(x y) 5
++ =


++ =
GV : Em có nhận xét gì về hệ
phơng trình trên ?
Giải thế nào ?
HS : Hệ phơng trình trên không có
dạng nh các trờng hợp đã làm.
Cần phải nhân phá ngoặc, thu gọn rồi
giải.
GV yêu cầu HS làm trên giấy trong,

y
5
= =




==
1
x
2
13
y
2

=





=




Vậy nghiệm của hệ phơng trình là :


2u 3v 4
2u 4v 10
+=



=


v6
u2v5
=



+
=


v6
u7
=


=






1
x
2
13
y
2

=




=



Vậy nghiệm của hệ phơng trình là :
(x ; y) = (
113
;
22


)
GV : Nh vậy, ngoài cách giải hệ
phơng trình bằng phơng pháp đồ
thị phơng pháp thế, phơng pháp
cộng đại số thì trong tiết học hôm
nay em còn biết thêm phơng pháp


++ =



=

+=


=

2x 3
y
1 (nhân với 3)
3x 2
y
5 (nhân với 2)6x 9
y
3
6x 4

Cách 2 : Phơng pháp ẩn phụ.
Đặt x 2 = u ; 1 + y = v.
Ta có hệ phơng trình :
2u 3v 2 (nhân với 3)
3u 2v 3 (nhân với 2)
+=



=
6u 9v 6
6u 4v 6
+
=



+=
13v 0 v 0
2u 3v 2 u 1
==




một em đọc.
HS đọc đề bài.
GV gợi ý : Một đa thức bằng đa thức
0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của
nó bằng 0. Vậy em làm bài trên nh
thế nào ?
HS : Ta giải hệ phơng trình :
3m 5n 1 0
4m n 10 0

+=



=


GV yêu cầu HS làm bài đọc
kết quả.

HS : Kết quả (m ; n) = (3 ; 2).
GV : Vậy với m = 3 và n = 2 thì đa
thức P(x) bằng đa thức 0.

Hớng dẫn về nhà. (3 phút)
Ôn lại các phơng pháp giải hệ phơng trình.
Bài tập 26, 27 tr 19, 20 SGK.

Đề kiểm tra 15.
HS :

Giấy trong, bút dạ.
C. Tiến trình dạy học
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Hoạt động 1
Kiểm tra Chữa bài tập (10 phút)
GV nêu yêu cầu kiểm tra.
HS1 : Chữa bài tập 26 (a, d) SGK.
Xác định a và b để đồ thị hàm số
y = ax + b đi qua hai điểm A và B
a) A (2 ; 2) và B (1 ; 3) (HS có thể giải bằng phơng pháp
cộng đại số hoặc thế).

HS1 : Chữa bài 26 (a, d).
a) Vì A (2 ; 2) thuộc đồ thị y = ax + b
nên 2a + b = 2
Vì B (1 ; 3) thuộc đồ thị nên :
a + b = 3.
Ta có hệ phơng trình
2a b 2
ab3
+=


+ =

Đáp số :
a = 0 và b = 2
HS2 : Chữa bài tập 27 (a) SGK
Giải hệ phơng trình bằng cách đặt
ẩn phụ.

Hớng dẫn đặt
11
u; v.
xy
==

ĐK : x 0 ; y 0.
HS2 : Chữa bài tập 27 (a) SGK
11
1
xy
34
5
xy


=




+
=


u
7u 9
7
uv1 2
v
7

=

=




=


=



Vậy
19
x7
12
y7

=




Hoạt động 2
Luyện tập (23 phút)
Bài 27 (b) Tr 20 SGK.
Giải hệ phơng trình bằng cách đặt
ẩn số phụ.
11
2
x2 y1
23
1
x2 y1

+=





=


Nêu điều kiện của x, y.
Đặt u =


7
u
5
3
v
5

=




=


Vậy
17
x2 5
13
y
15

=





=

22
4x 5(
y
1) (2x 3)
3(7x 2) 5(2
y
1) 3x

+=


+=



GV : Em làm nh thế nào để giải bài
tập trên.
HS : Biến đổi 2 vế của hai phơng
trình, thu gọn để đa về hệ hai
phơng trình bậc nhất hai ẩn.
GV gọi một HS lên bảng biến đổi và
giải hệ phơng trình.
b)

22
4x 5y 5 4x 12x 9
21x 6 10y 5 3x


= +

y
39
12x 5
y
14
+=



=


GV : cũng có thể thấy ngay hệ vô
nghiệm vì
abc
a' b' c'
=
Vì phơng trình 0x + 0y = 39 vô
nghiệm nên hệ phơng trình đã cho
vô nghiệm.
Bài 19 Tr 16 SGK
Biết rằng đa thức P(x) chia hết cho đa
thức x a khi và chỉ khi P(a) = 0.
Hãy tìm m và n sao cho đa thức sau
đồng thời chia hết cho x + 1 và x 3
P(x) = mx
3
+ (m 2)x
2
(3n 5)x 4n

P(1) = n 7.
P(3) = m.3
3
+ (m 2).3
2

(3n 5).3 4n
P(3) = 27m + 9m 18 9n +
+ 15 4n
P(3) = 36m 13n 3
Ta có hệ phơng trình :
n70
36m 13n 3 0
=



=


Kết quả
n7
22
m
9
=