ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TRƯƠNG VĂN KÌM
VAI TRÒ CỦA TOÁN HỌC
ĐỐI VỚI VIỆC HÌNH THÀNH
VÀ PHÁT TRIỂN
THẾ GIỚI QUAN KHOA HỌC
(Tiểu luận Triết học
Chương trình cao học và nghiên cứu sinh
không thuộc chuyên ngành Triết học)
TP. HỒ CHÍ MINH – 2011
1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
VAI TRÒ CỦA TOÁN HỌC
ĐỐI VỚI VIỆC HÌNH THÀNH
VÀ PHÁT TRIỂN
THẾ GIỚI QUAN KHOA HỌC
(Tiểu luận Triết học
Chương trình cao học và nghiên cứu sinh
không thuộc chuyên ngành Triết học)
TRƯƠNG VĂN KÌM
Chuyên ngành: LTXS và Thống kê Toán học
Trường Đại học KHTN Tp. HCM
TP. HỒ CHÍ MINH - 2011
2
MỤC LỤC
I. THẾ GIỚI QUAN KHOA HỌC 3
1. Thế giới quan là gì? ………………………………………………. 3
2. Thế giới quan khoa học là gì ? ……………………………………. 3
II. VAI TRÒ CỦA TOÁN HỌC TRONG SỰ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN

1. Thế giới quan là gì?
4
THẾ GIỚI QUAN là hệ thống tổng quát những quan điểm của con người về thế giới
(toàn bộ sự vật và hiện tượng thuộc tự nhiên và xã hội), về vị trí con người trong thế
giới đó và về những quy tắc xử sự do con người đề ra trong thực tiễn xã hội. Thế giới
quan chính là biểu hiện của cái nhìn bao quát đối với thế giới, bao gồm cả thế giới bên
ngoài lẫn con người và mối quan hệ giữa con người và thế giới.

Thế giới quan có cấu trúc phức tạp, gồm nhiều yếu tố trong đó có hạt nhân là tri thức.
Trong thế giới quan, những quan điểm triết học, khoa học, chính trị, đạo đức, thẩm mĩ
và đôi khi cả quan điểm tôn giáo đóng vai trò quan trọng nhất. Tính chất và nội dung
của thế giới quan được quyết định chủ yếu bởi những quan điểm triết học. Vấn đề chủ
yếu trong một thế giới quan cũng đồng nhất với vấn đề cơ bản của triết học (chủ yếu là
quan hệ giữa ý thức và vật chất). Tuỳ theo cách giải quyết vấn đề này mà người ta phân
chia ra hai loại thế giới quan cơ bản: duy vật và duy tâm.
Thế giới quan có tính chất lịch sử vì thế giới quan phản ánh sự tồn tại vật chất và tồn
tại xã hội, phụ thuộc vào chế độ xã hội và trình độ hiểu biết, đặc biệt là khoa học của
từng thời kì lịch sử. Trong xã hội có giai cấp, thế giới quan mang tính giai cấp; về
nguyên tắc, thế giới quan của giai cấp thống trị là thế giới quan thống trị; nó chi phối xã
hội và lấn át thế giới quan của các giai cấp khác.
Thế giới quan không những là sự tổng hợp lí luận và ý nghĩa nhận thức, mà còn rất
quan trọng về mặt thực tiễn; nó làm kim chỉ nam cho hành động của con người.
Từ việc hiểu biết về thế giới, chúng ta có được bức tranh về thế giới trong ý thức tức thế
giới quan và từ đó quyết định lại thái độ và hành vi đối với thế giới. Có một cái nhìn
đúng đắn sẽ định hướng con người hoạt động theo sự phát triển lôgic của xã hội và góp
pần vào sự tiến bộ xã hội. Vì thế, thế giới quan là trụ cột về mặt hệ tư tưởng của nhân
cách, là cơ sở cho đạo đức, chính trị và hành vi.
2. Thế giới quan khoa học là gì ?
Thế giới quan khoa học hiện đại thục chất là thế giới quan duy vật biện chứng, bao
gồm các vấn đề về sự tồn tại của vật chất, mối quan hệ giữa vật chất, ý thức và các

các học thuyết tư sản, các loại chủ nghĩa cơ hội, xét lại, cải lương, chủ nghĩa dân tộc
hẹp hòi. Nó là học thuyết về sự phát triển nhằm định hướng cho con người vươn tới
cái tự do, thoát khỏi sự thống trị của tự nhiên và thống trị của con người với con
người. Đó là tính nhân văn cao cả của thế giới quan duy vật biện chứng.
CHƯƠNG II : VAI TRÒ CỦA TOÁN HỌC TRONG SỰ HÌNH
THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN THẾ GIỚI QUAN KHOA HỌC
1. Quá trình hình thành và phát triển Toán học.
Nhìn vào quá trình phát triển của toán học có thể chia lịch sử của nó làm ba thời kỳ
lớn:
6
Thời kỳ cổ đại hay toán học sơ cấp, toán học về các đại lượng bất biến (từ thế kỷ thứ
V trước công nguyên đến thế kỷ XVII). Trong giai đoạn này, ý niệm
"
chứng minh
"

cho tính đúng đắn của một mệnh đề đã được xuất hiện. Người ta đã bắt đầu đặt những
câu hỏi có tính căn bẳn như
"
Tại sao các đáy của một hình tam giác cân lại bằng
nhau ?
"
và tại sao đường tròn lại chia đường tròn thành hai phần bằng nhau ?
"
.
Những quá trình thực nghiệm toán học của Phương Đông cổ đại hoàn toàn chỉ đủ để
trả lời câu hỏi
"
Làm thế nào… ?
"

