2012

ỨNG DỤNG LIÊN HỆ GIỮA CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU VÀ DAO ĐỘNG
ĐIỀU HÒA TRONG VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG VÀ SÓNG
Tác giả: Phạm Ngọc Thiệu
Trường THPT Trần Phú – Vĩnh
Phúc
I. LÍ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ
Trong những năm gần đây Bộ GD-ĐT đã áp dụng hình thức thi trắc nghiệm
khách quan trong kì thi tốt nghiệp THPT cũng như tuyển sinh đại học, cao đẳng đối
với nhiều môn học trong đó có mộn vật lý. Hình thức thi trắc nghiệm khách quan đòi
hỏi học sinh phải có kiến thức rộng, xuyên suốt chương trình và có kĩ năng làm bài,
trả lời câu trắc nghiệm nhanh chóng. Hình thức thi này cũng kéo theo sự thay đổi
trong cách dạy học, ôn tập, luyện thi đại học cao đẳng của cả giáo viên và học sinh.
Nếu như trước đây giáo viên chỉ dạy các dạng bài tập tự luận, rèn cho học sinh cách
giải và cách trình bày bài tập như thế nào để đạt điểm cao nhất thì hiện nay ngoài việc
hướng dẫn học sinh làm các bài tập tự luận theo dạng, giáo viên đồng thời phải sưu
tầm tài liệu, đặc biệt là hệ thống bài tập trắc nghiệm phù hợp theo chuyên đề để học
sinh luyện tập thêm và hướng dẫn học sinh những cách giải bài tập trắc nghiệm
nhanh nhất trong quá trình làm bài thi
Trong chương trình thi đại học cao đẳng nói chung và phần kiến thức dao động
điều hòa nói riêng, việc tìm thời gian, thời điểm hoặc các đại lượng có liên quan luôn
là một kiến thức khó đối với học sinh. Để giải bài toán loại này, một số giáo viên và
học sinh đã sử dụng những kiến thức liên quan đến phương trình lượng giác, tuy
nhiên phương pháp này thuần túy toán học, phức tạp và dễ gây nhầm lẫn. Để giúp các
em học sinh có phương pháp giải quyết nhanh chóng các loại bài tập này, đặc biệt là
trong bài thi trắc nghiệm, qua nhiều năm ôn luyện thi đại học phần dao động cơ, sóng
cơ, sóng điện từ, dòng điện xoay chiều, tôi đã hướng dẫn học sinh áp dụng mối liên
hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa để giải nhanh các bài toán liên

T
f


- Tốc độ góc của chuyển động tròn đều: Tốc độ góc ω là góc quay được của bán kính
trong một đơn vị thời gian, đơn vị rad/s:
t






II.2. Mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa 2012

Độ dài đại số của hình chiếu trên trục x của véc tơ quay
OM
biểu diễn dao động
điều hòa chính là li độ x của dao động.
Nói cách khác: Khi véc tơ
OM
quay đều với tốc độ góc ω
quanh điểm O thì hình chiếu P của điểm M dao động điều hòa
trên trục x’Ox thuộc mặt phẳng quỹ đạo của M với li độ bằng
tọa độ hình chiếu của M, biên độ bằng độ dài OM, tần số góc
đúng bằng tốc độ góc ω và pha ban đầu φ bằng góc
xOM

+ Nếu biết góc quay của
OM
trong thời gian Δt tính từ thời điểm đầu t=0 ta có thể
tìm được thời điểm vật qua vị trí có li độ x với vận tốc v, từ đó có thể tính được số lần
vật qua vị trí x trong thời gian t
0
hoặc tính được quãng đường vật dao động diều hòa
đi được trong thời gian Δt.
+ Phương pháp biểu diễn dao động điều hòa có thể áp dụng đối với sóng cơ học, sóng
điện từ và dao động điệu từ trong mạch RLC vì các đại lượng có chung một đặc tính
là biến thiên điều hòa.
Để minh họa các phương pháp trên chúng ta cùng xét các thí dụ sau đây. M
O
x
P
φ 2012

III. MỘT SỐ THÍ DỤ ÁP DỤNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA CHUYỂN ĐỘNG
TRÒN ĐỀU VÀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA.
III. 1. Tính thời gian đại lượng dao động điều hòa biến thiên và thời điểm
đại lượng đó đạt giá trị xác định.

