TUYỂN CHỌN 203 BÀI TẬP VÀ BÀI GIẢI
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
B ài` 1:Giải hệ phương trình:
2 2
3 3
30
35
x y xy
x y
ĐS:
2 3
3 2
x x
y y
Hướng dẫn : Đặt S=x+y, P=xy ( hệ đối xứng loại 1)
Bài 2: Giải hệ phương trình
3 3
2
4
x y
x y
x y
x y
ĐS:
1
1
x
y
HD: Đặt S=
1 1 1 1
( ) ( ),P=(x+ )( )
x y y
x y x y
ĐS:
1 3 3
1
3 3
x x x
y
y y
HD: Đặt S=x+y, P=xy
Bài 6: Giải hệ phương trình
3 3
2 2
8
xx y y
x y
1 2
2 1
x x
y y
HD: Đặt S=x-y, P=xy
Bài 8:Giải hệ phương trình
3
3
2
2
x
x y
y y x
ĐS:
0
0
x
HD: Lấy pt(1)-(2) và trục căn thức làm xuất hiện nhân tử chung x-y
Bài 11: Giải hệ phương trình (ĐH Khối B-2003)
2
2
2
2
2
3
2
3
x
x
y
y
y
x
ĐS:
1 1
1 1
x x
y y
HD:từ pt(1) làm xuất hiện nhân tử chung x-y bằng cách chuyển vế và nhóm lại
Bài 13: Giải hệ phương trình
2
3 18 0
osx cos
x y c y
x y y
ĐS:
1 2
1 2
x x
y y
HD: lấy pt(1)-(2) làm xuất hiện nhân tử chung x-y
Bài 15: Giải hệ phương trình
2
2
2
2
x
x xy x y
y xy y
ĐS:
3
0
2
ĐS:
8
8
x
y
HD: lấy pt(1)-(2) và trục căn thức làm xuất hiện nhân tử chung x-y
Bài 17: Giải hệ phương trình
4 2
2 2
698
81
3 4 4 0
x
x y
x y xy y
HD: pt(1) chia cho
3
x
, pt(2) chia cho x sau đó lấy pt(1)+(2) ta được pt dạng
f(y)=f(
1
y
)
Bài 19: Giải hệ phương trình (HSG QG 1998-1999 Bảng A)
2 1 2 2 1
3 2
1 4 5 1 2
4 1 2 0
x x x
( )
x ln( )
y y y
y y x
ĐS:
10 77
11 77
2
x
y
HD: Đặt u=
2 2
7 2 5
x ; v= x x
y y u v
và kết hợp với pt(1)
5
2
x
v
7
x
Y
HD: Xét đk sau đó chia 2 vế của hpt
3
x
và
2
y
, cộng trừ 2 vế sau khi ta được hệ
mới , lấy pt(1) nhân với pt(2) đưa về pt đẳng cấp với ẩn x,y
Bài 22: Giải hệ phương trình
2 2
3 2 16
2 4 33
x
x
xy y
y
y
ĐS:
3
3
8
4
1
1
2
4
x x
y
y
HD: Đặt u=
2 2
3 4
x; v=y
x y
Bài 24: Giải hệ phương trình
8
5
x x x y y y
x y
ĐS:
9
4
HD: Đặt y=tx (hệ phương trình đẳng cấp )
Bài 26: Giải hệ phương trình
2 2
5
2 5 2
2
x
x xy y
y
x y xy
ĐS:
2 2
1 1
x x
y y
HD: Đặt y=tx (hệ phương trình đẳng cấp )
HD: : Đặt y=tx (hệ phương trình đẳng cấp )
Bài 28: Giải hệ phương trình
2 2
2 8 2
4
xx y y
