CHƯƠNG III:
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
Tiết 37:
PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
I. Mục tiêu:
Qua bài học HS cần nắm:
1. Kiến thức:
- Hiểu được nội dung của phương pháp qui nạp toán học gồm hai bước theo một trình tự qui định.
2.Kỹ năng:
- Biết cách lựa chọn và sử dụng phương pháp qui nạp toán học để giải các bài toán một cách hợp lí.
3. Tư duy:
- Tích cực hoạt động, phát triển tư duy trừu tượng.
4. Thái độ:
- Nghiêm túc, hứng thú trong học tập.
II. Chuẩn bị:
- GV: Phiếu học tập.
- HS: Kiến thức mệnh đề chứa biến đã học.
III. Phương pháp:
- Nêu vấn đề, vấn đáp và đan xen hoạt động nhóm.
III. Tiến trình:
HĐ1: Phương pháp qui nạp toán học.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
HĐTP1:Tiếp cận phương pháp qui nạp
- Phát phiếu học tập số 1
Xét hai mệnh đề chứa biến.
P
(n)
: “
3 100
n

2
3
4
5
b. Với mọi
*
n N∈
thì P
(n)
, Q
(n)
đúng hay sai?
- H1: Phép thử một vài TH có phải là c/m cho KL trong
TH TQ không ?
- H2: Trở lại MĐ Q
(n)

, thử kiểm tra tiếp với một giá trị
6n
≥
? Có thể khẳng định Q
(n)

đúng với mọi
*
n N
∈

chưa ?
- H3: Muốn chứng tỏ một kết luận đúng ta phải làm thế

) Đặt S
n
= 1 + 2 + 3 +…+ (2n - 1)
- Giả sử (1) đúng với
1n k
= ≥
, nghĩa là có giả thiết
gì ?
Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là chứng minh
điều gì ? Hãy c/m điều đó ? ( chú ý đến giả thiết qui nạp)
- Hoàn thành B
1
, B
2
ta kết luận ?
VT = 1 , VP = 1
2
= 1
→
(1) đúng.
S
k
= 1 + 2 + 3 +…+ (2k - 1) = k
2
C/m: S
k+1
= 1 + 2 + 3 +…+ (2k - 1) +

[ ]
2( 1) 1k

n
+
+ + + + =
- Yêu cầu hs làm theo nhóm
- GV quan sát và giúp đỡ khi cần thiết
- Gọi bất 1 hs trình bày để kiểm tra và sữa chữa
* GV lưu ý cho hs TH: Nếu phải c/m MĐ đúng với mọi
số tự nhiên
n p
≥
thì ta thực hiện ntn ?
- Làm việc theo nhóm
- HS trình bày bài giải
* Chú ý:
Nếu phải c/m MĐ đúng với mọi số tự
nhiên
n p
≥
thì:
- B
1
ta phải kiểm tra MĐ đúng với n = p.
- B
2
ta giả thiết MĐ đúng với số tự nhiên
bất kì
n k p
= ≥
và phải chứng mỉnhằng
nó cũng đúng với n = k + 1.

n 3
n
? 8n
1
2
3
4
5
3
9
27
81
243
<
<
>
>
>
8
16
24
32
40
b) “ Chứng minh rằng
3
n
> 8n với mọi n
Hoàng Đình Hợp _ GV: Trường THPT Đô lương III _ Đô lương _ Nghê an 2

+ Lưu ý cho hs là nhờ phép thử mà tìm ra n = 3 là số nhỏ

- Nêu vấn đề, vấn đáp và đan xen hoạt động nhóm.
III. Tiến trình:
HĐ1: Kiểm tra bài cũ:
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
1) Nêu cách chứng minh MĐ có chứa số tự nhiên
*
n Î ¥
bằng phương pháp qui nạp?
Em hiểu mệnh đề đúng với n = k và n = k + 1 có nghĩa
như thế nào ?
- Gọi học sinh TB trả lời
2) Chứng minh
*
n Î ¥
, ta có đẳng thức

2 2 2 2
( 1)(2 1)
1 2 3 ...
6
n n n
n
+ +
+ + + + =
- Gọi học sinh khá làm bài tập
1) HS trả lời câu hỏi kiểm tra bài cũ
2) B1: n = 1 : VT = 1
2
= 1, VP =
1.2.3

Nhóm 2 và 4: Bài 2b)
- GV: Quan sát và hướng dẫn khi cần
- Các nhóm tìm hiểu và tiến luận để hoàn
thành nhiệm vụ nhiệm vụ
Nhóm 1 và 3: C/m
*
n" Î ¥
, ta có
Hoàng Đình Hợp _ GV: Trường THPT Đô lương III _ Đô lương _ Nghê an 3

- Gi i din ca nhúm trỡnh by
- Cho cỏc nhúm khỏc nờu nhn xột v b sung
- GV: khng nh li kt qu
Bi 2a) t
3 2
3 5
n
u n n n= + +
+ n = 1:
1
9 3u = M
+ GS
( )
3 2
1, ó 3 5 3
k
k tac u k k k = + + M
Ta c/m
1
3

