Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 1

Bài 1.1. Hãy tính tích phân, năng lượng, ñộ rộng trung bình của các tín hiệu
sau ñây:
a)
(
)
(
)
ttx Λ=
d)
(
)
t
tetx
−
=

b)
(
)
2
t
etx
π
−
=
e)
(
)

cos
t
ttx

Giải
a)Tích phân của tín hiệu là:

[ ]
( )
∫
∞
∞−
= dttxx

( ) ( )
∫ ∫
−
−++=
0
1
1
0
11 dttdtt( )
∫
−=
1
0

( )
[ ]
∫
∞
∞−
=
dttx
E
x
2

( )
dtt
∫
−=
1
0
2
12( )
1
0
3
1
3
2
t
−

∞
∞−
−
=
dte
t
2
π

ðặt
I
(
)
∫
∞
∞−
−
=
dte
t
2
πdyedxeI
yx
∫
∫
−−
=⇒

∞
−
=⇒
0
2
0
2
2
rdredI
r
π
π
ϕ
∫
∞
−
×=
0
2
2
2
1
2 dre
r
π
π
2
0
r
e

−
= dte
t
2
2
π

ðặt
M
(
)
∫
∞
∞−
−
= dte
t
2
2
πdyedxeM
yx
∫
∫
−−
=⇒
22
222

0
2
2
0
2
2
rdredM
r
π
π
ϕ
∫
∞
−
×=
0
22
2
2
1
2 dre
r
π
π
2
2
2
1
0
r

1
t
tx
+
=

* Tích phân của tín hiệu là:
[ ]
π
ππ
=+=
=
+
=
∞
∞−
∞
∞−
∫
22
1
1
)(
2
acrtgtdt
t
tx

* Năng lượng của tín hiệu là:
( )

4
1
22sin
4
1
)12(cos
2
1
cos
cos
1
cos
cos
1
)1(
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
222

E
x

d)
(
)
t
tetx
−
=

* Tích phân của tín hiệu là:
[ ]
( ) ( )
0
1
1
0
0
0
0
=
+
−
=
++−=
+=
∞
−−
∞−

2
1
4
1
2
1
2
1
0
2222
0
2222
0
22
0
22
=+=






++−








[ ]
2
3
1
2
1
2
1
0
0
2
0
0
2
=+=−=
+=
∞
−
∞−
∞
−
∞−
∫∫
tt
tt
ee
dtedtex

* Năng lượng của tín hiệu là:

∞
−
∞−
∞
−
∞−
∫∫
tt
tt
ee
dtedte

f)
( )






Π=
π
3
cos
t
ttx

* Tích phân của tín hiệu là:
[ ]
211sin

4
1
2cos2
4
1
2sin1
2
1
cos
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
π
ππ
π
π
π
π
π

E =
)()(
2
0
tdtiR
∫
∞

=
)(
2
0
tdIeR
t
∫
∞
−
β

=
)(
2
0
2
tdeRI
t
∫
∞
−
β


E =
)()(
2
/1
0
tdtiR
∫
β

=
)(
2
/1
0
tdIeR
t
∫
−
β
β

=
)(
2
/1
0
2
tdeRI
t


=
β
2
865.0
2
RI
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 6

Bài 1.3
Hãy tìm thành phần chẵn , lẻ của các tín hiệu sau ñây và chứng minh
rằng các thành phần này trực giao , năng lượng cùa tín hiệu bằng tổng các
năng lượng thành phần:

Giải

a)Ta có:
x(t) = A ( 1-
T
t
)[ 1(t)-1(t-T) ]
* Thành phần chẵn của tín hiệu là:
x
ch
=
2

=
2
1
(A ( 1-
T
t
)[ 1(t)-1(t-T)] - A ( 1+
T
t
)[ 1(-t)-1(-t-T)] )
=
2
1
A






Λ
T
t
sgn(t)

Xét tích vô hướng sau
dttxtx
T
T
lech

= A
2
dt
T
t
T
2
0
)1(
∫
−
= A
2
(t-
T
t
2
+
T
t
3
3
)
T
0
= A
2
3
T


4
1
A
2
3
2T
=A
2
6
T

Năng lượng của tín hiệu thành phần lẻ là:
E
le
=
4
1
A
2
(
dt
T
t
T
2
0
)1(
∫
−
+

α
−
1(t)

* Thành phần chẵn của tín hiệu là:

x
ch
(t) =
2
1
[e
t
α
−
1(t) + e
t
α
1(-t)]=
2
1
e
t
α
−

* Thành phần lẻ của tín hiệu là:
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 8


