www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
1a. Lí do chọn đề tài
Mt trong nhng vn c bn ca i mi chng trỡnh giỏo dc ph thụng
l i mi phng phỏp dy hc, trong ú cú i mi phng phỏp dy hc Toỏn.
Việc đổi mới phơng pháp dạy học Toán hiện nay là nhằm phát huy tính tích cực
của học sinh qua đó khai thác vận dụng những khả năng vốn có, và tự có, phát huy
trí lực trong học sinh. Trong quá trình giảng dạy ở trờng PT bản thân chúng tôi
cũng đã dự rất nhiều tiết dạy của đồng nghiệp, đã trực tiếp bồi dỡng học sinh khá
giỏi, song chúng tôi nhận thấy rằng việc phát huy trí lực cho học sinh còn rất nhiều
hạn chế. Nhiều bài toán trong các kì thi nh Học sinh giỏi, thi vào cỏc trờng đại
học, đặc biệt các bài tập trong sách giáo khoa không đến nổi khó. Th nhng nhi

u
học sinh không làm đợc mặc dầu học sinh đã đợc làm quen các dạng toán, bài
giảng của thầy, qua sách vở. Đứng trớc những vấn đề nh vậy, làm thế nào để đáp
ứng đợc nhu cầu đổi mới hiện nay, làm cho học sinh có hứng thú trong học tập,
không bị động trớc các bài toán khú. Chúng tôi thấy việc phát huy trí lực cho học
sinh, áp dụng vào công tác bồi đỡng học sinh khá giỏi bớc đầu có một số kết quả
nhất định mà chúng tôi muốn trao đổi với đồng nghiệp. Trong bài viết này chúng tôi
xin đề cập đến việc phát huy trí lực cho học sinh trong việc khai thác một số bài
toán bất đẳng thức đơn giản trong chơng trình Toán- THPT lớp 10 qua đó khai
thác các ứng dụng của nó nh tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, bài toán nhận
dạng tam giác, bài toán giải phơng trình, bất phơng trình, ng thc vect nhằm
phát huy t duy toán học bồi dỡng năng lực giải toán và làm toán cho học sinh
qua đó phát huy đợc trí lực giúp học sinh khai thác đợc các yếu tố cần thiết trong
toán học nhằm bồi dỡng cho các em t duy sáng tạo, linh hot trong mi vn .

)(
33
baabba ++
.(*)
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Chứng minh.
Cách 1:

2 2
2 2
2
( ) ( ) 0
( )( ) 0
( ) ( ) 0
a a b b a b
a b a b
a b a b


+

(*)
0
2323
+ abbbaa0)()(
0))((
0)()(

33
33
)(

bi toỏn ny nhiu giỏo viờn cho l d nờn cú th khụng cn phi hng dn
hoc hng dn qua loa. Nh vy l vn c bn cha c gii quyt ó b sút
mt trong nhng yu t quan trng trong phỏt trin trớ lc cho hc sinh.Theo chỳng
tụi, cn cho hc sinh suy ngh v hng dn khai thỏc cỏc bi toỏn qua ú vn dng
t bi toỏn c bn trờn hng dn gi cỏc bi toỏn cú liờn quan.
www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
3

Bài 1: Cho
0,

ba
, chứng minh rằng
3 3 3 3 3 3
2( )
a b b c c a
a b c
ab bc ca
+ + +
+ + + +
(1)
HD: BĐT (1) giải đợc nhờ việc áp dụng nhận xét 1, ba lần
Bài 2. Cho a, b, c là ba số thực không âm. Chứng minh rằng


2
(a + c) + c
2
(a + b) (1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số thực không âm ta đợc
a
2
(b + c) + b
2
(a + c) + c
2
(a + b)
abcacbbca
222
222 ++
(2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Nhận xét 2: Thực chất đây là một dạng khai thác bài toán trên di cỏch nhỡn khỏc
m thụi. Tuy nhiên nếu nh hc sinh khụng bit vận dụng vớ d trờn thì liệu bài
toán trên hc sinh gii c khụng phi n gin chỳt no. Và ở bài toán sau đây,
chúng ta có thể đặt thêm một vấn đề nhằm khai thác bài toán trên với việc ab=1.
Ta lại có bài toán mi sau.
Bài 3. Cho a > 0, b > 0 và ab = 1. Chứng minh rằng
1
1
1
33

