TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC – HUẾ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1
Tổ Toán Môn: TOÁN; khối B – Năm học: 2013 - 2014
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
3
3 2
= − +
y x x
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Gọi d là đường thẳng đi qua
(
)
2;4
A và có hệ số góc là
k
. Tìm
k
để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao
cho tam giác OBC cân tại O (với O là gốc tọa độ).
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình:
2 cos 2
cot
sin 2 cos
= −
x
x

3
lim 4 sin
x
x
x
→+∞
+ .
b)
3
2
2 3. 3 5 1
lim
2
x
x x
x
→
− − −
−
.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A; AB = AC = a. Gọi M là trung điểm của
cạnh AB, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABC) trùng với điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác BMC. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60
o
. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng
cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
Câu 6 (1,0 điểm). Cho
x
;
y

5
log 9 7
5
x
a
−
+
=
và
(
)
1
5
1
log 3 1
5
5
x
b
−
− +
=
. Tìm các số thực x biết rằng số hạng chứa
3
a
trong khai
triển Niu-tơn của
(
)
8

phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC.
Câu 8b (1,0 điểm). Chứng minh rằng:
2 1 2 2 2 2012 2 2013 2011
2013 2013 2013 2013
1 2 2012 2013 2013 2014 2
C C C C+ + + + = × × .
Câu 9b (1,0 điểm). Tìm các số thực m để phương trình
2
2 9
m x x m
+ = +
có đúng một nghiệm thực.

HẾT

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:………………………………………… Số báo danh:…………
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC ĐÁP ÁN THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1
Tổ Toán Môn: TOÁN; khối B – Năm học: 2013 - 2014

Câu Đáp án Điểm
1a

•
Tập xác định:

− .
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại
1
x
= −
,
C§
4
y
=
; đạt cực tiểu tại
1
x
=
,
CT
0
y
=
.
- Giới hạn: lim
→+∞
= +∞
x
y và lim
→−∞
= −∞
x
y .
0,25


(
)
(
)
2
2 2 1 0
x x x k
⇔ − + − + =

2
x
⇔ =
hoặc
(
)
2
2 1 0 *
x x k+ − + =
0,25
d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2
(
)
1 1 0
0
9
9 0
k
k
k

= −

. Ta có
(
)
(
)
(
)
2 4 2 4
B C B C B C
y y kx k kx k k x x
− = − + − − + = −
và
(
)
(
)
(
)
2 4 2 4 4 8 6 8
B C B C B C
y y kx k kx k k x x k k
+ = − + + − + = + − + = − +
.
Tam giác OBC cân tại O
2 2 2 2
B B C C
OB OC x y x y
⇔ = ⇔ + = +

y

'
y

-
∞
∞∞
∞

+
∞
∞∞
∞
0
-
0

+
∞
∞∞
∞

-
∞
∞∞
∞
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
(

⇔ ≠ ∈

≠


x
k
x k
x
.
Phương trình đã cho tương đương với:
cos 1 cos 2
sin sin cos cos
= −
x x
x x x x

0,25
(
)
2 2
cos 1 sin cos 2 sin cos 2 sin sin cos 2 sin 0
⇔ = − ⇔ = ⇔ − =
x x x x x x x x x
0,25
cos 2 sin 0
x x
⇔ − =
(vì
sin 0

k (không thỏa mãn điều kiện).
0,25
•
2
1
6
sin
2 5
2
6
x k
x
x k
π
π
π
π

= +

= ⇔


= +



(
)
k ∈

0,25
(
)
(
)
(
)
2 2 3 0 2
x y x y x y y x
⇔ − − + = ⇔ =
hoặc
2
x y
=
hoặc
3
x y
= −
.
0,25
Thay
2
=
y x
vào (1), ta được:
(
)
3
1 15 9 0 0
⇔ + = ⇔ =

0,25
Thay
2
=
x y
vào (1), ta được:
(
)
3
1 0 0
⇔ − = ⇔ =
y y y hoặc
1
y
= ±
.
•
0
y
=
thì
0
x
=
, thử lại không phải nghiệm của hệ đã cho.
•
1
y
=
thì

a/
( )
( )
3 3
sin sin
3 4
3 4
lim 4 sin lim . lim 3 1 .
3 3
x x x
x
x x
x
x x x
x x
→+∞ →+∞ →+∞
+
 
+ = = +
 
 

0,25
Vì
4
lim 3 1 3
x
x
→+∞
 

0,25
b/
3 3
2 2
2 3. 3 5 1 3 5 1 2 3 1
lim lim 2 3.
2 2 2
x x
x x x x
x
x x x
→ →
 
