CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2013 - 2014

TÍCH PHÂN

BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
HÀ N
ỘI, 8/2013
2. Tính chất
•
'( ) ( )
= +
∫
f x dx f x C
•
( ) ( ) ( ) ( )
 
± = ±
 
∫ ∫ ∫
f x g x dx f x dx g x dx

•
( ) ( ) ( 0)
= ≠
∫ ∫
kf x dx k f x dx k

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 4. Phương pháp tính nguyên hàm
1) Phương pháp đổi biến số
Nếu
( ) ( )
= +
∫
f u du F u C

dx x C

•
1
, ( 1)
1
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
x
x dx C

•
1
ln
= +
∫
dx x C
x

•
= +
∫
x x
e dx e C

∫
dx x C
x

•
2
1
cot
sin
= − +
∫
dx x C
x

•
1
cos( ) sin( ) ( 0)
+ = + + ≠
∫
ax b dx ax b C a
a

•
1
sin( ) cos( ) ( 0)
+ = − + + ≠
∫
ax b dx ax b C a
a


( ) – 3
= +
f x x x
x
2)
4
2
2 3
( )
+
=
x
f x
x
3)
2
1
( )
−
=
x
f x
x

4)
2 2
2
( 1)
( )
−

( ) tan
=
f x x
9)
2
( ) cos
=
f x x

10)
( ) 2 sin 3 cos 2
=
f x x x
11)
(
)

( ) – 1
=
x x
f x e e 12)
2
( ) 2
cos
−
 





−
= =
x
f x F e
x
4)
2
1 3
( ) ; (1)
2
+
= =
x
f x F
x

5)
( )=
3
2
1
; ( 2) 0
−
− =
x
f x F
x
6)
1
( ) ; (1) 2

9)
3 3
2
3 3 7
( ) ; (0) 8
( 1)
+ + −
= =
+
x x x
f x F
x
10)
2
( ) sin ;
2 2 4
π π
 



== =




 
x
f x F


dễ dàng tìm được.
Chú ý: Sau khi tính
( )
∫
g t dt
theo t, ta phải thay lại t = u(x).
•
Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau: HT 3: Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):
1)
10
(5 1)−
∫
x dx
2)
5
(3 2 )
−
∫
dx
x
3)
5 2−
∫
xdx

4)
2 7

x
dx
x
9)
2
(1 )
+
∫
dx
x x

f(x) có chứa Cách đổi biến
2 2
−
a xsin ,
2 2
π π
= − ≤ ≤
x a t t

hoặc
cos , 0
π
= ≤ ≤
x a t t

2 2

∫
x
dx
x
12)
2
tan
cos
∫
xdx
x

13)
3
−
∫
x
x
e dx
e
14)
2
1
.
+
∫
x
x e dx
15)
∫

1)
2 3
(1 )
−
∫
dx
x
2)
2 3
(1 )
+
∫
dx
x
3)
2
1 .
−
∫
x dx

4)
2
4
−
∫
dx
x
5)
2 2

+
∫
x x dx
VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
HT 5: Tính các nguyên hàm sau:
1)
.sin
∫
x xdx
2)
cos
∫
x xdx
3)
2
( 5)sin+
∫
x xdx

4)
2
( 2 3)cos+ +
∫

11)
2
ln
∫
xdx
12)
2
ln( 1)
+
∫
x dxHT 6: Tính các nguyên hàm sau:
1)
∫
x
e dx
2)
ln
∫
xdx
x
3)
sin
∫
x dx

4)
cos

∫
x
e xdx
2)
2
(1 tan tan )
+ +
∫
x
e x x dx
3)
.sin 2
∫
x
e xdx

4)
2
ln(cos )
cos
∫
x
dx
x
5)
2
ln(1 )
+
∫
x

dx
x
9)
2
ln
 







 
∫
x
dx
x

( ).
∫
x
P x e dx

( ).cos
∫
P x xdx

P(x)GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 4

VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1. f(x) là hàm hữu tỉ:
( )
( )
( )
=
P x
f x
Q x

– Nếu bậc của P(x)
≥
bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.
– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều
phân thức (bằng phương pháp hệ số bất địn8).
Chẳng hạn:
1
( )( )
= +
− − − −
A B
x a x b x a x b


