Chương 2
DÃY VÀ CHUỖI SỐ
Dãy số là hàm số có miền xác đònh là tập
¥
các số nguyên tự nhiên.
Người ta thường dùng dãy số làm mô hình cho các hiện tượng rời rạc. Chẳng
hạn khi người ta đo đạc các đại lượng tại những thời điểm cách đều nhau như
sản lượng hàng năm, chỉ số giá tiêu dùng hàng tháng, kết toán năm ...
1. KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT
1.1. Đònh nghóa. Dãy số là một ánh xạ từ
¥
vào
¡
liên kết mỗi
∈
¥n
với
∈ ¡
n
u
; ký hiệu
( )
Φ →
Φ ≡
¥ ¡
a
n
:
n n u
Khi khảo sát dãy số, người ta thường thay
( )

u
,
2
u
, ...
trong đó
n
u
được gọi là số hạng thứ n của dãy
( )
n
u
và
1
u
là số hạng đầu.
Ví dụ 1. i) Dãy
( )
n
u
xác đònh bởi
=
n
u a
,
∈
¥n
, trong đó a là một hằng
số (nghóa là
n

n
u
xác đònh bởi
( )
= −
n
n
u 1
,
∈
¥n
.
v) Dãy
( )
n
u
xác đònh bởi
(
)
= +
n
1
n
n
u 1
,
∈
¥n
.
vi) Dãy

= + +
3
u 1 1 1
, ... . Ta nói
( )
n
u
xác đònh bằng quy nạp theo n :
=
1
u 1
và với mọi
∈
¥n
,
+
= +
n 1 n
u 1 u
.
viii) Dãy
( )
n
u
xác đònh bằng quy nạp theo n :
=
1
u 2
và với mọi
∈

1
x C 1 i
;
( )
= +
2
2
x C 1 i
;
...
( )
−
−
= +
n 1
n 1
x C 1 i
;
( ) ( )
−
= + = +
n
n n 1
x x 1 i C 1 i
.
và như vậy, ta nhận được dãy số
( )
n
x
với

y
,
2
y
,
4
y
,
12
y
,
52
y
,
365
y
giá trò vốn thu
được vào cuối năm, ta có
= + =
1
y 1 0,07 1,07
;
( )
= + =
2
0,07
2
2
y 1 1,071225
;

y 1 1,072501
.
Tổng quát, khi một năm được chia thành n chu kỳ đều nhau với lãi suất
trên mỗi chu kỳ là
7
n
%
và tiền lời được nhập vào vốn sau từng chu kỳ thì giá
trò vốn nhận được cuối năm là
( )
= +
n
0,07
n
n
y 1
.
Ta nhận được dãy số
( )
n
y
.
1.2. Đònh nghóa.
19
i) Dãy số
( )
n
u
được gọi là tăng khi
∀ ∈

∀ ∈
¥n
,
+
<
n 1 n
u u
.
Một dãy là tăng hay là dãy giảm được gọi là một dãy đơn điệu. Tương tự,
một dãy là tăng ngặt hay là dãy giảm ngặt được gọi là dãy đơn điệu ngặt.
ii) Dãy số
( )
n
u
được gọi là bò chận trên khi
∃ ∈ ¡A
,
∀ ∈
¥n
,
≤
n
u A
,
nghóa là tồn tại số thực A lớn hơn mọi
n
u
. Ta nói A là một chận trên của dãy
số
( )

bất kỳ, dãy số
=
n
u nb
, với
∈
¥n
là một
dãy tăng ngặt vì với mọi
∈
¥n
,
( )
+
= + > =
n 1 n
u n 1 b nb u
,
bò chận dưới bởi 0 vì
>
n
u 0
, với mọi
∈
¥n
. Tuy nhiên, nó không bò chận trên.
Để chứng minh điều này, ta dùng phép chứng minh phản chứng. Giả sử
( )
n
u

,
với mọi
∈
¥n
, và do đó
≤ α −
nb b
, với mọi
∈
¥n
.
Điều này cho thấy
α − ∈
b B
. Vô lý vì
α − < α
b
. ª
Do dãy
( )
∈¥n
nb
không là dãy bò chận, nghóa là mọi số thực
∈
¡a
đều
không là một chận trên của nó, ta được kết quả quan trọng sau
1.3. Đònh lý Archimède. Cho
>b 0
. Ta có

u
, xác đònh bởi
=
1
n
n
u
, là dãy giảm ngặt và là dãy bò
chận, với 0 là một chận dưới và 1 là một chận trên.
Dãy
( )
n
u
, xác đònh bởi
( )
= −
n
n
u 1
, không là dãy đơn điệu nhưng là dãy bò
chận với một chận dưới là
−1
và một chận trên là 1.
2. DÃY HỘI TỤ
2.1. Đònh nghóa. Dãy số
( )
n
u
được gọi là hội tụ khi tồn tại số thực a sao cho
khoảng cách giữa

∃ ∈ ∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ − < 
0 0 n
a , 0, n , n n , u a
. (1)
Điều này có nghóa là với mỗi
ε
dương (đủ nhỏ), ta tìm được một số nguyên tự
nhiên
0
n
(có thể thay đổi theo từng
ε
), sao cho với mọi số nguyên n, nếu
≥
0
n n
thì
− < ε
n
u a
. Bấy giờ, ta viết
→+∞
=
n
n
lim u a
hay [
→
n
u a

