LT XSTK - 1 - Tóm tắt công thức
ĐHNH TPHCM - 1 - Nguyễn Ngọc Phụng
Tóm tắt công thức LT Xác Suất - Thống Kê
I. Phần Xác Suất
1. Xác suất cổ điển
 Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
 A
1
, A
2
,…, A
n
xung khắc từng đôi

P(A
1
+A
2
+…+A
n
)=P(A
1
)+P(A
2
)+…+P(A
n
).
 Ta có
o A, B xung khắc

P(A+B)=P(A)+P(B).

n
độc lập với nhau

P(A
1
.A
2.
….A
n
)=P(A
1
).P(A
2
).….P( A
n
).
 Ta có
o A, B độc lập

P(AB)=P(A).P(B).
o A, B, C độc lập với nhau

P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C).
 Công thức Bernoulli: ( ; ; )
k k n k
n
B k n p C p q

 , với p=P(A): xác suất để biến cố A
xảy ra ở mỗi phép thử và q=1-p.

( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / )
n
i i n n
i
P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A

    


o Công thức Bayes:
( ). ( / )
( / )
( )
i i
i
P A P B A
P A B
P B


với
1 1 2 2
( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / )
n n
P B P A P B A P A P B A P A P B A
   
2. Biến ngẫu nhiên
a. Biến ngẫu nhiên rời rạc
 Luật phân phối xác suất


x
2
… x
n

P p
1
p
2
… p
n

LT XSTK - 2 - Tóm tắt công thức
ĐHNH TPHCM - 2 - Nguyễn Ngọc Phụng
 Hàm phân phối xác suất
( ) ( )
i
X i
x x
F x P X x p

  


 Mode
0 0
ModX max{ : 1, }
i
x p p i n
   








 Kỳ vọng
1 1 2 2
1
( . ) . . .
n
i i n n
i
EX x p x p x p x p

    


1 1 2 2
1
( ( )) ( ( ). ) ( ). ( ). ( ).
n
i i n n
i
E X x p x p x p x p
    

    


a
P f x dx
  


 Hàm phân phối xác suất
( ) ( ) ( )
x
X
F x P X x f t dt

  


 Mode
0
ModX x
 
Hàm mật độ xác suất f(x) của X đạt cực đại tại x
0
.
 Median
1 1
( ) ( )
2 2
e
x
e X e
MedX x F x f x dx





.
c. Tính chất

( ) , ( ) 0
E C C Var C
  
, C là một hằng số.

2
( ) , ( )
E kX kEX Var kX k VarX
  
 ( )
E aX bY aEX bEY
  

 Nếu X, Y độc lập thì
2 2
( ) . , ( )
E XY EX EY Var aX bY a VarX b VarY
    
 ( )
X VarX

 : Độ lệch chuẩn của X, có cùng thứ nguyên với X và EX.
3. Luật phân phối xác suất
a. Phân phối Chuẩn



 
Với
0, 1:
 
  

2
2
1
( )
2
x
f x e


 (Hàm Gauss)

(a X b) ( ) ( )
b a
P
 
    
 
với
2
2
0
1

 

x
z
z e dx2
2
1
( )
2





x
z
F z e dx
Shift 3 2 z ) =
Shift 3 1 z ) =
,
EX . odX=k -1 kVarX M
  
     

LT XSTK - 4 - Tóm tắt công thức
ĐHNH TPHCM - 4 - Nguyễn Ngọc Phụng
 (X=k)=e ,
!
k
P k
k


 


c. Phân phối Nhị thức
( ~ ( ; ))
X B n p


( ) {0 n}
X
 
, EX=np, VarX=npq, ModX=k
( 1) 1 ( 1)
n p k n p
     


(a X<b) ( ) ( )
b a
P
 
   
 

 Nếu
( 30, 5)
    
n p np thì
~ ( ; ) ( )
 
X B n p P với
np
 

 (X=k) e ,
!
k
P k
k


  


 Nếu
( 30, 0,9, 5)
   



với
A
N
p
N
 , q=1-p.

( 1)( 1) 2 ( 1)( 1) 2
1
2 2
A A
N n N n
ModX k k
N N
     
    
 
.