2
/ω; φ
2
=
02
M OM
=4π/3ω=2/3 s
- Chu kì dao động là T=1s.
- Sau một chu kì vật lại quay lại trạng thái ban đầu nên các thời điểm vật đị qua vị trí
x nói trên theo chiều dương và âm là: t
a
=t
1
+kT =
1
3
+ k ; t
d
= t
2
+kT =
2
3
+ k (k=1, 2, 3,
4,…)
b) Tính số lần vật đi qua vị trí x=-2cm theo chiều dương và theo chiều âm.
- Trong t=2s: véc tơ
OM
quay góc: φ=ω.t=4π rad. Mỗi vòng quay
(2π) vật qua vị trí (x,v) 2 lần => Trong 2s vật qua vị trí nói trên 4


- Trong t=3,25s: = ω.t=6,5π rad= 6π + 0,5π. Vẽ véc tơ quay ở hai vị trí đầu và cuối
như hình vẽ 2, dễ dàng suy ra vật qua vị trí trên 6 lần.
c) Xác định vị trí sau thời gian

t:
- Khi t =6s: Véc tơ OM quay góc φ=ω.t =12π: Véc tơ OM đã
quay 6 vòng và trở lại vị trí đầu, do đó x(t+6s)=x(t) =2cm.
- Khi t=1/3s: Véc tơ OM quay góc φ=ω.t=2π/3=>Có hai khả
năng:
+ Tại thời điểm t vật có x=2cm; v>0: Vị trí véc tơ ở hai thời điểm t
và t+1/3s được biểu diễn như hình vẽ 3. Từ hình vẽ suy ra: x(t+1/3s)
=2 cm và đang chuyên động theo chiều âm.
+ Tại thời điểm t vật có x=2cm và v<0: Vị trí các véc tơ như hình vẽ
4. Từ hình vẽ suy ra: x(t+1/3s) = -4 cm và đang ở biên âm.
e). Tìm thời điểm vật qua vị trí (x, v) lần thứ n:
- Với n=2011. Tách 2011 =2010 +1 (lần). Sau 2010 lần đã hết 1005 chu kì và véc tơ
OM trở về đúng vị trí ban đầu OM
0
, Từ hình vẽ 1 ta suy ra:
t
2011
=1005T +t
1
= 1005.1+
1
3
=
3016
3

x
M
1
2

M
2
4

H.3
O
x
M
1
2

M
2
-4

4

H.4
t = với n lẻ
t = với n chẵn 2012

Một vật dao động điều hoà theo phương trình: x = Acos(

=
3

=>
20
t





rad/s => A =
cm
v
x 4
2
2
2


.
Ví dụ 3
Một lò xo có khối lượng không đáng kể có độ cứng k =100N/m, một đầu treo
vào một điểm cố định, đầu còn lại treo một vật nặng khối lượng 500g. Từ vị trí cân
bằng kéo vật xuống dưới theo phương thẳng đứng một đoạn 10cm rồi buông nhẹ cho
vật dao động điều hòa. Lấy g = 10m/s
2
. Xác định tỉ số thời gian lò xo bị nén và dãn
trong một chu kỳ.
Hướng dẫn

6

=>∆ = -2=
3
2


=> t
1
=
s
215210.3
2






l

dãn
O

-A

A

nén
(A > l)

1
H.5
2012

Thời gian lò xo dãn t
2
là thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí lò xo không biến dạng
đến vị trí thấp nhất và trở về vị trí cũ: t
2
=
22
15 2.
s
  



=>
1
2
1
2
t
t




1
= 0, có u
M
=+3cm và u
N
=-3cm. Ở thời
điểm t
2
liền sau đó có u
M
= +A, biết sóng truyền từ M đến N. Xác định A và t
2
.
Hướng dẫn
Ta có độ lệch pha giữa M và N là:
3
22





x
.
Vì li độ sóng cũng biến thiên điều hòa nên ta có thể mô tả dao động
của các phần từ bằng véc tơ quay. Khi đó véc tơ quay biểu diễn li độ
dao động của M và N tại thời điểm t như hình vẽ 8.
Từ hình vẽ ta có:
6