1
dttete
tt
)](1)(1[
22
−−
∫
∞
∞−
−
αα

= -
4
1
dte
t
∫
∞−
0
2
α
+
4
1
dte
t
∫
∞
−

∫
∞
−
0
2
α

= -
α
2
1
e
t
α
2−
∞
0
=
α
2
1

Năng lượng của tín hiệu thành phần chẵn:
E
ch
=
4
1
(
∫

∞−
0
2
α
+
dte
t
∫
∞
−
0
2
α
)=
α
4
1

Ta có E
x
= E
ch
+E
le
=
α
2
1
t
ω
)1(-t) ]
=
2
1
e
t
α
−
sin(
t
ω
)sgn(t)
* Thành phần lẻ của tín hiệu là:

x
le
=
2
1
[ e
t
α
−
sin(
t
ω
)1(t) + e
t

)(2)(2
8
1
2cos
8
1
2cos
8
1
16
1
2cos1
8
1
2cos1
8
1
sin
4
1
sin
4
1
2222
0
2
0
2
0
2

−=
∫∫
∫∫
∫∫
∞
−
∞−
∞−
∞
−
∞−
∞
−
∞−
∞
−
ωα
α
ωα
α
ωω
α
ωω
ωω
αααα
αα
αα
tdtetdteee
dttedtte
dttedtte

2
1
)(4
4
1
)(4
4
1
)(sin
4
1
)(sin
4
1
22
2222
0
22
0
22
ωα
α
α
ωα
α
α
ωα
α
α
ωω

4
1
22
2222
0
22
0
22
ωα
α
α
ωα
α
α
ωα
α
α
ωω
αα
+
+=
+
++
+
+=
+=
∫∫
∞−
∞
−

* Thành phần chẵn của tín hiệu là:

x
ch
=
2
1
[(t+1)
2

∏
2
t
+ (1-t)
2

∏
−
2
t
]
= (t
2
+1)
∏
2
t

Xét tích vô hướng sau:
dttxtx
lech
)(*)(
∫
∞
∞−

01
2
1
1
2
1
2
1
)1(2
1
1
24
1
1
2
=−−+=







)1(
1
1
2345
1
1
234
1
1
22
1
1
4
=++=






++++=
++++=
++=
+=
−
−
−
−
∫
∫







++=
++=
+=
−
−
−
∫
∫
ttt
dttt
dttE

Năng lượng của tín hiệu thành phần lẻ:
3
8
3
4
4
1
1
3
1
1
2

)
(
t
t
x
=

c)
)(1)1()( tetx
t
α
−
−=

d)






−=
2
1
)( ttx
δ

Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 13


1
)( =+=
−

Thành phần lẻ của tín hiệu là:
tjeetx
tjtj
l
ω
ωω
sin][
2
1
)( =−=
−

Xét tích vô hướng
dttjt
dtxx
lch
)sin(cos
∫
∫
∞+
∞−
+∞
∞−
∗
−=
ωω

)1(
4
1
2
11
.
1
4
0
2
0
2
=−=
−=






=
=
∫
π
π
π
ω
π
ω
ω

1
0
0
0
2
=
+=
+=
=
∫
∫
T
T
T
x
tt
T
dtt
T
dtt
T
p
ch
ωω
ω
ω
ω

Năng lượng thành phần lẻ của tín hiệu là:
2

T
P
l
ωω
ω
ω
ω

lch
xxx
ppp
+
=b)
)
(
1
)
(
t
t
x
=
t
t
ch

Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 15

Vậy hàm trực giao.
Năng lượng của tín hiệu là:

∫
==
→
T
T
x
dt
T
p
0
0
2
1
1
2
1
lim

Năng lượng thành phần chẵn của tín hiệu là:


4
1
2
1
[
0
0
0
lim
=+=
∫∫
−
→
dt
T
dt
T
p
T
T
T
x
llch
xxx
ppp
+
=

2
1
)(
tetex
tt
tl
−−−−
−
=
αα

Năng lượng của tín hiệu là:
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 16

2
1
2
12
2
12
2
1
2
12
2
1


−+=
+−=
−=
−−
∞→
−−
∞→
−−
∞→
−
∞→
∫
∫
αααα
αα
αα
αα
αα
α
TT
T
T
tt
T
T
tt
T
T
t

12
2
12
8
1
])21()21([
8
1
])1(
4
1
)1(
4
1
[
2
1
2
22
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0




+−−+=














+−+






−+=
+−++−=
−+−=
−−
∞→

T
tt
T
tt
T
T
t
T
t
T
x
eeT
T
eeTeeT
T
eeteet
T
dteedtee
T
dtedte
T
p
ch

Năng lượng thành phần lẻ của tín hiệu là:












−+=






+−++−=






−+−=
−−−−
∞→
−
−−
∞→
−
−−
∞→
−

p
l
αααα
αααα
αααα
αα
αααααααα
αααα
22
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
12
2
12
2
12
2
12
8