Do cơ học Niutơn lấy số lượng bất biến, cố định của toán học làm chuẩn mực để tính
toán khối lượng của nó, nên quan điểm này tạo cơ sở cho hình thành chủ nghĩa duy
vật siêu hình máy móc. Thế giới quan của chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc đã
ảnh hưởng lâu dài đến sự phát triển của toán học và các lĩnh vực khác của khoa học tự
nhiên. Mặt khác, những thành tựu trong sự phát triển của số học, hình học cũng đã tạo
ra mối liên hệ đầu tiên với những quan niệm của phép biện chứng ngây thơ cổ đại.
Chẳng hạn, vấn đề quan hệ giữa số thực và số ảo, giữa vô hạn và hữu hạn Như vậy ở
thời kỳ này, mặc dù toán học có đóng góp vào sự hình thành và phát triển một số yếu
tố biện chứng, song nhìn chung nó chỉ dừng lại ở việc góp phần hình thành và củng cố
7
thế giới quan chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc. Do sự phát triển của thực tiễn và
nhận thức, tất yếu dẫn tới sự ra đời của toán học về các đại lượng biến đổi.
Ở thời kỳ này, các nhà kinh điển chú ý đến toán học, trước hết vì những tư tưởng về
vận động, về các mối liên hệ, được phát triển trong toán học sớm hơn ở các khoa học
tự nhiên thực nghiệm khác. F. Enghen đã đánh giá: “Đại lượng biến đổi của Đềcác đã
đánh dấu một bước ngoặt trong toán học. Nhờ đó mà vận động và biện chứng đã đi
vào toán học và phép tính vi phân và tích phân lập tức trở thành cần thiết.”. Thật vậy,
trong lập luận của giải tínc toán và phép tính vi phân, người ta đã dùng các khái niệm
như hàm số, giới hạn, liên tục, gián đoạn vô hạn, hữu hạn Rõ ràng, toán học đã
nghiên cứu về sự vận động, về các mối liên hệ ở những khía cạnh rất quan trọng. Có
thể nói rằng, tư tưởng vận động, về liên hệ của toán học đã góp phần thay đổi về chất
tư duy khoa học. Ở thời kỳ trước cổ điển, lôgic hình thức và cơ học Niuton chịu sự chi
phối của các khái niệm, phạm trù bất biến cố định của toán học sơ cấp. Với tư tưởng
vận động, liên hệ của toán học, người ta có một quan niệm mềm dẻo hơn đối với các
hình thức của tư duy nói chung và của các phạm trù bất biến trong logic hình thức nói
riêng. Ví dụ, để đo được độ dài của đường cong, ta phải xem đường cong là giới hạn
của những đường thẳng Vì vậy, tư tưởng vận động, liên hệ của toán học là một
trong các nguồn gốc đẻ ra tư duy biện chứng. Nó góp phần hình thành bước đầu cơ sở
khoa học của logic biện chứng. Còn đối với khoa học tự nhiên thì sao?
Vào thời kỳ trước đó, do những điều kiện lịch sử nhất định, thế giới quan siêu hình

toán học tới một thời kỳ phát triển mới – toán học nghiên cứu các cấu trúc và thuật
toán.
Trong giai đoạn hiện đại, thành tựu nổi bật của toán học thời kỳ này là tư tưởng cấu
trúc. Thực chất của tư tưởng này là cho phép ta tiếp cận một cách trừu tượng và khái
quát các đối tượng có bản chất rất khác nhau để vạcg ra quy luật chung của chúng.
Nói theo ngôn ngữ toán học, tức là có sự tương tự về cấu trúc hay sự đẳng cấu giữa
các lĩnh vực có bản chất khác nhau. Có thể nói rằng tư tưởng cấu trúc là một trong
những cơ sở lý luận cho sự ra đời của các khoa học tổng hợp như logic toán, điều
khiển học, tin học, toán lý, toán sinh, toán kinh tế Về phương diện thực tiễn, trên cơ
sở sự tương tự về cấu trúc giữa các quá trình diễn ra trong giới tự nhiên vô sinh, sự
sống và xã hội (tư duy) người ta đã chế tạo ra hệ thống máy tự động, hoạt động theo
cơ chế tương tự bộ não và các giác quan con người.
Như vậy cả về phương diện lý luận và thực tiễn, toán học hiện đại đóng vai trò nền
tảng trong quá trình nhất thể hoá các khoa học. Hơn nữa, tư tưởng cấu trúc của toánd
học còn phản ánh sâu sắc sự thống nhất vật chất của thế giới. Sự thống nhất của toán
học với thế giới quan triết học biểu hiện ở chỗ chúng xác nhận những tư tưởng cơ bản
của chủ nghĩa duy vật: tư tưởng về sự thống nhất vật chất của thế giới và tính có thể
nhận thức được của thế giới đó. Các khoa học khác như vật lý học, sinh học đã có
những đóng góp quan trọng vào việc luận chứng cho sự thống nhất này. Có thể nói
rằng cùng với sự phát triển của khoa học và thực tiễn các lý thuyết toán học ngày càng
có khả năng đi sâu vào việc luận chứng cho tư tưởng về sự thống nhất vật chất của thế
giới. Chẳng hạn, cùng một phương trình có thể diễn tả sự phân huỷ chất phóng xạ, sự
sinh sản của vi khuẩn, sự tăng trưởng của nền kinh tế Như vậy, tư tưởng cấu trúc
của toán học hiện đại góp phần quan trọng vào sự nhận thức những cơ sở nền tảng của
sự tổng hợp tri thức vốn chứa đựng nội dung thế giới quan, phương pháp luận sâu sắc.
Đồng thời nó là một trong những cơ sở khoa học để luận chứng cho thế giới quan duy
vật biện chứng về sự thống nhất vật chất của thế giới.
Những kết quả trên đây được củng cố vững chắc hơn khi xem xét ảnh hưởng của toán
học đối với sự phát triển của khoa học tự nhiên hiện đại, đặc biệt đối với những ngành
tiếp cận thế giới vi mô. Dựa vào sự tương tự về cấu trúc, người ta phát hiện ra mối