(X=k)= , ( )
A A
k n k
N N N
n
N
C C
P k X
C

Y



Sơ đồ tóm tắt các dạng phân phối xác suất thông
dụng:
n

30, p

0,1
np<5

=np
N>20n
p=
A
N
N
, q=1-p
n

A
;n)

.
( )
A A
k n k
N N N
n
N
C C
P X k
C


 

Poisson: X~

( )
P

( )
!
k
P X k e
k






Chuẩn chuẩn tắc: Y~ N(0;1)
2
2
1
( ) .
2
y
f y e



LT XSTK - 6 - Tóm tắt công thức
ĐHNH TPHCM - 6 - Nguyễn Ngọc Phụng II. Phần Thống Kê.
1. Lý thuyết mẫu.
a. Các công thức cơ bản.
Các giá trị đặc trưng Mẫu ngẫu nhiên Mẫu cụ thể
Giá trị trung bình
1

n
X X
X
n
 


n
x
x x x x
s
n

Phương sai hiệu chỉnh
2 2
2
1
( ) ( )
1
   


n
X
X X X X
S
n

2 2
2
1
( ) ( )
1
   


n

x
x x n x x n
s
n

Phương sai hiệu chỉnh
2 2
2
1 1
( ) ( )
1
   


k k
x
x x n x x n
s
nc. Phân tổ thống kê
- Việc phân tổ thống kê chủ yếu dựa vào phân tích và kinh nghiệm. Tuy nhiên
thông nếu kích thước mẫu khảo sát là n thì ta có thể phân làm k tổ với
3
2 1
k n
 
 
 


1
x

2
x

…
k
x

i
n

1
n

2
n

…
k
n

LT XSTK - 7 - Tóm tắt công thức
ĐHNH TPHCM - 7 - Nguyễn Ngọc Phụng

Tác vụ 570MS 570ES
Bật chế độ nhập tần số Không cần
Shift Mode
X FREQ
1
x
=


k
x
=
1
n
=


k
n
=
Xóa màn hình hiển thị AC AC
Xác định:
 Kích thước mẫu (n)
 Giá trị trung bình
(
x
)
 Độ lệch chuẩn không
hiệu chỉnh (
ˆ
x

 Khoảng tin cậy đối xứng.
2 2 2
1
( ) . ; )
2
z z z x x
n


 
  
          

 Khoảng tin cậy bên trái.
( ) 0,5 . ; )
z z z x
n


 

          

 Khoảng tin cậy bên phải.
( ) 0,5 . )
z z z x
n


 

n


 
          

 Khoảng tin cậy bên phải.
( ) 0,5 . )
s
z z z x
n


 
         

Trường hợp 3. (

chưa biết, n<30)
 Khoảng tin cậy đối xứng.
( 1; ) ( 1; )
2 2
1 . ; )
2
n n
s
t t x x
n
 
 

f f
z z z f f
n


 

 
           

 Khoảng tin cậy bên trái.
(1 )
( ) 0,5 . ; )
f f
z z z f
n


 

           

 Khoảng tin cậy bên phải.
(1 )
( ) 0,5 . )
f f
z z z f
n




2 2
2 2
2 1
( 1) ( 1)
( ; )
 

 
n s n s

 Khoảng tin cậy bên trái.
2
2 2
1 ( 1;1 )
2
1
( 1)
(0; )
 

     

n
n s

LT XSTK - 9 - Tóm tắt công thức
ĐHNH TPHCM - 9 - Nguyễn Ngọc Phụng
 Khoảng tin cậy bên phải.
2

2
( ; )
2

    
n
,
2 2
1
( ;1 )
2


  
n

2 2
2 2
2 1
( 1) ( 1)
( ; )
 

 
n s n s

 Khoảng tin cậy bên trái.
2
2 2
1 ( ;1 )


đã biết)

1
: , :
o o o
H H
      

2 2
1
( ) , .
2
o
x
z z z n




 
   


- Nếu
2
z z


: Bác bỏ H


 
: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
z z

 
: Chấp nhận H
o
.

1
: , :
o o o
H H
      

( ) 0,5 , .
o
x
z z z n



 
     


      

2 2
1
( ) , .
2
o
x
z z z n
s




 
   
- Nếu
2
z z


: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
2
z z

 : Chấp nhận H

 
: Chấp nhận H
o
.

1
: , :
o o o
H H
      

( ) 0,5 , .
o
x
z z z n
s



 
     
- Nếu
z z


: Bác bỏ H
o
.

- Nếu

- Nếu
( 1; )
2
n
t t


 : Bác bỏ H
o
.

- Nếu
( 1; )
2
n
t t


 : Chấp nhận H
o
.

1
: , :
o o o
H H
      

( 1; )
, .

      

( 1; )
, .
o
n
x
t t n
s
 
 
   
- Nếu
( 1; )
n
t t
 
 : Bác bỏ H
o
.

- Nếu
( 1; )
n
t t
 
 : Chấp nhận H
o
.
b) Kiểm định giả thuyết thống kê về tỉ lệ của tổng thể.

2
z z


: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
2
z z

 : Chấp nhận H
o
.