+

+
++
=
+
+
++

+
+
+++
b
a
ba
b
a
babaab
b
a
baba
(đpcm).
www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.
Bài 4. Chứng minh rằng





Trong đó a, b, c là ba số thực dơng.
Chứng minh.
áp dụng bất đẳng thức (*) ta đợc a
3
+ b
3
ab(a + b)
b
3
+ c
3
bc(b + c)
a
3
+ c
3
ac(a + c)
Suy ra 2(a
3
+ b
3
+ c
3
) bc(b + c) + ac(a + c) + ab(a + b) (1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dơng ta đợc
abc
c
b
a

(3
a
+ 1)
27
b
+ 1 3
b
(3
b
+ 1)
27
c
+ 1 3
c
(3
c
+ 1)
Suy ra 27
a
+ 27
b
+ 27
c
+3 3
a
+ 3
b
+ 3
c
+ (3

(2)
Từ (1),(2) suy ra điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 0.
Bài 6: Cho ba số dơng a, b, c. Chứng minh rằng

cba
a
ac
ca
c
cb
bc
b
ab
ab
++
+

+
+

+
+

2
33
2
33
2
33


ab
b
ab
ab
abbabab

+


+
2
3
5
)2)(3(5
2
33
333

Tơng tự
bc
c
cb
bc

+

2
3
5

c
c
c
bc
b
b
b
ab
a
a ++

+
+
+
+
+
+
+
+

Chứng minh.
áp dụng bất đẳng thức (*) ta đợc a
3
+ b
3
ab(a + b)
3
2
))(()(3
3

b

+
+
,
3
2
22
3
ac
a
ac
c
c

+
+

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Bài 8. Cho x, y, z là ba số thực dơng và xyz =1. Chứng minh rằng

3
222
6336
99
6336
99
6336
99

x
6
y
3
+ x
3
y
63
6336
99
6336399
9633699
2
)(2
2
x
yyxx
yx
yyxxxyx
xyxyxyx

++
+

+++
+++


6336
99
6336
99
6336
99
222
zyx
xxzz
xz
zzyy
zy
yyxx
yx
++
++
+
+
++
+
+
++
+
(1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: x
3
+ y
3
+ z
3

3
ab(a + b)
a
3
+ b
3
+ abc ab(a + b + c)

)(
1
33
cbaabc
c
babca
++

++


Tơng tự
)(
1
33
cbaabc
a
cabcb
++

++
,

3
=x; b
3
=y; c
3
=z. Ta lại có bài toán mới sau.
Bài 11. Cho x, y, z là ba số thực dơng và xyz=1. Chứng minh rằng

1
1
1
1
1
1
1

++
+
++
+
++ xzzyyx
.
Nhận xét 6: Ta lại bỏ đi điều kiện xyz=1. Ta lại có bài toán mới khó hơn
Bài 12. Cho x, y, z là ba số thực dơng. Chứng minh rằng

3333
1111
xyzxyzxzxyzzyxzyyx

++

a
++








+








+








333
. Trong đó a, b, c là


11
3

Tơng tự
c
b
c
b
c
b
++








1
3
,
a
c
a
c
a
c
++

a
c
c
b
b
a
++++++








+








+






Bài 15. Chứng minh rằng
Z
Y
X
Z
Y
X
+
+

+
+
333
. Trong đó X, Y, Z là các số
thực dơng và XYZ=1.
Nhận xét 9: Từ bài toán vừa nêu, nếu chúng ta đặt x=3
a
; y=3
b
,z=3
c
. Thì ta có thể
giải bài toán 5 đơn giản hơn.
Bài 16: Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng
27
a
+ 27
b
+ 27
c

z
.
Nhận xét 11: Từ bài toán tổng quát trên,qua quỏ trỡnh phõn tớch, nhn nh phỏt
huy t duy sỏng to cho hc sinh ta xõy dng bài toán tổng quát vớ d 1
Bài 18 (bài toán tổng quát vớ d 1)
Cho a
1
, a
2
, ,a
n
là các số thực không âm, n
*
N
. Chứng minh rằng
a
1
n+1
+ a
2
n+1
+ + a
n
n+1
a
1
a
2
a
n

Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
9

a
1
n+1
+ a
2
n+1
+ a
2
n+1
+ . + a
n
n+1
(n + 1)a
1
a
2
2
a
3
a
n

.
a
1
n+1

2
, .,a
n
là các số thực dơng; n
*
N
. Chứng minh rằng
Chứng minh.
áp dụng bất đẳng thức tổng quát của bất đẳng thức (*) ta có
Mặt khác áp dụng bất đẳng Côsi cho mẫu thức của các biểu thức ở vế trái ta đợc

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
21
=
=
=
=
n
aaa

Nhận xét 12: Từ những ví dụ minh hoạ thêm chúng ta có thể khai thác bài toán trên
bằng nhiều cách nhiều hớng khác nhau.Hng cho hng cho hc sinh hiu rừ
c nhng vn c bn ca nú, hc sinh sinh s gii quyt c cỏc bi toỏn
trờn õy d dng hn, qua ú nõng cao c hng thỳ tỡm ti, rốn luyn c c
tớnh nhn ni kiờn trỡ phỏt huy trớ lc cho hc sinh.






+++








++








+













+++
+++
++
+++
+
+++
+++
nn
n
n
nn
n
n
n
n
nn
n
n
n
nn
n
aaaaana
aaa
a










+++
++
+++
+
+++
+
++
+++
1
1
2
1
1
12
21
12
21
2
2
12
1

www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
10

(**)
0
3344
+ abbaba0)()(
0))()((
0)()(
222
22
33
++
++

bababa
babababa
babbaa

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Bài 1(bài toán tổng quát).
Cho a
1
, a
2

).
Chứng minh.
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n + 1 số thực không âm ta có
a
1
n+2
+ a
1
n+2
+ a
1
n+2
+ a
2
n+2
+ . + a
n
n+2
(n + 2)a
1
3
a
2
.a
n

a
1
n+2
+ a

n+2
+ a
n
n+2
+ a
n
n+2
(n + 2)a
1
a
2
.a
n
3

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
= . = a
n
.
áp dụng bất đẳng thức (**) và bất đẳng thức tổng quát vào chứng minh
các bất đẳng thức sau.
Bài 2: Cho hai số dơng a, b. Chứng minh rằng
ba
a
bb
b

b
4
+ c
4
b
3
c + bc
3

www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
11

a
4
+ c
4
a
3
c + ac
3
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc
2(a
4
+ b
4
+ c
4
) a

b
a
++






+






+






222

Chứng minh.
áp dụng bất đẳng thức (**) ta có











c
b
c
b
c
b
11
4





++










+








++++






+






+




(2)
và áp dụng kết quả Bài 9. ta đợc
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
++








+







xxzz
xz
zzyy
zy
yyxx
yx
++
++
+
+
++
+
+
++
+

trong đó x, y, z là ba số thực dơng.
Chứng minh.
áp dụng bất đẳng thức (**) ta có
(
)
(
)
124412
4
4
4
4
yxyxyx ++


+
,
4
124812
1616
2
z
x
x
z
z
xz

+
+
+
.
Cộng vế với vế các bất đẳng thức ta đợc điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
Bài 6. Cho a, b, c là ba số thực dơng. Chứng minh rằng

( )
)(3
111
222
333
555
cba
cba
cba ++

Từ (1), (2) suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Nhận xét 13: Từ bài toán 6, chúng ta có thể khai thác bậc 5, đối với 2 số bằng một
bất đẳng thức
2255
)( bababa ++
(***) rõ ràng việc chứng minh bất đẳng thức
này quả thật không khó. Tuy nhiên, nêu ngời thầy biếthg dn nhỡn nhn khai
thác bài toán cơ bản trên thì việc nhận ra và chứng minh bài toán này là một việc
làm đơn giản qua ú ta li có một bài toán mới.
www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
13

Bài 7: Các số dơng x, y, z có tích bằng 1. Chứng minh rằng:
1
555555

++
+
++
+
++ xzxz
zx
zyzy
yz
yxyx
xy
.
Chứng minh:


Cộng vế theo vế các BĐT trên ta có điều cần chứng minh
Các bài tập tơng tự
áp dụng các bất đẳng thức (*),(**) và các bất đẳng thức tổng quát của chúng giải
các bài tập sau
Bài 8. Cho ba số dơng a, b, c. Chứng minh rằng

