Mở đầu
Tiếp theo Giáo trình Không gian Tôpô - Độ đo - Tích phân, giáo trình Giải
tích Hàm đợc tác giả biên soạn trong chơng trình xây dựng bộ giáo trình hoàn
chỉnh cho sinh viên hệ Đại học s phạm ngành Toán Trờng Đại học Tây Bắc.
Học phần Giải tích Hàm hiện nay đang đợc giảng d ạy tại Trờng Đại học
Tây B ắc trong năm đơn vị học trình. Điều kiện tiên quyết là sinh viên đã học
xong các học phần Lý thuyết tập hợp và Lôgic Toán, Đại số tuyến tính, Phép tính
vi phân - tích phân hàm một biến, Phép tính vi phân tích phân hàm nhiều biến,
Hàm biến phức, Không gian tôpô - Độ đo - Tích phân. Khi biên soạn giáo trình
này, chúng tôi đã chú ý nhiều đến yếu tố s phạm để đảm bảo cho việc trình bày
các vấn cơ bản vừa tinh giản, logic mạch lạc vừa đảm bảo đợc hàm lợng kiến
thức cần thiết nhất, đồng thời chúng tôi chú ý nhiều đến việc hình thành cho sinh
viên những phơng phá p và kĩ năng cần thiết của môn học thông qua kĩ thuật
chứng minh các định lý, mệnh đề quan trọng và qua việc su tầm, phân loại m ột
hệ thống bài tập phong phú kèm theo hớng dẫn giải và lời giải chi tiết. Ngoài
ra, nội dung của giáo trình là một đơn vị kiến thức trọn vẹn, có mối liên hệ chặt
chẽ với nhiều kiến thức toán học quen t huộc nên chúng tôi có thể tin tởng giáo
trình sẽ trở thành tài liệu gần gũi, dễ hiểu đối với sinh viên trong quá trình học
tập.
Nhân dịp giáo trình đợc đa vào sử dụng, tác giả xin bày tỏ sự biết ơn đối
với những ngời thầy tôn kính đã dạy dỗ trực tiếp cũng nh gián tiếp qua những
tài liệu quý báu của họ mà tác giả đã sử dụng làm nguồn tài liệu tham khảo chính
của giáo trình, qua đó tác giả đã đợc trang bị những tri thức, phơng pháp luận
và sự tự tin sẵn sàng chia sẻ những kinh nghiệm và tri thức trong NCKH dẫn
đến một trong các kết quả của sự dạy dỗ đó là chính là sự ra đời của giáo trình
này. Tá c giả xin cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ Giải tích khoa Toán - Lý - Tin,
trờng Đại học Tây Bắc đã dạy thực nghiệm và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích giúp
3
hoàn thiện giáo t rình. Đặc biệt, tác giả xin cảm ơn Ban g iám hiệu, Phòng Quản
lý khoa học và Quan hệ quốc tế, các đồng nghiệp và sinh viên Khoa Toán - Lý
- Tin trờng Đại học Tây Bắc về sự giúp đỡ quý báu cũng nh sự tạo điều kiện

5.2 Tổngtrựctiếptôpô 46
5.3 Siêuphẳng 48
5.4 Không gian thơng 50
6 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.1 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . 52
6.2 Không gian khả li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7Bàitậpchơng1 59
2 Ba nguyên lý cơ bản của giải tích hàm 64
1 Nguyên lý bị chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.1 Nửachuẩnliêntục 64
2 Định lý ánh xạ mở và đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.1 Địnhlýánhxạmở 69
2.2 Định lý đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3 ĐịnhlýHahn-Banach 73
3.1 Định lý Hahn-Banach đối với không gian vector thực . . . 73
3.2 Định lý Hahn- Banach đối với không gian vector phức . . 76
3.3 Một số hệ quả quan trọng của định lý Hahn-Banach . . . . 79
4Bàitậpchơng2 81
3 Toán tử trong không gian Banach 84
6
1 Toántửliênhợp 84
2 Toántửcompact 88
3 Toántửhữuhạnchiều 92
4 Phổcủatoántử 94
4.1 Mộtsốkháiniệmcầnthiết 94
4.2 Phổ của toán tử trong không gian Banach . . . . . . . . . . 96
4.3 Phổcủatoántửcompact 103
5Bàitậpchơng3 112
4 Không gian Hilbert và t oán tử trong không gian Hilbert 116
1 Dạnghermite 116