,
 

+








 
+
m
ax b
R x
cx d

→
đặt
+
=
+
m
ax b
t
cx d

+ f(x) =

sin ( ) ( )
1 1
.
sin( ).sin( ) sin( ) sin( ).sin( )
 
+ − +
 
=
+ + − + +
x a x b
x a x b a b x a x b
,
sin( )
1
sin( )
 
−



=





−
 
a b
söû duïng

 
a b
söû duïng
a b

+
cos ( ) ( )
1 1
.
sin( ).cos( ) cos( ) sin( ).cos( )
 
+ − +
 
=
+ + − + +
x a x b
x a x b a b x a x b
,
cos( )
1
cos( )
 
−



=




x x
2)
( 1)(2 3)
+ −
∫
dx
x x
3)
2
2
1
1
+
−
∫
x
dx
x

4)
2
7 10
− +
∫
dx
x x
5)
2
6 9
− +

− +
∫
x
dx
x x

10)
2
( 1)
+
∫
dx
x x
11)
3
1
+
∫
dx
x
12)
3
1
−
∫
x
dx
x

HT 9: Tính các nguyên hàm sau (dạng vô tỷ):

dx
x x
5)
3
−
∫
x
dx
x x
6)
( 1)
+
∫
x
dx
x x

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 5

7)
3 4
2
+ +
∫
dx
x x x
8)
1

x x
12)
2
6 8
+ +
∫
dx
x x

HT 10: Tính các nguyên hàm sau (dạng lượng giác):
1)
sin 2 sin 5
∫
x xdx
2)
cos sin 3
∫
x xdx
3)
2 4
(tan tan )
+
∫
x x dx

4)
cos 2
1 sin cos
+
∫

x
9)
cos cos
4
dx
x x
 
+
 
 
∫
π

10)
cos cos2 cos 3
∫
x x xdx
11)
3
cos
∫
xdx
12)
4
sin
∫
xdx

a a a
f x dx f t dt f u du F b F a

• Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong
giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:
( )
=
∫
b
a
S f x dx

2. Tính chất của tích phân
•
0
0
( ) 0
=
∫
f x dx
•
( ) ( )
= −
∫ ∫
b a
a b
f x dx f x dx
•
( ) ( )
=

f x dx

• Nếu f(x)
≥
g(x) trên [a; b] thì
( ) ( )
≥
∫ ∫
b b
a a
f x dx g x dx

3. Phương pháp tính tích phân
1) Phương pháp đổi biến số:
( )
( )
( ) . '( ) ( )
 
=
 
∫ ∫
u b
b
a u a
f u x u x dx f u du
trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u)
liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b ∈ K.
2) Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b
∈

2
3
1
( 2 1)
+ +
∫
x x dx
2)
2
2 3 1
1
3
( )
+
+ +
∫
x
x e dx
x
3)
2
2
1
1
−
∫
x
dx
x


1
1 1
( )
+ + +
∫
e
x x dx
x
x

7)
2
1
( 1)( 1)
+ − +
∫
x x x dx
8)
2
3
2
1
( )
+ +
∫
x x x x dx
9)
( )
4
3 4

4
3
 





−






 
∫
x dx
x

HT 12: Tính các tích phân sau:
1)
2
1
1
+
∫
x dx
2)
5

3
0 3
3
1
+
∫
x
dx
x
6)
4
2
0
9
+
∫
x x dx

HT 13: Tính các tích phân sau:
1)
0
sin(2 )
6
π
π
+
∫
x dx
2)
2

4
3 tan
π
π
∫
x dx
6)
4
2
6
(2 cot 5)
π
π
+
∫
x dx

7)
2
0
1 sin
π
+
∫
dx
x
8)
2
0
1 cos

e e
2)
2
2
1
( 1).
ln
+
+
∫
x dx
x x x
3)
2
1
0
4
2
−
+
∫
x
x
e
dx
e

4)
ln 2
0

7)
cos
2
0
sin
π
∫
x
e xdx
8)
4
1
∫
x
e
dx
x
9)
1
1 ln+
∫
e
x
dx
x

10)
1
ln
∫

∫
b
a
g x dx
.
Nếu viết được g(x) dưới dạng:
( ) ( ) . '( )
 
