Chương 4
TÍCH PHÂN
1. NGUYÊN HÀM
Tất cả các hàm số khảo sát trong phần này đều được giả đònh là xác đònh
và liên tục trên một khoảng.
Khi f là một hàm số sơ cấp, nó có đạo hàm và ta có thể tính đạo hàm
f
′

của f bằng các công thức tường minh (đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương hay
hợp của hai hàm có đạo hàm). Thao tác này được gọi là “phép tính vi phân” và
nếu đão hàm của một hàm số tồn tại, nó duy nhất. Bây giờ, ta xét thao tác
ngược lại : từ một hàm số f cho trước, tìm tất cả các hàm F sao cho
F f
′
=
. Thao
tác này được gọi là “phép tính tích phân” hay cụ thể hơn, “phép tính nguyên
hàm”.
1.1. Đònh nghóa. Cho I là một khoảng mở của
¡
, f và F là hai hàm số xác
đònh trên I. Ta nói F là một nguyên hàm của f trên I nếu
x I∀ ∈
,
( ) ( )
F x f x
′
=
,
nghóa là F có đạo hàm là f trên I.

G F 0
′
′
− =
và do đó
G F C hằng số− = =
. ª
Ký hiệu : Ký hiệu
f(x)dx
∫
được dùng để chỉ một nguyên hàm bất kỳ của f
(gọi là tích phân bất đònh của f), nghóa là một phần tử bất kỳ
P
. Vì vậy, nếu F
là một nguyên hàm của f, ta viết
( )
f(x)dx F x C= +
∫
.
Ví dụ 1. i) Cho
( )
2
F x ln x x 1
 
= + +
 
 
. Ta có
( )
2

∫
,
C ∈ ¡
.
74
ii) Từ đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản, ta có
a)
1
x
1
C khi 1
x dx
ln x C khi 1
α+
α
α+

+ α ≠ −

=

 + α = −

∫
.
b)
x x
e dx e C= +
∫
.

dx
arctan x C
1 x
= +
+
∫
. ª
Do đònh nghóa, nếu
( ) ( )
f x dx F x C= +
∫
và
( ) ( )
g x dx G x C= +
∫
,
thì
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
aF x bG x aF x bG x af x bg x
 
′ ′
+ = + = +
 
và do đó
1.3. Mệnh đề.
( ) ( )
( )
( ) ( )
af x bg x dx a f x dx b g x dx+ = +
∫ ∫ ∫

J u I⊃
. Nếu
( ) ( )
f x dx F x C= +
∫
,
nghóa là
( ) ( )
F x f x
′
=
, thì
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
F u x F u x u x f u x u x
′
 
′ ′ ′
= =
 
.
Vì vậy, ta được
75
1.4. Đònh lý (công thức đổi biến).
( )

( )
du u x dx sin xdx
′
= = −
,
sin xdx du
tan xdx ln u C ln cos x C
cos x u
= = − = − + = − +
∫ ∫ ∫
.
Đặc biệt, với
( )
u x ax b= +
;
du adx=
, ta được
1.5. Hệ quả.
( ) ( )
1
f ax b dx f u du
a
+ =
∫ ∫
.
Ví dụ 4. i) Với
( )
u x 3x 2= +
;
du 3dx

2
2x 1
3
4x 4x 10 2x 1 9 9 1
+
 
+ + = + + = +
 
 
 
,
và với
( )
2x 1
3
u x
+
=
;
2
3
du dx=
, ta có
(
)
2 2 2
2x 1
3
dx 1 dx 1 du 1
arctan u C

 
′ ′
+ = +
 
∫
,
và ta được
76
1.6. Đònh lý (công thức tích phân từng phần).
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
u x v x dx u x v x v x u x dx
′ ′
= −
∫ ∫
. (2)
Với các ký hiệu
( )
du u x dx
′
=
;
( )
dv v x dx
′
=
, công thức (2) được viết lại
thành
udv uv vdu= −
∫ ∫
.

