Chương 3
HÀM SỐ THỰC THEO MỘT BIẾN SỐ THỰC
Trong chương này, bằng cách dùng khái niệm về giới hạn của dãy số,
chúng ta sẽ khảo sát khái niệm giới hạn, tính liên tục và tính khả vi của một
hàm số trong phần 1, 2 và 3. Cuối cùng, các hàm số sơ cấp cơ bản được giới
thiệu và khảo sát trong phần 4.
1. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Cho
{ }
∈ = +∞ −∞¡ ¡ Ua ,
và f là một hàm số xác đònh trên một lân cận của
a, có thể không xác đònh tại a, nghóa là f xác đònh trên một khoảng mở I, có thể
không xác đònh tại a, với
( )
= − α + αI a ,a
,
α > 0
, khi
∈ ¡a
;
( )
= α +∞I ,
,
α > 0

khi
= +∞a
và
( )
= −∞ −αI ,
,

khi
→x a
.
Cho
∈
¡a
và f là hàm số xác đònh trên khoảng
( )
= − α
1
I a ,a
,
α > 0
. Ta
nói f có giới hạn bên trái
∈ ¡
1
l
khi x tiến về a, khi f biến mọi dãy
( )
n
x
các
phần tử của
1
I
hội tụ về a thành dãy
( )
( )
n

lim f (x) l
.
Chú ý rằng, để khảo sát giới hạn bên trái cũng như bên phải của f tại a, ta
lần lượt thay điều kiện
≠
n
x a
trong đònh nghóa cho giới hạn của f tại a bằng
điều kiện
<
n
x a
,
>
n
x a
.
Ví dụ 1. i)
→
=
x a
lim x a
;
→+∞
= +∞
x
lim x
;
→−∞
= −∞

→+∞
=
1
x
x
lim 0
;
→−∞
=
1
x
x
lim 0
.
iii) Cho hàm số
( )
=
x
x
f x
với miền xác đònh
{ }
∗
=¡ ¡ \ 0
. Ta chứng minh
rằng
( )
→x 0
lim f x
không tồn tại. Thật vậy, xét dãy

( ) ( )
→∞ →∞ →∞
= = −
n
n
x
n
n
x
n n n
lim f x lim lim 1
không
tồn tại.
Ta cũng có thể chứng minh điều này bằng cách xét các dãy số
( )
n
x
và
( )
n
y
, với
= −
1
n
n
x
,
=
1

x
n n
lim f x lim 1
và
( )
→∞ →∞
= =
n
n
y
n
y
n n
lim f y lim 1
. ª
Bằng cách dùng tính chất của giới hạn dãy số, ta được
1.2. Mệnh đề. Cho
f
và
g
là hai hàm số xác đònh trên một lân cận
I
của
a
,
có thể không xác đònh tại
a
. Nếu
→
=

iv)
( )
→
⋅ = ⋅
x a
lim f g (x) l k
,
v)
→ →
= =
1 1 1
f f (x) l
x a x a
lim (x) lim
với điều kiện
≠
l 0
,
vi) Nếu
∀ ∈x I
,
≤f(x) g(x)
thì
≤l k
,
vii) Nếu
→ →
= =
x a x a
lim f(x) lim g(x) l

∈ ¡l,k
, thì
( )
( )
→
=
f x
l
k
g x
x a
lim
nếu không xuất hiện dạng vô đònh
0
0
và
∞
∞
.
Ta cũng nhận được kết quả tương tự cho giới hạn bên trái và giới hạn bên
phải.
2. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Cho
∈ ¡a
và f là một hàm số xác đònh trên một lân cận của a.
2.1. Đònh nghóa. Ta nói f liên tục tại a khi
→
=
x a
lim f(x) f (a)

. ª
2.2. Đònh nghóa. Cho f là một hàm số xác đònh trên
(

− α

a ,a
,
α > 0
. Ta nói f
liên tục bên trái tại a khi
−
→
=
x a
lim f(x) f (a)
.
Tương tự, với hàm số f xác đònh trên
)

+ α

a,a
,
α >
0
, ta nói f liên tục bên
phải tại a khi
+
→


x
x
khi x 0
g x
1 khi x 0
liên tục bên trái tại 0 nhưng hàm số
41
( )