=
 
g x f u x u x
thì
( )
( )
( ) ( )
=
∫ ∫
u b
b
a u a
g x dx f u du

Dạng 2: Giả sử ta cần tính
( )
β
α
∫
f x dx
.
Đặt x = x(t) (t

HT 15: Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):
1)
1
19
0
(1 )−
∫
x x dx
2)
1
3
2 3
0
(1 )+
∫
x
dx
x
3)
1
5
2
0
1
+
∫
x
dx
x


dx
x x
8)
3
5 3
2
0
2
1
+
+
∫
x x
dx
x
9)
ln 2
0
1 +
∫
x
x
e
dx
e

10)
(
)
ln 3

0
sin 2
cos 4 sin
π
+
∫
x
dx
x x
14)
2
3
2
0
cos .sin
1 sin
π
+
∫
x x
dx
x
15)
6
2 2
0
sin 2
2 sin cos
π
+

x x dx

f(x) có chứa Cách đổi biến
2 2
−
a xsin ,
2 2
π π
= − ≤ ≤
x a t t

ho
ặ
c
cos , 0
π
= ≤ ≤
x a t t

2 2
+
a xtan ,
2 2
π π

ặ
c
, 0; \
cos 2
π
π
 
 
 
 
 
= ∈
 
 
 
 
a
x t
tGV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 9

4)
3
2
0
3

∫
dx
x x
8)
2
2
3
1
1
−
∫
x
dx
x
9)
(
)
1
5
2
0
1 +
∫
dx
x

10)
2
3
2
HT 17: Tính các tích phân sau:
1)
4
0
sin 2
π
∫
x xdx
2)
2
2
0
( sin )cos
π
+
∫
x x xdx
3)
2
2
0
cos
π
∫
x xdx

4)
2

8)
1
ln
∫
e
x xdx
9)
3
2
2
ln( )
−
∫
x x dx

10)
2
3
0
sin 5
π
∫
x
e xdx
11)
2
cos
0
sin 2
π

2
3
1
( 1)
−
+ +
∫
x
x e x dx

VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

HT 18: Tính các tích phân sau:
1)
2
0
2−
∫
x dx
2)
2
2
0
−
∫
x x dx
3)
2
2
0


( ).
∫
b
x
a
P x e dx

( ).cos
∫
b
a
P x xdx

( ).sin
∫
b
a
P x xdx

( ). n
∫
b
a
P x l xdx

u

P(x)


∫
x x dx
8)
3
3 2
0
4 4− +
∫
x x xdx
9)
1
1
4
−
−
∫
x dx

HT 19: Tính các tích phân sau:
1)
2
0
1 cos 2
π
−
∫
xdx
2)
0
1 sin 2 .

6)
0
1 cos2
π
+
∫
xdx

7)
3
2 2
6
tan cot 2
π
π
+ −
∫
x x dx
8)
3
3
2
cos cos cos
π
π
−
−
∫
x x xdx
9)

3
3
2
0
2 1
+ +
∫
x dx
x x

4)
(
)
1
3
0
1 2+
∫
x
dx
x
5)
(
)
3
2
9
2
1−
∫

∫
x dx
x x
9)
1
3
0
1
1
+ +
+
∫
x x
dx
x

10)
0
3 2
2
1
2 6 9 9
3 2
−
− + +
− +
∫
x x x
dx
x x

− +
∫
dx
x x
2)
(
)
2
3
2
0
3 2
1
+
+
∫
x
dx
x
3)
2
3 2
2
0
2 4 9
4
+ + +
+
∫
x x x

∫
x
dx
x

7)
2
4
1
1
(1 )
+
∫
dx
x x
8)
2
2008
2008
1
1
(1 )
−
+
∫
x
dx
x x
9)
3

x
12)
1
4
2
0
2
1
−
+
∫
x
dx
x

VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ

HT 22: Tính các tích phân sau:
1)
2 2
2
0
1
+
∫
x x dx
2)
1
3
2

2
2 1 4 1
+ + +
∫
dx
x x
6)
2
4
5
0
1
+
∫
x
dx
x

7)
10
5
2 1
− −
∫
dx
x x
8)
1
3 2
0

2 3
2
5
4
+
∫
dx
x x
12)
3
5 3
2
0
1
+
+
∫
x x
dx
x

13)
2
2
0
1
1
+
−
∫

x x dx
2)
3
2
2 2
1
1
1
+
+
∫
x
dx
x x
3)
1
2 3
0
(1 )
+
∫
dx
x

4)
2
2
1
2008
+

1
2008
+
∫
dx
x
9)
1
3
2
0
1
+ +
∫
x dx
x x

10)
2
2
2 3
0
(1 )
−
∫
dx
x
11)
2
2

2
0
sin cos cos
π
−
∫
x x xdx
3)
2
2
0
cos
2 cos
π
+
∫
xdx
x

4)
2
6
3 5
0
1 cos sin cos
π
−
∫
x x xdx
5)