phần vào sự hình thành, luận chứng, củng cố, hoàn thiện thế giới quan khoa học mà
nền tảng của nó là triết học duy vật nói chung, triết học duy vật biện chứng nói riêng.
Mối quan hệ giữa toán học và triết học duy vật biện chứng là mối quan hệ khách quan,
hợp quy luật trong tiến trình phát triển nhận thức của con người.
Bài học thực tiễn mà chúng tôi muốn rút ra ở đây trong quá trình cải cách giáo dục ở
phổ thông, đại học và các trường dạy nghề là hình thành thế giới quan duy vật biện
chứng trong giảng dạy toán học. Điều đó giúp cho thế hệ trẻ có một cách nhìn, cách
xem xét hiện thực, thực tiễn hơn về lĩnh vực chuyên môn của mình. Từ đó tạo ra hiệu
quả cao nhât trong học tập và công tác.
2. Đối tượng nghiên cứu của Toán học
Toán học được quan niệm là ngành khoa học nghiên cứu về các hình thức không gian
và những quan hệ định lượng của thế giới thực.
Những khái niệm liên quan:
a. Ngành khoa học:
10
• Trong thế giới thực có các sự vật, hiện tượng khác nhau. Khoa học là xây dựng hiểu
biết về bản chất và quy luật vận động của tự nhiên, xã hội và tư duy. Nó tìm kiếm quy
luật vận động chi phối các hiện tượng tự nhiên, xã hội, tư duy. Để sản xuất ra tri thức
là hiểu biết có hệ thống đó cần có hoạt động gọi là Nghiên cứu khoa học.
• Mỗi ngành khoa học sẽ coi đối tượng nghiên cứu của mình là một phần nào đó của
sự vật, hiện tượng. Có ngành khoa học thì đối tượng là tư nhiên, cái thì đối tượng là xã
hội, cái thì là con người
b. Toán học chỉ nghiên cứu hai mặt sau của sự vật, hiện tượng thực tế:
• những quan hệ định lượng giữa sự vật hiện tượng này với sự vật, hiện tượng khác
• khám phá bản chất của các hình thức không gian của sự vật, hiện tượng
c. Có nghĩa là đối tượng nghiên cứu lại không là trọn vẹn , đầy đủ về bất cứ 1 loại
hiện tượng, sự vật cụ thể nào (như ở các khoa học khác), mà chỉ nghiên cứu phần
“những quan hệ định lượng” và “mặt hình thức không gian” của “mọi hiện tượng, sự
vật”.
d. Tuy thế, nó lại có vai trò then chốt, quan trọng tạo cơ sở công cụ cho các ngành

b được gắn tên của các số từ 1, 2, , b. Trong lịch sử, có nhiều cơ số khác nhau được
chọn 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 20, 60, Lúc đầu, người ta dùng dấu vết để ghi lại các con
số, đây cũng là những cố gắng ban đầu này, những hệ thống chữ viết khác nhau đã
dần dần phát triển để ghi lại các số một cách khoa học hơn. Như vậy là các hệ thống
chữ số xuất hiện. Sau đây là các loại hệ thống chữ số đã được sử dụng nhiều trong các
dân tộc trên thế giới từ xưa cho tới nay.
3.2 Hệ thống nhóm đơn
Hệ thống nhóm đơn được thực hiện theo nguyên tắc sau đây: nếu b là cơ số thì người
ta có ký hiệu cho 1, b, b
2
, b
3
, Một con số bất kỳ có thể được biểu thị bằng cách dùng
ký hiệu trên theo nguyên tắc cộng, tức là mỗi ký hiệu được lặp đi lặp lại một số lần
cần thiết.
Người Ai Cập cổ và người Babilon cổ đã dùng hệ thống nhóm đơn để ghi số.
3.3 Hệ thống nhóm nhân.
Nếu b là cơ số của một hệ thống nhóm nhân thì người ta dùng các ký hiệu cho 1,2,
b–1 và các ký hiệu cho b, b
2
, b
3
,
Ví dụ: Nếu 10 là cơ số và dùng các ký hiệu như ngày nay cho các số từ một đến chín
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 và a, b, c lần lượt được dùng làm ký hiệu cho 10, 10
2
, 10
3
thì ta
viết số 2978 như sau 2c9b7a8.