1
: , :
o o o
H p p H p p
  

( ) 0,5 , , .
(1 )
o
o o
f p
k
z z f z n
n

( ) 0,5 , , .
(1 )
o
o o
f p
k
z z f z n
n
p p




       


- Nếu
z z


: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
z z


: Chấp nhận H
o

  
n
,
2
2
2
( 1)
o
n s





- Nếu
2 2
2
2 2
1

  


  

: Bác bỏ H
0
.

- Nếu

- Nếu
2 2
1
  
: Bác bỏ H
0
.

- Nếu
2 2
1
  
: Chấp nhận H
o
.

2 2 2 2
1
: , :
o o o
H H
      

2 2
2 ( 1; )
n
 
     ,
2
2

 
đã biết)

1 2 1 1 2
: , :
o
H H
      

1 2
2 2
2 2
1 2
1 2
1
( ) ,
2
x x
z z z
n n




 
   
 


- Nếu





     
 


- Nếu
z z

 
: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
z z

 
: Chấp nhận H
o
.

1 2 1 1 2
: , :
o
H H
      


.
Trường hợp 2. (
1 2
,
 
chưa biết,
1 2
30
n n
 
)

1 2 1 1 2
: , :
o
H H
      

1 2
2 2
2 2
1 2
1 2
1
( ) ,
2
x x
z z z
s s
n n

H H
      

1 2
2 2
1 2
1 2
( ) 0,5 ,
x x
z z z
s s
n n




     


- Nếu
z z

 
: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
z z



: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
z z


: Chấp nhận H
o
.
Trường hợp 3. (
1 2
  
chưa biết,
1 2
, 30
n n
 
)

1 2 1 1 2
: , :
o
H H
      

1 2
1 2


 

- Nếu
1 2
( 2; )
2
n n
t t

 
 : Bác bỏ H
o
.

- Nếu
1 2
( 2; )
2
n n
t t

 
 : Chấp nhận H
o
.

1 2 1 1 2
: , :
o

  

 

- Nếu
1 2
( 2; )
2
n n
t t

 
  : Bác bỏ H
o
.

- Nếu
1 2
( 2; )
2
n n
t t

 
  : Chấp nhận H
o
.

1 2 1 1 2
: , :

n n
  

 

- Nếu
1 2
( 2; )
2
n n
t t

 
 : Bác bỏ H
o
.
- Nếu
1 2
( 2; )
2
n n
t t

 
 : Chấp nhận H
o
.
LT XSTK - 14 - Tóm tắt công thức
ĐHNH TPHCM - 14 - Nguyễn Ngọc Phụng
b) Kiểm định giả thuyết thống kê: So sánh tỉ lệ của 2 tổng thể.





 
   
 

- Nếu
2
z z


: Bác bỏ H
o
.
- Nếu
2
z z

 : Chấp nhận H
o.


1 2 1 1 2
: , :
o
H p p H p p
  



1 2 1 1 2
: , :
o
H p p H p p
  

1 2
1 2
( ) 0,5 ,
1 1
(1 ).( )
f f
z z z
f f
n n




     
 

- Nếu
z z


: Bác bỏ H
o
.

2
2
, ( 1; 1;1 ) , ( 1; 1; )
2 2
s
f f f n n f f n n
s
 
          

- Nếu
1
2
f f
f f





: Bác bỏ H
o
.
- Nếu
1 2
f f f
 
: Chấp nhận H
o
.


: Chấp nhận H
o
.
LT XSTK - 15 - Tóm tắt công thức
ĐHNH TPHCM - 15 - Nguyễn Ngọc Phụng

2 2 2 2
1 2 1 1 2
: , :
o
H H
      

-
2
1
2 1 2
2
2
, ( 1; 1; )
s
f f f n n
s

     

- Nếu
2
f f


 
  
   Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu:

x
y A B
 

với
1 1 1
2 2
1 1
( )
n n n
i i i i
i i i
n n
i i
i i
n x y x y
B
n x x
  
 



( ) ( )
k k k
i i i i i i i
i i i
k k k k
i i i i i i i i
i i i i
n n x y n x n y
r
n n x n x n n y n y
  
   


 
  
   Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu:

x
y A B
 
với
1 1 1
2 2
1 1
( )
k k k

i
x

1
x

2
x

…
k
x

i
y

1
y

2
y

…
k
y

i
n

1

n
M+



k
x
,
k
y
Shift ,
k
n
M+

1
i
n

thì chỉ cần nhấn
i
x
,
i
y
M+ X Y FREQ
1


Shift 2  3 =

Shift 2  1 =
Shift 2  2 =

Shift 1 7 3 =

Shift 1 7 1 =
Shift 1 7 2 =

Thoát khỏi gói Hồi quy Mode 1 Mode 1

Lưu ý: Máy ES nếu đã kích hoạt chế độ nhập tần số ở phần Lý thuyết mẫu rồi thì
không cần kích hoạt nữa.
……………………………………….