2
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP
KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG KỲ THI TSĐH
Phần một: Các bài toán liên quan đến điểm cực đại cực tiểu
A) Cực đại c ực tiểu hàm số bậc 3:
3 2
axy bx cx d   
* ) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu là: y’=0 có 2 nghiệm phân biệt
* ) Hoành độ điểm cực đại cực tiểu kí hiệu là
1 2
,
x x
khi đó
1 2
,
x x
l à 2 n g h i ệm của phương trì n h
y ’ = 0
* ) Để tính tung độ điểm cực đại cực tiểu ta nên dùng phương pháp tách đạo hàm để tính phương
trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
+ Cơ sở của phương pháp này là: nếu hàm số bậc 3 đạt cực đại c ực tiểu tại
1 2
,
x x
t hì
1 2
' ( ) ' ( ) 0f x f x 
+ Phân tích
' ( ). ( ) ( )y f x p x h x 
. Từ đ ó ta suy ra tại
1 2


2
' ( ) 3 2 7 0f x x mx    có 2 nghiệm phân biệt
2
21 021m m

      
. Thực hiện phép chia f(x) cho f
’
(x) ta có:
   
2
1 1 2 7
. 21 3
3 9 9 9
m
f x x m f x m x
 
  
     
  
 
. Với
21m 
t hì f
’
(x)=0 có 2 nghiệm x
1,
x
2

2 7
(21 ) 3
9 9
2 7
(21 ) 3
9 9
m
f x m x
m
f x m x

   




   


.
Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT có phương trình
 
 
2
2 7
: 21 3
9 9
m
y m x    


m  

3) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu tạo với trục Ox một góc


+ Đi ều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
+ Giải đi ều kiện
tank



Ví dụ 1) Cho hàm số 23
23
 mxxxy (1) với m là tham số thực
Tìm m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.
Giải:
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
' 9 3 0 3m m       

3 2
1 2
3 2 ( 1 ) . ' ( 2) 2
3 3 3
m m
y x x mx x y x          

Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trì n h
3

6 m
B
m
m
A

Tam giác OAB cân khi và chỉ k h i
OA OB

6 6
2( 3 ) 3
9 3
6 ; ;
2 2
m m
m
m m m
 
 

     
Với m = 6 thì
OBA 
so với điều kiện ta nhận
2
3
m

Chú ý: Ta có thể giải bài toán theo cách: Đường thẳng qua CĐ, CT tạo với 2 trục tọa độ
tam giác cân nên hệ số góc của đường thẳng là

+ Đi ều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực ti ểu
+ Giải đi ều kiện
tan
1
k a
ka




Ví dụ ) Tìm m để


3 2 2
3 ( 1 ) (2 3 2) ( 1 )f x x m x m m x m m       
có đường thẳng đi qua
CĐ, CT tạo với
1
5
4
y x

 
một góc 45
0
.
Giải: G ọi h ệ số góc của đường thẳng đi qua CĐ, CT là k, khi đó từ đi ê u k i ện bài toán suy ra:
0
1


 
 
 
   
 
 
 
 
3
5
5
3
k
k










Hàm số có CĐ, CT
2 2
( ) 3 6( 1 ) (2 3 2) 0f x x m x m m

        có 2 nghiệm p h â n b i ệt

x
1,
x
2
.
Do
1
2
( ) 0
( ) 0
f x
f x







nên
   
 
 
 
2
1 1
2
2 2
2
( 3 1 ) 1

 
     
 

Ta có



tạ o với
1
5
4
y x

 
góc 45
0



2
2
3 1 1
3
m

 m   

kết hợp với đi ều kiện (*) ta có
3 15

có 2 nghiệm phân biệt khi
0m 
. Khi đó tọa độ hai điểm cực trị của đồ
thị h àm số là




;22 , ;22M m m x N m m x  

- Phương trì n h đường thẳng MN là:
2 2 0mx y  

- Đường thẳng MN cắt đường tròn tâm I tại A,B mà tam giác IAB có
ˆ
2. . .sin 1
IAB
S IAI B AIB 
,
dấu bằng xảy ra khi
0
ˆ
90A I B 
, lúc đó khoảng cách từ I đến MN bằng
1
2

Do vậy ta có pt:
 
2





;22 ; ;22A m m m B m m m  

PT đường thẳng đi qua AB là:
   