100

M
4
H.3
-Aω
2
M
2
M
3
-100


H.7

O
u
- 3

H.8
H.8

3




  
. Sau 3s véc tơ quay
của O quay được góc ω.t =
2

. Do vậy li độ của O và của M được
biểu diễn bằng các véc tơ quay tại thời điểm t=0 và t=t
1
và li độ của
O ở thời điểm t
1
+3 như hình vẽ 9. Từ hình vẽ ta có:
u
O
(t
1
+3)=-2; u
M
(t
1
)= 2
3
cm
III.1.3. Dao động điện và điện từ
Ví dụ 1
Điện áp giữa hai đầu một đoạn mạch có biểu thức u=220
2
cos(100


u
=>  =
4

rad =>∆ =
2

+
4

=
4
3

rad =>
1
33
4.100 400
t t s


   

Ví dụ 2
Uu
-U
o


Mắc một đèn vào nguồn điện xoay chiều có điện áp tức thời là
220 2cos(100 )( ).u t V


Đèn chỉ phát sáng khi điện áp đặt vào đèn có độ lớn không
nhỏ hơn
110 6V
. Xác định tỉ số thời gian đèn sáng và tắt trong một chu kỳ.
Hướng dẫn
Véc tơ quay biểu diễn thời gian đèn sáng và tắt như hình
vẽ 11. Điều kiện để đèn sáng là:
)(6110 Vu 

Trong mỗi nửa chu kì, khoảng thời gian đèn tắt là:
∆t
1
=


1

, với ∆
1
=-2, cos=
2
3
1

o

1

Vậy: Tỉ số thời gian đèn sáng và tắt trong một chu kì là:
2
1
2
2
1
1



t
tT

Ví dụ 3
Một mạch dao động điện từ lí tưởng đang có dao động điện từ tự do. Tại thời
điểm t = 0, tụ điện bắt đầu phóng điện. Sau khoảng thời gian ngắn nhất

t = 10
-6
s thì
điện tích trên một bản tụ điện bằng một nửa giá trị cực đại. Tính chu kì dao động
riêng của mạch.
Hướng dẫn
Ở thời điểm đầu (t = 0), điện tích trên một bản tụ là: q
1
= q
o
Sau khoảng thời gian ngắn nhất ∆t, điện tích trên một bản tụ

o
M
1


1

O
M
2


H.11
q
-q
o
q
o

q
2
q
1M
1

=
3
1
W
C
.
=> W =
3
1
W
C
+ W
C
=
3
4
W
C

C
q
C
q
o
23
4
2
2
2
2

2

o
q
q

=> =
6

=>∆ =
3

. Vậy:
st
3
10
10.3
6
6









Ví dụ 5
Một mạch dao dộng LC lí tưởng có chu kì dao động là T. Tại một thời điểm

+ 
2
=
2

=> sin
2
= cos
1
(1) Từ công thức:
2
2
22

i
qq
o

=>
o
q
i


2
2
sin 

q
-q



O
M
2


1


2

M
1H.14 2012

Do đó (1) <=>
oo
q
q
q
i
12
.


Biểu diễn dao động của vật bằng véc tơ quay ở thời điểm t=0 như hình vẽ 15.
Ta nhận thấy nếu
OM
quay góc π thì hình chiếu của M đi được quãng đường S
1
=2A
và
không phụ thuộc vào vị trí đầu và cuối của M. Vậy khi
OM
quay góc n.π thì hình
chiếu của M luôn đi được quãng đường 2nA.
- Trong t=2s véc tơ OM quay góc =2.4π = 8π => Quãng đường dao động điều hòa
đi được là: s=2.8.A =64 cm.
- Trong 3,25s: Véc tơ OM quay góc =3,25.4π =13π => Quãng đường vật đi là
s=13.2.A=104cm
- Trong 2,325s: Góc quay là  =ω.t= 9,3π =9π+0,3π . Biểu
dao động bằng véc tơ quay ở các vị trí đầu (x=0, v>0), vị trí
cuối và vị trí sau khi đã quay góc 9π (H.15)
Từ hình vẽ ta có: S=9.2A + x
1
 với x
1
 =A.cos(0,2π)
=> S=18A+A.cos(0,2π) =75,24cm
Ví dụ 2
Một vật m = 1kg dao động điều hòa theo phương ngang với phương trình
x=Acos(