Latin hóa zephirum của từ Ả Rập sifr, từ này này được dịch từ sunyz của Hindu, có
nghĩa là “trống không”. Từ Ả Rập được đưa vào tiếng Đức vào thế kỷ thứ XIII thành
cifra và từ tiếng đó, hiện nay trong tiếng Anh có từ cipher là số không.
4. Toán học có đi xa rời thực tế không?
Từ xa xưa đã có nhiều quan điểm khác nhau như sau:
Quan điểm 1. Quan điểm coi những khái niệm, quy luật của toán học là những điều
ghi chép, phản ánh thu được từ sự trừu tượng hoá những sự vật cụ thể và những tính
chất của chúng. Đó chính là sản phẩm của sự sáng tạo của tư duy và những ký hiệu
thuận tiện cho hoạt động nhận thức của con người.
Quan điểm 2. Quan điểm coi toán học mang bản chất riêng, độc lập với thế giới hiện
thực. Về tổng thể thì bất kỳ hệ thống điều khiển nào có cấp độ phản ánh thế giới theo
cấp tiến hoá của hệ thống đó. Con người là hệ thống có cấp độ phản ánh thực tại cao
nhất là tư duy. Sản phẩm và vật liệu để con người tư duy là khái niệm. Khái niệm có
được thông qua nhiều loại thao tác tư duy khác nhau, đặc biệt là Khái quát hoá và
Trừu tượng hoá. Để đảm bảo cho việc phản ánh thế giới thực khách quan nhất con
người mới sinh ra hoạt động Khoa học của mình, đảm bảo hiểu đúng, sâu sắc mọi mặt
của thế giới thực, kiến thức có kiểm chứng.
Khái niệm “phản ánh” giúp ta hiểu là có cầu nối từ ~ gì ta tư duy với thế giới thực.
Rồi con người lại nghiên cứu về cách con người trừu tượng hoá thế giới nữa. Vậy là
xuất hiện thêm 1 đối tượng nghiên cứu cũng “khách quan” cả thôi, nhưng không còn
chỉ là “thế giới thực“ mà không có chúng ta nữa, mà chính xác là về thế giới trong hệ
13
thống điều khiển của chúng ta (còn thế giới thực thì ở sau sự phản ánh đó như
background). Tất nhiên, nghi ngờ rằng chúng ta chẳng bao giờ hiểu đúng thực tế “thế
giới” khách quan luôn ám ảnh.
Nếu chúng ta có niềm tin vào khoa học thì chính Quan điểm số 1 là hợp lý và cũng lại
là định hướng đúng đắn cho ngành Toán học.
4.1Toán học bắt nguồn từ thực tế.
Vì Toán học nghiên cứu về các hình thức không gian của sự vật, hiện tượng; những
quan hệ định lượng khác nhau của sự vật, hiện tượng trong thế giới thực nên những

hệ và Hình thức.
• Cấp 1 là từ quan hệ, hình thức không gian của sự vật, hiện tượng riêng lẻ
⇒
quan
hệ, hình thức không gian của sự vật, hiện tượng bất kỳ (khái niệm toán học)
• Cấp 2 là từ quan hệ, hình thức không gian của sự vật, hiện tượng bất kỳ
⇒
khái
niệm toán học trừu tượng hơn.
Việc trừu tượng hoá liên tiếp khái niệm toán học không làm mất đi bản chất gốc của
chúng mà chỉ là những khám phá bản chất hơn phục vụ tìm những quy luật chính xác,
đúng đắn hơn. Trong việc trừu tượng hoá liên tiếp, việc phát hiện quan hệ gì, hình
thức không gian như thế nào tất nhiên là có sự sáng tạo của con người. Tất cả là cách
14
thức phản ánh độc đáo của hệ điều khiển con người mà. Có nét riêng của mình nhưng
cũng luôn nhằm đích phản ánh ngày một sâu sắc hơn, bản chất hơn và chân lý hơn.
5. Vai trò của các ký hiệu toán học trong nhận thức khoa học
Trên cơ sở nghiên cứu lịch sử phát triển của toán học, chúng ta nhận thấy rằng, kết
cấu logic và sự phát triển của các lý thuyết toán học ngày càng phụ thuộc vào việc sử
dụng các ký hiệu toán học và sự cải tiến các ký hiệu đó. Ngày nay, chúng ta đã có đầy
đủ căn cứ để khẳng định rằng, các ký hiệu toán học không những chỉ là phương tiện
thuận lợi cho việc nghiên cứu khoa học nói chung và toán học nói riêng, mà chúng
còn có một giá trị nhận thức luận to lớn. Sở dĩ các ký hiệu toán học có vai trò quan
trọng như vậy là do nội dung khách quan của chúng quy định.
Như chúng ta đã biết rằng, trong lịch sử toán học, vào đầu thế kỷ thứ V, khi người ấn
Độ đưa ký hiệu vào để chỉ số 0 thì họ đã có thể xoá bỏ được hệ thống tính từng cấp và
phát triển hệ thống tính thập phân mà tính ưu việt của nó trong tính toán đã được hàng
trăm triệu người trên hành tinh chúng ta sử dụng hàng ngày. Đồng thời, khi nhà khoa
học nổi tiếng người Đức là Lépnít đưa ra ký hiệu vi phân và tích phân thì toán học đã
thực sự đổi mới. Thật vậy, nếu như trước đây lời giải của nhiều bài toán về tính diện

