Giáo trình Giải tích 12 - Trang 1 - Soạn cho lớp LTĐH
I. ĐẠO HÀM
1) Dùng đònh nghóa tính đạo hàm của các hàm số:
a) y = f(x) = cosx b) y = f(x) = tại x
0
= 0.
2) Cho hàm số y = f(x) = x
3
-3x
2
+1, có đồ thò (C).
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) £ 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3.
3) Cho (C) : y = f(x) = x
4
- 2x
2
.
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
1. Tại điểm có hoành độ bằng .
2. Tại điểm có tung độ bằng 3.
3. Biết tiếp tuyến song song với d
1
: y = 24x+2007
4. Biết tiếp tuyến vuông góc với d
2
: y = .
4) Viết phương trình tiếp tuyến với (P): y = f(x) = x
2
- 2x - 3 đi qua M

4x + 5
f) y = (0< a ¹ 1)
10) Tìm đạo hàm các hàm số :
a) y= ln ( x + ) b) y = log
3
( x
2
– sin x )
c) y = e
x
– ln ( sin x) d) y = tg ( 2x+3)
e) y = tg
2
x . sinx f) y =
g) y = cotg ( 5x
2
+ x – 2 ) h) y = cotg
2
x + cotg2x
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 2 - Soạn cho lớp LTĐH
11) Tính đạo hàm của hàm số
f(x) =
tại điểm x
0
= 0
12) Tìm đạo hàm cấp n ( n nguyên dương) của các hàm số sau :
a) y = lnx b) y = e
Kx
c) y = sin x

16) Cho f(x) = . Chứng minh rằng :
17) Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x +sin x + x.
b) f(x) = (x
2
+2x-3)e
x
c) f(x) = sinx.e
x
d) f(x) =
18) Giải bất phương trình f
/
(x) < 0 với f(x) = x
3
-2x
2
+ p .
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 3 - Soạn cho lớp LTĐH
19) Cho các hàm số f(x) = sin
4
x + cos
4
x; g(x) =
Chứng minh rằng : f ’(x) = g’(x), "xỴR
20) Tìm vi phân của mỗi hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:
a) f(x) = ln (sinx) tại x
0
= . b) f(x) = x. cosx tại x
0

3
-3(m+1)x
2
+3(m+1)x+1. Đònh m để hàm số :
a) Luôn đồng biến trên khoảng xác đònh của nó. Kq:1 £ m £ 0
b) Nghòch biến trên khoảng ( -1;0). Kq: m £
c) Đồng biến trên khoảng (2;+¥ ). Kq: m £
26) Đònh mỴZ để hàm số y = f(x) = đồng biến trên các khoảng xác đònh của nó.
Kq: m = 0
27) Đònh m để hàm số y = f(x) = nghòch biến trên nửa khoảng [1;+¥).
Kq: m £
28) Chứng minh rằng : , "x > 0.
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 4 - Soạn cho lớp LTĐH
29) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác đònh (trên từng khoảng xác đònh) của nó :
a) y = x
3
-3x
2
+3x+2. b) .
c) .
30) Tìm m để hàm số :
a) Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác đònh của nó.
b) Luôn luôn đồng biến trên khoảng (2;+¥)
31) Tìm m để hàm số : luôn đồng biến trên từng khoảng xác đònh của nó.
32) Tìm m để hàm số : luôn đồng biến trên khoảng (1;+¥).
Kq:
33) Tìm m để hàm số y = x
2
.(m -x) -m đồng biến trên khoảng (1;2). Kq: m³3

a.Không có cực trò. Kết quả : m ³1
b.Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m <1
c. Có đồ thò (C
m
) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trò (đạt cực trò 4 khi x = 0).
Hd: M(a;b) là điểm cực trò của (C): y =f(x) khi và chỉ khi:
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 5 - Soạn cho lớp LTĐH
Kết quả : m=0
d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực tiểu đi qua O.
Kq : d:y = 2(m-1)x+4m+4 và m= -1
39) Đònh m để hàm số y = f(x) =
a. Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m>3
b.Đạt cực trò tại x = 2. Kết quả : m = 4
c.Đạt cực tiểu khi x = -1 Kết quả : m = 7
40) Chứng tỏ rằng với mọi m hàm số y = luôn có cực trò.
41) Cho hàm số y = f(x) = x
3
-mx
2
+(m
2
-m+1)x+1. Có giá trò nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 không?
Hd và kq : Sử dụng đkc,đkđ. Không
42) Cho hàm số y = f(x) = x
3
-mx
2
+(m+2)x-1. Xác đònh m để hàm số:
a) Có cực trò. Kết quả: m <-1 V m > 2