t +


=ωΔt=
3


=>ω =20 rad/s
=> W=mω
2
A
2
/2=0,32J.
Ví dụ 3
Một vật dao động điều hòa với phương trình x=Acos(ωt+

) dọc theo trục Ox.
Tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất mà vật đi được trong thời gian

t cho trước
trong các trường hợp: a)

t <
2
T
b)

t >
2
T

Hướng dẫn
Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong



b) Nếu t >
2
T
thì φ  .t > π .
4
x
-2
O
H.16
M
A
A
M
1

O
P
x
P
2
P
1

2


M
2

góc φ
1
sau khi đã đi quãng đường 2.nA => S
max
=n.2A +S
1max
và S
min
=n.2A +S
1min
.
Áp dụng công thức trên ta có:
max
S 2A(n sin )
2


;
min
S 2A(n 1 cos )
2

  

III.3. Tìm biên độ sóng dừng và vị trí các điểm có biên độ xác định trong sóng
dừng
Ví dụ 1
Dây AB đầu B cố định, chiều dài l=1m, đầu A dao động với tần số 25Hz với
biên độ 1cm. Trên dây có 5 bó sóng với A, B là các nút sóng.
a) Tính tốc độ truyền sóng trên dây.

12

=
10
3
cm
1
O
H.19
M
1
M
2
A

Δφ
x
2 2012

Điểm tiếp theo dao động với biên độ 1cm lệch pha với A góc
5
2 3 6
  

=> d=
50
3

=>
2
2
C
A
A 

- Xét sự dao động của B. Độ lệch pha của của dao động tại hai
thời điểm là:
Δ =ω.t


=>
1
π
λ 40
2
=2,5π T=0,8 v= = =50cm/s=0,5m/s
0,2 T 0,8
s
t



   



2
=10m/s
2
. Nếu vào thời điểm nào đó có li độ của M là 5cm theo
chiều dương thì vào thời điểm 1/4 (s) ngay sau đó li độ của vật M là bao nhiêu?
A. 5
3
cm B. -5cm C. 5
2
cm D. Đáp án khác
Câu 3: Một vật dao động điều hòa theo phương ngang với phương trình x=20sin2t (cm).
Vào một thời điểm nào đó vật có li độ là 5cm thì li độ vào thời điểm 1/8 (s) ngay sau đó là:
A. 17,2 cm B. -10,2 cm C. 7 cm D. A và B đều đúng
Câu 4: Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = 0,05sin20t (m). Vận tốc trung
bình trong 1/4 chu kỳ kể từ lúc t
0
= 0 là
A. 1 m/s B. 2 m/s C. 2/ m/s D.1/ m/s
Câu 5: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox. Vận tốc của vật khi qua vị trí cân bằng
là 62,8 cm/s và gia
tốc cực đại của vật là 4 m/s
2
. Lấy π
2
≈ 10. Vận tốc trung bình và tốc độ trung bình của vật.
a) Trong một chu kì dao động là
A. 0 và 10 cm/s B. 10 cm/s và 10cm/s C. 0 và 40cm/s D. 10 cm/s và 40cm/s
b) trong thời gian ngắn nhất khi đi từ vị trí cân bằng theo chiều dương đến vị trí x=52 là
A. 402 cm và 402 cm B. 202 cm và 202 cm
C. -402 cm và 202 cm D. một đáp án khác

tb
=2v
max
/π B. v
tb
=v
max
/2π C. . v
tb
=v
max
D. v
tb
=v
max
/π 2012

Câu 12: Một qủa cầu dao động điều hòa với phương trình: x=2cos(2πt) (cm,s).
a) Sau bao lâu kể từ khi bắt đầu dao động, qủa cầu sẽ đi qua vị trí x = 1(cm) lần thứ 2011?
A.
6031
6
s B.
6005
6
s C. 1005s D. Đáp án khác
b) Thời điểm vật đi qua vị trí x=1cm lần thứ 2012 là

