Đại học đà nẵng
Trờng đại học Bách KHOA
khoa s phạm kỹ thuật
ả ã bài giảng
cơ học đại cơng - Mécanique générale
(CƠ Học vật rắn dao động và sóng cơ)
dùng cho sinh viên chơng trình đào tạo kỹ s chất lợng cao

(LƯU HàNH NộI Bộ) Biên soạn :
LÊ CUNG - Khoa s phạm kỹ thuật
đà năng 2006 Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng Chổồng ọn tỏỷp:

MĩT S KHAẽI NIM VAè ậNH LYẽ C BAN
CUA ĩNG HOĩC VAè ĩNG LặC HOĩC H CHT

Đ1. Hồỹp vỏỷn tọỳc - Hồỹp gia tọỳc :
Xeùt hóỷ quy chióỳu (R
2
) chuyóứn õọỹng tổồng õọỳi so vồùi hóỷ quy
chióỳu (R
1
). Goỹi vaỡ
1111
(; , , )
xyz
Oe e e
GGG
2222
(; , , )
xyz
Oe e e
G
GG
laỡ hai hóỷ

vồùi :

2
22
/1
() .
y
xz
R
de
te
dt

=


G
G

Suy ra : 2
2/ 1 2
/1
x
R
Rx
R
de

e
x1
2
22
/1
() .
z
yx
R
de
te
dt

=


G
G

2
2/ 1 2
/1
y
R
Ry
R
de
e
dt


R
Rz
R
de
e
dt

=
ì


G
G
G

Vectồ
õỷc trổng cho chuyóứn õọỹng quay cuớa hóỷ (R
2
) õọỳi vồùi hóỷ (R
1
) vaỡ õổồỹc goỹi laỡ vectồ
quay keùo theo.
2/ 1RR

G
b) Trổồỡng hồỹp (R
2
) chuyóứn õọỹng tởnh tióỳn tổồng õọỳi so vồùi (R
1
) :


;
=

G
2
/1
0
z
R
de
dt

=


G

O
1
z
1
y
1
1
()
R
z
2
x

()
R
R
dOO
vO
õỷc trổng cho chuyóứn õọỹng tởnh tióỳn cuớa hóỷ (R
2
) so vồùi hóỷ (R
1
).
dt

=


JJJJJG
G
b) Trổồỡng hồỹp hóỷ (R
2
) quay tổồng õọỳi xung quanh mọỹt truỷc cọỳ õởnh cuớa hóỷ (R
1
):
Giaớ sổớ hóỷ quy chióỳu (R
2
) quay xung quanh truỷc cọỳ õởnh (O
1
z
1
)
cuớa hóỷ quy chióỳu (R


2
R/R1

G
x
2
Vectồ quay cuớa hóỷ quy chióỳu (R
2
) õọỳi vồùi hóỷ quy chióỳu (R
1
) :

R2/R1 1
.
z
e

=
G

G

)
Trong õoù :

12 12
(, )(,
xx yy
OO OO



Chuyóứn õọỹng quay vồùi vectồ quay

R2/R1
G
coù phổồng chióửu thay õọứi theo thồỡi gian.
2) aỷo haỡm cuớa mọỹt vectồ trong hóỷ (R
1
) vaỡ trong hóỷ (R
2
):
G
Xeùt mọỹt veùctồ
Ut

phuỷ thuọỹc vaỡo thồỡi gian t vaỡ õổồỹc mọ taớ trong cồ sồớ
(,
()
222
,)
xyz
eee
G
GG
cuớa hóỷ (R
2
)
nhổ sau :
22 22 22

ee
dt dt dt dt

=++


e
G
G
GG

aỷo haỡm cuớa
Ut

trong hóỷ (R
1
) :
()
G
2/ 1
/1 /2
RR
RR
dU dU
U
dt dt

=
+ ì


dt

=


J
JJJJG
G
vaỡ chuyóứn õọỹng vồùi
vỏỷn tọỳc
/1
()
R
vM
G
trong hóỷ quy chióỳu (R
1
) :
1
1
1
/
/
()
R
R
dOM
vM
dt


()
R
R
dOO
vO
dt

=


J
JJJJG
G

()
e
vM
G
õổồỹc goỹi laỡ vỏỷn tọỳc theo cuớa õióứm M.

4
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

Váûn täúc theo

ca âiãøm M, tải thåìi âiãøm âang xẹt, chênh l váûn täúc trong hãû (R
1
) ca âiãøm
M* gàõn liãưn våïi hãû (R
2

) våïi gia täúc
/1
()
R
aM
G
.
Âënh l håüp gia täúc :
/1 /2
() () () ()
R
eC
aM a M a M aM=+ +
GGGG
R

Trong âọ :

2/ 1
21 2 2/1 2/1 2
/1
() () (
RR
eR RRRR
R
d
a M aO OM OM
dt
⎛⎞
Ω

aM
=
G
G
R

V :
2/ 1 / 2
()2 ()
CRR
aM vM=Ω ×
G
GG

()
C
aM
G
âỉåüc gi l gia täúc Coriolis ca âiãøm M.
5) Cạc trỉåìng håüp chuøn âäüng âàûc biãût ca (R
2
) âäúi våïi (R
1
):
a) Hãû (R
2
) chuøn âäüng tënh tiãún âäúi våïi hãû (R
1
) :
G