-x
1
là một hằng số.
47) Tìm cực trò của các hàm số :
a) . b) . c) y =
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 6 - Soạn cho lớp LTĐH
48) Đònh m để hàm số có cực trò :
a) . Kết quả: m<3
b) . Kết quả: m<-2 V m>1
49) Đònh m để hàm số sau đạt cực đại tại x=1: y = f(x) = -mx
2
+(m+3)x-5m+1.
Kết quả: m = 4
50) Cho hàm số : f(x)= x
3
-mx
2
+(m-2) x-1. Đònh m để hàm số đạt cực đại tại x
2
, cực tiểu tại x
1
mà x
1
< -1 < x
2
< 1.
Kết quả: m>-1
51) Chứng minh rằng : e
x

+2x+3. Kết quả: y=f(1)= 4
61) Tìm GTNN y = x – 5 + với x > 0. Kết quả: y=f(1)= -3
62) Tìm GTLN, GTNN y = x – 5 + .
Kết quả: ;
63) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=2x
3
+3x
2
-1 trên đoạn
Kết quả: ;
64) Tìm GTLN, GTNN của:
a) y = x
4
-2x
2
+3. Kết quả: y=f(±1)=2; Không có y
b) y = x
4
+4x
2
+5. Kết quả: y=f(0)=5; Không có y
c) . Kết quả: y= ; y=1
d) . Kết quả: y= ; y=3
65) Cho hàm số . Chứng minh rằng :
66) Cho hàm số . Chứng minh rằng : -1£ y £ 1
Hướng dẫn:y’=0 Û 2sin
2
a . x
2
-2sin

2
+m
2
x-3 nhận I(1;-1) làm điểm uốn.
Kết quả: m = 2 .
71) Đònh m để đồ thò (C
m
):y = f(x) = x
4
-6mx
2
+ 3
a) Có hai điểm uốn. Kết quả: m > 0
b) Không có điểm uốn. Kết quả: m £ 0
72) Chứng minh rằng đồ thò (C): có 3 điểm uốn thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn này.
Hướng dẫn và kết quả:
(C) có 3 điểm uốn A(-2;-1), B(- ;0), C(1;1). Þ A, B, C thẳng hàng.
Đường thẳng d qua A, B, C qua C(1;1) có hệ số góc nên có phương trình : y = k(x-x
C
)+y
C
= (x-1)+1Û y= x + .
73) Tìm điểm uốn và xét tính lồi, lõm của (C):y = f(x) = ½x
2
-3x+2½
Kết quả: Lõm trên các khoảng (-¥;1) và (2; +¥). Lồi trên khoảng (1;2).
Điểm uốn : I
1
(1;0) và I
2

+x
3
Þ 3x
2
= x
1
+x
2
+x
3
= Þ x
2
= . Vậy điểm uốn I(x
2
;0)ỴOx.
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 9 - Soạn cho lớp LTĐH
b) Tìm I(m;m
2
-m).
Điều kiện cần : IỴOx Þ m
2
-m = 0 Þ m = 0 V m = 1.
Điều kiện đủ : Chọn m = 1.
75) Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của (C) :
a) y=x
3
-3x
2
+2. b) .

-9x+m cắt Ox tại 3 điểm theo thứ tự có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Kết quả : m = 11.
79) Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng (d): y = ax+b cắt đồ thò (C) : y=x
3
-3x
2
-9x+1 tại ba điểm phân biệt A, B, C và AB = BC.
Hướng dẫn và kết quả :
· Lập phương trình hoành độ giao điểm :
ax+b = x
3
-3x
2
-9x+1Û f(x) = x
3
-3x
2
-(a+9)x+1-b = 0.(1)
· Điều kiện cần: Điểm uốn của đồ thò hàm số (1) là
I(1;-a-b-10)ỴOx Þ -a-b-10 = 0 Þ a+b = -10.
· Điều kiện đủ : a+b = -10 Þ f(x) = (x-1).g(x) = 0 với
g(x) = x
2
-2x+b-1. YCBT Û Û b<2
Kết luận :
80) Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn của đồ thò (C):y= .
Kq:y =
81) Tìm m để (C
m
):y = x

87)Tìm trên đồ thò (C):y = điểm M có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
88) Lấy một điểm bất kỳ MỴ(C):y = f(x) = . Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) luôn không đổi. Kq: d
1
.d
2
= .
VI. KHẢO SÁT HÀM SỐ
89) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
a) y = x
3
-3x+1 b) y = 3x
2
-x
3
c) y = x
3
+3x-4 d) y = (1-x)
3
e) y = f) y = x
4
+x
2
-2.
g) y=2x
2
-x
4
-1 h) y=x
4
-1