≠

=


=

x
x
khi x 0
h x
0 khi x 0
không liên tục cả bên trái lẫn bên phải tại 0. ª
2.3. Mệnh đề.
f
liên tục tại
a
nếu và chỉ nếu
f
liên tục bên trái tại

¡
,
λ
f
liên tục tại
a
;
c)
⋅f g
liên tục tại
a
;
d)
1
f
liên tục tại
a
, với điều kiện
( )
≠f a 0
.
Nếu
( )
≠g a 0
thì bằng cách kết hợp (c) và (d), ta suy ra rằng hàm số
f
g

liên tục tại
a

¡
. Ta nói
rằng f liên tục trên J khi f liên tục tại mọi điểm của J.
Nói khác đi, f liên tục trên
( )
a, b
khi
( )
∀ ∈
0
x a, b
,
( ) ( )
→
=
0
0
x x
lim f x f x
.
Ta nói hàm số f liên tục trên đoạn
 
 
a, b
khi f liên tục trên
( )
a, b
, liên tục
bên phải tại a và liên tục bên trái tại b.
Tương tự, ta nói hàm số f liên tục trên

f x
1 khi x 0
liên tục trên
)

+∞

0,
.
42
ii) Mọi đa thức đều liên tục trên
¡
. ª
2.6. Đònh lý giá trò trung gian. Nếu
f
liên tục trên khoảng đóng và bò chận
 
 
a, b
thì với mọi
d
giữa
( )
f a
và
( )
f b
, tồn tại
 
∈

.
Trường hợp hàm f không liên tục trên
 
 
a, b
, chẳng hạn như hàm số f xác
đònh bởi đồ thò trong hình sau
điểm
( ) ( )
 
∈
 
d f a ,f b
không là ảnh của bất cứ điểm c nào trong khoảng
 
 
a, b
.
2.7. Đònh lý tối ưu của Weierstrass. Nếu hàm số
f
liên tục trên khoảng
đóng và bò chận
 
 
a, b
thì
f
đạt giá trò lớn nhất
M
và giá trò nhỏ nhất

 
∈
 
x a, b
,
( ) ( )
∗
≥ =f x f x m
.
Hai đònh lý trên có thể phát biễu chung lại thành một đònh lý như sau :
2.8. Đònh lý. Nếu
f
liên tục trên khoảng đóng và bò chận
 
 
a, b
thì tồn tại
m

và
M
trong
¡
sao cho
( )
   
=
   
f a, b m,M
.

−
→
1
f : J I
, xác đònh bởi
( )
−
=
1
f y x
nếu và
chỉ nếu
( )
=y f x
, cũng liên tục, đơn điệu ngặt trên
J
(cùng bản chất như của
f
).
d) đồ thò của
f
và
−1
f
đối xứng với nhau qua đường phân giác thứ nhất.
Ví dụ 6. i) Hàm số
( )
=
n
f x x

,
1
u
cho trước,
trong đó
→f : I I
là một hàm số liên tục và I là một khoảng trong
¡
. Chẳng
hạn, dãy
( )
+
= + =
n 1 n n
u 1 u f u
,
>
1
u 0
cho trước,
trong đó
( )
= +f x 1 x
là hàm liên tục đi từ
( )
+∞0,
vào
( )
+∞0,
và dãy

Chú ý rằng khi f là hàm tăng thì
( )
n
u
là dãy đơn điệu. Cụ thể, bằng quy
nạp, ta chứng minh được rằng
Nếu
≤
1 2
u u
thì
+
≤
n n 1
u u
, với mọi
∈
¥n
.
Nếu
≥
1 2
u u
thì
+
≥
n n 1
u u
, với mọi
∈

→∞ →∞
= = =
n 1 n
n n
a lim u lim f u f a
,
khi f là hàm liên tục. Như vậy, giới hạn a thỏa phương trình
( )
=f x x
mà ta có
thể giải để tìm ra giá trò của a.
Ví dụ 7. Hàm
( )
= +f x 1 x
là hàm tăng nên dãy số
( )
+
= = +
n 1 n n
u f u 1 u
,
=
1
u 1
tăng do
= ≤ =
1 2
1 u u 2
. Hơn nữa, ta có
( )

và f là hàm số xác đònh trên một lân cận của a, nghóa là tồn tại
α > 0
sao cho f xác đònh trên khoảng
( )
= − α + αI a ,a
.
3.1. Đònh nghóa. Ta nói f có đạo hàm tại a khi
( ) ( )
−
−
→
f x f a
x a
x a
lim
tồn tại. Khi đó,
giá trò của giới hạn này được gọi là đạo hàm của f tại a, ký hiệu
( )
′
f a
. Như vậy,
khi f có đạo hàm tại a, ta có
( )
( ) ( )
−
−
→
′
=
f x f a