4
2 2 2 2
2
m m
y m m x m y mx
m

      
Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB là
 
2
2 1
;
4 1
m
d I AB
m



độ dài đoạn
3

m m m m m m m
       
           
6) Tìm điều kiện để điểm cực đại cực tiểu cách đều điểm M cho trước:
+ Đi ều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trì n h để tính
giá trị
1 2
;y y )
+ Giả sử đi ểm đi ểm c ực đại cực tiểu là A, B thì đi ều kiện l à M A = M B
7) Điều kiện để điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=ax+b
+ Đi ều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trì n h đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trì n h để tính
giá trị
1 2
;y y )
+ Giả sử đi ểm đi ểm c ực đại cực tiểu là A, B thì đi ều kiện l à : Đường thẳng đi qua đi ểm c ực đại
cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=ax+b và trung đi ểm c ủa AB thuộc đường thẳng y=ax+b
Luyenthitohoang.com
Trung tâm luyện thi Tô Hoàng Luyenthitohoangcom
6
Ví dụ 1) Tìm m để hàm số
3 2 2
( ) 3f x x x m x m    có CĐ và CT đối xứng nhau qua
 
1 5
:
2 2
y x 
.

=0 có 2 nghiệm p h â n b i ệt x
1
, x
2
và hàm số f
(x)
đạt cực trị t ại x
1
, x
2
.
Do


 
1
2
0
0
f x
f x

 






nên

có phương trình
 
 
2
2
2
: 3
3 3
m
d y m x m   

Các đi ểm c ực trị




1 1 2 2
; , ;A x y B x y
đ ố i x ứng nhau qua
  
1 5
:
2 2
y x d     
và trung
đi ểm I của AB phải t h u ộc (d)
 
 
2
2


Ví dụ 2 ) Cho hàm số


3 2
3 2
m
y x x mx C   

Tìm m để hàm số(C
m
) có cực đại và c ực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số
cách đều đường thẳng
: 1 0d x y  

Giải:
Ta có
2 2
' 3 6 ; ' 0 3 6 0y x x m y x x m        (1)
Hàm số (C
m
) có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
3m 

Giả sử




1 1 2 2

m m
y x d
 
   
 
 
. Do đó các điểm A,B cách đều đường thẳng (d) trong 2
trường hợp sau:
TH1: (d’) cùng phương với (d)
9
2 1 1
3 2
m

m

    
 
 
(không thỏa mãn)
TH2: Trung điểm I của AB nằm trên (d). Do I là trung điểm của AB nên tọa độ I là:
Luyenthitohoang.com
Trung tâm luyện thi Tô Hoàng Luyenthitohoangcom
7
1 2
1 2
1
2
2
x x

3
f x x mx x m    
có khoảng cách giữa các điểm CĐ,
CT là nhỏ nhất.
Giải: D o


2
2 1 0f x x mx

   
có
2
1 0m

   
nên f’
(x)
=0 có 2 nghiệm phân b i ệt x
1
, x
2
và
h à m s ố đạt cực trị t ại x
1
, x
2
với c á c đi ểm c ực trị là .










nên
 
 
2
1 1 1
2
2 2 2
2 2
( ) 1 1
3 3
2 2
( ) 1 1
3 3
y f x m x m
y f x m x m
 
 
    
 

  



4
4 1 1
9
4 4 2 13
4 4 1 1 4 1
9 9 3
x x x x m
m m AB
 
 
    
 
 
 
   
 
       
 
   
   
Min AB=
2 13
3
xảy r a

m =0
9) Tìm điều kiện để hoành độ điểm cực đại cực tiểu thoả mã n m ột hệ thức cho trước
+ Đi ều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Phân tích hệ rhức để áp dụng định lý viét(
1 2

0 0 1m m m m

       

v ới điều kiện này thì f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x
1,
x
2
và hàm số đạt cực trị t ại x
1
, x
2
với
x
1
+x
2
=2m và x
1
x
2
=m.
Ta có BPT:
2
1 2 1 2
8 64x x x x    



2

2
1
(I
đến đường thẳng nối
điểm cực đại và cực tiểu là lớn nhất
Giải: Ta có mxxy  63'
2
. Hàm số có cực đại cực tiểu khi y’=0 có 2 nghiệm phân biệt
30'  m
(0,25 điểm)
- Chia đa thức y cho y’ ta có
1
3
)2
3
2
()
3
1
3
(' 
m
x
mx
yy
. Lập luận suy ra đường thẳng đi
qua cực đại cực tiểu là