1 : 18 9n u= = M
+ GS:
( )
1, 4 15 1 9
k
k
k u k = + - M
Ta c/m
1
9
k
u
+
M
( )
1
4 9 5 2 9
k k
u u k
+
ộ ự
= - -
ờ ỳ
ở ỷ
M
Vy
9
n
u M
vi mi

k tac k > +
Ta c/m
1
3 3( 1) 1
k
k
+
> + +
1 1
(*) 3 9 3 3 3 4 6 1
k k
k k k
+ +
> + > + + -
Vỡ 6k -1 >0 nờn
1
3 3( 1) 1
k
k
+
> + +
Bi 3b) Tng t
- Cỏc nhúm tỡm hiu v tin lun hon
thnh nhim v nhim v
H4: Bi tp 4
a) Gi HS tớnh
1 2 3
, àS S v S
?
b) T cõu a), hóy d oỏn CT tng quỏt

Gọi HS lên chứng minh
b)
(1)
1
n
n
S
n
=
+
+ n = 1
1
1 1
2 1 1
S = =
+
. Vậy (1) đúng
+ GS
1
1, ã
1
k
k tac S
k
³ =
+
Ta C/m
1
1
2

- Xem và soạn trước bài dãy số.
----------------------------------------------------------------------
Hoàng Đình Hợp _ GV: Trường THPT Đô lương III _ Đô lương _ Nghê an 5

Tiết: 39
DÃY SỐ (Tiết 1)
I. Mục tiêu:
1. Kiến thức:
- Biết khái niệm dãy số, cách cho dãy số, các tính chất tăng, giảm và bị chặn của dãy số
2.Kỹ năng:
- Biết cách tìm số hạng tổng quát, xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số
3. Tư duy:
- Tích cực hoạt động, phát triển tư duy trừu tượng.
4. Thái độ:
- Nghiêm túc, hứng thú trong học tập.
II. Chuẩn bị:
- GV: Phiếu học tập.
- HS: Kiến thức phương pháp qui nạp.
III. Phương pháp:
- Nêu vấn đề, vấn đáp và đan xen hoạt động nhóm.
III. Tiến trình:
HĐ1: Định nghĩa dãy số.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
HĐTP1: Ôn lại về hàm số
Cho hàm số
*
1
( ) ,
2 1
f n n

: số hạng thứ n ( số hạng tổng quát)
Ví dụ: (Sgk)
HĐTP3: Định nghĩa dãy số hữu hạn
- GV: Giới thiệu đn
- Dạng khai triển: u
1
, u
2
, u
3
,…, u
m
u
1
: số hạng đầu
u
m
: số hạng cuối
Ví dụ:
I. Định nghĩa
- HS suy nghĩ và trả lời
1 1 1
(1) 1; (2)
2.1 1 2.2 1 3
1 1 1 1
(3) ; (4)
2.3 1 5 2.4 1 7
1 1
(5)
2.5 1 9

( 1) . (1)
n
n
n
u
n
= -
- Từ CT (1) hãy xác định số hạng thứ 3 và thứ 4 của dãy
số ?
- Viết dãy số đã cho dưới dạng khai triển ?
b) Cho dãy số (u
n
) với
1
n
n
u
n
=
+
.
- Viết dãy số đã cho dưới dạng khai triển ?
* HĐ củng cố (GV phát phiếu học tập)
Viết năm số hạng đầu và số hạng TQ của dãy số sau:
a) Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ
b) Dãy các số tự nhiên chia cho 3 dư 1
2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
- GV: Phân tích ví dụ 4 trang 87 để học sinh hiểu
- Cho học sinh nêu thêm một vài ví dụ khác ?
3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

3
3
3
( 1) 9
3
u = - = -
,
4
4
3
3 81
( 1)
4 4
u = - =
9 81 3
3, , 9, ,...,( 1) ,...
2 4
n
n
n
- - -
1 2 3
, , ,..., ,...
2
2 1 3 1 1
n
n+ + +
- Các nhóm thảo luận và trình bày kq
2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
- HS lấy thêm ví dụ

a
.
1 2 3 4 5
) , , , ,
2 5 10 17 26
b
Bài2. Cho dãy số (u
n
), biết

1 1
1, 3 í i 1
n n
u u u v n
+
= - = + ³
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
- Gọi HS TB giải, cho lớp NX
b) Chứng minh bằng phương pháp qui nạp:
u
n
= 3n – 4
- Cho các nhóm thảo luận
- GV quan sát, hướng dẫn khi cần
- Cho nhóm hoàn thành sớm nhất trình bày
Bài2
a) -1, 2, 5, 8, 11
b)
+) n =1: u
1

n
và chứng
minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.
- Cho các nhóm thảo luận, nhận xét về năm số hạng đầu
của dãy số, từ đó dự đoán công thức số hạng tổng quát
u
n.

- Yêu cầu HS về nhà chứng minh tương tự bài 2b)

) 3 9 1 8
10 2 8
11 3 8
12 4 8
13 5 8
b = = +
= +
= +
= +
= +
….
TQ:
*
8,
n
u n n= + Î ¥
HĐ4: Củng cố và hướng dẫn học ở nhà:
Củng cố:
-Nêu khái niệm dãy số, dãy số hữu hạn.
-Có bao nhiêu cách cho dãy số? Đó là những cách nào?Lấy ví dụ minh họa.