để biểu đạt các thông số và những đại lượng biến thiên. Chẳng hạn, trong phương
trình ax
2
+ bx + c = 0, mỗi hệ số a, b, c có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào, còn ẩn số x
cần tìm là thuộc tập hợp các số phức. Việc sử dụng các ký hiệu về đại lượng biến
thiên cho phép ta diễn đạt ở dạng tổng quát các quy luật của đại số và cả các quy luật
của các lý thuyết toán học khác. Ví dụ:
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
(a + b).c = a.c + b.c
a
n
- b
n
- (a - b). (a
n-1
+ a
n-2
b + + ab
n-2
+ b
n-1
)
Trong thực tế, nếu chúng ta khảo sát những sự thể hiện khác nhau của cùng một tiêu
đề xuất phát thì không những chỉ các khái niệm về đối tượng của lý thuyết thay đổi,
mà cả các khái niệm về sự tương quan và liên hệ giữa chúng cũng thay đổi. Chẳng
hạn, trong hệ tiên đề pêanô, các ký hiệu >, =, <, +, -, x, : sẽ có ý nghĩa khác nhau
tuỳ theo ký hiệu 1 , 2 , 3 biểu thị các số tự nhiên về lượng hay về thứ tự. Ví dụ, ký
hiệu 3 < 4 nếu biểu thị về lượng thì có nghĩa là 3 bé hơn 4, song nếu biểu thị về thứ tự
thì có nghĩa là 3 đứng trước 4.
Như vậy, có thể nói, các ký hiệu toán học cho phép ta ghi lại một cách cô đọng và

Ngôn ngữ toán học cho phép ta nói ngắn gọn nhiều điều mà nếu diễn tả bằng ngôn
ngữ thông thường sẽ rất dài đòng, phức tạp. Ở đây, chúng ta có thể nhận thấy tính ưu
việt của việc sử dụng các ký hiệu toán học, nếu so sánh công thức của bất đẳng thức
Bunhiacốpxki:
(a
2
+ a
2
+ + a
2
).(b
2
+ b
2
+ … + b
2
) > (a
1
b
1
+ a
2
b
2
+… +a
n
b
n
)
2

về mặt phương pháp luận. Trong khi phân tích những quan niệm khác nhau về cơ sở
của phép tính vi phân, Mác đã khẳng định rằng, việc sử dụng các ký hiệu trở thành bí
ẩn và khó hiểu nếu ngay từ đầu chúng được coi là cái đã cho, đã có sẵn. Điều khẳng
định của Mác đã xảy ra đối với các nhà sáng lập phép tính vi phân - Niutơn và Lépnít
cùng những người kế tục gần gũi các ông. Trong khi tìm các đạo hàm và vi phân của
hàm số, ngay từ đầu, họ đã coi số gia của đối số như là các vi phân. Khi lấy vi phân
một hàm số xác định y = f(x) , một bộ phận nào đó được bỏ đi coi như vô cùng nhỏ,
nhưng nếu số hạng bỏ đi khác 0 thì việc bỏ nó là một phép toán không hợp pháp; nếu
có (dx) = 0 thì khi đó, cả (dy) cũng bằng 0 và đẳng thức của chúng ta biến thành đồng
nhất thức 0 = 0. Như vậy, số hạng bỏ đi đồng thời phải là 0 và không là 0. Lẽ đương
nhiên là ở đây, không có phép biện chứng nào cả. Trái lại, chính điều này đã đi đến
chỗ gán cho các vi phân những tính chất bí ẩn đặc biệt nào đó, khác với các tính chất
của các đại lượng thông thường. Dựa vào đó, nhà triết học duy tâm Béccơly đã lấy cớ
để gọi chúng một cách châm biếm và hài hước là "bóng ma của những đại lượng
chết".
Để vứt bỏ tấm màn bí ẩn ở các khái niệm và ký hiệu của phép tính vi phân, theo Mác,
cần phải làm cho ký hiệu đặc trưng đối với phép tính .vi phân không xuất hiện như là
điểm xuất phát, mà như là kết quả của quá trình hoạt động thực tế không chứa một
chút gì là ký hiệu. Mác cho rằng, điểm xuất phát phải nằm trong giới hạn của đại số
thông thường mà chưa yêu cầu những thuật toán đặc biệt của phép tính vi phân và các
ký hiệu của nó. Ở đây, điều mà chúng ta cần lưu ý là ở chỗ, Mác đã chỉ rõ những việc
cần phải làm để tìm ra đạo hàm của một hàm số xác định y = f (x). Trước hết, Mác lập
các số gia hữu hạn Δx và Δy. Trong khi một số nhà triết học duy tâm, chẳng hạn như
Alembécxơ, coi các số gia đó như những cái đã tồn tại từ trước, bất luận sự biến đổi
nào của các biến số, thì Mác, trái lại, coi chúng như là kết quả biến đổi của các biến
số.
Mác coi việc khử các số gia là công đoạn diễn ra do kết quả biến đổi ngược của các
biến số x và y, còn việc lấy vi phân một hàm số là một phép toán bao gồm cả công
đoạn tính và khử các số gia hữu hạn. Mác viết: "Lúc đầu là việc tính các số gia và sau
đó là việc khử chúng, như vậy sẽ dẫn đến không có gì hết. Tất cả những khó khăn