8
1
2
lim
=






+−−+=
−−
∞→
αααα
αα
TT
T
eeT
T

lch
xxx
ppp
+
=

Xét tích vô hướng

dtxx

2
1
lim
)1()1(
2
1
lim
0
0
0
2
0
2
2
0
0
2
=






+−−=












−+=






+−−+−=






−+−−=
−−
∞→
−−−−
∞→
−
−−
∞→
−
−−

T
t
T
ee
T
eeTeeT
T
eeteet
T
dteedtee
T
dtedte
TVậy hàm trực giao.

d)






−=
2
1
)( ttx
δ


δδ

Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 18

Thành phần lẻ của tín hiệu là:












−−−






−=
2

1
=












−−−






−=
∫∫
ttdttxtx
t
t
t
t
lch
δδ

01
1
0
=+=
−
=
∫
dttx
tt
p
ch
t
t
x
ch

Năng lượng thành phần lẻ của tín hiệu là:
2
1
4
1
4
1
)(
1
1
0
2
01
=+=
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 19

Thành phần chẵn của tín hiệu là:

)cos(
2
2
)cos(
4
cos
4
cos
4
cos
2
1
)(
t
A
tA
ttAtx





+−+






+=Thành phần lẻ của tín hiệu là:
)sin(
2
2
)sin(.
4
sin.2.
2
1
4
cos
4
cos
2
1
)(






+−−






+=

Xét tích vô hướng
0)2(sin
2
1
4
)(sin
2
1
2
)(sin).sin(.
2
)sin().cos(
2
2
2
0

t
A
tdt
A
dttt
A
T
T
T

Vậy hàm trực giao.

Năng lượng của tín hiệu là:
2
]112[
4
2
2sin2
2
1
2
2
2cos1
2
11
4
cos
1
22
0






++=












++=






+=
∫
∫
ω
ω

2
2
0
2
A
T
T
A
tt
T
A
dtt
T
A
dtt
A
T
p
T
T
T
x
ch
==







2
21
22
0
2
0
2
2
2
0
A
T
T
A
tt
T
A
dtt
T
A
dtt
A
T
p
T
T
T
x
l
==−=

]
)cos(cos1)(
ϕωω
++= tttx

a)Hãy tìm thành phần một chiều, thành phần xoay chiều và chứng mình rằng
chứng trực giao.
b) Hãy tìm thành phần chẵn, lẻ và chứng minh chúng trực giao.

Giải
a) có
[
]
)cos(cos1)(
ϕ
ω
ω
+
+
=
tttx

( )
)2cos(
2
1
)cos()cos(
2
1
)2cos()cos(


* Vậy thành phần một chiều là:
ϕ
cos
2
1
=x

* Thành phần xoay chiều là:
)2cos(
2
1
)cos(
~
ϕωϕω
+++= ttx* Xét tích vô hướng sau
0
)2sin(
2
1
)2sin(
1
)24sin(
2
1
)22sin(
1

1
)cos(cos
2
1
)2cos(
2
1
)cos(cos
2
1
0
0
0
0
=






−−+++=






+++++=


ω
ϕω
ω
ω
ω
ϕω
ω
ω
ω
ϕωωϕωω
ϕωϕϕωϕ
ϕωϕωϕ
T
T
T
T
tttt
dttttt
dttt
dttt

Vậy 2 thành phần trực giao.

b) Thành phần chẵn là:

[ ] [ ]
[ ][ ]
[ ]
)cos(coscos1
)cos()cos(.cos1

+−+−++= ttttx
l

Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 22

[ ][ ]
[ ]
tt
ttt
ωϕω
ϕωϕωω
sinsincos1
)cos()cos(.cos1
2
1
+−=
+−−++=* Xét tích vô hướng
[ ]
[ ]
[ ]
0
4
1
3
2
2

0
=






−−−++−=






+−=
++−=
+−=
+−=
∫
∫
∫
∫
ω
ϕϕ
ωωω
ω
ϕϕ
ωωωω
ω
Giải
*Công suất trung bình của i(t) trên R là:
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 23

)(
30
1
1010
3
1
3
1
4
1
1
3
1
4
4
44
1
43
2
4
0
3
2


24
1
1
2
1
4
1
1
4
1
1
4
4
44
1
4
0
2
4
0
4
0
I
tI
tdt
I
dtt
I
Iii

∫* Công suất một chiều là:
( )
wR
I
P
i
40
1
4
1010
4
342
=
×
==
−

* Công xuất xoay chiều là:
)(
120
1
12
4
3
222
~
wR

)()()(
ττϕ

x(t) là hàm thực là hàm chẵn Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 25

Vậy

b)
Hàm tự tương quan của tín hiệu :

∫