SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ CẦN THƠ
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2008-2009
Khóa ngày 03/4/2009
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (3 điểm)
1. Tìm số tự nhiên n để A = n
2
+ n + 28 là một số chính phương.
2. Chứng minh rằng các số tự nhiên dạng
abcdabcd
(a ≠ 0) đồng thời chia hết cho
73 và 137.
Câu 2 (2 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B 2008 3 2009 3x x= − + +
.
Câu 3 (3 điểm)
Cho biểu thức
1 1 7 2 1
C : 1
4 1
2 1 2 1 2 1
x x x
x
x x x
   
− −
= − + −

) qua gốc tọa độ O.
2. Tứ giác xác định bởi 4 đường thẳng (d
1
), (d
2
), (d
3
) và (d
4
) là hình gì? Tại sao? Xác
định giá trị của m để tứ giác này là hình vuông.
Câu 5 (3 điểm)
Cho phương trình x
2
– 2(m + 1)x + 5 – m = 0 với m là tham số.
1. Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt.
2. Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm là độ dài các cạnh góc vuông
của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng
30
.
Câu 6 (6 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại C và D là một điểm tùy ý trên cạnh AC (D khác
A và khác C). Gọi (O
1
), (O
2
) lần lượt là các đường tròn có tâm O
1
, O
2

abcdabcd
(a ≠ 0) đồng thời chia
hết cho 73 và 137.
1) A là số chính phương
⇒
n
2
+ n + 28 = k
2
(k
∈
N , n
∈
N)
⇔
4n
2
+ 4n + 112 = 4k
2
⇔
(2k – 2n – 1)( 2k + 2n + 1) = 111 = 1.111 hoặc 3.37 (0,5 đ )
Vì 2k + 2n + 1 > 2k – 2n – 1 nên được :

2 2 1 1
2 2 1 111
k n
k n
− − =





+ =

⇔

28
27
k
n
=


=

hoặc
10
8
k
n
=


=

(1 đ )
Vậy n = 27 hoặc n = 8
2)
abcdabcd
= 10000

3
Vậy minB =
4017
khi x =
2009
3
−
hoặc x =
2008
3
(1đ )
* Theo Bunhia ta có :
( )
( ) ( )
2
1. 2008 3 1. 2009 3 1 1 2008 3 2009 3x x x x− + + ≤ + − + +
⇔
B
2
2.4017 8034≤ =
⇔
0 < B
8034≤
, dấu “=” khi 2008 – 3x = 2009 + 3x
Vậy maxB =
8034
khi x =
1
6
−

4
(0,25 đ )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
1 2 1 2 1 7 2 1 2 1
:
2 1
2 1 2 1
x x x x x x
C
x
x x
− + − − + + − −
=
+
− +
=
( ) ( )
2 2 1 2 1 7 2 1
.
2
2 1 2 1
x x x x x x
x x
+ − − − + + +
− +
( 0,5 đ )
=
2

16
4
9
3
x
x
x
x

=

=


⇔


=
=




( 0,5 đ )
3) C < 2
⇔
2
2 1
x x
x

1
4
( 0,5 đ )
Câu 4 (3 đ) : Cho đường thẳng (d
1
): y = –2mx + 2m (tham số m ≠ 0).
1. Viết phương trình các đường thẳng (d
2
) đối xứng với (d
1
) qua trục Ox, (d
3
)
đối xứng với (d
1
) qua trục Oy và (d
4
) đối xứng với (d
1
) qua gốc tọa độ O.
2. Tứ giác xác định bởi 4 đường thẳng (d
1
), (d
2
), (d
3
) và (d
4
) là hình gì? Tại sao?
Xác định giá trị của m để tứ giác này là hình vuông.

⇒
(d
4
) : y = –2mx – 2m ( 0,5 đ )
2) * Do gốc tọa độ O là tâm đối xứng của tứ giác tạo bởi (d
1
), (d
2
), (d
3
), (d
4
)
và Ox vuông góc với Oy nên tứ giác nói trên là một hình thoi. (0,5 đ )
* Để hình thoi này trở thành hình vuông thì :
(d
1
)
⊥
(d
2
)
⇒
a
1
.a
2
= –1

⇔

P x x m
S x x m

∆ = + − >

⇔ = = − >


= + = + >

( 0,5 đ )
( 1) ( 4)
5
1
m m
m
m
> ∨ < −


⇔ <


> −

1 5m
⇔ < <
( 1 đ )
2) x
1


= −

Chỉ có giá trị m = 2 thỏa mãn (1 đ )
Câu 6 (6 đ) :
Cho tam giác ABC vuông tại C và D là một điểm tùy ý trên cạnh AC (D khác A
và khác C). Gọi (O
1
), (O
2
) lần lượt là các đường tròn có tâm O
1
, O
2
, qua D và tiếp xúc
với AB tại A, B. Gọi E là giao điểm của (O
1
) và (O
2
) (E khác D).
1. Chứng minh đường thẳng DE luôn qua một điểm cố định khi D di chuyển
trên cạnh AC.
2. Chứng minh các góc BAC và DEC bằng nhau.
3. Cho góc ABC bằng 60°. Xác định tỉ số
CD
CA
để đoạn thẳng O
1
O
2

là trung điểm của AB. ( 0,5 đ )
2) * Tam giác ICA cân tại I
⇒

ˆ ˆ
(1)CAB ICA=
( 0,5 đ )
* IC = IB
⇒
IC
2
= IE.ID
IC ID
IE IC
⇔ =
⇒

∆
ICD đồng dạng
∆
IEC
⇒
ˆ
ˆ
(2)IEC ICA=
( 1 đ )
(1) & (2)
⇒

ˆ

(cmt)
⇒
tứ giác IAEC nội tiếp
⇒
ˆ
ˆ
ACE AIE=
= 90
o
⇒
B, C, E thẳng hàng ( 0,5 đ )
Mà
0 0
ˆ ˆ
60 ( ) 60ABC gt ABE= ⇒ =
Nên
∆
EAB đều
⇒
trực tâm D cũng là trọng tâm
⇒

1
3
DC
AC
=
( 1 đ )
( HẾT )
Ghi chú :