2/1
() ()
eR
vM vO=
GG
Do âọ :2/1
() ()
eR
aM aO=
GG

()0
C
aM=
G

b) Hãû (R
2
) quay quanh mäüt trủc cäú âënh ca (R
1
) :
Gi sỉí hãû quy chiãúu (R
2
) quay xung quanh trủc cäú
âënh (O
1

θ
Ω=
G

G

Trong trỉåìng håüp ny, ta cọ :
2/1
() 0
R
vO =
G
(do O
2
cäú âënh trong R
1
)

1
() .
ez
vM e HM
θ
=×
JJJJG
GG


2/1
() 0

G
1
.
z
aeH
τ
θ
=×
JJJJG
M
G
G

vng gọc våïi
HM (gia täúc tiãúp tuún) v thnh pháưn
2
.
n
aH
θ
=− M
J
JJJG
G

hỉåïng tỉì M vãư H (gia täúc hỉåïng tám). 5
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

∫∫

Våïi : ρ(Μ) l khäúi lỉåüng riãng ca phán täú thãø têch dV ca hãû bao quanh âiãøm M (khäúi lỉåüng ca
phán täú dV:
().dm M dV
ρ
=
).
•
Hãû gi l âäưng nháút nãúu nhỉ khäúi lỉåüng riãng ρ = hàòng säú v khäng phủ thüc vo âiãøm M.
2) Khäúi tám (Quạn tám) :
Xẹt mäüt hãû kên (S) (khäng trao âäøi cháút våïi mäi trỉåìng ngoi bao quanh hãû) gäưm n cháút âiãøm M
i

cọ khäúi lỉåüng m
i
. Gi O l mäüt âiãøm báút k.
Khäúi tám G ca hãû (S) âỉåüc xạc âënh båíi :
JJJJ
JJJ

i
i
mOG m OM=
∑
i
JG
K
våïi :
i

1
v m
2
, khäúi tám chung G ca hãû (S) âỉåüc xạc âënh båíi :
JJJJ JJJJ
12 112
(). . .mmOGmOGmOG+=+

•
Khi mäüt hãû l âäưng nháút v cọ mäüt pháưn tỉí âäúi xỉïng (màût âäúi xỉïng, trủc âäúi xỉïng ), khäúi tám
G ca hãû s nàòm trãn pháưn tỉí âäúi xỉïng ny.
3) Hãû quy chiãúu khäúi tám:
Chuøn âäüng ca hãû cháút (S) âỉåüc nghiãn cỉïu trong hãû quy chiãúu (R).
Hãû quy chiãúu khäúi tám (R*), tỉång ỉïng våïi hãû quy chiãúu (R), l hãû quy chiãúu gàõn liãưn våïi khäúi
tám G ca hãû cháút (S) v chuøn âäüng tënh tiãún âäúi våïi hãû quy chiãúu (R) våïi váûn täúc
/
()
R
vG
.
G

O
z
y

(R)
y
z
x


Chỉïng minh:
Do hãû (R*) chuøn âäüng tënh tiãún trong hãû (R), nãn:
/
() ()
eR
vM vG=
GG
;
aM
;
aM
/
() ()
eR
aG=
GG
()0
C
=
G6
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

Thóỳ maỡ:
//
() () ()
*

1) ọỹng lổồỹng :
a) ởnh nghộa :
Xeùt hóỷ (S) gọửm n chỏỳt õióứm M
i
coù khọỳi lổồỹng m
i
, coù vỏỷn tọỳc
i
v
G
trong hóỷ quy chióỳu (R).
ọỹng lổồỹng

cuớa hóỷ (S) trong hóỷ quy chióỳu (R) : P
G
.
ii
i
Pm=

G
G
v

Cuợng coù thóứ vióỳt:
()
i
iii
ii
dOM d d


ọỹng lổồỹng
*
P
G
cuớa hóỷ (S) trong hóỷ quy chióỳu khọỳi
tỏm (R*) :
*.()*PmvG==
G
0
G

2) Momen õọỹng lổồỹng :
a) ởnh nghộa :
Xeùt mọỹt hóỷ (S) gọửm n chỏỳt õióứm M
i
coù khọỳi lổồỹng m
i
, coù vỏỷn tọỳc
i
v
G
trong hóỷ quy chióỳu (R).
Momen õọỹng lổồỹng
0
L
G
cuớa hóỷ (S) õọỳi vồùi mọỹt õióứm O trong hóỷ quy chióỳu (R) :

0 ii

*
G
L
G
()vG
G

Suy ra, momen õọỹng lổồỹng cuớa hóỷ (S) õọỳi vồùi khọỳi tỏm G trong hóỷ quy chióỳu (R) :
G
L
G
() *
GG
LGGmvGL=ì +
JJJG
GG
G



*
GG
LL=
G
G

3) Mọmen õọỹng lổồỹng khọỳi tỏm:
Momen õọỹng lổồỹng cuớa mọỹt hóỷ (S) trong hóỷ quy chióỳu khọỳi tỏm (R*) khọng phuỷ thuọỹc vaỡo õióứm
tờnh toaùn.