x y
HD: Đặt ;u x v y
hpt với ẩn u,v ( hệ đối xứng loại 1)
Bài 30: Giải hệ phương trình
2 2
3 3
3
3
2 3
6
( ) (
x y x y y x
x y
ĐS:
8 64
64 8
ĐS: hệ vô nghiệm
HD: Đặt u=
6
x
x y
u từ pt(1)
Bài 32: Giải hệ phương trình
7
2
7
0,
x y
y x
xy
x xy y xy
x y
ĐS:
5 2 26
27
5 2 26
9
x
y
HD: Xét đk sau đó chia 2 vế của hpt
x
và
2
y
Bài 35: Giải hệ phương trình
10
6 6 14
x y
x y
ĐS: Hệ vô nghiệm
HD: lấy pt(1)
pt(2) ta được hpt mới . Đặt u=
6 6
; v=x x y y
( hệ đối
xứng loại 1 với ẩn u,v)
Bài 36: Giải hệ phương trình
2 2
2 2
9
5
5 3
30 6
9
5
x
thế vào pt(1) và đặt t=
x
y
Bài 37: Giải hệ phương trình (THTT)
2
4
4
32 3
32 6 24
x x y
x x y
ĐS:
16
3
x
y
1
x
x
y
y
HD:Chia
2
x
và đặt
1
; v=y+
y
u
x x
Bài 39: Giải hệ phương trình ( THTT 2009)
2 2
HD:Thế y+1 từ pt(2) vào pt(1)
Bài 40: Giải hệ phương trình
2 2
2
2 1 2 2
x
xy x y x y
x y y x y
ĐS:
2
5
x
y
Bài 42: Giải hệ phương trình (THTT 2009)
2
2
1 4
1 2
( )
( )( )
x y x y y
x y x y
ĐS:
4
0 4
5
4 0
0
x x
x
y y
y
ĐS:
0 1
1 0
x x
y y
HD: Thế pt(1) vào vế phải của pt(2)
Bài 44: Giải hệ phương trình (THTT)
3 3
7
2
( )
x y
xy x y
ĐS:
2 1
1 2
x x
HD: Thế số 3 ở pt(2) vào số 3 vế phải của pt(1)
Bài 47: Giải hệ phương trình (THTT2009)
2 2
2 2
3
4 4 7
1
2 3
x ( )
x
y x y
x y
x y
ĐS:
4
4
1 5
2
1 5
2
x
y
HD: Từ pt(2)
đk của x,y sau đó xét hàm số f(t)=
HD: Đặt u=x-1, v=y-1 ta được hệ mới với ẩn u,v và lấy pt(1) trừ pt(2), xét hàm số
f(t)=
2
1 3
t
t t
Bài 50: Giải hệ phương trình (Dự bị khối B 2007)
2
3
2
2
2
3
2
2 9
2
2 9
x
x
x
y
x x y
x
Bài 51:Giải hệ phương trình (THTT 2009)
3
3
3 4
2 6 2
xy x
x y y
ĐS:
2
2
x
y
HD: Từ pt(1) biến đổi
2
2 1 2
( ) ( )
y x x
HD: Từ pt(1) biến đổi
y x
e y e x
và xét hàm số f(t)=
t
e t
Bài 53: Giải hệ phương trình
2
2
1 1
1 3
x y
y x
ĐS:
3
2
1
2
x
y
y y
HD: Đặt S=x+y, P=xy
Bài 55:P Giải hệ phương trình (THTT 2007)
3 2
3 2
1 2
1 2
( )
( )
x x x y
y y y x
ĐS:
1 5
1
35
0
12
1
( )( )
x x y y
y
y
x
ĐS:
5
5
3
4
5 5
3 4
x x
y y
ĐS:
10 10
5 5
15 15
5 5
x x
y y
HD: Cách 1: Thế x từ pt(2)
3
64 4
5
4 3
5
.