∫
xdx
x
8)
3
2
4
tan
cos 1 cos
π
π
+
∫
x
dx
x x
9)
2
0
sin 2 sin
1 3 cos
π
+
+
∫
x x
dx
x

HT 25: Tính các tích phân sau:

ln 3
2
ln 2
ln
ln 1
+
∫
x
dx
x x
5)
0
2
3
1
( 1)
−
+ +
∫
x
x e x dx
6)
ln 2
3
0
( 1)
+
∫
x
x

∫
x
e dxGV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 12

VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác

HT 26: Tính các tích phân sau:
1)
4
0
sin 2 .cos
π
∫
x xdx
2)
4
0
tan
π
∫
xdx
3)
2
0
sin


7)
2
2 4
0
sin cos
π
∫
x xdx
8)
2
2 3
0
sin cos
π
∫
x xdx
9)
2
4 5
0
sin cos
π
∫
x xdx

10)
2
3 3
0

4
3
0
tan
π
∫
xdx
14)
3
4
4
tan
π
π
∫
xdx
15)
3
3
4
sin . cos
π
π
∫
dx
x x

16)
2
3

dx
x x

HT 27: Tính các tích phân sau:
1)
2
3 5
0
1 cos sin cos
π
−
∫
x x xdx
2)
2
6
1 sin 2 cos2
sin cos
π
π
+ +
+
∫
x x
dx
x x
3)
3
2
4

( )
2
3
2
0
1 sin sin2
π
+
∫
x xdx

7)
3
0
sin .ln(cos )
π
∫
x x dx
8)
4
3
2 2 5
0
sin
(tan 1) .cos
π
+
∫
x
dx

(1 cos )
π
+
∫
dx
x
3)
(
)
2
4
0
1
1 sin
π
+
∫
dx
x

4)
2
0
cos
1 cos
π
+
∫
x
dx

(2 1)cos
π
−
∫
x xdx
2)
4
0
1 cos2
π
+
∫
xdx
x
3)
3
2
0
cos
π
∫
x
dx
x

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 13

4)

∫
x dx
8)
3
2
6
ln(sin )
cos
π
π
∫
x
dx
x
9)
2
2
0
(2 1)cos
π
−
∫
x xdx

10)
2 2
0
sin
π
∫

0
ln(1 tan )
π
+
∫
x dx
15)
4
4
0
cos
π
∫
dx
x

VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit

HT 30: Tính các tích phân sau:
1)
1
0
1 +
∫
x
x
e dx
e
2)
ln 2

ln 8
2
ln 3
1.+
∫
x x
e e dx
6)
ln 2
0
1
1
−
+
∫
x
x
e
dx
e

7)
2
1
1
1
−
−
∫
x

1
ln
(ln 1)
+
∫
e
x
dx
x x
11)
1
2
0
1
−
−
+
∫
x
x
e
dx
e
12)
ln 3
0
1
1
+
∫

0
−
∫
x
xe dx

4)
2
0
( cos )cos
π
+
∫
x
e x xdx
5)
( )
1
0
ln 1 +
∫
x x dx
6)
2
1
1 ln+
∫
e
x
dx

 
+
∫
e
x
x dx
x x
9)
3
2
ln(ln )
∫
e
e
x
dx
x

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 14

VẤN ĐỀ 9: (ĐỌC THÊM) Một số tích phân đặc biệt

Dạng 1. Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ

•
Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì
( ) 0
−


0
0
( ) ; ( )
−
 






= =








 
∫ ∫
a
a
J f x dx K f x dx

Bước 2: Tính tích phân
0
( )


∈
R
+
và a > 0)
Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên.

