Trang 1 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC KHỐI D
MÔN TOÁN
ĐỀ SỐ 2

Câu I. (5,0 điểm)
Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 (m là tham số) (1)
1. Tìm m để hàm số (1) đạt cực trị tại x
1
, x
2
thỏa mãn x
1
+ 2x
2
= 3.
2. Tìm m để đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao
cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau.
Câu II. (4,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình:
8
5.
x x y x y y
xy

2
sao cho tam giác ABC vuông
cân tại A.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3; 5; -5), B(5; -3; 7) và mặt phẳng
(P): x + y + z - 6 = 0.
Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA
2
+ MB
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu VI. (2,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Góc
giữa mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng 60
0
.
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
Câu VII. (1,0 điểm)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3.

Trang 2

Chứng minh rằng:
3 3 3
2 2 2
3
3 3 3 4
a b c
b c a
.
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 2

-2
.
3
23
m
xx
m
xx
xx

0,5
Giải hệ trên ta được m = -105
0,5
I.2
(2điể
m)
2.+) Hoành độ điểm chung của (C) và d là nghiệm của phương trình
x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 = 1 x(x
2
+ 3x + m) = 0
0,5
Từ đó tìm được m <
9
4
và m 0 thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt
A(0; 1), B, C.

Tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau khi và chỉ khi
k
1
.k
2
= -1
0,5
4m
2
– 9m + 1 = 0
0,5

9 65
m ( t/m)
8
9 65
m ( t/m)
8

0,5
II.1
(2điể
m)
1. Điều kiện x, y ≥ 0
0,5
Xét y = 0, không thỏa mãn hpt
+) y 0, đặt
x t y
, t ≥ 0. Hệ phương trình trở thành
3
1

Trang 3

t = 1; t = -
1
2
; t =
3
2
. Đối chiếu điều kiện ta được t =
3
2

Từ đó tìm được (x;y) = (9; 4).
(HS có thể giải bài toán bằng phương pháp thế hoặc cách khác được
kết quả đúng vẫn được điểm tối đa)
0,5
II.2
(2điể
m)
2. PT 2sin 2x cos 2x + 2cos
2
2x = 4(sin x + cos x)
0,5
(cos x + sin x) (cos x – sin x) (sin 2x + cos 2x) = 2(sin x + cos x)

sinx cos 0

Ycbt (**) có hai nghiệm phân biệt thoả mãn x >-
1
2

Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) = 3x
2
– 6x + 1 trong (-
1
2
;+∞ )ta
tìm đươc m (-2;
19
4
)
1
IV
(2điể
m)
I =
4
2
0
tan
cos 1 cos
xdx
xx
=
4
22
0

22
32
tdt
dt
t

0,5
V.1
(2điể
m)
1. B
1
B(a; 3 –a) . C
2
C(b; 9-b)
ABC vuông cân tại A
22
.0AB AC
AB AC
 0,5

Trang 4 22
2ab - 10a - 4b + 16 = 0 (1)
2a - 8a = 2b 20b 48 (2)

không đổi nên MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất khi MI

nhỏ nhất
M là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P)
1
+) Phương trình đường thẳng MI :
x-1 y-1 z-1
==
1 1 1
.
0,5
M là giao điểm của MI và mặt phẳng (P).
Từ đó tìm được M(2; 2; 2)
0,5
VI
(2điể
m)
3.

Gọi M là hình chiếu vuông góc của B lên SC. Chứng minh
được góc DMB = 120
0
và DMB cân tại M
0,5
Tính được: DM
2

3 3 3 4
a b c
b c a
(***).Do ab + bc + ca = 3 nên
VT (***) =
3 3 3
2 2 2
a b c
b ab bc ca c ab bc ca a ab bc ca
0,5
D
C
B
A
S
M

Trang 5

=
3 3 3
( )( ) ( )( ) ( )( )
a b c
b c a b c a b c a b c a

(***)
4
abc
VT

Mặt khác ta dễ dàng chứng minh được :
a + b + c ≥
3( )ab bc ca
= 3.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 (Đpcm) 0,5