G
GGG
*
G

Bồới vỗ:
(
)
*
*
ii
i
Pmv==

G
G
0
Suy ra:
**
AG
L
L=
G
G

4) Momen õọỹng lổồỹng õọỳi vồùi mọỹt truỷc :
Hỗnh chióỳu cuớa momen õọỹng lổồỹng
0
L
G

G

ii
i
Sm=

G
G
a

Tổồng tổỷ nhổ õọỹng lổồỹng, ta coù:

()SmaG=
G
G
vồùi :
i
i
mm=


Chổùng minh:
()
()
i
iiiG
ii
dv d d
S m m v mv ma G
dt dt dt

D
G
iOi
i
i
D
OM m a=ì

JJJJJG
G
G


Tổồng tổỷ momen õọỹng lổồỹng, cuợng coù õởnh lyù Koenig vóử momen õọỹng lổỷc:
*
()
OG
D
OG ma G D=ì +
JJJG
GG
G

*
G
D
G
: momen õọỹng lổỷc cuớa hóỷ (S) õọỳi vồùi khọỳi tỏm G trong hóỷ quy chióỳu khọỳi tỏm (R*); G laỡ khọỳi
tỏm cuớa hóỷ,
laỡ gia tọỳc cuớa khọỳi tỏm G trong hóỷ quy chióỳu (R).
Giổợa vaỡ

O
D
G
O
L
G
ta coù hóỷ thổùc:
v( ) v( )
O
O
dL
DOm
dt
= ì
G
G
G
G
G8
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

Nóỳu O laỡ mọỹt õióứm cọỳ õởnh trong (R) hay
OG

Thóỳ maỡ:
vaỡ , nón :
0
ii
vvì=
GG
()
ii
i
mv mv G=

GG
0
() ()
O
dL
DvOmvG
dt
= ì
G
G
G
G

Nóỳu O cọỳ õởnh trong R hay
, sọỳ haỷng thổù hai cuớa vóỳ phaới bũng 0, vaỡ:
OG
0
O
dL

2
1
() *
2
KK
EmvGE=+
vồùi :
i
i
mm=


Vồùi :
*
K
E
: ọỹng nng cuớa hóỷ (S) trong hóỷ quy chióỳu khọỳi tỏm (R*).
Chổùng minh:
()
2
2*2**
11 1 1
() ) () 2()
22 2 2
Kiiii k ii
ii i
E
mv m v G v mv G E v G mv== +=++

GG G G G

SF=
G
G


Trong hóỷ quy chióỳu Galileùe (Rg), õaỷo haỡm theo thồỡi gian cuớa tọứng õọỹng lổồỹng cuớa mọỹt hóỷ
chỏỳt kheùp kờn (S) bũng tọứng
cuớa tỏỳt caớ caùc ngoaỷi lổỷc taùc duỷng lón hóỷ :
P
G
ext
F
G
ext
dP
F
dt
=
G
G

Nhổ vỏỷy ta coù:
()
ext
dP
SmaG F
dt
== =
G
G


9
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

•
Trong hãû quy chiãúu Galilẹe (Rg), âảo hm theo thåìi gian ca momen âäüng lỉûåüng
O
L
G
ca mäüt
hãû cháút (S) khẹp kên âäúi våïi âiãøm O cäú âënh trong (Rg) bàòng momen
(
ext
O
MF)
G
G
âäúi våïi âiãøm O
ca täøng
ext
F
G
ca táút c ngoải lỉûc tạc dủng lãn hãû:
(
ext
O
OO
dL
DMF
dt

G
G
. Tỉì âọ suy ra:
()
ext
O
OO
dL
DMF
dt
==
G
G
GG

Ghi chụ:
• Trỉåìng håüp O khäng phi l âiãøm cäú âënh trong (Rg), nhỉng O trng våïi âiãøm G, ta cng cọ:
, do âọ:
v( ) v( ) 0OmG×
GG
=
G
G
dL
D
dt
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠

L=
GG
våïi
G
L
G
: momen âäüng lỉåüng ca hãû (S) âäúi våïi âiãøm G trong hãû quy
chiãúu (Rg),
*
G
L
G
: momen âäüng lỉåüng ca hãû (S) trong hãû quy chiãúu (R*).
Màûc khạc, do (R*) chuøn âäüng tënh tiãún âäúi våïi (Rg), nãn :
*
**
GG
R
gR
dL dL
dt dt
⎛⎞⎛⎞
=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
G
G

Suy ra:
*

)
M
F
∆
G
âäúi våïi trủc
∆

ca täøng
ext
F
G
ca táút c cạc ngoải lỉûc tạc dủng lãn hãû:
()
ext
dL
MF
dt
∆
∆
=
G

•
Tháût váûy, chiãúu âënh l vãư momen âäüng lỉåüng âäúi våïi âiãøm O cäú âënh trãn trủc ca hãû (S):
∆
(
ext
O
O

cọ khäúi lỉåüng m
i
. Gi
i
e
i
F
G
v l ngoải lỉûc v näüi
lỉûc tạc dủng lãn cháút âiãøm thỉï i ca hãû (S).
i
i
F
G
i
v
G
l váûn täúc trong (Rg) ca cháút âiãøm thỉï i. Gi E
K
l
âäüng nàng ca hãû (S) trong (Rg).
Ta cọ :

ie
K
ii ii
ii
dE
F
vF
11
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

Chổồng 1 :
CHUYỉN ĩNG CUA VT RếN

Đ1. Vỏỷt rừn trong cồ hoỹc :
1) Khaùi nióỷm vóử vỏỷt rừn :
Trong cồ hoỹc, vỏỷt rừn laỡ mọỹt vỏỷt thóứ khọng bióỳn daỷng : Khoaớng caùch
giổợa hai õióứm bỏỳt kyỡ cuớa vỏỷt rừn khọng õọứi theo thồỡi gian.

