TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 1
TRUNG TÂM GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
17 QUANG TRUNG
Chương 1. Hàm số lượng giác
Chương 2. Tổ hợp – xác suất
Chương 3. Dãy số - cấp số cộng – cấp số nhân
Chương 4. Giới hạn
tan x tan x
cot x cot x
b) Cung bù:
( x) và x
cos x cosx
sin x sin x
tan x tan x
cot x cot x
2
cot x tanx
2
d) Cung hơn kém
:
( x) và x
cos x cosx
sin x sin x
tan / 2 x tan x
cot / 2 x cot x
TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 4
2. Cơng thức lượng giác
Cơng thức cộng: Cho a và b là 2 góc bất kỳ, ta có
sin(a b) sinacosb sin bcosa
cos(a b) cosa cosb sinasinb
tana tan b
tan(a b)
1 tan a tan b
2 2 2
1 cos2a 1 cos2a 1 cos2a
sin a ; cos a ; tan a
2 2 1 cos2a
Cơng thức chia đơi
Đặt
a
t tan
2
, khi đó
2
2 2 2
2t 1 t 2t
sina ; cosa ; tan a
1 t 1 t 1 t
Cơng thức biến đổi tổng thành tích
a b a b
sina sin b 2sin cos
2 2
osa cosb
sin(b a)
cota cotb
sin asin b
u v k2
cosu cos v
u v k2
tanu tan v u v k , (u,v / 2 k )
cot u cot v u v k , (u,v k )
(u,v là các biểu thức chứa ẩn,
k
Phương pháp giải
2
asin x bsin x c 0
, đặt
t sin x , t 1
2
a cos x bcosx c 0
, đặt
t cosx , t 1
2
a tan x b tanx c 0
, đặt
t tan x
, đk
x / 2 k
2
a cot x bcot x c 0
,
t cot x
TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 6
Với
t 1 cosx 1 x 2k
3. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos
Dạng
asin x bcos x c
(với
2 2
a b 0
) (*)
Phương pháp giải
+ Nếu
2 2 2
a b c
thì phương trình vơ nghiệm
+ Nếu
2 2 2
a b c
thì phương trình có nghiệm. Khi đó :
Chia 2 vế của (*) cho
2 2
2 2 2 3 3 4
2
3x 2k x k
3 4 36 3
sin 3x sin
5 2
3 4
3x 2k x k
3 4 36 3
at b c 0 bt 2at (2c b) 0
2
Giải ra tìm t (lưu ý đk của t) sau đó tìm nghiệm x của phương trình từ
t 2 sin(x )
4
- Đối với (2), đặt
t sin x cosx 2 sin(x )
4
, đk
t 2
.
TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 7
Khi đó
2
1 t
sin xcosx
2
và (2) trở thành
2
2
.
Khi đó phương trình đã cho trở thành
2 2
1 2
6 6
t 6(1 t ) 6t t 6 0 t ,t
3 2
thỏa điều kiện
t 2
.
Với
1
6 6 3
t 2sin(x ) sin(x )
3 4 3 4 3
3 3
x arcsin k2 x arcsin k2
4 3 3 4
3 3 5
x arcsin k2 x arcsin k2
4 3 3 4
5. Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sin và cos
Dạng
2 2
asin x bsin xcosx ccos x d
(*)
Phương pháp giải
+ Nếu
cos x 0
cosx 0
x k
sin x 1
2
, ta có
VP 4 VT
, suy ra
x k
2
là nghiệm.
+ Khi
x k
2
chia 2 vế cho
1) A A
A, A 0
2) A B A B 0
B 0
3) A B
A B
A 0
4) A B C B 0
A B 2 AB C
sin x 1
x k2
cosx 0 sin x 1
2
cosx 1
x k2
cosx 1 cosx 1
B 0 B 0
2) A B
A B A B
A 0
3) A B A B
B 0
A 0
4) A B A B
B 0
x x
cos 1 2 3sin 3sin
4sin 2 3sin 0
2 2 2
2 2
x
sin 0 x k2 , k .
2
6tan x 4tan x 2 0
Giải ra ta được
tan x 1 x k
4
(loại).
Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.