0
0
( ) ( ) ( )
1 1 1
α α
α α
− −
= = +
+ + +
∫ ∫ ∫
x x x
f x f x f x
I dx dx dx
a a a

0
0
( ) ( )
;
1 1
α
α
−

 
 
 
thì
2 2
0 0
(sin ) (cos )
π π
=
∫ ∫
f x dx f x dx

Để chứng minh tính chất này ta đặt:
2
π
= −
t x

Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và
( ) ( )
+ − =
f a b x f x
hoặc
( ) ( )
+ − = −
f a b x f x

thì đặt: t = a + b – x
Đặc biệt, nếu a + b =
π

− = +



F x G x A x C
F x G x B x C

Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra
1
( ) ( ) ( )
2
 
= + +
 
F x A x B x C
là nguyên hàm của f(x).

HT 32: Tính các tích phân sau (dạng 1):
1)
4
7 5 3
4
4
1
cos
π
π
−
− + − +
∫



 
+
∫
x
x dx
x

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 15

4)
( )
1
2
1
ln 1
−
+ +
∫
x x dx
5)
1
4 2
1
1
−
− +

dx
x
8)
2
2
2
4 sin
π
π
−
−
∫
xdx
x
9)
2
2
2
cos
4 sin
π
π
−
+
−
∫
x x
dx
x


−
+ +
∫
x
dx
e x

4)
2
sin
3 1
π
π
−
+
∫
x
x
dx
5)
3
2
3
1
1 2
−
+
+
∫
x

6 6
4
sin cos
6 1
π
π
−
+
+
∫
x
x x
dx
9)
2
2 2
2
sin
1 2
π
π
−
+
∫
x
x x
dx

HT 34: Tính các tích phân sau (dạng 3):
1)

2
0
sin
sin cos
π
+
∫
x
dx
x x

4)
2
2009
2009 2009
0
sin
sin cos
π
+
∫
x
dx
x x
5)
2
4
4 4
0
cos

x x
dx
x
2)
2
0
cos
4 sin
π
+
−
∫
x x
dx
x
3)
2
0
1 sin
ln
1 cos
π
 
+







x xdx

7)
0
1 sin
π
+
∫
x
dx
x
8)
0
sin
2 cos
π
+
∫
x x
dx
x
9)
2
0
sin
1 cos
π
+
∫
x x

HT 36: Tính các tích phân sau (dạng 5):
1)
2
0
sin
sin cos
π
−
∫
x
dx
x x
2)
2
0
cos
sin cos
π
−
∫
x
dx
x x
3)
2
0
sin
sin cos
π
+

2
4
4 4
0
cos
sin cos
π
+
∫
x
dx
x x

7)
2
6
6 6
0
sin
sin cos
π
+
∫
x
dx
x x
8)
2
6
6 6

11)
1
1
−
−
−
∫
x
x x
e
dx
e e
12)
1
1
−
−
−
−
∫
x
x x
e
dx
e e

13)
1
1
−

( )
=
∫
b
a
S f x dx
(1)
• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Hai đường thẳng x = a, x = b .là:
( ) ( )
= −
∫
b
a
S f x g x dx
(2)
Chú ý:

•
Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:
( ) ( )
=
∫ ∫
b b
a a
f x dx f x dx•

∫
d
c
S g y h y dy

2. Thể tích vật thể
• Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a và b.
S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a
≤
x
≤
2).
Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
Thể tích của B là:
( )
=
∫
b
a
V S x dx

• Thể tích của khối tròn xoay:
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < 2)
sinh ra khi quay quanh trục Ox:
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 17
= = = =
x
y y x x e
x e

3)
1 ln
, 0, 1,
+
= = = =
x
y y x x e
x
4)
ln
, 0, , 1
2
= = = =
x
y y x e x
x

5)
1
ln , 0, ,
= = = =
y x y x x e
e
6)
3

y y x
x
2)
, 2 , 0
= = − =
y x y x y

3)
, 2, 1
= = =
x
y e y x
4)
, 2 0, 0
= + − = =
y x x y y

5)
2 2
2 , 2 1, 2
= = − − =
y x y x x y
6)
2
4 5, 2 4, 4 11
= − + = − + = −y x x y x y x