cội nguồn của tất cả những bế tắc mà thực chứng luận hiện đại và quan niệm đề cao
ngôn ngữ toán học một cách thái quá đã mắc phải. Đồng thời, những tư tưởng đó còn
chỉ rõ tính tất yếu và tính chất tiến bộ của một thực tế là, khi nhà nghiên cứu sử đụng
toán học, điểm xuất phát không phải là đi từ các dữ kiện thực tế đến ký hiệu của
chúng, mà đi từ các hình thức ký hiệu đến cái tương đương thực tế của chúng.
Với những thành tựu của cuộc cách mạng trong phương pháp, vai trò của các ký hiệu
đã thay đổi một cách cơ bản: Từ biện pháp ghi lại các hiện tượng đã biết, ký hiệu biến
thành biện pháp để tìm ra cái chưa tìm được. Đồng thời, chính nhờ điều đó mà tính
chất "tác chiến" của ký hiệu toán học đã tìm thấy vai trò to lớn của nó. Vì vậy, có thể
nói, quan điểm coi vi phân như một ký hiệu "tác chiến" của Mác có ý nghĩa rất quan
trọng trong nhận thức toán học. Từ đó, chúng ta có thể đưa ra một ký hiệu "tác chiến"
mới là dy = f ''(x)dx để diễn đạt hình thức ký hiệu chung của phép lấy vi phân.
Như vậy, từ lập trường của chủ nghĩa duy vật biện chứng, chúng ta nhận thấy rằng,
trong toán học, người ta có khả năng sử dụng tiếng nói của ký hiệu chính là do đặc
điểm về đối tượng nghiên cứu của nó. Cụ thể là, toán học nghiên cứu những hình dạng
và quan hệ của các đối tượng trong thế giới hiện thực mà trong những giới hạn đã biết,
chúng không phụ thuộc vào nội dung thực tế của đối tượng. Ngày nay, trong toán học,
nhất thiết chúng ta phải dùng đến tiếng nói của các ký hiệu, bởi nhờ đó, ta có thể ghi
lại một cách ngắn gọn và rõ ràng các khái niệm và mệnh đề của các lý thuyết toán
họe. Đồng thời, việc sử dụng các ký hiệu còn cho phép phát triển được cả những phép
tính và những thuật toán, tức là những cái cất lõi để xây dựng nên các phương pháp và
19
các mệnh đề toán học. Như vậy, về thực chất, việc sử dụng các ký hiệu toán học là
một thí nghiệm đã được lý tưởng hoá, chúng mô tả dưới dạng thuần tuý những điều đã
được thực hiện hay có thể thực hiện được một cách gần đúng hoặc chính xác trong
thực tế. Chính vì vậy mà việc sử dụng các ký hiệu toán học có khả năng phát hiện ra
các chân lý toán học mới. Tuy nhiên, chúng ta cần lưu ý rằng, tất cả những điều nói
trên chỉ có thể thực hiện được trong trường hợp hệ thống ký hiệu toán học đó thể hiện
đúng đắn các tính chất và tương quan cơ bản, xác định của thế giới hiện thực. Toán
học nghiên cứu các quan hệ về lượng và hình dạng không gian của các đối tượng