Khaùi nióỷm vỏỷt thóứ khọng bióỳn daỷng chố laỡ mọỹt mọ hỗnh. Vỗ vỏỷy, mọỹt tồỡ giỏỳy
moớng trổồỹt trón mỷt baỡn vaỡ khọng bở bióỳn daỷng vỏựn coù thóứ xem nhổ laỡ mọỹt vỏỷt
rừn. Trong khi õoù mọỹt dỏửm kim loaỷi õỷt trón hai gọỳi tổỷa vaỡ chởu lổỷc
J
G
F
khaù lồùn,
seợ bở bióỳn daỷng khaù nhióửu trong quùa trỗnh chởu lổỷc
trong trổồỡng hồỹp naỡy, khọng thóứ coi dỏửm laỡ vỏỷt rừn.
F
G
gọỳi tổỷ
a
dỏửm kim loaỷi
Hỗnh 1

2) Hóỷ quy chióỳu gừn lióửn vồùi vỏỷt rừn :

x
M
z
S
x
S
C
y = y
S



xs
e
G
Xeùt mọỹt vỏỷt rừn (S) coù daỷng hỗnh vaỡnh troỡn,
tỏm C, chuyóứn õọỹng trong mỷt phúng thúng
õổùng trón mỷt õỏỳt nũm ngang, trong hóỷ quy
chióỳu traùi õỏỳt
(;;;)
x
yz
R
Oe e e
GGG
. ióứm C, tỏm
cuớa vaỡnh troỡn, cuợng coù thóứ xem nhổ laỡ mọỹt
õióứm thuọỹc vỏỷt rừn, mỷc õỏửu taỷi C khọng coù vỏỷt
chỏỳt, bồới vỗ khi vaỡnh troỡn chuyóứn õọỹng, õióứm C
cuợng chuyóứn õọỹng cuỡng vồùi vaỡnh troỡn. Tọứng

Caùc hóỷ toaỷ õọỹ vaỡ laỡ caùc hóỷ toỹa õọỹ De scartes
(; ; ; )
xyx
Oe e e
GGG
(; ; ; )
SSS
xyz
Ce e e
GGG

12
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

• Tuy nhiãn, âãø mä t chuøn âäüng ca váût ràõn (S) trong hãû quy chiãúu (R), chè cáưn biãút nhiãưu
nháút l 6 thäng säú, nhàòm mä t chuøn âäüng ca hãû quy chiãúu (R
S
) gàõn liãưn våïi váût ràõn âäúi våïi
hãû quy chiãúu (R):
+ Ba thäng säú âãø xạc âënh vë trê ca gäúc
ca hãû quy chiãúu (R
S
) âäúi våïi hãû quy chiãúu (R) : ba
ta âäü x
OS
, y
OS
, z
OS
ca âiãøm O

(R). Gi (R
S
) l hãû quy chiãúu gàõn liãưn våïi váût ràõn (S)
v cọ gäúc P, våïi P l mäüt âiãøm cäú âënh trãn (S).
@ Gi
l váûn täúc ca âiãøm M thüc váût ràõn
(S) trong hãû quy chiãúu (R). Ạp dủng âënh l håüp váûn
täúc :

/
()
R
vM
K
//
() () ()
S
Re R
vM v M vM=+
KKK
våïi : : váûn täúc theo ca âiãøm M. ()
e
vM
K

: váûn täúc ca âiãøm M trong hãû quy
chiãúu (R
S
) (Âiãøm M cäú âënh trong hãû quy chiãúu (R
S

y
S
x
Gi
l vẹctå quay tỉïc thåìi ca váût ràõn (S) trong hãû quy chiãúu (R) (vẹctå quay ca hãû quy
chiãúu (R
S
) âäúi våïi hãû quy chiãúu (R))
/
S
RR
Ω
K
⇒
///
() () ()
S
Re R RR
vM v M vP PM==+Ω×
J
JJJK
K
KKK

Viãút gn lải, ta cọ :
() ()vM vP PM=+Ω×
J
JJJK
K
KK

() () ( )
S
SS
RR
e R RR RR
d
a M a P PM PM
dt
Ω
= + × +Ω×Ω×
G
JJJJGJGJJJ
G
G
GG

l gia täúc Coriolis :
()
C
aM
G

13
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng do
//
()2. () 0
S

G
Vióỳt goỹn laỷi, ta coù :
() () ( )
d
aM aP PM PM
dt

= + ì +ì ì
G
J
JJJGJGJJJ
G
G
GG
(2)
Nhổ vỏỷy, khi bióỳt gia tọỳc cuớa mọỹt õióứm P, vectồ quay tổùc thồỡi

K
(coỡn goỹi laỡ vectồ vỏỷn tọỳc goùc tổùc
thồỡi) vaỡ vectồ gia tọỳc goùc tổùc thồỡi
d
dt

G
cuớa vỏỷt rừn (S) trong hóỷ quy chióỳu (R) coù thóứ xaùc õởnh
gia tọỳc cuớa mọỹt õióứm M bỏỳt kyỡ thuọỹc vỏỷt rừn (S) theo bióứu
thổùc (2).
Hỗnh 5
y
z

O
z = z
S
y
()R
Hỗnh 6
x
S
y
S
M

()
S
R

G
z
e
G
z

r
e
G
e

G

r

J
JK
K


Mọựi õióứm M cuớa vỏỷt rừn vaỷch nón mọỹt quyợ õaỷo hỗnh troỡn,
coù truỷc laỡ Oz. Trong hóỷ toỹa õọỹ truỷ, vở trờ cuớa M õổồỹc xaùc
õởnh bũng :
JJJJ

r
OM re ze=+
z
G
GG
(r vaỡ z khọng phuỷ thuọỹc vaỡo t)
@ Vỏỷn tọỳc cuớa õióứm M trong (R) :
/
() ()
R
dOM
v M v O OM OM HM
dt