7)
2
2

= = − +
y x y x
4)
2
2
1
,
2
1
= =
+
x
y y
x

5)
2
, 2= = −
y x y x
6)
2 2
2 , 4
= − = − +
y x x y x x

7)
2
2
1
,

y x x y
2)
2
5 0, 3 0
+ − = + − =
y x x y

3)
2
2 0, 0
− + = + =
y y x x y
4)
2
2 1, 1
= + = −
y x y x

5)
2
2 , , 0, 3
= = = =
y x y x y y
6)
2
( 1) , sin
π
= + =
y x x y


x
y x y e x
6)
1
ln , 0, ,
= = = =
y x y x x e
e

7)
2
sin cos , 0, 0,
π
= + = = =
y x x y x x
8)
sin ; ; 0; 2 .
π
= + = = =
y x x y x x x

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 18

9)
2
sin ; ; 0; .
π π
= + = = =y x x y x x

sin , 0, 0,
4
π
= = = =y x y x x
2)
3 2
1
, 0, 0, 3
3
= − = = =
y x x y x x

3)
6 6
sin cos , 0, 0,
2
π
= + = = =
y x x y x x
4)
, 4
= =
y x x

5)
3
1, 0, 1, 1
= − = = − =
y x y x x
6)

2 2
4 6, 2 6
= − + = − − +
y x x y x x
12)
ln , 0, 2
= = =
y x y x

HT 44: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục tung (Oy):
1)
2
, 1, 4
= = =
x y y
y
2)
2
, 4
= =
y x y

3)
, 0,
= = =
x
y e x y e
4)
2
, 1, 2

2
1
2 1− +
∫
x x dx

4)
2
2
1
1
2
−
 
−








+
 
∫
x
dx
x
5)

2 4
−
+ +
∫
dx
x x
9)
2
3 2
2
0
2 4 9
4
+ + +
+
∫
x x x
dx
x

10)
1
3
2
0
1
+
∫
x
dx

3
3 2
0
1 +
∫
x x dx
3)
9
3
1
1−
∫
x x dx

4)
3
5 3
2
0
2
1
+
+
∫
x x
dx
x
5)
4
1

+ + −
∫
xdx
x x
9)
0
1
1
−
+
∫
x x dx

10)
3
2 3
0
1 .+
∫
x x dx
11)
1
3 2
0
3+
∫
x x dx
12)
3
1

3 1
+
+
∫
x
dx
x

16)
1
2
2
3
0
( 1)
+
+
∫
x x
dx
x
17)
10
5
2 1
− −
∫
dx
x x
18)

x x
dx
x
3)
/2
0
sin 2 cos
1 cos
π
+
∫
x x
dx
x

4)
/2
2 2
0
sin 2
cos 4 sin
π
+
∫
x
dx
x x
5)
/2
0

+
∫
x
dx
x x
9)
2
0
sin
1 cos
π
+
∫
x x
dx
x

10)
/4
2
0
tan
π
∫
x x dx
11)
/2
0
sin 2
cos 1

x x
14)
/2
3
0
4 sin
1 cos
π
+
∫
x
dx
x
15)
/4
2
0
1 2 sin
1 sin 2
π
−
+
∫
x
dx
x

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 20

sin
sin 2 cos
π
∫
x xdx
x x

HT 48: Tính các tích phân sau:
1)
3
2
0
ln( 5)
+
∫
x x dx
2)
3
2
2
ln( )
−
∫
x x dx
3)
1
2
0
( 2)−
∫


7)
3
1
1
ln
+
∫
e
x
xdx
x
8)
1
2
0
( 1)+
∫
x
x e dx
9)
1
0
1 +
∫
x
dx
e

10)

/2
3
0
sin 5
π
∫
x
e x dx
14)
2
1
ln
∫
e
x
dx
x
15)
1
2
0
ln(1 )
+
∫
x x dx

16)
1
3 2 ln
1 2 ln

2
2
0
2 cos
1 sin 2
π
+
=
+
∫
x x
I dx
x
2) 2)
2
2
0
( sin 1) cos
1 sin
π
+ + +
=
+
∫
x x x x x
I dx
x x
3)
0
cos2