Phương pháp 2. Đưa phương trình đã cho về phương trình tích
1 2 n
A (x).A (x) A (x) 0
để chuyển về giải tuyển các phương trình quen thuộc.
Ví dụ : giải phương trình
cosx cos2x cos3x 0
Ta có
TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 10
cosx cos2x cos3x 0 2cos2xcosx cos2x 0 cos2x(2co
sx 1) 0
k
2x k x
cos2x 0
x
4 2
;
2
x k2
3
, k
.
Phương pháp 3. Sử dụng tính bị chặn của hàm số hay dùng bất đẳng thức, để đánh giá
hai vế của phương trình rồi rút ra nghiệm.
Ví dụ : giải phương trình
3 3 4
sin x cos x 2 sin x
Ta có
3 2
3 3
3 2
1 sin x 1
sin x sin x
sin x cos x 1
1 cosx 1
cos x cos x
x k2
cosx 0
2
cos x cos x
sin x cos x 1
16
3)
6 6 4 4
6(cos x sin x) 5(cos x sin x)
4)
2 2
cos (x / 4) sin x 1/ 2
Bài 3. Giải phương trình
1)
cosx.cos3x cos5x.cos7x
2)
1
sin x.cos2x sin2x.cos3x sin5x
2
3)
2 2 2
2cos 2x cos2x 4sin 2x cos x
4)
3 2
4cos 2x 6sin x 3
cos xcos3x sin xsin3x cos 4x 1/4
TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 11
Bài 5. Giải các phương trình
1)
cos x sin 2x 0
3
2)
cos x cos x 1
3 3
3)
tan 2x.tan x 1
4)
2 2 2
sin x sin x.tan x 3
sin x cos x cos4x
11) cos7x - sin5x =
3
( cos5x - sin7x) 12)
2 2
sin 5x cos 3x 1
13)
2
cosxcos2xcos4x
16
14)
sin sin x 1
15)
2 2
cos x sin x
1 sin x 1 cosx
16)
1 1 2
cosx sin 2x sin 4x
2
2m 1 cos2x 2msin x 3m 2 0
Dạng 2. Phương trình với một hàm số của một cung
Bài 1. Giải phương trình
1)
cos2x 3sin x 2 0
2)
4 2
4sin x 12cos x 7
3)
2 2
6sin x 2sin 2x 3
4)
6tan x t an2x
5)
3(tan x cot x) 2(2 sin2x)
6)
4 3
cot x cos 2x 1
2)
sin3x cos2x 1 2sin x cos2x
3)
2sin xsin3x (3 2 1)cos2x 3 0
4)
2
8sin xsin( / 3 x)sin( / 3 x) 1
TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 12
5)
2
8cos xcos(x 2 /3)cos(x / 3) 1
6)
2
4cos (x / 4)sin6x 2sin6x 1
7)
sin x cos2x 1/ 4
8)
4cosx 2cos2x cos4x 1 0
5)
1
2cos2x 8cos x 7
cosx
6)
2 2
cot x tan x
16(1 cos4x)
cos2x
7)
2
3cos4x 2cos 3x 1
8)
sin2x tan x 2
9)
2
sin2x 2cos x tan x 3
10)
2
t an2x cot x 8cos x
2
2 2 cos 3x 2 2 cos3x 1 0
6)
4 4
x x
cos sin 2sin x 1
2 2
7)
6 6
4 sin x cos x cos 2x 0
2
8)
2tan x 3cot x 4
9)
4 2
1
cos x sin x
15)
2 2
cos4x cos 3x cos x 1
16)
sin3x cos2x 1 2sin xcos2x
Bài 6: Cho phương trình
sin3x mcos2x (m 1)sin x m 0
1) Giải phương trình khi m = 2.