1


Đẳng thức xảy ra khi
IA
(0,25 điểm)
- Suy ra
3
41
2
3
2

k
m
1 m
(0,25 điểm)
Ví dụ 3) Cho hàm số
3 2 2 3
3 3 ( 1 ) 4 1y x mx m x m m       (C)
Tìm m để hàm số có hai cực trị là A, B cùng với gốc O tạo thành tam giác vuông tại O
Giải:Điều kiện để hàm số có 2 cực trị là y’=0 có hai nghiệm phân biệt:
2 2
1
' 3 6 3 ( 1 ) ' 9 0
1
x m
y x mx m
x m
 

        

Trung tâm luyện thi Tô Hoàng Luyenthitohoangcom
9
Ví dụ 4) Tìm các giá trị của m để hàm số


3 2 2
1 1
. 3
3
y x m x m x
2
   
có cự c đ ạ i
1
x
, cực
tiểu
2
x
đồng thời
1 2
;
x x
là độ dài các cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông có độ dài cạnh
huyền bằng
5
2
.
Giải:
Cách 1: Miền xác định:





        
  
  

   
 



(*)
Theo Viet ta có:
1 2
2
1 2
3
x x m
x x m
 



 


. Mà
 

*) Các câu hỏi t h ườn g g ặp trong phần này là:
1) Tìm đi ều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân, hoặc đều
+ Tìm đi ều kiện để y’=0 có 3 nghiệm p h â n b i ệt
+ Tính toạ đ ộ 3 đi ểm c ực đại cực tiểu A, B,C. Lập luận c h ỉ ra tam giác ABC luôn cân tại A . T í n h
các véc tơ:
, ,
    

AB AC BC
+ Tam giác ABC vuông cân
. 0 AB AC 
       

+ Tam giác ABC đều
AB BC

2) Tìm đi ều kiện để hàm số có 3 đi ểm c ực đại cực tiểu tạo thành tam giác có diện tích cho trước
+ Tìm đi ều kiện để y’=0 có 3 nghiệm p h â n b i ệt
+ Tính toạ đ ộ 3 đi ểm c ực đại cực tiểu A, B,C. Lập luận c h ỉ ra tam giác ABC luôn cân tại A .
Tính các véc tơ:
, ,AB AC BC
    

Luyenthitohoang.com
Trung tâm luyện thi Tô Hoàng Luyenthitohoangcom
10
+ Kẻ đường cao AH.
+
1
.

4 2
1
4
2
4 2
3
; 2
0 0 ; 2
; 2
x m B m m m m
x A m m
x m C m m m m

     


   


   


Suy ra BBT của hàm số y=f(x)

A B C đều
2 2
2 2
0
0
m

m m m m m
m m
m m m






     
 
 



 

Ví dụ 2) Cho hàm số
4 2 2
2 2 4y x mx m   
, m là tham số thực. Xác định m để hàm số có
3 cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1.
Giải: Mxđ:
D R
. Có
3
' 4 4y x mx 

3 2
' 0 4 4 0 0y x mx x x m       



4 2 2
2 1 1.y x m x m    
Tìm m để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị
và ba điểm cực trị này tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất.
Giải:


3 2 2 2
' 4 4 1 0 0, 1y x x m x x m       

h à m s ố có 3 cực trị
1 1m   
. Khi đó tọa độ điểm cực đại là


0 ; 1A m
, tọa độ hai điểm
cực tiểu là




2 2 2 2
1 ; 1 , 1 ; 1B m m C m m    

diện tích tam giác ABC là
 
 

 

Giải: C ó


3
' 4 4 0 0 ; 0y x mx x x m m       
. Vậy các điểm thuộc đường tròn (P)
n g o ại tiếp các điểm cực trị là
 
   
2 2
3 9
0 ; 2 , ; 2 , ; 2 , ;
5 5
A B m m C m m D
 
    
 
 
.
Gọi


;I x y
là tâm đường tròn (P)
 
 
 