1) (x) 0 với mọi x E và (x)=0 x =0,
2) (x)=||(x) với mọi K và với mọi x E,
3) (x + y) (x)+(y) với mọi x, y E.
Khi thoả mãn các điều kiện 2) và 3), còn điều kiện 1) thay bởi điều kiện:
1) (x) 0 với mọi x E,thì đợc gọi là một nửa chuẩn trên E.
9
Mệnh đề 1.2. Giả sử là một nửa chuẩn trên E. Khi đó, với mọi x, y E ta có:
|(x) (y)| (x y) (3)
Chứng minh. Cho x, y E, từ điều kiện 3) ta có:
(x)=(x y + y) (x y)+(y)
suy ra
(x) (y) (x y)()
Thay đổi vai trò của x và y và kết hợp với điều kiện 2) ta nhận đợc
(y) (x) (y x)=
(x y)()
Cuối cùng, từ () và () ta có |(x) (y)| (x y).
Từ các tính chất của chuẩn và định nghĩa khoảng cá ch chúng ta có mệnh đề
sau:
Mệnh đề 1.3. Nếu là một chuẩn trên E thì công thức:
d(x, y):=(x y), (x, y E) (1.1)
xác định một khoảng cách trên E thoả mãn:
x, y, z E, K,

d(x + z, y + z)=d(x, y),
d(x, y)=||d(x, y)
(1.2)
Khoảng cách d xá c định bởi công thức (1.1) đợc gọi là khoảng cách sinh bởi
chuẩn .
Cho E là không gian véc tơ và a, b K. Ta gọi tập hợp sau đây là đoạn với
các mút a, b:

11
Theo mệnh đề 1.3, không gian định chuẩn E là một không gian metric với
khoảng cách d sinh bởi chuẩn xác định bởi công thức:
d(x, y):= x y,x,y E.
Nh vậy, trong không gian định chuẩn, khi nói tới các khái niệm về giới hạn
của dãy điểm, dãy Cauchy, về tập mở, tập đóng, về giới hạn của ánh xạ giữa các
không gian định chuẩn và các khái niệm liên quan khác thì chúng ta hiểu đó chính
là những khái niệm tơng ứng trong không gian metric với khoảng cách sinh bởi
chuẩn của không gian.
Định nghĩa 1.7. Không gian tuyến tính định chuẩn E đợc gọi là không gi an
Banach nếu E cùng với metric sinh bởi chuẩn trên E là một không gian metr ic
đầy.
Mệnh đề 1.8. Nếu E là không gian định chuẩn thì hàm chuẩn x x là liên
tục đều trên E.
Chứng minh. Trớc hết ta chú ý rằng tính liên tục đều ở đây theo nghĩa của ánh
xạ liên tục đều giữa cá c không gian metric. Cho >0 bất kì, chọn = .Khi
đó, theo mệnh đề 1.3, với mọi x, y E,nếud(x, y)=x y <thì
|xy| x y = d(x, y)= = .
Chứng tỏ hàm
. : E R liên tục đều trên E.
Mệnh đề 1.9. Nếu E là không gian định chuẩn thì các phép toán vec tơ trong E
là liên tục:
Chứng minh. Nhờ các đánh giá dới đây
(x + y) (x
0
+ y
0
) x x
0
+ y y

n
k
} hội tụ tới một
phần tử x X.
Nhận xét 1. Nếu X làtậphoàntoànbịchặntrongE thì với mỗi >0 đều có
thể chọn cho X một -lới hữu hạn A gồm toàn các phần tử của X.
Thật vậy, cho >0 có thể chọn cho X một /2 lới hữu hạn A E. Khi đó
X =


y A
B(y,

2
)

X =

y A


B(y,

2
) X

ởđây
B

y,

)X =
nên y A

và
x z
y
x y+ y z
y
<

2
+

2
=
13
Nhận xét 2. Mọi tập hoàn toàn bị chặn đều là tập bị chặn. Thật vậy, nếu X là
tậphoàntoànbịchặnthìvới =1tồn tại x
1
,x
2
, ,x
n
là -lới hữu hạn của
X.Giảsửx X tuỳ ý, chọn 1 k n để x x
k
< 1.Suyra
x x
k
+ x x