==+ì=ì=ì


JJJJG
J
JJJK JJJJK JJJJK

; cọỳ õởnh trong R nón
() 0vO=
G

14
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

@ Gia täúc ca âiãøm M trong (R) :
//
/
(( )) ( )
()
RR
R
dvM dr e de
aM r r e
dt dt dt
θθ
θ
θ
θ
θ
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
===+
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
G

(
3
)
⇒
2
/
(( ))
()
r
R
dvM
aM r e r e
dt
θ
θ
θ
⎛⎞
==−+
⎜⎟
⎝⎠
K
J
KJK
G

J


@ Ghi chụ : Gia täúc ca âiãøm M cọ thãø phán thnh hai thnh pháưn : Thnh pháưn
hỉåïng tỉì M vãư H (gi l gia täúc hỉåïng tám) v thnh pháưn

ta xẹt thãm hãû quy chiãúu khäúi tám
*( ; , , )
xyz
R
Ge e e
G
GG

tỉång ỉïng våïi hãû quy chiãúu (R).
()R
y
x
A
O
B
M
G
x
y
θ
(*)R
⊕
z
:
@ Trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R*), thanh truưn
AB quay xung quanh trủc Gz cäú âënh. Gi M l
mäüt âiãøm báút k ca thanh truưn AB, ta cọ :
JJJJ
()* 0vG
=
K
⇒
()* *vM GM=Ω ×
J
JJJK
K
K

Sỉí dủng âënh l håüp váûn täúc, trong hãû quy chiãúu (R), ta cọ :
() () ()*
e
vM v M vM=+
KK K

Hãû quy chiãúu khäúi tám (R*) chuøn âäüng tënh tiãún âäúi våïi hãû quy chiãúu (R)
⇒ () ()
e
vM vG=
KK
⇒ () () *vM vG GM=+Ω×
J
JJJK
K
KK
(1)
@ Màûc khạc, gi
Ω l vectå quay tỉïc thåìi ca thanh truưn AB trong hãû (R), ta cọ :
K

Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

Tỉì (1) v (2), suy ra :
*(
z
te
θ
Ω=Ω= ).
J
JK
KK


Vẹctå quay tỉïc thåìi ca váût ràõn l nhỉ nhau trong hai hãû quy chiãúu (R) v (R*). Måí räüng ra, vẹctå quay
tỉïc thåìi ca váût ràõn l nhỉ nhau trong cạc hãû quy chiãúu chuøn âäüng tënh tiãún tỉång âäúi âäúi våïi nhau.
@ Ghi chụ: Chuøn âäüng ca thanh truưn AB trong hãû quy chiãúu (R) cọ thãø xem nhỉ håüp ca
hai chuøn âäüng:
• Chuøn âäüng tënh tiãún cng våïi khäúi tám G trong hãû quy chiãúu (R).
• Chuøn âäüng quay xung quanh mäüt trủc Gz âi qua khäúi tám G trong hãû quy chiãúu khäúi tám
(R*) (Trủc Gz cäú âënh trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R*)).
b) Vê dủ 2 : Chuøn âäüng ca mäüt bạnh xe :
@ Xẹt mäüt bạnh xe, coi nhỉ mäüt âéa trn, bạn kênh b, tám C, chuøn âäüng trong màût phàóng thàóng
âỉïng trãn màût âáút nàòm ngang cäú âënh trong hãû quy chiãúu (R) (Hçnh 8).
Gi I l âiãøm tiãúp xục ca bạnh xe v màût âáút tải thåìi âiãøm t. Tải chäù tiãúp xục I vo thåìi âiãøm t,
cáưn phán biãût ba âiãøm khạc nhau:
• Âiãøm I
S
ca màût âáút, cäú âënh trong (R).
• Âiãøm I
R

tải t
t
ải t + δ
t

:
()∆
:
Ω
G
y
O
z
x
(R)
x
bb
I = I
R
= I
S
Hçnh 8
J
S
= J
C
C’
∆x

:

S
vI =
K

() ( )vI vC=
KK
, båíi vç I v C ln ln nàòm trãn cng mäüt âỉåìng thàóng âỉïng.

våïi : () ()
R
vI vC CI=+Ω×
JJK
K
KK
Ω
K
l vẹctå quay ca bạnh xe trong (R).
Váûn täúc
âỉåüc gi l váûn täúc trỉåüt ca bạnh xe trãn màût âáút (nhåï ràòng màût âáút l cäú
âënh trong R). Ta tháúy
()
R
vI v=
K
g
K
g
v
K
nàòm theo phỉång tiãúp tuún chung tải I giỉỵa bạnh xe v màût dáút.