− − − − − − −
= − +
 
− − −
 www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
( ) ( )
( )
( )
2
2
3
3
3 6 2 4

lim 1 1 2
2 3 1
3 5 3 5 1
x
x
x
x x
→
 
−
 
= + = + =
 
− +
− + − +
 
.
0,25
5

H
N
M
A
C
B
S
O
Gọi N, H lần lượt là trung điểm của BC và MB. Suy ra AN là
trung trực của BC và trung trực của MB là đường thẳng d đi

a
SO BO ;
Do đó:
3
.
1 30
. .
3 24
∆
= =
S ABC ABC
a
V S SO .
0,25
Vì
(
)
SO ABC
⊥ và
OH AB
⊥
nên
SH AB
⊥
.
Suy ra
2 2
39
4
a

z
< <
(vì
1
z
≥
thì
2
x y z
+ + >
).
Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 1 2 2 1
F x y z xy z z z xy z
= + + + − = − + − −
.
0,25

Mặt khác
2 2

≥ − +
(1)
0,25

Xét
( )
( )
3 2
1
4
2
f z z z
= − +
với
0 1
z
< <
. Ta có
( )
( )
( )
2
1 2
' 3 2 0 0;1
2 3
f z z z z= − = ⇔ = ∈ .
Bảng biến thiên:

27
f z ≥ (2)
Từ (1) và (2) ta có
52
27
F ≥ . Vậy
min
52
27
F = đạt được khi
2
3
x y z
= = =
.
0,25
7a
(
)
1
;8
B d B b b
∈ ⇔ −
và
(
)
2
2 3;
D d D d d
∈ ⇔ − . Suy ra

  
=

⇔ ⇔ ⇔
   
∈ − + = =
∈

  

 
.
Vậy
( ) ( )
1 9
0;8 , 1;1 , ;
2 2
B D I
 
− −
 
 
.
0,25
Ta có
(
)
7 31;
A AC A a a
∈ ⇔ − + .

Suy ra
(
)
10;3
A hoặc
(
)
11;6
A − . Do
0
A
x
<
nên
(
)
11;6
A − , từ đó
(
)
10;3
C .
0,25
8a
Ta có
( )
1
3
1
9 7

8
1 1 1 1
9 7 . 3 1 56 9 7 3 1
x x x x
C
− −
− − − −
   
+ + = + +
   
   
.
0,25
Theo giả thiết, ta có:
(
)
(
)
(
)
1 2
1 1 1 1
56 9 7 3 1 224 3 4.3 3 0
x x x x
−
− − − −
+ + = ⇔ − + =

0,25
1

=
. Vì
0 2
x
≤ ≤
nên
1
1
2
t
≤ ≤
.
0,25
Bất phương trình đã cho trở thành:
( )
2
2
2 0
2 1
t
t mt m m f t
t
−
+ + ≤ ⇔ ≤ =
+
với
1
1
2
t

 
 
nên suy ra
hàm số
(
)
f t
nghịch biến trên đoạn
1
;1
2
 
 
 
.
0,25
Do đó
( ) ( ) ( )
1
;1
2
1 1
, ;1 min 1
2 3
m f t t m f t m f m
 
 
 
 
≤ ∀ ∈ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ −

Đường thẳng CC' qua
(
)
4;3
C và vuông góc với AD nên có phương trình:
2 5 0
x y
− − =
.
0,25
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Gọi H là giao điểm của CC' và AD thì H(3;1). Từ đó
(
)
' 2; 1
C
−
.
Suy ra phương trình AB là
7 5 0
x y
+ + =
.
0,25
Đường thẳng MH qua H(3;1) và song song với AB nên có phương trình
7 10 0
x y
+ − =
.

0,25
Lấy đạo hàm 2 vế, ta được:
(
)
2012
1 2 2012 2011 2013 2012
2013 2013 2013 2013
2013 1 2 2012 2013
x C C x C x C x
+ = + + + + (1)
0,25
Nhân 2 vế của 1 với x, ta được:
(
)
2012
1 2 2 2012 2012 2013 2013
2013 2013 2013 2013
2013 1 2 2012 2013
x x C x C x C x C x
+ = + + + +
Lấy đạo hàm 2 vế, ta được:
(
)
(
)
2011
1 2 2 2 2012 2011 2 2013 2012
2013 2013 2013 2013
2013 1 2013 1 2 2012 2013
x x C C x C x C x

+ −
có tập xác định
D
=

.
( )
(
)
(
)
(
)
2
2
2 2 2
2 36
'
2 9 9 2 9 2 9 1
x
f x
x x x
−
=
+ + + + −
.
0,25
( ) ( ) ( )
3 3
' 0 6; 6 ; 6

f(x)
1

2
3

4

-
3
4
6

-
6

-
1

2

0

-

0
+
∞
∞∞
∞