2 2

Vậy
1m 
là giá trị cần tì m.
Phần hai: Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến và các đường tiệm cận
*) Xét hàm số
( )y f x
.Giả sử
0 0
( ; )M x y là tiếp đi ểm k h i đó tiếp tuyến t ại M có dạng
0 0 0
' ( )( )y f x x x y   (1) ( Chú ý rằng trong trường hợp tổng quát ta thường biểu diễn
0
y theo
dạng
0
( )f x )
Ví dụ: Xét đi ểm M b ất kỳ t h u ộc đ ồ thị hàm số
2 1
1
x
y
x



khi đ ó đi ểm M c ó t o ạ đ ộ là
0
0
0
2 1



Khi đó số nghiệm của hệ cũng chính là số tiếp tuyến kẻ được từ đi ểm M đến đồ thị hàm số
y=f(x)
*) Mọi bài toán viết phương trì n h t i ếp tuyến đều quy về việc tìm tiếp đi ểm sau đó viết phương
trình theo (1)
*) Các dạng câu hỏi t h ường gặp trong phần này là
1) Viết phương trình tiếp tuyến biết t i ếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b:
+ Xét hàm số y=f(x). Gọi
0 0
( ; )M x y là tiếp đi ểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng
0 0 0
' ( )( )y f x x x y   (1). Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là
0
' ( )k f x
+ Tiếp tuy ến song song với đường thẳng y=ax+b nên
0
' ( )k f x a  . Giải phương trình tìm
0
x
sau đó viết phương trì n h t i ếp tuyến theo (1)
Luyenthitohoang.com
Trung tâm luyện thi Tô Hoàng Luyenthitohoangcom
12
Chú ý: Điều kiện cần để tiếp tuyến tại A song song với tiếp tuyến tại B là
' ( ) ' ( )
A B
A B
f x f x
x x

1
x
y
x
x x x

 

 

Vì tiếp tuyến cách đều 2 điểm A,B nên tiếp tuyến đi qua trung điểm I của AB hoặc song song với
A B h o ặc trùng với AB.
Nếu tiếp tuyến đi qua trung điểm I(-1;1) của AB thì ta có:
 
 
0
0 0
2
0
0
2
1
1 1 1
1
1
x
x x
x
x
     


 
 


Với
0
0x  ta có PTTT là
1y x 
; v ới
0
2x   ta có PTTT là
5y x 

Vậy có 3 PTTT thỏa mãn
1 5
; 1 ; 5
4
y x y x y x
4
     

Ví dụ 2) Cho hàm số
1
2
x
y
x
 


2 4
a b
f a f b
a b
a b
a b
a b
a b
ab a b
 





  




 
   
 
 
   
 
 
  
   
 



 

t ừ đó tì m được A,B
Ví dụ 3 ) Cho hàm số
2
(3 1 )
y
m x m m
x m

  

(Cm)
Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm) với trục Ox song song với đường thẳng
(d):
1y x 

Giải :
Ta có
2
2
4
'
( )
m
y
x m



      
 
 


 
 
 

Khi m=1. Phương trì n h t i ếp tuyến là
1y x 
(loại) vì t i ếp tuyến trùng với đường thẳng (d)
Khi
1
5
m  
. Phương trì n h t iếp tuyến là :
3
5
y x 
(TMĐK)
KL :
1
m  

5
Qua ví dụ này các em học sinh cần lưu ý : K i ểm tra điều kiện đủ khi tìm ra giá trị tham số,
Đây là sai lầm hay mắc phải của học sinh khi giải toán.
Ví dụ 4) Cho hàm số

x k


   
  
 

 
 



 

2 2
2 2 2 2 2 2
3 3 3
3 3 3 3
k x k k
y x x y x
x k x k
 
   
        
    
 
   
 
 
   

y x x
y x x
A B
x
x


  
  
 
  
 
 
 



Ví dụ 5 ) Cho hàm số




3 2
1 1 1y x m x m x     
(1)
Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt Ox ở 3 điểm phân biệt A(1;0), B, C sao cho các
tiếp tuyến tại B,C song song nhau.
Giải:
Xét phương trì n h





' '
B C
y x y x 











 
2 2
3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 0
2 1
2
3
B B C C B C B C
B C
x m x m x m x m x x x x m
m
x x m m
 
               

 
. Giả sử






1 1 2 2 1 2
; , ;
m
M x y N x y C x x 
. Tiếp tuyến tại M và N song
song
   
1 2 1 2
2 2
1 2
3 3
1 1 2 2
1 1
x m x m x x m
x m x m
 
            
   