1
,x
2
, ,x
n
):x
1
,x
2
, ,x
n
K}
Với mỗi x =(x
1
,x
2
, ,x
n
) K
n
,tađặt:
x =

n

i=1
|x
i
|
2

n

i=1
|b
i
|
2

1
2
14
chúng ta có thể chứng minh tiên hàm . thoả mãn điều kiện 3) trong định nghĩa
chuẩn:
Thật vậy, với mọi x =(x
1
,x
2
, ,x
n
),y=(y
1
,y
2
, ,y
n
) K
n
ta có:
n


y
i
| +
n

i=1
|y
2
i
|

n

i=1
|x
2
i
| +2

n

i=1
|x
2
i
|

1
2
.

2
i
| +




n

i=1
|y
2
i
|


2
chứng tỏ
x + y x+ y với mọi x, y K
n
Nh vậy, hàm . thoả mãn cả ba điều kiện t rong định nghĩa chuẩn nên nó là
một chuẩn trên K
n
- gọi là chuẩn Euclide, đồng thời K
n
với chuẩn Euclide là một
không gian định chuẩn - gọi là không gian Euclide n chiều.
Cuối cùng, v ới x =(x
1
, ,x

là sự hội
tụ theo toạ độ và một dãy là dãy Cauchy trong K
n
khi và chỉ khi tất cả các dãy
toạ độ của nó đều là dãy Cauchy trong K.LạidoK là không gian metric đầy
suy ra K
n
là không gian đầy. Vậy K
n
là không gian Banach.
Ví dụ 2. Không gian các hàm liên tục
Ký hiệu C[a; b] là không gian các hàm liên tục trên đoạn hữu hạn [a, b].Đặt:
f =sup{|f(x)| : x [a, b]},f C[a; b]
Dễ dàng thấy rằng hàm f f xá c định một chuẩn trên không gian C[a; b]
và với chuẩn đó, C[a; b] trở thành một không gian định chuẩn.
15
Ta s ẽ kiểm lại C[a; b] là một không gian Banach: Cho {f
n
} là một dãy Cauchy
trong C[a; b], khi đó với mọi số >0 cho trớc, tồn tại số tự nhiên n
0
sao cho
với mọi m, n N

,m,n n
0
ta đều có:
f
n
f

f0.Thậtvậy,giảsửx
0
[a; b] là điểm tuỳ
ý, ta chứng minh f liên tục tại x
0
. Trong (1.3) bằng cách cố định x [a, b] và
n n
0
,chom ta đợc
|f
n
(x) f(x)| với mọi x [a, b] và n n
0
(1.4)
Cho x
0
[a; b],n= n
0
ta có
|f
n
0
(x
0
) f(x
0
)| (1.5)
Vì f
n
0

0
)| + |f
n
0
(x
0
) f(x
0
)| < 3
Chứng tỏ f liên tục tại x
0
.Vìx
0
[a; b] là điểm tuỳ ý ta suy ra f liên tục trên
đoạn [a; b], nghĩa là f C[a; b].
16
Cũng từ (1.4) suy ra f
n
f =sup
x[a,b]
|f
n
(x) f(x)| với mọi n n
0
.
Chứng tỏ lim
n
f
n
f =0, nghĩa là dãy {f

tập hợp tất cả các dãy số khả tổng bậc p:
l
p
= {x =(x
n
) K
N

:


n1
|x
n
|
p
< +}
Chúng ta sẽ chứng tỏ l
p
là một không gian Banach với chuẩn xác định bởi
công thức:
x
p
:=



n=1
|x
n


p
p
+

q
q
(1.9)
17
Chứng minh. Trớc hết, nếu =0hoặc =0thì bổ đề hiển nhiên đúng. Giả
sử >0, >0.Xéthàmsố
f(t)=
t
p
p
+
t
q
q
, (t>0)
Do f