y x sau đó áp dụng BĐT cauchy cho các số
2 2 2 2 2 2 2
3 3 3
x y
y y y
x x
y y
x x
y y
x x
y y
ĐS:
20 30
0
3
0
10 30
3
x
x
y
y
HD: Thế
ĐS:
2 1
1 1
x x
y y
HD: Đặt z=x+yi , Nhân pt(2) với I rồi cộng 2 vế py(1) với pt(2)
pt bậc 2 ẩn z
Bài 61:Giải hệ phương trình
2
2
1 1 1
1 2
1 2
1 2
2
1 2 1 2
9
x
x
( x) ( )
HD: Dùng BĐT bunyakovsky cho pt(1)
x y
Bài 62: Giải hệ phương trình(THTT 2010)
2 2
2 2
3
2 1
1
4 22
x
y
x y
y
x y
x
y
x y u v
x
Bài 63: Giải hệ phương trình (THTT 2010)
3
4
1 8
1( )
x y x
x y
ĐS:
2
1
x
y
HD: Thế pt(2) vào pt(1) và xét 1 bên là hàm đòng biến , 1 bên là hàm nghịch biến với pt
sau đó xét hàm số f(t)=
5
t t
Bài 65: Giải hệ phương trình
3 3
2 2
9
2 4 0
x y
x y x y
ĐS:
1 1
1 1
x x
y y
HD: Cách 1: pt(1) có nhân tuwr chung
3
x y
Cách 2: Đặt
2
t x y
pt(2) là pt bậc hai ẩn t
Bài 67:Giải hệ phương trình(ĐH-Khối D 2002)
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
3
1 1
2 1
x y
x y
y x
ĐS:
1 5
1
2
1
1 5
2
x
x
y
y
y
ĐS:
1
1
x
y
HD: Quy đồng rồi lấy pt(1)-(2) là xuất hiện nhân tử chung x-y
Bài 70: Giải hẹ phương trình (ĐH Khối A2004)
1 4
4
2 2
1
1
x y
ĐS:
3
4
x
y
HD: Biến đổi pt(1)
x y
Bài 72: Giải hệ phương trình (Dự bị 1- Khối A2005)
2 2
4
1 1 2
( ) ( )
x y x y
x x y y y
ĐS:
3
3
x
y
HD: Đặt t=
xy
và bình phương 2 vế pt(2) kết hợp với cách đặt ra được pt liên quan đến
t
Bài 74: Giải hệ phương trình(Dự bị 2- Khối A2006)
3 3
2 2
8 2
3 3 1
x=y
( )
x y
x y
( )( )
x y x y
x y x y
ĐS:
3 2
2 3
x x
y y
HD: Đặt x-y=S,P=xy
Bài 76:Giải hệ phương trình (Dự bị 2-Khối A2007)
4 3 2 2
3 2
1
1
x x y x y
x y x xy
y
x
y
e
y
x
e
x
ĐS: Hệ luôn có 2 nghiệm
1
HD: Xét hàm số f(t)=
2
1
; ( )
t
t
e g t x y
5
1
4
3
25
2
16
x
x
y
y
HD: Đặt
2
;
u x y v xy
HD: Thế xy ở pt(2) vào pt(1)
Bài 80: Giải hệ phương trình(ĐH-Khối B2009)
2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
ĐS:
1
3
1
1
3
x
x
y
y
ĐS:
2
1
3
1
2
x
x
y
y
HD: Thế x+y từ pt(1) vào pt(2) ta được pt bậc 2 với ẩn
2
1
HD: Cách 1: Từ pt(1) biến đổi về dạng
2 5 2
( x) ( )
f f y
, với f(t)=
2
1
( )
t t
Cách 2: Đặt u=2x; v=
5 2
y
sau đó rút x và y thay vào pt(1) và đưa về pt tích có
nhân tử chung là u-v
Bài 83: Giải hệ phương trình (THTT 2010)
3
3 2 2 2 1 0
2 2 2 1 1
( )
( )
x x y y
x y
2 2 1
( ) ( ),
f x f y
với
2
1
( ) ( )
f t t t
Cách 2: Đặt
2 2 1
;u x v y
sau đó rút x và y thay vào pt (1) và đưa về pt
tích có nhân tử chung là u-v
Bài 84:Giải hệ phương trình (CĐ Khối A2010)
2 2
2 2 3 2
2 2
x x
x
y y
x y y
ĐS:
2
2
3
5
x
x
y
y
HD: Biến đổi và đặt
2 2
2 3
;u x v y
đưa về hệ đối xứng loại 1
Bài 86: Giải hệ phương trình (Thi thử 2010)
3 3 3
HD: Chia pt(1) cho
3
y
; pt(2) cho
2
y
và đặt u=2x; v=
3
y
đưa hpt về hệ đối xứng loại 1
Bài 87: Giải hệ phương trình (Thi thử 2010)
2 2
2 2
3
1 1 4
x y xy
x y
ĐS:
3 3
xy x
ĐS:
2
2
2
1
0
3 8 1
3
8
2 3 8
11
log ( )
log
log ( )
x
x
y
y
0
0
x
y
HD: Đặt u=x+y ; v=x-y đưa về dạng f(u)=f(v) với f(t)=
t
e t
Bài 90:Giải hệ phương trình (Thi thử 2010)
1 2
2
1 4 5 1 3
1
3 1 2
( )
x y x y x y
x y y y
x
Đs:
3
3
x
y
HD:Lấy pt(1)-(2) và truch căn thức với căn làm xuất hiện nhân tử chung x-y
x y
Bài 92: Giải hệ phương trình (Thi thử 2010)
2 2 3
log log
y x
x y
xy y
ĐS:
2 10
1 5
2 2
x x
y y
HD: pt(1) coa nhân tử chung là
x y
Bài 94: Giải hệ phương trình ( Chọn HSG Bắc Giang 2010)
8
5
x x y x y y
x y
y
y y x y
ĐS:
3 7
1
2
2
1
7 1
x
x
y
y
1
6
x
y
HD: pt(1) đặt t=x+y sau đó trục căn thức làm xuất hiện nhân tử chung là 2t-1
Bài 98: Giải hệ phương trình (Thi thử ĐH Hải Phòng 2010)
2 2
2 2
12
12
y x y
x y x y
ĐS:
ĐS:
3
2
3
2
4
1
4
2
log
log
x
y
HD: pt(2) chuyển
y
sang bên phải sau đó trục căn thức làm xuất hiện nhân tử chung là
2y-x
Bài 100: Giải hệ phương trình (Thi thử ĐH Nghệ An2010)
2 7 2
( ) x
x y xy y
y x y y
ĐS:
1 1
2 5
x x
y y
HD: Chia hai vế của 2 pt cho y và đặt
2
1
;
x
u v x y
y
Bài 103: Giải hệ phương trình ( Thi thử ĐH Nghệ An 2010)
3 3
2 2
3 4
9
( ) x
x y y
x y
ĐS:
3
3
2 31
2 31
x
y
HD: Thay pt(1) vào vế trái của pt (2) ta được hệ phương trình mới và đặt
1 6 1 4
;u x x v y y
Bài 106: Giải hệ phương trình ( Thi thử ĐH Nguyễn Huệ 2010)
1 2 1
4
4 3 4 2
3 2 3
.
log
x y y
x y
ĐS:
4
4
Bài 107: Giải hệ phương trình ( HSG Bà Rịa Vũng Tầu 2010)
2 2 4
2 5 2 5 6
x
x
y
y
ĐS:
2
2
x
y
HD: Lấy pt(1)
pt(2) ta được hpt mới và đặt
2 5 2 2 5 2
x x;
HD: Đặt
1
3
;u x v x y
y
đưa về hệ đối xứng loại 1
Bài 109: Giải hệ phương trình (HSG Lâm Đồng 2010)
2 4 3
2 2
4 4 1
4 2 4 2
x x
x y xy
y y
ĐS:
1 2
1 2
x x
y y
HD: pt(1) –(2) ta được pt tích với nhân tử chung là x-y
Bài 111: Giải hệ phương trình (HSG Hà Tĩnh 2010)
2 2
2 2
3 2
1
1
2
4
y
x
x y
y
Bai 112: Giải hệ phương trình ( HSG Quảng Bình 2010)
2 2
1 1
2 0
x x y
x x y x y x
ĐS:
1
2
4
4
1
x
x
y
y
Đs:
3
2 3
x
y
HD: Dựa vào pt(1) là pt bậc hai theo ẩn x
Bài 115: Giải hệ phương trình (HSG Khánh Hòa 2010)
2 2
2
2 3 4 9
7 6 2 9
x x x
x x
y y y
y
HD: rút y từ pt(1) rồi thế vào pt(2) ta được pt tích với nhân tử chung là x+2, 2x-2…