(1)
Ta thu được



  
. Giải phương trình tìm
0
x
sau đó viết phương trì n h t iếp tuyến theo (1)
+ Chú ý : Điều kiện cần để tiếp tuyến tại A vuông góc với tiếp tuyến tại B là:
' ( ) . ' ( ) 1
A B
A B
f x f x
x x
 




Ví dụ 1) Cho C(m):
3 2
( ) 3 1y f x x x mx    
a) Tìm m để C(m) cắt đường thẳng y=1 tại 3 điểm phân biệt C(0;1), D, E.
b) Tìm m để các tiếp tuyến với C(m) tại D và E vuông góc với nhau.
Luyenthitohoang.com
Trung tâm luyện thi Tô Hoàng Luyenthitohoangcom
15
Giải: a) Xét




1Cm y 

m
g m
m

   



    
 
 




(*)
b ) Đạo hàm:
2
( ) 3 6y x x x m

   .
Với đi ều kiện
9
0
4
m 
thì các tiếp tuyến t ại D và E vuông góc với nhau.




   
         

2
9 65
4 9 1 0
8
m m m

     
t hoả mãn điều kiện ( * )
Cho hàm số
   
3 2
2 5
1 3 2
3 3
y x m x m x      
có đồ thị (C
m
), m là tham số.
Ví dụ 2) Tìm m để trên (C
m
) có 2 điểm phân biệt




1 1 1 2 2 2
; , ;M x y M x y

phương trình (1) có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
.
x x
>0
   
2
3
' 1 2 3 1 0
1
3 1
1
0
3
2
m
m m
m
m

 

     
 
 
 

3 3
x x
x kx x x k       
2
0
( ) 6 3 0
x
g x x x k




   

. Điều kiện là phương
Luyenthitohoang.com
Trung tâm luyện thi Tô Hoàng Luyenthitohoangcom
16
trình
2
( ) 6 3 0g x x x k   
có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
' 0 9 3 0 3
(0) 3 0 (0) 3 0 0
k k
g k g k k
     
  
  
  


 

Thay vào ta có:
2 2
4 15
9 72 48 1 0 9 24 1 0
3
k k k k k k
 
         

K ết hợp điều kiện suy ra
4 15
3
k
 


3) Viết phương trình tiếp tuyến biết t i ếp tuyến đi qua ( ; )
M M
M x y
+ Gọi k là hệ số góc của đường thẳng

đi qua M . Phương trì n h c ủa

là ( )
M M
y k x x y  
+ Đi ều kiện để

;4
12
A
 
 
 
với h ệ số góc k có phương trình
19
4
12
y k x
 
  
 
 
t iếp xúc
v ới


: ( )C y f x 
19
( ) 4
12
( )
f x k x
f x k

 
  


2 2
2
3 3
3
19 17
1 2 1 6 1 1 4 1 0
12 2
19
1 : 4 4
12
19
2 : 4 12 15
12
1 19 21 19
: 4 4
8 12 32 12
x x x x x x x x
x t y y x y
x t y y x y x
x t y y x y x
   
          
   
   

 

      
 


' ( )( )y f x x x y   (1). Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là
0
' ( )k f x
+ Tiếp tuyến tạo với t r ục Ox một góc


0
0
0
' ( ) tan
' ( ) tan
' ( ) tan
f x
f x
f x





  

 

Giải t ì m
0
x
sau
đó viết phương trì n h t i ếp tuyến theo (1).
Ví dụ 1) Cho (C):

của phương trì n h
 
1 1
2
2 2
0 2
1
( ) 1 1
2 4
1
x y
y x
x y
x
  



     

  


Phương trì n h t i ếp tuyến t ại x
1
=0 là y=-1(x-0)+2=-x+2
Phương trì n h t i ếp tuyến t ại x
2
=2 là y=-1(x-2)+4=-x+6.
Ví dụ 2 ) Cho hàm số

y x  
và
5
2
y x  

5) Viết phương trình tiếp tuyến biết t i ếp tuyến tạo v ới đường thẳng y=ax+b một góc


+ Xét hàm số y=f(x). Gọi
0 0
( ; )M x y là tiếp đi ểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng
0 0 0
' ( )( )y f x x x y   (1). Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là
0
' ( )k f x
+ Tiếp tuyến t ạ o với đường thẳng y=ax+b một góc


tan
1
tan
1
tan
1
k a
k a
ka
k a
ka

x



. Viết phương trình tiếp tuyến tạo với


:
y=3x góc 45
0
.
Giải: Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k, khi đó do tiếp tuyến t ạ o với