2) Xác định m để phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng
0;2
Dạng 3. Phương trình đối xứng
Bài 1. Giải phương trình
1)
sin2x 12(sin x cosx) 12 0
2)
1 sin2x cosx sin x
3)
cos2x 5 2(2 cosx)(sin x cosx)
cosx sin x
cosx sin x 3
Bài 2. Giải phương trình
1)
2 2
2(tan x cot x) 5(tan x cot x) 6 0
2)
2
2
1
tan x 5(tanx cot x) 7 0
sin x
3)
2 2
tan x tan x cot x cot x 2
4)
2
2
1
cot x 4(tan x cot x) 0
cos x
5)
2 3 2 3
tan x tan x tan x cot x cot x cot x 6
1 sin x 1 cos x 2
7)
2sin x tan x cot x
4
8)
3
sin x cos x sinxcosx 1 0
9)
4
sin x cosx 3sin 2x 1 0
10)
3 3
cos x sin x cos2x
2 2
3 tan x cot x 2 tan x cot x 2 0
2)
7 7
tan x cot x tan x cot x
3)
2 3 2 3
tanx tan x tan x cotx cot x cot x 6
4)
4
2 2
9 tanx cotx 48 tan x cot x 96
5)
2 2
3 tan x cot x tan x cot x 6
4cos x sin x cosx 0
3)
2
4cos xsin x cosx sin x
4)
3sin x sin3x 2cos x
5)
4cos x cos2x cosx 3sin x
6)
3 3
sin x cos x sin x cos x
7)
3 3 2
cos x 4sin x cos xsin x sin x 0
8)
3 3 2
4sin x 3cos x 3sin x cosxsin x 0
TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 14
4 4
sin x cos x 1
4
4)
4 4
2 cos x sin x 3sin 4x 2
5)
2sin 2x 2sin 4x 0
6)
3sin2x 2cos2x 3
7)
9
3cosx 2 3sin x
2
8)
4cos3x 3sin3x 5 0
3
3sin x 1 4sin x 3 cos3x
16)
3sinx cosx 2cos x 2
3
Bài 4. Cho phương trình
3msin x 2m 1 cosx 3m 1
1) Giải phương trình khi m = 1.
2) Xác định m để phương trình có nghiệm.
Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
1)
cosx sin x 1
y
sin x 2cosx 4
2)
cos3x sin3x 1
y
3)
2
3sin2x 2cos x 2 2 cos2x
4)
2
sin x 2sin x 2 2sin x 1
5)
sin x cosx 1
6)
2
sin x 2 sin x 2
7)
1 sin x 1 sin x 2cosx
8)
1 sin x 1 sin x 1 cosx
9)
1 cosx 1 cosx
4sin x
cosx
3
8cos x 1 3 6cosx 1
5)
2 2
sin x 2 sin x sin x 2 sin x 3
Dạng 6. Phương trình chứa trị tuyệt đối
Bài 1. Giải phương trình
1)
cos x sin3x 0
2)
2cosx sin x 1
3)
3cos x 2 sin x 2
4)
cos3x 1 3sin3x
5)
sin3x 1 3 cos3x
6)
1 2 sin x cos x 0
Dạng 7. Phương trình đưa về dạng tích
Bài 1. Giải phương trình
1)
3 3
cos x sin x sin x cos x
2)
3 3
cos x sin x cos2x
3)
cosx 3sin x cos3x 0
4)
3sin2x cos5x cos9x
5)
cosx cos2x sin3x 0
6)
3cosx sin x sin3x
7)
sinx sin2x sin3x cosx cos2x cos3x
8)
6)
2
tan2x cot x 8cos x
7)
cosxcos4x cos2x cos3x 0
8)
4sin2x 3cos2x 3(4sinx 1)
Bài 3. Giải phương trình
1)
1 sin xcos2x sin x cos2x
2)
3sin x 2cos2x 2 3tan x
3)
2(tan x sin x) 3(cot x cosx) 5 0
4)
3(cot x cosx) 5(tan x sin x) 2
5)
9sin x 6cosx 3sin2x cos2x 8
3
3
1 cos2x 1 cos2x 2
4)
4 4
1 1
cosx cosx 1
2 2
5)
3
2 cot x cot x 1 1
Bài 5. Giải phương trình
1)
cos2x cos8x cos4x 1
2)
sinx 2cosx cos2x 2sinxcosx 0
3)
sin2x cos2x 3sinx cosx 2
4)
3 2
sin x 2cosx 2 sin x 0
11)
1 sinx cos3x cosx sin2x cos2x
12)
1 sinx cosx sin2x cos2x 0
13)
2
sin x tanx 1 3sinx cosx sinx 3
14)
1 1
2sin3x 2cos3x
sin x cosx
15)
3 2
cos x cos x 2sinx 2 0
16)
3
cos2x 2cos x sinx 0
sin5x.cos6x sinx sin7x.cos4x