Bài 116: Giải hệ phương trình : (HSG Vĩnh Phúc2010)
3
2 2 3 2
6 1 4
x x
y y
x y
ĐS:
2
3
x
y
2
x
x x
y y
y
HD: pt(1) chia pt(2) ta được pt đẳng cấp bậc 4 ( hay pt trùng phương với ẩn là
x
y
)
Bài 118:Giải hệ phương trình (HSG Quảng Nam 2010)
2
2
2 2
121
2 27
HD: pt(2) coin hw là pt bậc 2 ẩn y
đk của x và kết hợp pt(1)
x
Bài 120: Giải hệ phương trình (HSG Bình Phước 2010)
2 2
3 3 3
6
1 19
x
x
y xy
x y
ĐS:
1
1
3
2
3
2
x
2
1
x y xy y
y
x y
x
ĐS:
1 2
2 5
x x
y y
Hd: pt(1) chia cho y và đặt
2
1
;
x
u v x y
y y
y
Đs:
1
2
6
x
y
HD: pt(1) có dạng
2 1 2
( x ) ( )
f f y
với
3
2 2 1 2
Bài 124: Giải hệ phương trình ( Chọn HSG Đắc Lắc 2010)
3
2
2 2 1 3 1
2 1 2 1
x
x x
y x x y
y y x
ĐS:
3
10
3
2
20
os
sin
x c
y
x x
x y
y y
ĐS:
2 3
3 2
x x
y y
HD: Biến đổi pt(2) vế phải xuất hiẹn số 35 và thay vào vế phải pt(1)
làm xuất hiện hằng đẳng thức bậc 3 dạng
3 3
A B
Bài 126: Giải hệ phương trình ( HSG Quảng Ninh 2010)
2 2
HD: Lấy pt(1)
pt(2) ta được hpt mới , tiếp tục pt(1)
pt(2) của hệ mới ta được hằng
đẳng thức bậc 3
Bài127: Giải hệ phương trình ( HSG Nghệ An 2010)
3 3
2
3 4 2
1 2 1
x xy y x
x y y
ĐS:
1
1
2
x
y
HD: Đặt t=2y và thế
3
1
( )
t
thừ pt(2) và sau đó sử dụng cách giải của pt đồng bậc
Bài 129: Giải hệ phương trình ( HSG Đồng Tháp 2010)
2 2
2
2
HD: pt có dạng
2 2
( ) ( )
f x f y
với 1
( ) ( )
t
f t e t
Bài 130: Giải hệ phương trình ( Chọn HSG Quảng Nam 2010)
4 2 4
3 3
4 2 5
2 2
x
x
xy
x y
y
x y
ĐS:
2 11
5 25
1 2
5 25
x x
y y
HD: Thay
10
25
bở pt(1) vào pt(2) và đặt u=2x-y; v=2x+y
Bài 132: Giải hệ phương trình ( Chọn HSG TP HCM 2010)
11 10 22 12
Đs:
3
3
3
3
2
3 1
3
2
1
3 1
3
2
x
x
y
y
Đs:
2
2
x
y
HD: Cộng pt(1) với pt(2) ta được pt mới sau đó đánh giá hai căn cùng bậc bằng BĐT
bunyakovsky
6 3 2 6 3 2
,
VT VP
Bài 135: Giải hệ phương trình
2 2 2
2 3
2 0
2 4 3 0
x
x x
x y y
y
x
x
y
y
y
ĐS:
4 2 3
12 6 3
x
y
HD: Xét đk sau đó chia hết 2 vế của hpt
x
4 4
A B
Cách 2: Đặt y=2t sau đó nhân chéo hpt và đặt u=
4 4
;x v t
x t
rồi đưa về pt tích với
nhân tử chung u-v
Bài 138: Giaỉ hệ phương trình (HSG QG 2004)
3 2
2 2
3 49
8 8 17
x
x x
x y
x y y y
ĐS:
1
ĐS:
1 2
1 2
x
y
HD: pt(1) là pt tích có nhân tử chung là x-y
Bài 140: Giải hệ phương trình (THTT 2011)
1
1 1
3
xy xy x
y y y
x x x
ĐS:
1
0
x
y
HD: Vì x, y thuộc
11
;
đặt x=cosx ; y=sinv ; u,v thuộc 0
;
Chú ý: nếu có đk
x a
thì ta đặt x=acosu ; u 0
;
Bài 142: Giải hệ phương trình
os os os
os os os
x c x c x c
y c y c y c