bằng, trục Ox thẳng đứng, chiều dương hướng lên. Kích thích quả cầu dao động với phương
trình: x =5sin(20t–/2) cm. Lấy g = 10 m/s
2.
Thời gian vật đi từ lúc t
0
= 0 đến vị trí lò xo
không biến dạng lần thứ nhất là:
A. /30 (s) B. /15 (s) C. /10 (s) D. /5(s)
Bài 17: Vật dao động điều hoà với phương trình x=5.sin(2πt+π/2)cm.
a) Thời điểm đầu tiên vật qua vị trí động năng bằng thế năng kể từ thời điểm ban đầu là
A. 1/4s B. 1/8 s C. 3/4 S D 3/8 s
b) Trong một chu kì số lần vật đi qua vị trí động năng bằng thế năng là
A. 2 lần B. 4 lần C. 1 lần D. 3 lần
c) Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp động năng bằng thế năng là
A. 1/4 s B. 3/4 s C. 1/8 s D. Đáp án khác
d) Thời điểm vật qua vị trí động năng bằng thế năng và số lần vật đi qua vị trí đó trong thời
gian 2,25s là
A. t= 1/8+k/4 (s) (K=0, 1,2,3, ) và 9 lần B. t= 1/4+k/4 (s) (=0, 1,2,3, ) và 8 lần
C. t= 1/8+k/8 (s) (K=0, 1,2,3, ) và 8 lần D. Một đáp án khác
Câu 18: Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = Acos(t +). Trong khoảng thời
gian 1/60(s) đầu tiên, vật đi từ vị trí x
0
= 0 đến vị trí x =
3
A
2
theo chiều dương và tại 2012

3
.
2
A
T
D.
4
.
A
T

Cõu 20(H 2010): Mt con lc lũ xo dao ng iu hũa vi chu kỡ T v biờn 5 cm. Bit
trong mt chu kỡ, khong thi gian vt nh ca con lc cú ln gia tc khụng vt quỏ
100 cm/s
2
l
3
T
. Ly
2
=10. Tn s dao ng ca vt l
A. 4 Hz. B. 3 Hz. C. 2 Hz. D. 1 Hz.
Cõu 21: Mt con lc lũ xo dao ng vi phng trỡnh: x=4cos4t (cm). Quóng ng vt
i c trong thi gian 30s k t lỳc t
0
= 0 l
A. 16 cm B. 3,2 m C. 6,4 cm D. 9,6 m
Cõu 22: Mt con lc lũ xo cng K=100N/m, vt nng khi lng m=250g, dao ng
iu hũa vi biờn A=4cm. Ly t
0

Quóng ng vt i c trong khong thi gian t 13/60(s), k t khi bt u dao ng
l : 2012

A. 6cm. B. 90cm. C. 102cm. D. 54cm.
Câu 29: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với biên độ 6cm và chu kì 1s. Tại t = 0, vật đi
qua VTCB theo chiều âm của trục toạ độ. Tổng quãng đường đi được của vật trong khoảng
thời gian 2,375s kể từ thời điểm được chọn làm gốc là:
A. 56,53cm B. 50cm C. 55,77cm D. 42cm
Câu 30: Một vật dao động với phương trình x  4
2
cos(5πt-3π/4)cm. Quãng đường vật đi
từ thời điểm t
1
 1/10(s) đến t
2
= 6s là:
A. 84,4cm B. 333,8cm C. 331,4cm D. 337,5cm
Câu 31: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox, quanh vị trí cân bằng O với biên độ A
và chu kỳ T. Trong khoảng thời gian T/4, quãng đường lớn nhất mà vật có thể đi được là :
A. A B.
2
A. C.
3
A. D. 1,5A.
Câu 32: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(4t + /3). Tính quãng
đường lớn nhất mà vật đi được trong khoảng thời gian t = 1/6 (s) :
A. 4