OC x e b e=+
J
JJG
G
G
) våïi váûn täúc l .
Cx
vxe=
GG

+ Chuøn âäüng quay xung quanh trủc
Cz
J
JG
âi qua khäúi tám C trong hãû quy chiãúu khäúi tám R* våïi
váûn täúc gọc
, trong âọ ().
z
te
θ
Ω=
JJK
K

θ
l gọc giỉỵa trủc Cx v mäüt bạn kênh CM gàõn cỉïng trãn bạnh
xe.
@ Váûn täúc ca âiãøm I
R
trãn bạnh xe tải thåìi âiãøm t:

Suy ra váûn täúc trỉåüt ca bạnh xe trãn màût âáút :
()( .).
g
Rx
vvI xbe
θ
==+
G
G
K



@ Bạnh xe làn khäng trỉåüt trãn màût âáút khi:
()0
gR
vvI
=
=
K
K
. Thãú m :
(.).
g
x
vxbe
θ
=+
G
G

∆

Khi bạnh xe làn khäng trỉåüt trãn màût âáút thç:
.0xb
θ
+=


⇒
.xb
θ
∆= ∆
⇒
q
SS RR
I
JIJ=

@ Ghi chụ : Chuøn âäüng ca thanh truưn (vê dủ 1) v ca bạnh xe (vê dủ 2) cn âỉåüc gi l
chuøn âäüng song phàóng. Trong chuøn âäüng song phàóng, mäüt âiãøm M báút k ca váût ràõn chuøn
âäüng trong cng mäüt màût phàóng hay trong cạc màût phàóng song song våïi mäüt màût phàóng quy chiãúu
âënh trỉåïc. Chuøn âäüng song phàóng ca mäüt váût ràõn cọ thãø xem l täøng håüp ca hai chuøn
âäüng: Chuøn âäüng tënh tiãún cng våïi khäúi tám G v chuøn âäüng quay xung quanh trủc Gz âi
qua khäúi tám v vng gọc våïi màût phàóng quy chiãúu nọi trãn.
§3. Cạc âải lỉåüng âäüng hc :
1) Trỉåìng håüp váût ràõn chuø
n âäüng quay xung quanh mäüt trủc cäú âënh :
a) Momen âäüng lỉåüng âäúi våïi mäüt âiãøm trãn mäüt trủc :
Xẹt mäüt váût ràõn (S) quay xung quanh mäüt trủc
∆ gàõn cỉïng våïi (S) (trủc ∆ cäú âënh trong hãû quy

.

17
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

Momen âäüng lỉåüng
A
L
G
ca váût ràõn âäúi våïi âiãøm A cäú âënh trãn trủc Oz trong hãû quy chiãúu (R) :

()
()
A
S
L
AM v M dm=×
∫∫∫
JJJJG
G
G

Do M v A l hai âiãøm thüc váût ràõn (S) nãn
(Âiãøm A cäú
âënh trãn trủc Oz :
)
() () .
z
vM vA AM e AM=+Ω×=Ω×
JJJJG JJJJG

∫∫∫
JJJJG JJJJG JJJJG
G
GG

(Ghi chụ :
()(.)(.)
A
BC BCA CAB×× = −
GGGGGG
GG G
)
Gi H l hçnh chiãúu ca M trãn trủc quay
∆, ta cọ :
(.).
zz
A
MAHHM AMeeHM=+ = +
JJJJ JJJ JJJJ JG JG G JJJGJ
y
x
O
z = z
S
(R)
y
S
x
S
()

=Ω −Ω +
⎣⎦
∫∫∫ ∫∫∫
JJJJGJJJJG JJJJG
GG
GGG

22
() ()
.(.).
Az
SS
LAMdmAHeAMeHM
⎡⎤
=Ω −Ω +
⎣⎦
∫∫∫ ∫∫∫
z
dm
J
JJJGJJJJG
GG
GG

22
() () ()
(.)
A z
SSS
L

G
gäưm hai pháưn :
•
2
//
()
.
A
S
.
L
HM dm=Ω
∫∫∫
GG
song song våïi vẹctå quay
.
Ω
G

•
()
.(( .) )
Az
S
L
AM e HM dm
⊥
=−Ω
∫∫∫
JJJJG JJJJG

()
.
AZ A Z
S
L
Le L e HMdm
∆
== =Ω
∫∫∫
GG
GG

L
∆
khäng phủ thüc vo vë trê ca âiãøm A trãn trủc ∆.
• Momen quạn tênh ca váût ràõn (S) âäúi våïi trủc quay ∆ âỉåüc âënh nghéa nhỉ sau :

18
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

2
()
.
S
J
rdm
∆
=
∫∫∫


+ J
∆2

c) Âäüng nàng :
Âäüng nàng ca váût ràõn (S) nọi trãn trong hãû quy chiãúu (R) :
2
()
1
.( ).
2
K
S
EvM=
∫∫∫
dm våïi :
()vM AM=Ω×
J
JJJG
G
G

Suy ra :
()
1
.( ).().
2
K
S
EAMv=Ω×
∫∫∫

G
G
(()).AM v M×Ω
JJJJG
G
G
) båíi vç : ()()(
A
BC BCA CAB
×
=×=×
G
GGGGG
G
GG
) =
⇒
//
11
.
22
KA A
EL L=Ω=
GG
Ω

⇒
2
11


G
**
//
G
GG
LL L
*
⊥
=+
GG G
våïi
: thnh pháưn ca song song våïi
*
//G
L
G
*
G
L
G
Ω
G
;
*
G
L
⊥
G
: thnh pháưn ca
*


våïi :
*
K
E l âäüng nàng ca (S) trong hãû quy chiãúu (R*).
@ Trỉåìng håüp vectå quay
ca váût ràõn (S) ln ln khäng thay âäøi phỉång trong sút quạ
trçnh chuøn âäüng, chàóng hản
Ω
Ω
K
K

ln nàòm theo phỉång trủc Oz (Hçnh 11) (
5
) :
Trong (R*), (S) quay quanh trủc cäú âënh Gz, ta cọ:

