July 2010
1
SỨC BỀN
VẬT LIỆU
TrầnMinhTú
Đạihọc xây dựng
®¹i häc
7/18/2010
2
Chương 4
ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
(3)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Chương 4. Đặctrưng hình họccủamặtcắt ngang
4.1. Khái niệm chung
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
4.3. Mô men quán tính mộtsố hình đơngiản
4.4. Công thứcchuyểntrục song song
4.5. Ví dụ
(4)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.1. Khái niệm chung
• Kéo – nén đúng tâm:
ứng suất, biếndạng phụ thuộcvào
diệntíchmặtcắt ngang

ch
thư
thư
ớ
ớ
c
c
,
,
h
h
ì
ì
nh
nh
d
d
ạ
ạ
ng
ng
?
?
(6)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
• Hình phẳng, diệntíchA

hai trục trung tâm => mô
men tĩnh củahìnhphẳng
đốivớitrục đi qua trọ
ng
tâm bằng 0
Cách xác định trọng tâm C
(x
C
, y
C
) củahìnhphẳng:
y
C
S
x
A
=
x
C
S
y
A
=
x
C
y
C
C
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
(8)25

0xCC
AA
SydAydAyA⇒= + =
∫∫
x
C
S
y
A
⇒=
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
y
C
S
x
A
=
x
C
S
y
A
=
Giả sử C(x
C
, y
C
) là trọng tâm mặt cắt ngang
dA(x,y) trong hệ toạ độ xy
x

) trong hệ trục này
• Nếumặtcắt ngang A ghép từ nhiều
hình đơngiảncódiện tích A
i
vớitọa độ
trọng tâm mỗihìnhđơngiảnlà
C
i
( x
Ci
,y
Ci
) trong hệ toạđộban đầu, thì:
1
1
n
Ci i
y
i
C
n
i
i
x
A
S
x
A
A
=

3
x
C1
y
C1
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
(10)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Chú ý
 Chọnhệ trụctoạđộban đầuhợp lý: Nếuhìnhcótrục
đốixứng thì chọntrục đốixứng làm mộttrụccủahệ
trụctọa độ ban đầu, trụccònlại đi qua trọng tâm của
càng nhiềuhìnhđơngiản càng tốt.
 Nếuhìnhbị khoét thì diệntíchbị khoét mang giá trị
âm.
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
(11)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
2. Mô men quán tính củamặt
cắt ngang A đốivớitrụcx, y
• Thứ nguyên củamômen
quán tính là [chiềudài
4
], giá

Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4. Mô men quán tính ly tâm
Thứ nguyên của mô men quán tính
ly tâm là [chiềudài
4
], giá trị của
nó có thể là dương, bằng 0,
hoặcâm.
Hệ trục quántính chính trung tâm của diện tích mặt cắt
ngang: là hệ trục quántính chính, có gốc tọa độ trùng với
trọng tâm mặt cắt ngang.
Hệ trục quántính chính của diện tích mặt cắt ngang: là
hệ trục mà mô men quántính ly tâm của diện tích mặt cắt
ngang đối với nó bằng 0.
()
xy
A
I xydA=
∫
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
(13)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Tính chất:
 Nếumặtcắtcó1 trục đốixứng thì bấtcứ trục nào

n
i
x
yxy
i
I
I
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
(14)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.3. Mô men quán tính mộtsố hình đơngiản
 Hình chữ nhật
 Hình tròn
 Hình tam giác
3
12
x
bh
I =
3
12
y
hb
I =
44
4
0,1

h
x
(15)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.4. Công thứcchuyểntrục song song
 Mặtcắt ngang ngang A trong
hệ trụcban đầuOxycó các
đặctrưng hình họcmặtcắt
ngang là S
x
, S
y
, I
x
, I
y
, I
xy
.
 Hệ trụcmớiO'uvcó O'u//Ox,
O'v//Oy và:
 Các đặctrưng hình họcmặt
cắt ngang A trong hệ trụcO'uv
là:
uxb=+
vya
=

uv xy y x
I
I aS bS abA
=
+++
(16)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.4. Công thứcchuyểntrục song song
NếuO điqua trọng tâm C:
2
ux
IIaA=+
2
vy
IIbA=+
uv xy
I
I abA
=
+
C
C
(17)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
uxcos ysin
vxsin ycos
θ
θ
θ
θ
=+
=− +
-Các đặc trưng hình học
mặt cắt ngang trong hệ trục
mới O'uv là
S
u
, S
v
, I
u
, I
v
, I
uv
xy xy
uxy
xy xy
vxy
xy
uv xy
II II

4.5. Công thứcxoaytrục
-Hệtrụcquántính chính có I
uv
=0 => Vị
trí của hệ trục quántính chính xácđịnh
bởi góc
q
0
:
x
y
yx
I
tan
I
I
θ
=−
−
0
2
2
-Cácmômen quántính đối với hệ trục
quántính chính :
- Tương quan giữa
I
u
, I
uv
và

+−
⎛⎞
=± +
⎜⎟
⎝⎠
(20)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.6. Bài tập–Vídụ 4.6.1
Ví d
ụ
4.6.1. Cho mặtcắt ngang có
hình dạng và kích thướcnhư hình
vẽ.Xác định các mô men quán tính
chính trung tâm củamặtcắt ngang
Gi
ả
i: Chọn hệ trụctoạ độ ban đầu
x
0
y
0
như hình vẽ. Chia mặtcắt ngang
làm hai hình đơngiảnvà
1 2
1
2
x

38
(21)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Ví dụ 4.6.1
1
2
x
0
y
0
()
(
)
()()
-9 4
mm 868 10 m
xxx
x
III bhAa bh Aa
I
=+= + + +
= ×+×+ ×+×
=× = ×
12 3 2 3 2
11
11 1 1 22 2 2
12 12

y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Ví dụ 4.6.2
V
í
dụ 4.6.2.
Cho hình phẳng có hình
dạng và kích thước như hình vẽ. Xác
định các mô men quántính chính trung
tâm
của hình phẳng
Giải:
Chọn hệ trục toạ độ ban đầu x
0
y
0
như hình vẽ. Chia hình phẳng làm hai
hình đơn giản và
1
2
1
2
1
2
+
(23)25
Jul
y
2010

i
[m
2
]
8
1
9
∑
1
2
Ci i
C
i
xA
x
(m)
A
===
∑
∑
6
1
6
Ci i
C
i
yA
y,(m)
A
===

x
y
.
A
I,.,(m)
.
I
,. ,(m)
⇒= +
=+
3
124
1
3
124
14
05 4 633
12
41
05 4 133
12



x
y
.
A
I.,(m)
.

I
II abAabA (m)=+=+ + =−
12 4
11 1 22 2
03
(25)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Ví dụ 4.6.2
4. Các mô men quántính đối với hệ trục quántính chính trung tâm Cuv:
2
24
1
10( )
22
xy
xy xy
II II
I
Im
+−
⎛⎞
=+ +=
⎜⎟
⎝⎠
2
24
2

0
1
00
21
26 34
90 116 34
1
2
C
y
x
1.5m
v
u
α
1