,
≠x a
. Do đó,
( ) ( )
( )
−
−
→
′
= =
f x f a
x a
x a
lim 1 f a
.
ii) Xét hàm số
( )
=
2
f x x
. Tại mỗi điểm
∈ ¡a
, ta có
( ) ( )
−
−
= +
f x f a
x a
x a

+ +M a h,f a h
cho bởi
( ) ( )
( ) ( )
+ −
= − +
f a h f a
y x a f a
h
.
Khi “điểm M tiến về điểm A” trên
Γ
, đường
( )
D
quay về đường thẳng
( )
T

gọi là tiếp tuyến với
Γ
tại điểm A và do đó có phương trình
( ) ( )
( ) ( )
→
 
+ −
 
= − +
 

( ) ( )
+ −C q 1 C q
1
khi q đủ lớn và khi đó chi phí
lề chính là chi phí phát sinh khi sản xuất thêm một đơn vò sản phẩm. ª
3.2. Đònh nghóa. Hàm số f được gọi là khả vi tại a khi tồn tại số thực b và một
hàm số
ε
xác đònh trên một lân cận của 0 sao cho với mọi
h
và
+a h
trong lân
cận của
a
( ) ( ) ( )
+ = + + εf a h f a bh h
với
( )
→
ε =
h 0
lim h 0
.
3.3. Mệnh đề.
f
có đạo hàm tại
a
nếu và chỉ nếu
f

,
ta được
( )
( ) ( )
( )
+ −
′
ε = − →
f a h f a
h f a 0
h
khi
→h 0
và
( ) ( ) ( ) ( )
′
+ = + + εf a h f a f a h h h
nên f khả vi tại a.
Ngược lại, khi f khả vi tại a, tồn tại
∈ ¡b
sao cho với mọi h và
+a h

trong lân cận của a
( ) ( ) ( )
+ = + + εf a h f a bh h h
với
( )
→
ε =

,
47
nên f có đạo hàm tại a. ª
Chú ý : Kết quả này không còn đúng đối với hàm nhiều biến (xem chương
6).
3.4. Đònh nghóa. Cho f là hàm số xác đònh trên khoảng dạng
(

− α

a ,a
, với
α > 0
. Ta nói f có đạo hàm bên trái tại a khi
( ) ( )
−
→
−
−
x a
f x f a
lim
x a
tồn tại. Bấy giờ, giá trò của giới hạn được gọi là đạo hàm bên trái của f tại a, ký
hiệu
( )
−
′
f a
.

nếu và chỉ nếu
f
có đạo hàm bên trái tại
a
,
f
có đạo hàm bên phải tại
a
và
( ) ( )
− +
′ ′
=f a f a
.
3.6. Đònh nghóa. Cho hàm số f xác đònh trên một khoảng mở J của
¡
. Ta nói f
có đạo hàm trên J khi f có đạo hàm tại mọi điểm của J.
Ta nói f có đạo hàm trên
 
 
a, b
khi f có đạo hàm trên
( )
a, b
, có đạo hàm
bên phải tại a và có đạo hàm bên trái tại b.
Ta cũng có các đònh nghóa tương tự cho trường hợp f xác đònh trên
)


Cho f là hàm có đạo hàm trên một khoảng mở J. Khi
′
f
có đạo hàm trên
J, hàm đạo hàm của nó được gọi là “hàm đạo hàm bậc hai”, hay vắn tắt là “đạo
hàm bậc hai” của f trên J , ký hiệu
′′
f
.
48
Ta ký hiệu
(n)
f
, nếu có, cho “hàm đạo hàm bậc n” hay vắn tắt là “đạo hàm
bậc n” của f và khi đó, ta nói f có đạo hàm đến cấp n. Ta đònh nghóa
′
=
(1)
f f
,
′′
=
(2)
f f
, ...,
−
′
 