5
Vectå quay l nhỉ nhau trong hai hãû quy chiãúu (R) v (R*) Ω
K

19
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

** * *
//
.
G
G

GmvG×
JJJG
G
hay
2
1
.(
2
mv G)
tỉång ỉïng våïi chuøn âäüng tënh tiãún ca ton bäü váût ràõn
(S) cng våïi khäúi tám G; thnh pháưn
**
.
G
Gz G
LJ L
⊥
=Ω+
G
GG
hay
*
1

2
K
Gz
EJ
2
=

*
()
OC
LOCmvCL=× +
JJJG
GG
G
⇒
()
OG
LOCmvCJe=× +Ω
JJJG
G
zz
G
G

2*
1
.()
2
K
K
E
mv G E=+
⇒
22
11
.()
22

G
)
(S)
(R)
H
a
Ω

G

(R*)
Hçnh 12
Xẹt váût ràõn (S) quay xung quanh mäüt trủc cäú âënh
(∆) trng våïi trủc Oz ca hãû quy chiãúu R âang xẹt
våïi vẹc tå quay
. Gi G l khäúi tám ca váût ràõn
(Hçnh 11). Trong (R*), (S) quay xunh quanh trủc cäú
âënh (∆
G
) trng våïi Gz v song song våïi trủc (∆).
Ω
G
Theo âënh l Koenig :

2*
1
.()
2
K
K

∆
2
=
Ω
(b)
Màût khạc, trong R, khäúi tám G chuøn âäüng trãn vng trn tám H bạn kênh a (H l hçnh chiãúu ca
G trãn trủc (
∆)) våïi váûn täúc gọc l , do âọ : Ω
22
()vG a
2
=
Ω (c)
Thay (a) (b) (c) vo (1), suy ra :
2
G
JmaJ
∆
∆
=+
Âáy chênh l âënh l Huygens.
20
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

Chỉång 2 :

TIÃÚP XỤC GIỈỴA HAI VÁÛT RÀÕN - ÂËNH LÛT VÃƯ MA SẠT

1) Váûn täúc trỉåüt:
• Xẹt hai váût ràõn (S) v (Σ) ln ln tiãúp xục
våïi nhau, v cng chuøn âäüng trong hãû quy
chiãúu R (Hçnh 1).
Chụng cọ thãø tiãúp xục theo mäüt màût, theo mäüt
âỉåìng hay theo mäüt âiãøm
Tải mäùi thåìi âiãøm
t, ln ln cọ êt nháút mäüt âiãøm I
S
ca (S) trng
våïi mäüt âiãøm I
Σ
ca (Σ) tải âiãøm tiãúp xục I.
⇒
Váûn täúc trỉåüt
v
g
K
ca (S) trãn (Σ) tải âiãøm I vo
thåìi âiãøm t :
//
v() v( ) v( )
g
SR R
II I
∑
=−
KK K

Váûn täúc trỉåüt ca (S) trãn (

R : Khi âọ hãû quy chiãúu
()
R
∑
trng våïi hãû quy chiãúu R.
• Trong trỉåìng håüp giỉỵa hai váût ràõn (S) v (Σ) täưn tải
mäüt tiãúp diãûn chung (P), váûn täúc trỉåüt
v
g
K
s nàòm trong
màût phàóng (P) (Hçnh 2).
• (S) âỉåüc gi l khäng trỉåüt trãn (Σ) khi váûn täúc trỉåüt bàòng 0 tải mi âiãøm tiãúp xục I :

v() 0
g
I
=
G
K

2) Chuøn âäüng làn v xoay ca (S) âäúi våïi (
Σ):
• Trong hãû quy chiãúu R, gi v
S
Ω
K
∑
Ω
K

Ω
K
(P)
T
Ω
K
âỉåüc gi l vectå quay ca chuøn âäüng
làn.
21
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng 22
(P)
(
Σ
)
(S)
I
N
Ω
G
T
Ω
G
/S
∑

I
H
çnh 4 : Khäúi vng (S) chuøn
âäüng xoay so våïi giạ âåỵ •
Trong ton bäü pháưn Cå hc váût ràõn, chụng ta chè nghiãn cỉïu cạc chuøn âäüng âån gin ca váût
ràõn (S) trãn giạ âåỵ cäú âënh
våïi:
()∑
+ Cạc vectå
N
Ω
K
v khäng thay âäøi phỉång trong qụa trçnh chuøn âäüng.
T
Ω
K
+ (S) làn khäng xoay (
) hay xoay khäng làn (
0
N
Ω=

bäú (Hçnh 6).
@
Tạc âäüng cå tỉì (Σ) lãn (S) tải chäù tiãúp xục, khi thu gn vãư mäüt âiãøm tiãúp xục I, bao gäưm:
• Lỉûc thu gn (Håüp lỉûc):
i
i
R = R
∑
GG

• Momen thu gn:
I, tiepxuc
M(
Ii
i
)
M
R=
∑
G
GG

Theo âënh lût III Newton, (S) s tạc dủng lãn (
Σ) mäüt hãû lỉûc, khi thu gn vãư I cng bao gäưm:
G
• Lỉûc thu gn: - R
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