)(
222
cbaabccba ++++
.
Bài 9. Cho a, b, c là ba số dơng và a
2
+ b
2
+ c
2
= 3. Chứng minh rằng
a
3
+ b
3
+ c
3
a + b + c.
Bài 10. Cho a, b, c, d là những số thực dơng. Chứng minh rằng

a
d
d


( )








+++
++
+++
+
++










++++++

n
nnn
n


Bài 12. Giải hệ phơng trình sau






=
=
2442
88
2)4(
2)3(
xxyy
xy

www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
14

c/ Ví dụ 3: G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi
GA GB GC 0
+ + =


Chứng minh:
Gọi M là trung điểm BC
Ta có:

, S
2
, S
3
lần lợt là diện tích tam giác GBC, GCA,
GAB và bằng
ABC
1
S
3
vì thế (I)


1 2 3
S GA S GB S GC 0
+ + =

. Điều này cho ta liên
tởng G là điểm bất kỳ thuộc miền trong tam giác ABC. Khi đó ta có thể vận dụng
phơng pháp chứng minh định lí trên để chứng minh cho bài toán sau, qua việc
biểu thị một vectơ qua hai vectơ khác.
Bài 1:
(Đề thi đề nghị Olimpic 30/4 lần 8)
Cho ABC, M thuộc miền trong tam giác.
Gọi S
1
, S
2
, S
3

= +


Gọi H, K lần lợt là hình chiếu A, C lên BM

1
1
B C
B'C KC B'C KC MA' KC
AM B A AH AM AH AM AH
= = = =
(vì B'C = MA')
A

B

C

M

G

www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
151
2

1 2
3 3
S S
MC MA MB
S S
=


1 2 3
S MA S MB S MC 0
+ + =


Nhật xét 15:

ở bài toán 1 kết quả không phụ thuộc vào điểm M, nếu ta thay M bởi I
là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC và r là bán kính đờng tròn thì học sinh
có thể sử dụng bài toán 1 để giải bài toán sau.
Bài 2:
(Tuyển tập 200 bài thi vô địch Toán) C
ho

ABC, gọi I là tâm đờng tròn nội
tiếp

ABC.

Đặt BC = c, BC = a, CA = b. Chứng minh rằng
aIA bIB cIC 0
+ + =

+ + =



Nhận xét 16:

Ta thấy vị trí M thuộc miền trong tam giác, vậy

ABC nhọn thì tâm O
đờng tròn ngoại tiếp

ABC thuộc miền trong. Do đó, ta có bài toán mới.
Bài 4: Cho ABC nhọn, BC = a, CA = b, AB = c. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại
tiếp ABC.
Chứng minh rằng:

OAsin2A OBsin2B OCsin 2C 0
+ + =


(4)
A'

A

B

C

A

Nhận xét 17: Từ kết quả bài toán 2, nếu ta bình phơng vô hớng (2) khi đó xuất hiện
IA.IB,IB.IC,IC.IA

. Và sử dụng công thức
2 2 2
1
AB.AC (AB AC BC )
2
= +

.
(Thật vậy
2 2
CB (AB AC) CB (AB AC)
= =

).
Ta lại có bài toán mới sau.
Bài 5: (Đề thi đề nghị Olimpic 30/4 lần 8,9) Cho ABC nhọn, BC = a, CA = b, AB
= c. Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp ABC.
Chứng minh rằng:
2 2 2
IA IB IC
1
bc ca ab
+ + =
(5)
Giải vắn tắt:
(2)


+ (c
2
+ ca + cb) IC
2
- abc(a + b + c) = 0.
a(a + b + c) IA
2
+ b(a + b + c) IB
2
+ c(a + b + c) IC
2
= abc (a + b + c)
aIA
2
+ bIB
2
+ cIC
2
= abc.