:y=3x góc 45
0
nên
Luyenthitohoang.com
Trung tâm luyện thi Tô Hoàng Luyenthitohoangcom
18
0
2
3 1 3
3
45 1
1
3 1 3
1 .3
2


hay 4x-3=(-2x+m)(x-1) có nghiệm k é p
     
2
2
2
2 2 3 0 2 8 3 0
12 28 0 6 2 2
x m x mm m
m m m
            
        
* Với k =
1
2

xét đường thẳng
1
2
y x m

 
tiếp xúc (C)
4 3 1
1 2
x
x m
x
 
  

và t iếp tuyến không đi qua gốc toạ đ ộ
+ Viết phương trì n h t i ếp tuyến theo dạng (4). Sau đó chỉ c h ọn n h ững tiếp tuyến không đi qua gốc
toạ đ ộ
+ Nếu yêu cầu là tiếp tuyến c ắt Ox, Oy tạ o thành tam giác có diện tích cho trước thì ta tìm các
giao đi ểm A,B sau đó ta tính diện tích tam giác vuông OAB theo công thức
1
.
2
OAB
S O A O B


Ví dụ 1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
2
x
y
x


biết tiếp tuyến cắt
,Ox Oy
lần lượt tại A,B mà tam giác OAB thỏa mãn:
2AB OA
.
Giải:
Cách 1: G ọi




y x

h o ặc
y x 

+TH1: d vuông góc với đường phân giác
y x
có:
 
0 0
2
0
4
1 0 4
2
x x
x

     

Luyenthitohoang.com
Trung tâm luyện thi Tô Hoàng Luyenthitohoangcom
19
Với
0
0 :
x d y x
    (loại)
Với
0

nên tam
giác AOB vuông cân tại O. PTTT của (C) tại


0 0
;M x y
có dạng:
 
 
0
0
2
0
0
2
4
2
2
x
y x x
x
x
   


. Dễ dàng tính được
2
0
;0
2

 
 
2
0
2
3
0
0 0
2
0
2
4 0
2
2
x
x
x x
x
   

Với
0
0x  ta có PTTT là:
0y x 

Với
0
4x  thì PTTT là:
4y x  



Diện tích tam giác OAB là
1
1 1 11 1
. . . 2 1
3
2 2 33 6 18
m
S OAOB m
m
m
 


      

 


7) Viết phương trình tiếp tuyến biết t i ếp tuyến b i ế t tiếp tuyến cắt 2 đường t i ệ m cận t ạo thành
một tam giác có diện tích cho trước hoặc tạo thành một góc cho trước.
+ Xét hàm số y=f(x). Gọi
0 0
( ; )M x y là tiếp đi ểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng
0 0 0
' ( )( ) ( )y f x x x f x   .
+ Tìm các giao đi ểm của tiếp tuyến v ới c á c đường tiệm cận s a u đó căn c ứ vào đi ều kiện để giải
quyết
+ Nếu yêu cầu là tiếp tuyến cắt 2 tiệm c ận ngang và tiệm c ận đứng tại A, B mà tam giác IAB
vuông cân ( Với I là giao đi ểm 2 tiệm c ận) thì ta quy về việc viết phương trì n h t i ếp tuyến biết

Giải: Dễ thấy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là đường thẳng
x m

và đường
tiệm cận ngang là
2y m
. Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là:


,2I m m

Gọi
0
0
0
2 3
;
mx
M x
x m
 

 

 
(với
0
x m

) là điểm bất kỳ thuộc đồ thị hàm số đã cho.

 
 
 
 

 
và cắt tiệm cận ngang tại


0
2 ;2B x m m
. Ta có
2
2
0
0 0
0 0
2 2 6 4 6
2 ; 2 2
mx m m
IA m IB x m m x m
x m x m
  
       
 
Nên diện tích tam giác IAB là
2
1
. 4 6
2


0 0
;M x y
là:
 
 
0
0
2
0
0
1
1
1
x x
x
y
x
x
 
 



Khi
0 0
0 0
1 1
1 1 ;
1 1

 
 
2
2
0 0
0 0
0 0
2 4
0 0 0
0
2
2
0 0
1 1
1 2 2 2 2 1 2 2 2
1 1
2 2 1 1 4 2 2 2 1
1 0
2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 0
ABC
x x
P IA IB AB x x
x x
x x x
x L
x x
 