=
 

′
′ ′′
= =f x f x 2
,
( ) ( ) ( )
′
′′ ′′′
= =f x f x 0

và do đó
( )
( )
=
n
f x 0
, khi
≥n 3
. Do đó, f có đạo hàm vô hạn lần. ª
3.8. Mệnh đề. Nếu
f
có đạo hàm tại
a
thì
f
liên tục tại
a
.
Chứng minh. Bằng cách dùng đẳng thức
( ) ( ) ( ) ( )
′

+ = +f g a f a g a
,
b)
∀λ ∈ ¡
,
λf
có đạo hàm tại
a
và
( ) ( ) ( )
′
′
λ = λf a f a
,
c)
⋅f g
có đạo hàm tại
a
và

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
′
′ ′
⋅ = ⋅ + ⋅f g a f a g a f a g a
,
d) Nếu
( )
≠g a 0
thì bằng cách kết hợp (c) với (d), ta suy ra
f

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
λ − λ −
= λ
− −
f x f a f x f a
x a x a
,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
⋅ − ⋅ − −
= +
− − −
f g x f g a f x f a g x g a
g x f a
x a x a x a
,
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
−
−
=
−
−
f f
g g

g
có đạo hàm trên khoảng
1
J
với
( )
⊂
1
g J J
thì
og f
có đạo hàm trên
J
và
( ) ( )
′
′ ′
= ⋅o og f g f f
.
Chứng minh. Cho
∈
a J
và
( )
= ∈
1
b f a J
. Tính khả vi của f tại a và của g tại b
cho
( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )
′
= + − = + ε
1
k f a h b f a h h h
. Ta có
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
′ ′
+ = + + ε +
′ ′
+ + ε ε + ε
′ ′
= + + ε
o o
o
1
1 2 1
g f a h g f a g f a f a h h h
f a h h h f a h h h
g f a g f a f a h h h
với
( ) ( )

có đạo hàm tại
a
và
( )
′
≠f a 0
thì hàm ngược
−1
f
của
f
có
đạo hàm tại
( )
=b f a
và
(
)
( )
( )
−
−
 
′
 
 
′
=
1
1

thì
hàm ngược
−1
f
có đạo hàm trên
( )
f J
và
(
)
−
−
′
′
=
o
1
1
1
f f
f
.
Chú ý. Khi ta đã biết rằng hàm
(
)
−1
f
có đạo hàm, ta có thể tìm lại được
công thức cho đạo hàm hàm ngược bằng cách lấy đạo hàm hàm hợp
−

′
=
 
 
1 1
f f y f y 1
và
(
)
( )
( )
−
−
′
=
 
′
 
 
1
1
1
f y
f f y
. ª
3.12. Đònh nghóa. Cho f là một hàm khác không tại a và có đạo hàm tại a. Độ
co dãn của f tại a được xác đònh bởi
( )
−
=

f
và
g
là hai hàm có đạo hàm trên khoảng
J
. Với mọi
∈x J
, ta có
( ) ( )
− =E f / x E f / x
và
( ) ( ) ( )
= +E fg / x E f / x E g / x
.
51
4. HÀM SỐ SƠ CẤP
Các hàm số sơ cấp được thành lập từ các hàm số sơ cấp cơ bản gồm ba cặp
hàm ngược của nhau
Hàm lũy thừa,
=
n
y x
, và hàm căn thức,
=
n
y x
, với
∈ ¥n
;
Hàm mũ,

y f x x
và
( )
−
= = ≡
n
1 1/n
y f x x x
, với
∈
¥n
a) Hàm lũy thừa
=
n
y x
liên tục trên
= ¡D
, nghóa là
→
=
n n
x a
lim x a
, với
mọi
∈
¡a
;
→+∞
= +∞

+∞

0,
và giảm ngặt trên
(

−∞

,0
; hàm ngược của hàm
lũy thừa, hàm căn thức
=
n
y x
, xác đònh bởi
= ⇔ =
n n
y x y x
,
với
∈ ¡x,y
khi n là số lẻ và với
)

∈ +∞

x,y 0,
khi n là số chẵn.
n chẵn n lẻ
Do đó, hàm