3
-3x
2
+1 biện luận theo m số nghiệm của phương trình x
3
-3x
2
- 9x+1-m = 0.
95) Cho parabol (P): y=x
2
-2x+2 và đường thẳng d: y=2x+m.
a) Khảo sát và vẽ đồ thò (P)
b) Biện luận theo m số điểm chung của d và (P).
c) Khi d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn AB.
96) Cho hàm số , có đồ thi (H).
a) Khảo sát và vẽ đồ thò (H).
b) Cho đường thẳng d: y= -2x+m. Giả sử d cắt (H) tại hai điểm M và N. Tìm tập hợp trung điểm I của MN.
97) Chứng minh rằng đồ thò (C) của hàm số y=f(x)=x
3
-3x
2
+1 nhận điểm uốn của nó làm tâm đối xứng.
98) Cho hàm số y = x
4
-4x
3
-2x
2
+12x-1.
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều

4
(x) =
e) (C
5
): y = f
5
(x) = f) (C
6
): |y| = f
6
(x) =
101) a) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) hàm số : y = f(x) = x
3
-3x
2
+2.
b) Từ đồ thò (C), suy ra đồ thò (C’): y = g(x) = | x|
3
-3x
2
+2. Từ đó biện luận theo m số nghiệm của phương trình: | x|
3
-3x
2
+1 - m = 0.
102) Chứng tỏ rằng (C
m
): y=x
2
+(2m+1)x+m

2
-1=x-1 Û x
2
+2mx+m
2
=0
Û (x+m)
2
=0 Û x=-m (nghiệm kép)
Vậy (C
m
) luôn tiếp xúc d:y=x-1.
Chú ý: Chỉ có đường thẳng và đường bậc 2,mới có khái niệm “ 2 đường tiếp xúc nhau
Û
phương trình hoành độ giao điểm ( bậc 2 ) có nghiệm kép” .
Trong các hàm số khác và hàm bậc nhất ta phải dùng hệ điều kiện tiếp xúc.
Lời giải 2: Gọi d: y=ax+b là đường thẳng cố đònh. d tiếp xúc (C
m
) khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép với mọi m:
x
2
+(2m+1)x+m
2
-1= ax+bÛ x
2
+(2m+1-a) x+m
2
-b-1=0 có nghiệm kép với " m
Û D =(2m+1-a)
2

)
2. Chứng tỏ (C
m
) tiếp xúc với d
1
, và tiếp xúc d
2
: ( Bắt đầu lời giải)
· d
1
:y=9x+1 tiếp xúc (C
m
) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
Û (3x+m)
2
=0 Û x= -
Vậy d
1
:y=9x+1 tiếp xúc (C
m
) tại điểm có hoành độ x= - (m ¹ 0).
· Tương tự : d
2
:y=x+1 tiếp xúc (C
m
) tại điểm có hoành độ x= m (m ¹ 0).
104) Chứng tỏ rằng (C
m
): y=mx
3

b) y=2
+C
x-sinx+C
c) y=
d) y=
tgx-cotgx+C
sinx+cosx+C
112) Tìm nguyên hàm F(x) của f(x)= x
3
-x
2
+2x-1 biết rằng F(0) = 4.
Kết quả: F(x) = +x
2
-x+4
113) Tính đạo hàm của F(x) = x. lnx-x , rồi suy ra nguyên hàm của f(x)= lnx.
Kết quả: F(x) = x. lnx-x+C
114) Tìm A và B sao cho với mọi x¹ 1 và x¹2 , ta có: Từ đó, hãy tìm họ nguyên hàm của hàm số:
Kết quả: A=3; B= -2. F(x) = 3 l n½x-2½-2 l n½x-1½+ C= ln +C
115) Tính các tích phân:
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 15 - Soạn cho lớp LTĐH
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)
b)
c)
ln½sinx½+C
-cotgx-x+C
sin
3

ln
g)
h)
i)
j)
k)
ln2
ln( +1)
0
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 16 - Soạn cho lớp LTĐH
118) Chứng minh rằng:
a) b)
119) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
k)
l)
120) Tính các tích phân:
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 17 - Soạn cho lớp LTĐH
Tích phân Kết quả
m)