2 2 2
IA IB IC
1
bc ca ab
+ + =
.
Nhận xét 18: Từ công thức (2) nếu ta thay I bởi M bất thì ta luôn có
2
(aMA bMB cMC)
+ +

+ cMC
2
= abc M I, với I là tâm
đờng tròn nội tiếp ABC. Vậy M duy nhất.
Nhận xét 19: Cũng bài toán 6, ta có thể phát biểu dới dạng khác. Nhằm rèn luyện
t duy sáng tạo trong toán học cho học sinh từ đó quy lạ về quen.
www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
17

Bài 7: (Tuyển tập 200 bài thi vô địch Toán) Cho ABC nhọn, BC = a, CA = b, AB =
c. Tìm vị trí M sao cho P = aMA
2
+ bMB
2
+ cMC
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Nhận xét 20: Qua dạng bài toán trên, nếu biết vận dụng linh hoạt kết hợp các bài
toán lại, thì ta có thể vận dụng giải các bài toán tơng tự sau, nhng ở mức độ cao
hơn.
Bài 8: (Đề thi đề nghị Olimpic 30/4 năm 1999) Cho ABC nhọn, BC = a, CA = b,
AB = c, nội tiếp đờng tròn (O; 1). Chứng minh rằng với mọi M ta luôn có
a
2
(b
2
+ c
2


Và OA = OB = OC = 1, a = 2RsinA = 2sinA, b = 2sinB, c = 2sinC.

MA = OA. MA =
OA . MA OA.MA OA(OA OM) (1 OA.OM)
= =

(****)
Dấu bằng xảy ra của (****) khi và chỉ khi
OA,MA

cùng hớng.
Ta có: a
2
(b
2
+ c
2
- a
2
) MA = 2abc sin2A. MA

2abcsin2A(1 -
OA.MA

), tơng tự
cho 2 trờng hợp còn lại.
Ta suy ra
VT


- a
2
) khi đó ta nghĩ ngay
đến cosA Do vậy, nếu biết kết hợp với cách giải bài toán 1, ta có thể vận dụng
giải bài toán sau.
Bài 9
:
Cho ABC nhọn, BC = a, CA = b, AB = c. Gọi H là trực tâm ABC.
Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
HA HB HC O
b c a c a b a b c
+ + =
+ + +


.
Giải sơ lợc:
Tơng tự bài toán 1.
Kéo dài AH, BH cắt BC, AC lần lợt tại A
1
, B
1
.
Dựng hình bình hành HB' CA'


HC HA' HB'

a cosC bcosC
HC HA HB
ccosA ccosB
=


2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c
HA HB HC 0
cosA cosB cosC
1 1 1
HA HB HC 0
b c a c a b a b c
+ + =
+ + =
+ + +





2. Một số kinh nghiệm đúc kết qua việc giảng dạy học sinh phát huy trí lực
Theo chúng tôi, việc phát huy trí lực cho học sinh là một việc làm rất quan
trọng của ngời Thầy giáo. Nó đòi hỏi ngời thầy giáo cần phải biết nhìn nhận để
định hớng các em học sinh biết cách khai thác, vận dụng linh hoạt cách giải, các
phơng pháp chứng minh, nhận định bài toán trên nhiều phơng diện . Bản thân
chúng tôi trong quá trình dạy học đã thờng xuyên áp dụng và thấy rằng tơng đối
có hiệu quả. Để đạt đợc những hiệu quả đó, chúng tôi đã thực hiện một số biện
pháp sau
2.1.

'

A
B

C
A
1

B
1

B'

H
www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
19

2.5. Từ việc khai thác các ứng dụng của nó Giáo viên có thể hớng các em
Học sinh biết lật ngợc đợc vấn đề, hớng dẫn chuyển đổi các dạng bài
toán về các bài toán mới hay hơn và hiệu quả hơn.
C kết luận.
Khai thác tiềm năng sách giáo khoa, ứng dụng các bài toán đơn giản sách giáo
khoa vào giải các bài toán khác nhằm phỏt trin trớ lc cho học sinh là việc làm cần
thiết đối với mỗi giáo viên, qua đó phát triển cho học sinh t duy toán học, có khả
năng vận dụng và sự linh hoạt trong giải quyết vấn đề. Đi từ những vấn đề đơn giản
giải quyết các vấn đề phức tạp phù hợp với quá trình nhận thức của học sinh, từ đó
làm cho học sinh yêu thích và hăng say học tập môn toán hơn.

Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
20 Sở giáo dục và đào tạo nghệ an
Trờng thpt quỳnh lu 4

Sáng kiến kinh nghiệm


khai thác ứng dụng một số bất đẳng thức đơn
giản nhằm rèn luyện t duy lôgic cho học sinh

Đồng tác giả