21
ii) Nếu
( )
n
a
và
( )
n
b
là các dãy hội tụ với cùng giới hạn là
0
thì các dãy
( )
n
u
,
( )
n
v
,
( )
n
w
, xác đònh bởi
= +
n n n
u a b
,
= α
n n

0
.
ta suy ra kết quả sau
2.2. Mệnh đề. Nếu
→+∞
=
n
n
lim u u
và
→+∞
=
n
n
lim v v
thì
i)
( )
→+∞
+ = +
n n
n
lim u v u v
,
ii)
( )
→+∞
α = α
n
n

u
lim
v v
.
v) Nếu
≤ ≤
n n n
u v w
, với mọi
∈
¥n
, và
→+∞ →+∞
= =
n n
n n
lim u lim w a
thì
→+∞
=
n
n
lim v a
.
Chứng minh. Đặt
= −
n n
a u u
và
= −

.
iii)
− = + + →
n n n n n n
u v uv a b ub va 0
cho
→
n n
u v uv
.
iv) Do
−
− =
n n n
n n
u ub va
u
v v v v
và với n đủ lớn, ta có thể giả sử
≥
v
n
2
v
, ta suy ra
− ≤ − →
n
n n
2
n

2.3. Đònh lý.
a) Nếu
>p 0
thì
→+∞
=
p
n
1
lim 0
n
.
b) Nếu
>p 0
thì
→+∞
=
n
n
lim p 1
.
c)
→+∞
=
n
n
lim n 1
.
d) Với mọi
α ∈ ¡

− = < ε ⇔ > ⇔ >
ε
1/p
p
1
p p
1 1 1
0 n n
n n
.
Do vậy, ứng với mỗi
ε > 0
, ta chọn
∈ ¥
0
n
sao cho
(
)
ε
>
1/p
1
0
n
(hệ quả 1.4,
i)). Khi đó
∀ ≥
0
n n

, bằng cách đặt
= − ≥
n
n
u p 1 0
, ta có
( )
=
= + = ≥ =
∑
n
n
k k 1
n n n n n n
k 0
p 1 u C u C u nu
.
Do
≤ ≤ →
p
n
n
0 u 0
ta suy ra
→+∞
=
n
n
lim u 0
và do đó

−
= + = ≥ =
∑
n
n
k k 2 2 2
n n n n n n
k 0
n n 1
n 1 x C x C x x
2
,
23
với mọi
≥n 2
, ta suy ra
≤ ≤ = →
−
−
n
1/2 1
n
2 1 2
0 x 0
n 1
1
n
khi
→ +∞n
. Từ đó suy ra

n n 1 n 2 ... n k 1
1 p C p C p p
k !
,
với mọi
≥
0
n k
, ta suy ra
( )
( ) ( ) ( )
α α
≤ = ≤
− − − +
+
0
0
n
n k
0
k !
n n
0 x
n n 1 n 2 ... n k 1
p
1 p
( ) ( )
−α
−
= →

e) Trường hợp
=
x 0
thì hiển nhiên. Khi
< <0 x 1
, bằng cách chọn
∈ ¡p

sao cho
−
= ⇔ = >
+
1 x
1
x p 0
1 p
x
và dùng d), ta suy ra
( )
 
− = = = = →
 
+
 
+
n
0
n
n n
n

∈
¡a
thì nó là dãy bò chận,
nghóa là tồn tại
>
A 0
sao cho
≤
n
u A
, với mọi
∈
¥n
.
Từ đó, bằng suy luận đảo đề, ta suy ra rằng : Nếu
( )
n
u
là dãy không bò
chận thì nó không là dãy hội tụ. Ta nói
( )
n
u
là một dãy phân kỳ.
24
Chẳng hạn, dãy
( )
n
u
xác đònh bởi

n
u
là một dãy phân kỳ. ª
Nhận xét rằng
n
u
lấy giá trò đủ lớn khi giá trò của n đủ lớn. Dãy như vậy
còn được gọi là “hội tụ” về
+∞
. chính xác hơn, ta có đònh nghóa sau
2.4. Đònh nghóa. Ta nói dãy
( )
n
u
tiến về
+∞
khi n tăng ra
+∞
khi
∀ > ∃ ∈ ∀ ≥ >¥
0 0 n
A 0, n , n n ,u A
.
Bấy giớ, ta viết
→+∞
= +∞
n
n
lim u
hay [

→ +∞n
].
2.5. Mệnh đề. Nếu
→+∞
=
n
n
lim u 0
và
≠
n
u 0
,
∀ ∈
¥n
, thì
→+∞
= +∞
n
1
u
n
lim
. Hơn
nữa, nếu
>
n
u 0
,
∀ ∈

thì
→+∞
=
n
1
u
n
lim 0
.
Chứng minh. Với mỗi
>
A 0
, tồn tại
∈ ¥
0
n
sao cho
<
1
n
A
u
và do đó
>
n
1
u
A
, với mọi
≥

ε
>
1
n
u
và do đó
< ε
n
1
u
. Điều này có nghóa là
→+∞
=
n
1
u
n
lim 0
. ª
Ví dụ 3. i) Nếu
<p 0
thì
→+∞
= +∞
p
1
n
n
lim
. Thật vậy, bằng cách đặt