(t)=t
q1
(t
p+q
1) = 0 t =1và f

(t) < 0 trên khoảng (0; 1), f



q
p
.
1
q
1
Nhân hai vế của bất đẳng thức trên với và luýrằng
p
q
+1=p,
q
p
+1=q,
ta đợc

p
p
+

q
q
.
Bổ đề 1.13 (Bất đẳng thức Holder). Cho p, q R,p,q >1,
1
p
+
1
q
=1. Khi đó,



n=1
|y
n
|
q

1
q
(1.10)
Gọn hơn, bằng cách sử dụng ký hiệu trong công thức (1.8) ta có:


n=1
|x
n
y
n
| x
p
.y
p
. (1.11)
Chứng minh. Hiển nhiên bổ đề đúng nếu x
p
=0hoặc y
q
=0. Vậy chỉ cần
chứng minh trờng hợp x

n
|
p
x
p
p
+
1
q
|y
n
|
q
y
q
q
18
Lấy tổng hai v ế theo n ta đợc


n=1
|x
n
y
n
|
x
p
y
q

=1
Suy ra


n=1
|x
n
y
n
|



n=1
|x
n
|
p

1
p
.



n=1
|y
n
|
q

max{|x
n
|
p
, |y
n
|
p
}
2
p
(|x
n
|
p
+ |y
n
|
p
), n 1
ta có


n=1
|x
n
+ y
n
|
p

=1.Doq(p 1) = p và do trên ta có


n=1
|x
n
+ y
n
|
(p1)q
=


n=1
|x
n
+ y
n
|
p
< +
Nghĩa là (|x
n
+ y
n
|
p1
)

n=1

n
|
p1
x
p



n=1
|x
n
+ y
n
|
(p1)q

1
q
= x
p



n=1
|x
n
+ y
n
|
p

p
Từ các bất đẳng thức trên ta nhận đợc:


n=1
|x
n
+ y
n
|
p



n=1
|x
n
|.|x
n
+ y
n
|
p1
+


n=1
|y
n
|.|x

+ y
n
|
p

p1
p
ta đợc:
x + y
p
= x
p
+ y
p
.
Mệnh đề 1.15. Nếu p 1 thì l
p
là một không gian Banach.
Chứng minh. Trớc hết, hiển nhiên .
p
thoả mãn điều kiện thứ nhất trong định
nghĩa chuẩn. Cho x, y l
p
và K theo bổ đề 1.14 ta có x + y l
p
và hiển
nhiên x := (x
n
) l
p

p
Nh vậy .
p
thoả mãn điều kiện thứ hai trong định nghĩa chuẩn. Sử dụng bất
đẳng thức Minkowski ta có .
p
thoả mãn điều kiện còn lại. Vậy l
p
là một không
gian định chuẩn với chuẩn .
p
.
Bây giờ ta chứng minh l
p
là không gian Banach: Cho {x
(k)
}

k=1
là dãy Cauchy
trong l
p
, x
(k)
=(x
(k)
n
)

n=1

<.
20
Suy ra, với mọi m 1 và k,l k
0
ta có:
x
(k)
x
(l)
=

m

n=1
|x
(k)
n
x
(l)
n
|
p

1
p
<. (1.12)
Từ (1.12) suy ra với mọi n 1 dãy {x
(k)
n
}

|x
(k)
n
x
n
|
p

1
p
với mọi m 1, k k
0
suy ra



n=1
|x
(k)
n
x
n
|
p

1
p
, (k k
0
)

)

n=1
l
p
ta đợc:



n=1
|x
n
|
p

1
p




n=1
|x
(k
0
)
n
|
p


0
điều này chứng tỏ x
(k)
x
p
0 khi k , nghĩa là x
(k)
x trong l
p
.
Ví dụ 5. Không gian l

và không gian c
0
Đặt
l

= {(x
n
) K
N

:sup
n
|x
n
| < +} và c
0
= {(x
n

k
và là độ đo Lebesgue tr ên -đại
số
L các tập đo đợc Lebesgue trên R
k
.Vớimỗip 1,kýhiệuL
p
(X) là tập tất
cả các hàm khả tích (Lebesgue) bậc p tr ên X (hai hàm tơng đơng xem là m ột)
L
p
(X)={f : x R đo đợc :

X
|f|
p
d < +}
Chúng ta sẽ chứng tỏ L
p
(X) là không gian Banach với chuẩn xác định bởi
công thức:
f
p
:=