 
            
 

 
2
1
:
1
1
a
M y x a
a
a

  


Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận đứng là
1
1 ;
1
a
A
a

 
 

 

Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang là



; 4y x y x    
là 2 tiếp tuyến cần tì m .
Ví dụ 3) Cho hàm số
 
3 2
1
x
y C
x



. Gọi I là giao của 2 đường tiệm cận của đồ thị. Viết
PTTT d của đồ thị hàm số biết d cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B
thỏa mãn:
5
ˆ
cos
26
BAI 

Giải: Xét điểm




0 0 0
; , 1M x y x C  
là tiếp điểm của tiếp tuyến d.
PTTT tại d có dạng:

ˆ ˆ
ˆ
tan 1 tan tan 5
ˆ
25 5
cos
B A I B A I ABI
B A I
      
Lại có
ˆ
tan A B I
là hệ số góc của tiếp tuyến d mà
 
 
0
2
0
5
' 0
2
y x
x
 

nên
 
 
2
0 0 0

có đồ thị là


C
.
Gọi
I
l à giao điểm của hai đường tiệm cận của


C
.Tìm trên đồ thị


C
điểm
M
có hoành
độ dương sao cho tiếp tuyến tại
M
với đồ thị


C
cắt hai đường tiệm cận tại
A
và
B
thoả
m ã n :

 

 

 




0
, 0C x 

Phương trì n h t i ếp tuyến với


C
tại
 
 
 
0
0
2
0
0
2 1
3
: :
1
1

 
 
   
2
4 2
0
2
2 2
0 0
0
0
0
36
4 1 40
1 10 1 9 0
1
40
0
0
x
x x
x
IA IB
x
x

  

    
 

          
. Vì diện t í c h
tam giác IAB không đổi suy ra IA.IB không đổi. Từ đó ta có Chu vi tam giác IAB min khi
IA=IB. Giải đi ều kiện tìm M sau đó viết phương trì n h t iếp tuyến
Ví dụ 1 ) Cho hàm số
2
1
x
y
x



. Viết PTTT của đồ thị biết tiếp tuyến cắt 2 tiệm cận tại A,B
sao cho bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất. với I là giao 2 tiệm cận.
Giải: Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng
1x  
và tiệm cận ngang là đường
thẳng
1y 
. Giao điểm hai đường tiệm cận


1 ; 1I 
. Giả sử tiếp tuyến cần lập tiếp xúc với đồ thị
tại điểm có hoành độ
0
x
, PTTT có dang:
 



 

 
và cắt tiệm cận đứng tại điểm
Luyenthitohoang.com
Trung tâm luyện thi Tô Hoàng Luyenthitohoangcom
23


0
2 1 ; 1B x 
. Ta có:
 
0
0 0
0 0
5
6
1 ; 2 1 1 2 1
1 1
x
IA I B x x
x x

        
 
Nên
0



1
: 2 1 3d y x  

Với 1 3x    ta có tiếp tuy ến


2
: 2 1 3d y x  

Ví dụ 2 ) Cho Hypebol (C):
2 1
1
x
y
x



và điểm M bất kỳ thuộc (C). Gọi I là giao điểm của
tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B.
a) CMR: M là trung điểm của AB
b) CMR: dt


onstIAB c

c) Tìm M để chu vi


,
y (m) (x-m) + y(m)
2
1 1
( ) : ( ) 2
( 1 ) 1
t y x m
m m

    
 
* (t)

(TCĐ: x =1) = A
2
1 , 2
1m
 

 

 
; ( t )

(TCN: y = 2) = B(2m – 1, 2)
Ta có :
2
A B
M
x x

Trung tâm luyện thi Tô Hoàng Luyenthitohoangcom
24
Dấu bằng xảy r a

IA = IB = 2
1 1m   
1
2
0 (0, 1 )
2 (2,3)
m M
m M
  


 

9) Tìm điều k iện để qua điể m


;
M M
M x y
cho trước kẻ được n tiếp tuyến đến đồ t h ị y=f(x)
+ Xét đường thẳng

có hệ số góc k đi qua đi ểm M
( ) :PT 
( )
M M

Oy kẻ được 3 tiếp
tuyến đến đồ thị (C).
Giải: L ấy b ất kỳ A ( 0 ; a )