6)
1
sin x sin x
3 3 2
7)
1
sin x cos x
4 12 2
8)
cosx. cos4x cos5x 0
9)
sin6x.sin2x sin5x.sin3x
10)
2 sinx.sin3x 2 cos 2x
7)
4 4
cos x 5sin x 1
8)
3
4sin x 1 3 3cos3x
TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 17
Dạng 8 : Đặt ẩn phụ
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau
1)
tan2x 2tan x sin 2x 0
2)
2 2
cosx 2 cos x cos x 2 cos x 3
3)
5
3sinx cosx 3
3sinx cosx 3
4)
Dạng 10 : Phương pháp tổng bình phương
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau
1)
3
cos2x cos6x 4 3sin x 4sin x 1 0
2)
2
3sin 2x 2sin x 4cosx 6 0
3)
2sin 2x cos2x 2 2sin x 4 0
4)
2
cos2x 3sin2x 4sin x 2sinx 4 2 3cosx
Dạng 11. Phương trình có chứa tham số
Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau :
1)
2 2 2
2
a sin x a 2
1 tan x cos2x
Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau :
1)
1 sin x 1 sin x k cosx
2)
2 2
6 6
cos x sin x
mcot x
cos x sin x
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. Giải các phương trình sau
1)
2
(cos2x cos4x) 6 2sin3x
2)
1 sin x cosx 0
3)
1
( 1 cosx cosx)cos2x sin4x
2
sin5x
1
5sin x
11)
cot x tan x sin x cosx
12)
9sin x 6cosx 3sin2x cos2x 8
13)
2
sin x sin x sin x cos x 1
14)
1 1
2 2 sin x
4 sin x cosx
6)
2(sin x cos x) tan x cot x
7)
3 3 3 3
sin x sin 2x sin 3x (sinx sin2x sin3x)
8)
3 3
3
sin 2xcos6x sin6x cos 2x
8
9)
2
(cos4x cos2x) 5 sin3x
10)
5cosx cos2x 2sin x 0
x
2
sin x 4cos
2
Bài 3. Giải các phương trình sau
1)
2
3cos4x 2cos 3x 1
2)
1 3cosx cos2x cos3x 2sinxsin2x
3)
tanx cotx 2 sin2x cos2x
4)
3 2
cos x sin x 3sin x cosx 0
5)
2 2 2
3
1)
1 sinx cosx tanx 0
2)
cosxcos4x cos2x cos3x 0
3)
2 4
sin 2x cos 2x 1
0
sin xcos x
4)
2
cosx 2sin x cos x
3
2cos x sin x 1
5)
1
2tan x cot 2x 2sin2x
sin2x
6)
3 3 5 5
sin x cos x 2(sin x cos x)
13)
2 2 2
sin 3x sin 2x sin x 0
14)
sin4x cos4x 1 4(sin x cosx)
Bài 5. Giải các phương trình sau
1)
cos2x 3sin2x 3sinx cosx 4 0
2)
6 6
sin x cos x cos4x
3)
x
2 cosx 2tan
2
4)
1
sin3x sin2x sin x 0
3
11)
sin xcos x 2sin x 2cosx 2
12)
3 3
1 cos x sin x sin2x
13)
tan x 3cot x (4sin x 3cosx)
14)
4 3sin x cosxcos2x sin8x
Bài 6. Giải các phương trình sau
1)
2 2 2
3
sin x sin 2x sin 3x
2
2)
8 8 10 10
5
sin x cos x 2(sin x cos x) cos2x
4
3)
tan x tan2x sin3xcos2x
10)
3sin x |cosx | 2 0
11)
2
sin2x(cot x tan2x) 4cos x
12)
2 2(sin x cos x)cosx 3 cos2x
13)
3 3
sin x cos x sin2x sin x cos x
14)
4 6
cos x cos 2x 2sin x 0
Khối B - 2003: Giải phương trình
2
cot x tan x 4sin 2x
sin2x
Khối D - 2003: Giải phương trình
2 2 2
x x
sin tan x cos 0
2 4 2
Khối B - 2004: Giải phương trình
2
5sin x 2 3(1 sin x)tan x
Khối D - 2004: Giải phương trình
(2cosx 1)(2sinx cosx) sin2x sin x
Khối A -2005: Giải phương trình
2 2
cos 3x.cos2x cos x 0
2
2sin 2x sin7x 1 sin x
Khối D - 2007: Giải phương trình
2
x x
sin cos 3 cos x 2
2 2
Khối A - 2008: Giải phương trình
1 1 7
4sin x .