X
|f|
p
d

(X),tacó

X
|f.g|d


X
|f|
p
d

1
p


X
|g|
q
d

1
q
(2.1)
Hay với những ký hiệu đã nêu thì
fg
1
f
p
g
q

f
p
p
+
1
q
|g(x)|
q
g
q
q
Lấy tích phân hai vế theo độ đo ta có
1
f
p
g
q

X
|f(x)g(x)|d
1
pf
p
p

X
|f(x)|
p
d +
1

|g
q
q
=
1
p
+
1
q
=1
Suy ra
fg
1
f
p
g
q
Bất đẳng thức đợc chứng minh.
2.2 Bất đẳng thức Minkowski
Bổ đề 2.2. Nếu f,g L
p
(X),p 1 thì f + g L
p
(X) và f L
p
(X) với mọi
K. Ngoài ra
f + g
p
f

|f + g|
p
d 2
p

X
|f|
p
d +2
p

X
|g|
p
d < +
23
Suy ra f + g L
p
(X). Hiển nhiên f L
p
(X) và
f
p
= ||f
p
, K
Bây giờ ta sẽ chứng minh bất đẳng thức:
f + g
p
f

X
|f|
p
d

1
p


X
|f + g|
p
d

p1
p
Hay

X
|f(x)f + g|
p1
d f
p
f + g
p1
p
Tơng tự

X
|g(x)f + g|

p1
p
+ g
p
f + g
p1
p
suy ra f + g
p
f
p
+ g
p
.
24
Định lý 2.3. L
p
(X) là không gian Banach với chuẩn
f
p
=


X
|f(x)|
p
d

1
p


p
< +.Tacóthểxemf
n
nhận giá
trị hữu hạn khắp nơi. Với mỗi n 1,đặt
g
n
(x)=
n

k=1
|f
k
(x)|,x X
Khi đó g
n
L
p
(X) và
g
n

p

n

k=1
f
k

k=1
|f
k
(x)| với mọi x X
Do đó g và g
p
là đo đợc. Theo bổ đề Fatou ta có

X
g
p
(x)d =

X
lim
n
g
p
n
(x)d lim
n

X
g
p
n
(x)d C
p
Bất đẳng thức này suy ra g
p

(X). Tiếp theo chúng ta chứng minh


n=1
f
n
hội tụ tới f
trong L
p
(X).Cóthểxemf hữu hạn khắp nơi. Với mỗi n 1 đặt
h
n
(x)=



n

k=1
f
k
(x) f(x)



p
,x X
Khi đó {h
n
} là dãy các hàm đo đợc hội tụ h.k.n. đến 0 và

n

k=1
f
k
f
p
= lim
n

X
|
n

k=1
f
k
(x) f(x)|
p
d =0.
3 Chuỗi trong không gian định chuẩn
3.1 Chuỗi và sự hội tụ của chuỗi
Định nghĩa 3.1. Giả sử E là một không gian định chuẩn và {x
n
}
nN

là một dãy
các phần tử của E. Ta gọi tổng hình thức sau:
x

}
nN

đợc gọi là dãy tổng riêng của chuỗi (3.1).
Định nghĩa 3.2. Nếu dãy các tổng riêng { s
n
} hội tụ tới phần tử s E thì chuỗi
(3.1) đợc gọi là hội tụ về s và s đợc gọi là tổng của chuỗi. Kí hiệu là:


n=1
x
n
= s.
Trờng hợp ngợc lại, ta nói chuỗi (3.1) là phân kỳ.
Mệnh đề 3.3. Nếu chuỗi (3.1) hội tụ thì phần tử tổng quát dần đến 0,tứclà
lim
n
x
n
=0
Chứng minh. Giả sử


n=1
x
n
= s, khi đó, gọi {s
n
} là dãy tổng riêng của chuỗi

Định lý 3.4 (Tiêu chuẩn Cauchy). C huỗi


n=1
x
n
trong không gian Banach E hội
tụ khi và chỉ khi
(>0)(n
0
) | (n n
0
), (p 1) x
n+1
+ + x
n+p
<
Thật vậy, vì E là không gian Banach nên chuỗi hội tụ nếu và chỉ nếu dãy các
tổng riêng s
n
của nó là dãy Cauchy, tức là
>0, n
0
, n>n
0
, p 1:s
n+p
s
n
= x