(C). Đường thẳng đi qua A(0;a) với h ệ số góc k có phương trì n h
y=kx+a tiếp xúc với đồ thị (C)
( )
( )
f x kx a
f x k
 






có nghiệm ( *)
 Đi ều kiện c ần: Để ý rằng
( ) ( ) ( )f x f x x R f x    
là hàm chẵn

đồ thị (C)
nhận Oy làm trục đ ố i x ứng. Do A(0;a)

trục đối xứng Oy nên nếu từ A(0;a) kẻ được bao nhiêu
tiếp tuyến đến nhánh bên trái của (C) thì cũng kẻ được bấy nhiêu tiếp tuyến d ến nhánh bên phải
của (C). Suy ra tổng số các tiếp tuyến có hệ số góc k

0 luôn là 1 số chẵn. Vậy d ể từ A(0;a) kẻ


 
 
4 2 3
4 2
3
3
2 2
2
2
4 2
1 1
4 2
4 2
0 ; 0
0 ; 0
3 1 0
1 2
;
1 2
;
3 3 3
2 1
3 3
1 2
;
3 3 3
x x x x x
x x kx
x x k




    



 
 






 


Vậy t ừ A(0;1) kẻ được 3 tiếp tuyến đến ( C )
Luyenthitohoang.com
Trung tâm luyện thi Tô Hoàng Luyenthitohoangcom
25
Nếu
3
4
a 
thì (*)
 
   
4 2 4 2 3


   

  
  
  
  
   


 
Vậy t ừ
3
0 ;
4
A
 
 
 
chỉ k ẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C).
K ết luận: Từ các đi ều kiện c ần v à đủ

Đáp số: A(0;1)
Ví dụ 2) Tìm trên đường thẳng y=2x+1 các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến
(C):
3
1
x
y
x




2
1 2 2 4 0kx a k a x ak a
   
       
   
có nghiệm k é p
0k 
v à
   
2
1 2 4 2 4 0a k a k ak a
   
       
   

0k 
v à
 


2
2 2 2
( ) 1 . 4 4 . 4 0g k a k a a k a      
Qua A(a;2a+1) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)
( ) 0 g k 
có đúng 1 nghiệm kép k
0

v ậy có 4 đi ểm








1 2 3 4
1 ; 1 , 0 ; 1 , 1 ; 3 , 2 ; 5A A A A 
n ằm trên dường thẳng y=2x+1 và kẻ được
đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Ví dụ 3) Cho hàm số
3 2
2 ( 1 ) 2y x x m x m     (Cm)
Tìm m để từ điểm M(1;2) kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (Cm)
Giải:
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ta có phương trì n h t i ếp tuyến là(d) :
( 1 ) 2y k x  
. Vì (d) là
tiếp tuyến nên hệ phương trình sau có nghiệm
3 2
2
( 1 ) 2 2 ( 1 ) 2
3 4 ( 1 )
y k x x x m x m
k x x m

       

 
2 109
1 ; 4 3 , ; 3
3 27
A m B m
 
 
 
 
. Ta thấy phương trình (*) có đúng hai nghiệm phân biệt khi một
trong hai điểm cực trị nằm trên trục hoành. Từ đó tìm được
4
3
m 
hoặc
109
81
m 

Ví dụ 4 ) Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) .
3
3 2y x x   

Giải: Lấy bất kỳ A(a;0)

Ox. Đường thẳng đi qua A(a;0) với hệ số góc k có phương trì n h
y=a(x-a) tiếp xúc với (C):y=f(x)

Hệ phương trì n h


         
 
Từ điểm A(a;0) kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)

g(x)=0 có 2 nghiệm p h â n b i ệt và khác (-1)
  
 
2
3 2 3 6 0
2
1
( 1 ) 6 1 0
3
a
a a
a
g a



    
 
 
 
  
   





+ Đi ều kiện để hàm số y=f(x) tiếp xúc với đồ thị y=g(x) là hệ phương trình sau có nghiệm
( ) ( )
' ( ) ' ( )
f x g x
f x g x





+ Đi ều kiện để hàm số y=f(x) tiếp xúc với t r ục Ox là hệ sau có nghiệm
( ) 0
' ( ) 0
f x
f x





Luyenthitohoang.com
Trung tâm luyện thi Tô Hoàng Luyenthitohoangcom