3
sin x 4
sin x
2
Khối A - 2010: Giải phương trình
(1 sinx cos2x)sin x
1
4
cosx.
1 t anx
2
Khối B - 2010: Giải phương trình
(sin 2x cos2x)cos x 2cos2x sinx 0.
Khối D - 2010: Giải phương trình
sin 2x cos2x 3sin x cosx 1 0.
thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện cơng đoạn B thì cơng việc đó có
m.n cách thực hiện.
Bài 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có
2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành
phố D có 3 con đường. Khơng có con đường nào nối thành phố B với thành phố C. Hỏi
có tất cả bao nhiêu đường đi từ thành phố A đến thành phố D?
ĐS: có 12 cách.
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn 2.10
8
, chia hết cho 3, có thể được viết bởi
các chữ số 0, 1, 2?
ĐS: có 2.3
7
– 1 = 4374 – 1 = 4373 (số)
Bài 3: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả:
a) gồm 6 chữ số.
b) gồm 6 chữ số khác nhau.
c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.
ĐS: a) 6
6
b) 6! c) 3.5! = 360
Bài 4: Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và về).
Hỏi có bao nhiêu trận đấu?
ĐS: có 25.24 = 600 trận
Bài 5: Có bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số
theo thứ tự ngược lại thì giá trị của nó khơng thay đổi).
ĐS: số cần tìm có dạng:
abcba
có 9.10.10 = 900 (số)
Bài 6: a/ Một bó hoa gồm có: 5 bơng hồng trắng, 6 bơng hồng đỏ và 7 bơng hồng vàng. Hỏi
c/
x A, y A và x y 6
.
ĐS: a/ 25. b/ 20. c/ 5 cặp.
Bài 11: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, … , n} trong đó n là số ngun dương lớn hơn 1. Có bao
nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y), biết rằng:
x A, y A, x y
.
ĐS:
n(n 1)
.
2
Bài 12: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số:
a/ Gồm 2 chữ số? b/ Gồm 2 chữ số khác nhau?
c/ Số lẻ gồm 2 chữ số? d/ Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau?
e/ Gồm 5 chữ số viết khơng lặp lại? f/ Gồm 5 chữ số viết khơng lặp lại chia hết cho
5?
ĐS: a/ 25. b/ 20. c/ 15 d/ 8. e/ 120. f/ 24
Bài 13: Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số:
a/ Khác nhau?
b/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lớn hơn 300?
c/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5?
d/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chẵn?
e/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ?
ĐS: a/ 100. b/ 60. c/ 36 d/ 52. e/ 48.
TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
n
= n!
3. Hốn vị lặp
Cho k phần tử khác nhau:
1 2 k
a , a , , a
Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n
1
phần tử a
1
, n
2
phần tử
2 k
a , , n
phần tử
k 1 2 k
a n n n n
theo một thứ tự nào
đó được gọi là một hốn vị lặp cấp n và kiểu
1 2 k
n , n , , n
của k phần tử.
(với m 5)
TÀI LIỆU TOÁN 11 - ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC ThS. Lê Hồng Lónh
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG ĐT: (0710)3751.929 Trang 25
B =
7!4! 8! 9!
10! 3!5! 2!7!
C =
5! (m 1)!
.
m(m 1) (m 1)!3!
ĐS: A = – 4(m–1)m; B =
2
3
; C = 20
Bài 2. Chứng minh rằng
a) P
n
– P
n–1
= (n–1)P
n–1
b)
n n 1 n 2 2 1
(1)
ĐS: (1)
(n 1)n
5
6
n = 4, n = 5, n = 6
Bài 5. Giải các phương trình:
a) P
2
.x
2
– P
3
.x = 8 b)
x x 1
x 1
P P
1
P 6
Copyright: Tài liệu đại học ©