cho người sử dụng bất cứ đòi hỏi nào về những nhu cầu giữ trong bộ nhớ. Những cái
mà con người với tư cách một sinh vật sinh lý không làm được thì nó có thể làm được
và làm có kết quả như một sinh vật xã hội, trong đó các máy tính điện tử là sự giúp đỡ
vô cùng quý giá.
20
Vấn đề là ở chỗ, tập hợp các kiến thức có thể biểu diễn dưới dạng một không gian n
chiều, khi đó một thông tin bất kỳ được tìm ra nhờ sự dời chỗ trong không gian
này theo một phương đã cho nào đó. Những phương khác nhau được ký hiệu bằng
những "số hiệu khái niệm" và tài liệu được biểu thị bởi một véctơ trong không gian
các khái niệm này. Mỗi khái niệm được gán cho một chỉ số về "trọng lượng", nó biểu
diễn tần số sử đụng chúng trong một bài. Sau khi biểu thị tài liệu dưới dạng véctơ khái
niệm, người ta so sánh một véctơ biểu thị nhu cầu với các véctơ biểu thị tài liệu để tìm
ra câu trả lời.
Máy tính không hề biết "ngoại ngữ" và cũng không biết một thứ ngôn ngữ tự nhiên
nào, chính vì vậy mà chúng ta cần phải nói với máy thứ ngôn ngữ mà nó hiểu, những
nhu cầu thông tin và những điều đã được công bố được dịch ra thứ tiếng đó. Do vậy,
chúng ta phải lập nên một ngôn ngữ hình thức hoá đặc biệt để sử dụng cho việc giải
quyết một lớp bài toán hoàn toàn xác định. Một ngôn ngữ hình thức hoá được phân
biệt bởi các giá trị cố định trong các ký hiệu của nó và bởi một hệ thống quy tắc được
xác định chính xác và đơn trị, các quy tắc này xác định luật sử dụng các ký hiệu. Như
vậy, chúng ta có một ngôn ngữ thông tin tìm kiếm dưới dạng trừu tượng, gồm có bảng
kê những ký hiệu cơ sở, các quy tắc cấu tạo (quy định kết hợp các ký hiệu như thế
nào). Các quy tắc biến đổi (quy định các biểu thức như thế nào để được một kết luận
logic) và các quy tắc giải đoán (quy định gán những nghĩa nào cho các biểu thức hình
thành theo quy tắc cấu tạo).
Ở đây, một vấn đề có ý nghĩa lớn là, những ký hiệu được đưa vào ngôn ngữ toán học
nhân tạo thường có tính chất quốc tế và giúp cho việc khắc phục trở ngại về ngôn ngữ,
bởi những tài liệu được công bố bằng tiếng nước ngoài thường khó hiểu đó bất đồng
ngôn ngữ. Song, như chúng ta đã biết, nhờ có ngôn ngữ của các ký hiệu mà từ lâu,
việc không phiên dịch các thông báo khoa học do các nhà khoa học của nhiều nước

quan điểm của các nhà triết học duy tâm. Và, giá trị to lớn của những ký hiệu toán học
là ở chỗ, chúng là công cụ trợ giúp đắc lực cho khả năng nhận thức của con người về
thế giới hiện thực và góp phần thúc đẩy các khoa học khác phát triển, góp phần phục
vụ cho lợi ích thiết thực của con người hay như Mác đã khẳng định: "Một khoa học
chỉ đạt được sự hoàn chỉnh khi nó sử dụng toán học".
6. Hiện tượng ngẫu nhiên, cái chân lý Toán học và ý nghĩa thực tiễn
Chúng ta sẽ xem xét cái ngẫu nhiên được nghiên cứu trong các lý thuyết toán học,
trong đó lý thuyết xác suất và thống kê là cơ bản nhất. Lý thuyết xác suất và thống kê
của toán học ra đời nhằm nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên, phát hiện ra quy luật
hoạt động của chúng, thúc đẩy khoa học phát triển, tăng cường khả năng nhận thức
của con người đối với thế giới khách quan.
Hiện tượng ngẫu nhiên là rất phổ biến trong thực tiễn, từ vật lý vi mô đến sinh học,
hóa học, khí tượng học và các khoa học xã hội, v.v Vì thế, lý thuyết xác suất ngày
càng có vị trí đặc biệt quan trọng trong khoa học và được nghiên cứu một cách sâu
sắc. Trong các lý thuyết toán học đã có nhiều quan niệm về khái niệm xác suất, nhưng
ở bài viết này, chúng tôi chỉ đề cập đến định nghĩa cổ điển của xác suất và định nghĩa
xác suất nhờ tần suất.
Trong các giáo trình toán học, xuất phát từ quan niệm coi xác suất là một đại lượng
thể hiện mức độ xảy ra của một biến cố, người ta đưa ra định nghĩa cổ điển về xác
suất như sau: "Nếu A là biến cố có n(A) biến cố sơ cấp thích hợp với nó trong một
không gian biến cố sơ cấp gồm n(
Ω
) biến cố cùng khả năng xuất hiện thì tỷ số P (A)
= được gọi là xác suất của A".
Từ quan niệm trên, ta giả sử biến cố A được phân chia thành A = A
1
+ A
2
+ + A
n