f)
g)
e-2
ln2-2+
h)
i)
j)
ln2-
122) Chứng minh rằng:
a) Hd: x= -t
b) Hd: x=b-t
c) (a>0) Hd: t=x
2
d) Hd: x= -t
e) . Áp dụng, tính:
Hướng dẫn: Lần 1, đặt x=p -t. Lần 2, để tính ta đặt x= +s và kết quả bài 118a). Tính = p , đặt t=cosx, kq:
123) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số chẵn,liên tục trên đoạn [-a;a] (a>0) thì: . Hd: t=-x
124) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ, liên tục trên đoạn [-a;a] (a>0) thì: . Hd: t=-x
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 19 - Soạn cho lớp LTĐH
125) Chứng minh rằng: . Áp dụng bài 124).
126) Chứng minh rằng: . Áp dụng bài 123).
127) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ thì: . Hd: t=-x
128) Chứng minh rằng . Áp dụng bài 124)
129) Chứng minh rằng . Áp dụng bài 123).
130) Chứng minh rằng . Hd:x=1-t
131) Tính các tích phân sau:
Tích phân Kết quả
a)
b)

n-1
(n≥1)
b) Áp dụng tính I
3
= . Kết quả: 6-2e
133) Cho I
n
= (nỴ N )
a) Chứng minh rằng I
n
> I
n+1
. Hd: In>In+1,"xỴ(0; )
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 21 - Soạn cho lớp LTĐH
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa I
n+2
và I
n
.
Hướng dẫn: I
n+2
= Þ I
n +
I
n+2
= .
134) Tính I
n
= (nỴ N )

b) Chứng minh rằng f(n) = (n+1).I
n
.I
n+1
là hàm hằng.
c) Tính I
n
.
Hướng dẫn:
a) Đặt
b) Chứng minh f(n+1)=f(n)Þ f(n)=…=f(0)=
c) Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận :
· n=2k ( n chẵn): I
2k
=
· n=2k+1 ( n lẻ): I
2k+1
=
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 22 - Soạn cho lớp LTĐH
137)a) Tính I
0
= , Kết quả: a= 0
b) Chứng minh rằng I
n
= =0 Hd: b) Truy hồi.
138) Tìm liên hệ giữa I
n
= và J
n

) và (P
2
). Kq:
145) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) : y
2
-2y+x = 0 và (d) : x+y = 0.
Hướng dẫn: Ta có (P) : x = -y
2
+2y và (d) : x = -y.Tung độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm phương trình y
2
-3y = 0 Û y=0 V y=3. Vậy diện tích hình phẳng cần tìm
là:
146) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
a) (C): y = cosx ; y = 0 ; . Kq: 1
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 23 - Soạn cho lớp LTĐH
b) (C): y = x
2
– 2x + 3 ; (d): y = 5 – x . Kq:
c) (C): y = 2x
3
– x
2
– 8x + 1 ; (d): y = 6. Kq:
d) (P): y = - x
2
+ 6x – 8 và tiếp tuyến tại đỉnh của (P) và trục tung. Kq: 9
e) (C): y = x
3
– 3x và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x =

151) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= ., tiệm cận ngang của (C) và các đường thẳng x = –1; x = 0.
Kq: 2ln2
IX.ĐẠI SỐ TỔ HP
152) Cho 7 chữ số :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
a) Từ 7 chữ số trên, có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau?
Kết quả:
b) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số chẵn? Kết quả:6.5.4.3.3=1080
c) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 7?
Kết quả: 5.
153) Cho 6 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
a) Từ các chữ số trên, có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau?
Kết quả:
b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số lẻ? Kết quả:
c) Trong các số nói trên có bao nhiêu số trong đó có mặt 2 chữ số 1 và 2?
Hướng dẫn và kết quả: Liệt kê 4 tập con có chứa 1 và 2, có thể tạo 4.5!= 480 số.
154) Cho 5 chữ số 0,1, 3, 6, 9.
a) Từ 5 chữ số ấy, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau?
Kết quả:
b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chẵn? Kết quả:
c) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chia hết cho 3?
Hướng dẫn và kết quả: Chọn trong tập chứa các phần tử chia hết cho 3 là A={0,3,6,9} Vậy có 3 số chia hết cho 3.
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 25 - Soạn cho lớp LTĐH
155) Cho 6 chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5.
a) Tư ø các chữ số trên có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau?
Kết quả: 5.
b) Trong các chữ số trên có bao nhiêu số chẵn ? Kết quả: 600
-
4. (lẻ)=312c) Trong các chữ số trên có bao nhiêu số có mặt chữ số 0?
Hướng dẫn và kết quả: Hoán vò các phần tử trong tập A={1,2,3,4,5} ta có 5!=120 số không có mặt chữ số 0. Phần bù: 600