SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn thi: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi gồm : 01 trang
Câu I (2,0 điểm)
1) Phân tích đa thức
3 3 3
( ) (3 2) (1 2 ) (1 )P x x x x= − + − + −
thành nhân tử.
2) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện
4a b c abc+ + + =
.
Tính giá trị của biểu thức:
(4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 )A a b c b c a c a b abc= − − + − − + − − −
Câu II ( 2,0 điểm)
1) Giải phương trình
2
4 6 2 2 3 2x x x− + = + + −
.
2) Giải hệ phương trình
2 2
2 2
5
( ) 6
x y
xy x y

+ =

z zx x
S
x y z y z x z x y
− + − +
− +
= + +
+ + + + + +
Hết
Họ và tên thí sinh Số báo danh
Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn thi: TOÁN (chuyên)
Câu Ý Nội dung Điểm
I 1 Phân tích
3 3 3
( ) (3 2) (1 2 ) (1 )= − + − + −P x x x x
thành nhân tử 1,00
Đặt
3 3 3
3 2, 1 2 , 1 0= − = − = − ⇒ + + = ⇒ = + +a x b x c x a b c P a b c
0,25
3 3
( ) 3 ( )= + + − +P a b c ab a b
0,25
2 2

1,00
ĐK:
2 2
− ≤ ≤
x
. Pt
( )
(2 )(2 ) 3 2 2 3 2 0⇔ − + − − + − + =x x x x
0,25
( ) ( )
2 2 3 2 2 3 0⇔ − + − − + − =x x x
( ) ( )
2 3 0
2 3 2 2 0
2 2 0

+ − =
⇔ + − − − = ⇔

− − =


x
x x
x
0,25
Giải pt
2 3 0 7+ − = ⇔ =x x
(Loại) 0,25
Giải pt

⇔ ⇔
 
− + =
− + =



x xy y xy
x y
xy x y x y
x xy y xy
Đặt
2 2
,= − = +a x xy b y xy
ta được hệ
5
6
+ =


=

a b
ab
0,25
Giải hệ pt này ta được
2 2
2 2
2, 3 2, 3
3, 2

x xy
x xy y xy x xy y
y xy
0,25
2
2
2 1 1, 2
1 1 3
3 ,
2
2 2

= ⇒ = ⇒ = ± = ±


= − ⇒ = ⇒ = ± =


m
x y y y x
y x x x y
TH 2.
2
2 2 2 2
2
3
2 2 3 3 2 5 3 0
2

− =

       
− − − −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
0,25
III 1 Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn
2 2
4 5 2( )− + = −x xy y x y
1,00
Pt
2 2
2(1 2 ) 5 2 0⇔ − + + + =x y x y y
Tồn tại x
2 2
' (1 2 ) (5 2 ) 0⇔ ∆ = + − + ≥y y y
0,25
2 2
2 1 0 ( 1) 2 1 2 1 2 1 2⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ +y y y y y
0,25
Do y là số nguyên nên
0, 1, 2= = =y y y
0,25
2
2
2
0 2 0 0, 2
1 6 7 3 2
2 10 24 0 4, 6
= ⇒ − = ⇔ = =
= ⇒ − + ⇔ = ±

2
2 2 1⇒ = + +n p p
. Thế vào (1) ta được
2 3 4 2 2 2
4 4 4 4 4 (2 1) 2 3 0+ + + + = + + ⇔ − − =p p p p p p p p
0,25
Giải pt tìm được
1= −p
(loại) và
3=p
Với
2 3 4
3 1 11= ⇒ + + + + =p p p p p
. Vậy
3=p
0,25
IV 1 Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF 1,00
Tứ giác DCEH nội tiếp suy ra
·
·
HDE HCE⇒ =
0,25
Tứ giác DBFH nội tiếp suy ra
·
·
HDF HBF⇒ =
0,25
Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra
·
·

chắn một cung)
0,25
Suy ra
·
·
AFE xAB Ax // EF= ⇒
0,25
AO ⊥ xAy ⇒ AO ⊥ EF
0,25
IV 3 Chứng minh
AO EF⊥
1,00
AO ⊥ EF ⇒ S
AEOF
=
1
AO.EF
2
0,25
Tương tự
BDOF CDOE
1 1
BO DF S BO.DF, CO DE S CO.DE
2 2
⊥ ⇒ = ⊥ ⇒ =
0,25
ABC AEOF BDOF CDOE
1
S = S + S S (AO.EF BO.DF+CO.DE)
2

− + = + + − ≥ + = +x xy y x y x y x y x y
0,25
Tương tự suy ra
2
2 2 2
+ + +
≥ + +
+ + + + + +
x y y z z x
S
x y z y z x z x y
0,25
Đặt
2 , 2 , 2
, ,
2 2 2
2
2 2 2
= + + = + + = + +
+ − + − + −
⇒ + = + = + =
+ − + − + −
⇒ ≥ + +
a x y z b y z x a z x y
b c a c a b a b c
x y y z z x
b c a c a b a b c
S
a b c
0,25

A
B
C
A
X
Y
Hình vẽ câu a Hình vẽ câu b
Chú ý. Học sinh có cách giải khác với cách giải nêu trong đáp án nhưng đúng giáo viên
vẫn cho đủ số điểm tương ứng.