của một hạt ở một thời điểm xác định, mà chỉ có thể nói đến xác suất để hạt ở vị trí đó.
Vào năm 1965, nhà toán học Mỹ - L.A.Zadels đã mở đầu cho việc hình thành toán học
mờ - lĩnh vực toán học chuyên nghiên cứu về tập hợp mờ, tức là những tập hợp không
có ranh giới rõ rệt vì không thể khẳng định được một phần tử nào đó là thuộc tập hợp
hay không, mà chỉ có thể nói đến một xác suất P để phần tử thuộc tập hợp. Trong thực
tế, có rất nhiều tập hợp mờ, chẳng hạn, M là tập hợp những ngày mưa trong năm 2005
và hỏi ngày 10-10-2005 có thuộc M hay không? ở đây, ta chỉ có thể đưa ra câu trả lời
với một xác suất P nào đó.
Để làm rõ vấn đề, ta cần chú ý đến những biến cố ngẫu nhiên do rất nhiều nguyên
nhân ngẫu nhiên gây ra mà mỗi nguyên nhân này chỉ có ảnh hưởng rất nhỏ. Việc tìm
điều kiện để những biến cố như vậy xảy ra với xác suất gần 0 (hoặc gần 1) một cách
tùy ý là nội dung các mệnh đề mang tên "luật số lớn". ở đây, các nguyên nhân được
biểu thị bằng những biến ngẫu nhiên, còn tác dụng tổng hợp của các nguyên nhân
được thể hiện bởi "tổng" của những biến ngẫu nhiên theo một cách nào đó.
Tuy những hiện tượng ngẫu nhiên là không đoán trước được, song theo lý thuyết xác
suất, người ta có thể nghiên cứu các hệ thống những hiện tượng để rút ra các quy luật
về số lớn của chúng, đồng thời biểu diễn các quy luật này bằng nhiều mô hình toán
học. Từ đó, chúng ta có thể lợi dụng được những hiện tượng ngẫu nhiên, thậm chí tạo
ra những hiện tượng ngẫu nhiên tuân theo các quy luật số lớn để dùng vào những tính
toán cụ thể. Vấn đề cốt yếu là ở chỗ, để hiểu được một hiện tượng ngẫu nhiên, ta phải
xem xét nó trong mối quan hệ với một số lớn các yếu tố, các khả năng. Khi một hiện
tượng ngẫu nhiên xảy ra thì có thể coi đó là tín hiệu của một hay nhiều quy luật mà
hiện nay khoa học chưa biết đến, hay mới chỉ biết một phần. Chính vì vậy, người ta
thường nói "cái tất nhiên bộc lộ ra bên ngoài qua cái ngẫu nhiên".
Trong toán học, lý thuyết xác suất và thống kê đã nghiên cứu rất nhiều những vấn đề
có liên quan đến ngẫu nhiên, chủ yếu là các quá trình ngẫu nhiên, các dãy những hiện
tượng ngẫu nhiên. Quá trình ngẫu nhiên, tức là quá trình bao gồm những bước diễn ra
ở từng thời điểm cụ thể thì ta không hoàn toàn xác định được, nhưng nếu xét sự việc
xảy ra của cả dãy thì rõ ràng nó cũng phải tuân theo một quy luật chung nào đó. Tóm
23

nhất tham gia vào một tập hợp nào đó, nhưng lại vẫn có thể hiểu được quy luật vận
động chung của cả tập hợp ấy. Điều này là hết sức quan trọng trong khoa học hiện đại,
đặc biệt là trong vật lý học hiện đại, trong cơ học lượng tử.
Hiện tượng trên được giải thích theo nhiều quan điểm khác nhau, như các quan điểm
siêu hình, thực chứng, quan điểm dựa trên các tham số ẩn, v.v Những người theo
quan điểm siêu hình coi các eléctrôn như là những hạt cổ điển, nên khi thấy chúng
không vận động theo quyết định luận cổ điển thì họ kết luận là không có sự hoạt động
của nguyên lý nhân quả và cho rằng eléctrôn có "tự do ý chí". Điều đó cũng có nghĩa
là trong thế giới vi mô không có quyết định luận. Xuất phát từ lập trường duy tâm chủ
nghĩa, những người theo phái thực chứng đã phủ nhận tính khách quan của các mối
liên hệ nhân quả không chỉ trong vật lý học hiện đại, mà cả trong vật lý học cổ điển.
Để giải thích nguồn gốc của tính thống kê trong cơ học lượng tử, họ cho là do đặc
điểm của quá trình tương tác giữa các vi hạt với dụng cụ vĩ mô, mà quá trình này về
nguyên tắc là không thể kiểm tra được. Đi đôi với việc thừa nhận trên, phái thực
chứng cho rằng, các quy luật thống kê của cơ học lượng tử là có tính vô định, có nghĩa
24
là vi hạt có một sự tự do lựa chọn bẩm sinh và như vậy, trong thế giới vi mô, không có
sự hoạt động của nguyên lý nhân quả.
Như vậy, tính thống kê của cơ học lượng tử là do sự phân phối có tính xác suất trong
hàm sóng; nó xuất hiện sau mối liên hệ nhân quả thứ nhất, cộng đồng với sự chi phối
của điều kiện nguyên nhân, khi đầu sóng tiếp xúc với các vi hạt của màn phát hiện.
Tóm lại, càng ứng dụng rộng rãi toán học, chúng ta càng nhận thấy một điều là, trong
thực tế, những tính toán cho kết quả tuyệt đối chính xác là rất hiếm. Ngay cả
với những trường hợp có công thức chính xác để tính toán thông qua các hàm sơ cấp,
nhiều khi cũng phải bằng lòng với một kết quả là số gần đúng. Chính vì vậy, trong
tình hình phát triển hiện nay của toán học, vai trò của các đại lượng ngẫu nhiên tăng
lên một cách nhanh chóng là điều dễ hiểu. Từ đó, lý thuyết xác suất và thống kê ngày
càng khẳng định vị trí quan trọng của mình trong các lĩnh vực khoa học. Xét về thực
tiễn, lý thuyết xác suất và thống kê đã vượt lên hàng đầu trong số các môn có nhiều
ứng dụng nhất và trở thành một công cụ tối cần thiết cho rất nhiều ngành khoa học và