HD: Biến đổi pt(1) về dạng f(x)=f(y) với f(t)=
3 2
2 6 9ln( )
t t t t x y
sau đó
đặt x=2cosu để giải pt bậc 3 ; 0
;
u
Bài 143: Giải hệ phương trình
2 3
log ( x )
y
và biến đổi pt(1) về thành pt biến t và giải pt này
1
t
Bài 145: Giải hệ phương trình
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x
x x
x y x y
x y
Đs:
4
17
4
x
1
1
2
x
y
HD: Chia cả 2 vế cho 8 sau đó đặt u=
1 2 1
2 2
;
x y
v
Bài 147: Giải hệ phương trình
2 2
2 2
7
2 1 2 1
2
7 6 14 0
( x )( )
x
x y y
Đs:
3
3
x
y
HD: pt(1) có dạng f(x)=f(y) với f(t)=t-cost
x=y
Bài 149: Giải hệ phương trình
7 11 6
7 11 6
x y
y x
0 2
x x
y y
HD: Cách 1: lấy pt(1)-(2) sau đó xét hàm số f(t) =
2
t t
Cách 2: lấy pt(1)-(2) và trục căn thức làm xuất hiện nhân tử chung x-y
Bài 151: Giải hệ phương trình
2 2
2
2 1 2 2
x
xy x y x y
x y y x y
Đs:
HD: pt(1) là pt bậc 2 với ẩn là
x
y
Bài 154: Giải hệ phương trình
2 2
4 2 2 2 4 2 2 2
18
208
x
x
x y y xy x y
x y y x y x y
Đs:
0 2 3 2 3 7 4 3 7 4 3
0
7 4 3 7 4 3 2 3 2 3
x x x x x
y
y y y y
Đs:
1
1
x
y
HD: Tìm miền giá trị của y từ 2 pt của hệ
1
y
Bài 156: Giải hệ phương trình
2 2 3
3 1 3 1 4
x
x
y xy
y
Đs:
Đs;
1
1
x
y
HD: Đặt
1 1
;u x v y
x y
hệ đối xứng loại 1 với ẩn u,v
Bài 159: Giải hệ phương trình ( Lớp 10 năm 2010 Chuyên Quảng Trị )
3 2
3 2
4 3 7
6 7
x x
x
y y
y y
1
y
Bài 160: Giải hệ phương trình
2 2
2 2
4 2 3 0
20
x xy y
y x y
ĐS:
3
3
2
0 1
3
0 1
2 2
x
x x
y y
y
ĐS:
1 1
1 1
x x
y y
HD: Thế số 1 ở pt(1) vào vế phải pt(2) ta được pt đẳng cấp
Bài 163: Giải hệ phương trình
1 1
2 2
1 1
2 2
y
x
x
y
ĐS:
3 3
2 2
3 3
2 2
x x
y y
HD: Thế x+y ở pt(2) vào pt(1) ta được pt đẳng cấp
Bài 165: Giải hệ phương trình
2
2 2
2 3
2
x
Đs:
3
3
3
0 1 1
25
1 0 1 3
25
x
x x x
y y y
y
y
y
HD: Nhân pt(1) với 4 rồi cộng pt(2) ta được hằng đẳng thức
3
27
A
Bài 168: Giải hệ phương trình
2 2 2 2
2
1 3
x y x y
x y x y
3 2
2 2
2
0
x y
x xy y y
ĐS: Hệ vô nghiệm
HD: Từ pt(2) ta tìm được miền giá trị của x,y bằng cách coi pt(2) lần lượt là pt bậc 2 ẩn
x, ẩn y sau đó đánh giá pt(1)
Bài 170:Giải hệ phương trình
3 3 3
2 2
27 125 9
45 75 6
x
x x
y y
y y
2
y
sau đó lấy pt(1)-(2) ta được pt bậc 3 với ẩn là
xy
Cách 2: pt(1) chia cho
3
y
; pt(2) chia cho
2
y
sau đó đặt u=3x ; v=
5
y
và đưa về hệ
đối xứng loại 1
Bài 171: Giải hệ phương trình
4 4
3 2 2
2
2 2x x
x y
x y
Đs:
ĐS:
2 2
1 1
x x
y y
HD: rút x từ pt(2) và thay vào pt(1) ta được pt trùng phương ẩn y
Bài 173: Giải hệ phương trình
Copyright: Tài liệu đại học ©