• Momen thu gn:
I, tiepxuc


R = T + N
GGG
våïi:
T N⊥
G
G

• Âäúi våïi momen :
I, tiepxuc
M
G
+ Thnh pháưn
nàòm trong tiãúp diãûn chung (P).
I,
M
t
G
+ Thnh pháưn

nàòm theo phỉång phạp tuún våïi (P) .
I,
M
n
G
I, tiepxuc I, I,
M = MM
tn
+
GGG
@ Trong chỉång ny, chụng ta s b qua ma sạt xoay v ma sạt làn. Båíi vç chụng ta chè nghiãn cỉïu cạc
trỉåìng håüp âån gin :
+ Hồûc: (S) chuøn âäüng tënh tiãún trãn giạ âåỵ (Σ) nhỉ hçnh 9, momen ma sạt xoay v momen ma sạt làn
khäng xút hiãûn.
+ Hồûc : (S) tiãúp xục våïi giạ âåỵ (Σ) theo âiãøm (hçnh cáưu tiãúp xục våïi màût phàóng - hçnh 10, hay trỉåìng håüp
tiãúp xục theo âỉåìng trong bi toạn phàóng : Bạnh xe làn trãn màût âáút - hçnh 11), chụng ta b qua ma sạt làn
v ma sạt xoay.
I, n
M
G
(P)
()
Hçnh 8:
Σ
(S)
I, tiepxuc
M
G
I, t
M
G
N
G
(P)
I

23
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

Khi âọ, tạc âäüng cå tải chäù tiãúp xục tỉì váût ràõn (Σ) lãn váût ràõn (S) chè cn lải håüp lỉûc
R = T + N
GGG
âi qua
âiãøm tiãúp xục I.

2) Âënh lût Coulomb vãư ma sạt trỉåüt (khä) :
Khi nghiãn cỉïu chuøn âäüng ca váût ràõn, phi kãø thãm vo cạc áøn säú ca bi toạn cạc lỉûc ma sạt trỉåüt T
G

v ạp lỉûc
. Cạc âënh l cå bn khäng cho ta â säú phỉång trçnh âãø xạc âënh táút c cạc áøn säú ⇒ Do váûy,
cáưn phi biãút thãm quan hãû giỉỵa
v .
N
G
T
G
N
G
Bàòng thỉûc nghiãûm, Coulomb â tçm âỉåüc mäúi quan hãû giỉỵa lỉûc ma sạt trỉåüt v ạp lỉûcT
G
N
G
.
a) Tênh cháút ca ạp lỉûc
:


O
O
H
çnh 13
(S) v (
Σ) khäng tiãúp xục våïi nhau nỉỵa khi:
N = 0
G

• Âäúi våïi liãn kãút hai phêa, vê dủ hçnh trủ räùng (S) läưng qua mäüt
thanh hçnh trủ (
Σ) (Hçnh 13), càõt trủc OO ca hçnh trủ, nhỉng
chỉa thãø kãút lûn gç vãư phỉång, chiãưu ca
N
G
N
G
.
G
b) Tênh cháút ca lỉûc ma sạt trỉåüt T :
• Ty theo (S) trỉåüt hay khäng trỉåüt trãn (Σ) m T
G
cọ cạc tênh
cháút khạc nhau. Gi váûn täúc trỉåüt ca (S) trãn (Σ).
g
v
G
+ Nãúu (S) trỉåüt trãn (
Σ): :

+ Nãúu (S) khäng trỉåüt trãn (Σ), m chè cọ xu hỉåïng trỉåüt trãn (Σ):
g
v0
=
G
: cng phỉång v
ngỉåüc chiãưu våïi chiãưu ca xu hỉåïng trỉåüt.
T
G
Sút ca
v ca tha mn biãøu thỉïc: T
G
N
G
.TfN≤
G
G

Trong c hai trỉåìng håüp, giạ trë cỉûc âải ca
T
G
bàòng
.
f
N
G

•
Khi f = 0, tiãúp xục giỉỵa (S) v (Σ) âỉåüc gi l tiãúp xục
khäng cọ ma sạt. Khi âọ:

G
y
x’
x
H
çnh 14
Khi hçnh khäúi chỉỵ nháût (S) cán bàòng, ta cọ : 0
xy
Te Ne mg=+ +
GG G

24
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

Tỉì âọ :
sin 0Tmg
α
=− <
v
cos 0Nmg
α
=>
(T v N l cạc gêa trë âải säú ca lỉûc ma sạt v ca
ạp lỉûc).
c) Tênh cháút ca hãû säú ma sạt trỉåüt f:
• Hãû säú ma sạt trỉåüt f phủ thüc vo:
+ Bn cháút ca cạc váût ràõn tiãúp xục (váût liãûu cạc bãư màût tiãúp xục), vê dủ khi váût ràõn bàòng thẹp tiãúp xục våïi

e xt
F
G

v momen thu gn
. Trong hãû quy chiãúu
Rg gi sỉí l hãû quy chiãúu Galilẹe, váût ràõn (S) cán
bàòng khi :
A, ext
M
G
e xt
F0=
G
;
A, ext
M0=
G
v nãúu váût ràõn
âỉïng n tải thåìi âãøm ban âáưu.
Ngoi ra, nãúu (S) chëu tạc âäüng cå
I, tiepxuc
(R, M )
G
G

tải âiãøm tiãúp xục I, thç hãû lỉûc
ny phi tn theo âënh lût Coulomb.
I, tiepxuc
(R, M )

I, tiepxuc
(R, M )
GG
N
G
H
çnh 1
6

T
G
R
G
α
ϕ
(,)NR
α
=
G
G
()
Σ
Nọn (N)
(S)
Dỉåïi tạc dủng ca
, gi sỉí váût ràõn (S) cọ xu hỉåïng chuøn
âäüng so våïi
(Σ) theo phỉång chiãưu xx’ (nhỉng chỉa chuøn
âäüng tỉång âäúi so våïi
(Σ)) hỉåïng theo chiãưu x’x. Ta