+ + +
=
+
∫
x
x
x xe
I dx
x xe
6)
2
3
2 sin
1 cos
π
π
+
=
+
∫
x
I dx
x

7)
2 2
1
( 1)ln ln 1
1 ln
+ + +

=
+
∫
x
I dx
x

10)
2
1
2 1
0
(2 1)
+ +
+ +
∫
x x
x x e dx
11)
2
1
ln(1 ln )
+
=
∫
e
x
I dx
x
12)

sin
4
2 sin .cos 3
π
π
π
 



+





 
=
−
∫
x
I dx
x x
15)
1
2 2
2
0
−
=

+
=
∫
x x
I dx
x
18)
2
2 2
2
sin cos
3 cos 4 sin
π
π
−
+
=
+
∫
x x
I dx
x x
19)
2
0
1 sin
1 cos
π
 
+

x x
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 21

21)
4
0
( sin ) sin
1
π
+ −
=
−
∫
x x x x x
I dx
x

22)
3
4
2
2
cot cot
π
π
+
=
∫

+
∫
x
x
x x e
I dx
x e
25)
6
2
0
tan tan 2
cos 2
π
+
=
∫
x x x
I dx
x

HT 50: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1)
3
3 1, 0, 0, 1
= − + = = = −
y x x y x x

6)
2 2
2 , 4
= − = − +
y x x y x x

7)
2 1
, 0, 0
1
+
= = =
+
x
y y x
x
8)
2
, 0
1
− +
= =
+
x x
y y
xHT 51: Tính thể tích các vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục:
1)

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 22

TUYỂN TẬP TÍCH PHÂN ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2002 – 2011
HT 52: (A,A1 – 2012)
3
2
1
1 ln( 1)
+ +
=
∫
x
I dx
x
Đ/s:
2 2
ln 3 ln 2
3 3
= + −I

HT 53: (B – 2012)
1
3
4 2
0
3 2
=
+ +
∫
x

sin cos 4 2 4
π
π π
 
 

+ +






= = + +






 


+

 

 
∫
x x x x

x
I dx KQ I
x

HT 58: (A – 2010)
1
2 2
0
2 1 1 1 2
: ln
3 2 3
1 2
 
+ + +



= = +





 
+
∫
x x
x
x e x e e
I dx KQ I





 
∫
e
e
I x x dx KQ I
x

HT 61: (A – 2009)
2
3 2
0
8
(cos 1)cos . :
15 4
π
π
= − = −
∫
I x x dx KQ I

HT 62: (B – 2009)
3
2
1
3 ln 1 27
: 3 ln

dx
I KQ e e
e

HT 64: (A – 2008)
6
4
0
tan 1 10
: ln(2 3)
cos2 2
9 3
π
= + −
∫
x
I dx KQ
x

HT 65: (B – 2008)
4
0
sin
4
4 3 2
:
sin 2 2(1 sin cos ) 4
π
π
 

x

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 23

HT 67: (A – 2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
( 1) , (1 ) : 1 ( )
2
= + = + = −
x
e
y e x y e x KQ S dvdt

HT 68: (B – 2007) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường:
ln . 0,
= = =
y x x y x e
. Tính thể tích khối tròn xoay tạo
thành khi H quay quanh
Ox

3
(5 2)
: ( )
27
π −
=
e
KQ V dvtt

x
I dx KQ I
c x x

HT 71:
(B – 2006)
ln 5
ln 3
3
: ln
2
2 3
−
= =
+ −
∫
x x
dx
I KQ I
e e

HT 72:
(D – 2006)
1
2
2
0
5 3
( 2) :
4

1 cos
π
= = −
+
∫
x x
I dx KQ I
x

HT 75:
(D – 2005)
2
sin
0
( cos )cos : 1
4
π
π
= + = + −
∫
x
I e x xdx KQ I e

HT 76:
(A – 2004)
2
1
11
: 4 ln 2
3

I x x dx KQ I

HT 79:
(A – 2003)
2 3
2
5
1 5
: ln
4 3
4
=
+
∫
dx
I KQ
x x

HT 80:
(B – 2003)
4
2
0
1 2 sin 1
: ln 2
1 sin 2 2
π
−
= =
+

2 2
4
4 , : 2 ( )
4 3
4 2
π= − = = +
x x
y y KQ S dvdt

HT 84: (D – 2002) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đường
3 1
1
− −
=
−
x
y
x
với các trục tọa độ.
4
: 1 4 ln ( )
3
= − +
KQ S dvdt