(
)
2
2
xdx 1 dt 1 1
ln t C ln 1 x C
2 t 2 2
1 x
= = + = + +
+
∫ ∫
.
Vì vậy,
(
)
2
1
arctan xdx x arctan x ln 1 x C
2
= − + +
∫
. ª
2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trong phần này, mọi hàm số khảo sát đều được giả đònh là liên tục và nếu
có đạo hàm thì đạo hàm của nó cũng là hàm liên tục. Ta sẽ tìm cách tính “diện
tích” phần mặt phẳng nằm dưới đồ thò
C
một hàm số
f 0
≥

là một họ gồm n điểm của
a, b
 
 
sao cho
i i i 1
t x , x
+
 
∈
 
, với
i 0,1,...,n 1= −
.
Tổng, ký hiệu
( )
d
S T
, xác đònh bởi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
d 0 1 0 1 2 1 i i 1 i
n 1 n n 1
S T f t x x f t x x ... f t x x
... f t x x
+
− −
= − + − + + − +
+ + −
nghóa là

S T
khi bước
d
tiến về 0,
nghóa là ứng với mỗi
0
ε >
, ta tìm được
0
δ >
, sao cho với mọi phân hoạch
( )
0 1 n
d x , x ,..., x=
của
a, b
 
 
và với mọi
( )
0 1 n 1
T t , t ,...,t
−
=
sao cho
i i i 1
t x , x
+
 
∈

và giá trò này được
gọi là tích phân xác đònh của f trên
a, b
 
 
.
Ta gọi a và b là các cận tích phân và x là biến giả.
Đặt
( )
a
a
f x dx 0=
∫
và
( ) ( )
a b
b a
f x dx f x dx= −
∫ ∫
.
2.2. Mệnh đề. Các hàm số sau thì Riemann-khả tích trên
a, b
 
 
:
- các hàm liên tục trên
a, b
 
 
;

là hai hằng số
(độc lập với biến giả
x
) thì
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
 
α + β = α + β
 
∫ ∫ ∫
ii) Hệ thức Chasles : Với ba số thực bất kỳ
a
,
b
,
c
, ta có
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +
∫ ∫ ∫
iii) a) Nếu
a b
<
và
x a, b
 

x a, b
 
∀ ∈
 
,
( )
g x 0≥
thì tồn tại
Γ
sao cho
( ) ( ) ( )
b b
a a
f x g x dx g x dx= Γ ⋅
∫ ∫
với
m M≤ Γ ≤
, trong đó
( )
x a,b
m min f x
 
∈
 
=
và
( )
x a,b
M max f x
 

∈
 
sao cho
( )
0
f x = Γ
và ta được
( ) ( ) ( )
b
0
a
f x dx f x b a= ⋅ −
∫
,
0
x a,b
 
∈
 
.
Chứng minh. Ta chấp nhận i) và ii).
iii) a) Với mọi phân hoạch
( )
0 1 n
d x , x ,..., x=
của
a, b
 
 
và

f t x x 0
+
− ≥
, với mọi
i 0,1,...,n 1= −
. Vì vậy
( ) ( ) ( )
n 1
d i i 1 i
i 0
S T f t x x 0
−
+
=
= − ≥
∑
và
79
( ) ( )
b
d
a
d 0
f x dx lim S T 0
→
= ≥
∫
.
b) Suy ra từ 1 và 3.a do
( ) ( )

g x dx 0>
∫
thì
( ) ( )
( )
b
a
b
a
f x g x dx
g x dx
m M
∫
≤ ≤
∫
và khi đó
( ) ( )
( )
b
a
b
a
f x g x dx
g x dx
∫
= Γ
∫

chính là giá trò cần tìm.
Nếu

Diện tích hình chữ nhật đáy b a ,
chiều cao (hình chữ nhật ABCD trong hình)
= Γ ⋅ −
= −
Γ
∫
Nếu f liên tục trên
a, b
 
 
, thì
( )
f a, b m,M
   
=
   
và do đó
m,M
 
∀Γ ∈
 
,
0
x a,b
 
∃ ∈
 
sao cho
( )
0