=
2
1
n
n
+
. Viết 5 số hạng đầu của dãy số.
GV gọi HS nhận xét, bổ sung (nếu cần) và cho điểm.
*Luyện tập:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
HĐ1: (Biểu diễn hình học của một dãy số)
HĐTP1:
Hoàng Đình Hợp _ GV: Trường THPT Đô lương III _ Đô lương _ Nghê an 8

Ta thấy rằng dãy số là một hàm số xác định trên
*
¥
nên ta có thể biểu diễn dãy số bằng đồ thị. Trong mp
tọa độ dãy số được diễu diễn bằng các điểm (n;u
n
).
Ví dụ: Cho dãy số
1
1
n
u
n
= +
, viết 5 số hạng đầu của
dãy số và biểu diễn các điểm (n; u

GV nêu định nghĩa và yêu cầu HS xem nội dung
trong SGK.
HĐTP 3: (bài tập áp dụng về tính tăng giảm)
GV nêu ví dụ và phân tích hướng dẫn giải:
Ví dụ: Xét tính tăng, giảm của dãy số (u
n
) với:
HS chú ý theo dõi trên bảng…
HS thảo luận và cử đại diện lên bảng viết năm số
hạng đầu của dãy số lên bảng:
1 2 3 4 5
3 4 5 6
2; ; ; ;
2 3 4 5
u u u u u= = = = =
HS suy nghĩ biểu diễn 5 số hạng trên mp tọa độ.
HS suy nghĩ trả lời …
HS các nhóm thảo luận để tìm lời giải và cử đại
diện lên bảng trình bày lời giải (có giải thích).
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
( )
1
1
) 1 ; 5 1 1
1
n n
a u v n
n
+

*
*
*
*
1
cã : 1 ,
5 1 5 ,
5 1 1 5 1,
,
n n
Ta n n n
n n n
n n n
v v n
+
+ > ∀ ∈
⇔ + > ∀ ∈
⇔ + − > − ∀ ∈
⇔ > ∀ ∈
¥
¥
¥
¥
HS các nhóm thảo luận để tìm lời giải của các
bài tập như được phân công.
HS đại diện các nhóm lên bảng trình bày lời giải
của nhóm (có giải thích)
HS nhận xét, bổ sung và sửa chữa ghi chép…
Hoàng Đình Hợp _ GV: Trường THPT Đô lương III _ Đô lương _ Nghê an 9


1
1 1 1 1
× nª u 0,
1 1
n n
V n u n
n n n n
+
< − = − < ∀ ∈
+ +
¥
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
b)Xét hiệu:
( ) ( ) ( ) ( )
1
2 2
*
1 1 1 1
1 1 1 2 1
2 2
= 0,
1 2 1 2
n n
n n n n
u u
n n n n
n n n n
n
n n n n
+

1
2
; một dãy số (v
n
)
với
2
1
n
n
v
n
+
=
như trong HĐ6 được gọi là bị chặn
dưới bởi 1.
Vậy thế nào là một dãy số bị chặn trên, bị chặn dưới?
GV gọi một HS nêu định nghĩa trong SGK về dãy số
bị chặn trên, bị chặn dưới.
GV nếu một dãy số vừa bị chặn trên và vừa bị chặn
dưới được gọi là một dãy số bị chặn.
(GV ghi tóm tắt bằng ký hiệu lên bảng)
GV nêu ví dụ (BT 5d SGK) và hướng dẫn giải.
GV phân công nhiệm vụ cho các nhóm và cho các
nhóm thảo luận tìm lời giải các BT còn lại trong BT
5, gọi HS đại diện 3 nhóm lên bảng trình bày lời giải
và gọi HS các nhóm khác nhận xét, bổ sung (nếu
cần).
GV nhận xét và bổ sung sửa chữa (nếu cần).
HS các nhóm thảo luận và tìm lời giải.

*
2
1
,
1 2
n
n
n
≤ ∀ ∈
+
¥
Xét hiệu:
( )
2
2 2
*
1
1 1 2
1 0,
2 2 2
n
n n n
n
n n n
−
+ + −
− = = > ∀ ∈
¥
Vậy
2

cùng.
b), c) HS suy nghĩ và giải tương tự…
Hoàng Đình Hợp _ GV: Trường THPT Đô lương III _ Đô lương _ Nghê an 10

HĐ3: Củng cố và hướng dẫn học ở nhà:
*Củng cố:
-Nêu khái niệm dãy số, dãy số tăng, giảm và bị chặn trên, bị chặn dưới và bị chặn.
*Hướng dẫn học ở nhà:
-Xem lại và học lý thuyết theo SGK.
-Xem lại các bài tập và ví dụ đã giải.
-Đọc trước và trả lời các hoạt động trong bài tập ở nhà.
-----------------------------------------------------------------------
Tiết 41:
BÀI TẬP DÃY SỐ
A. Mục tiêu:
I. Yêu cầu bài dạy:
1. Về kiến thức:
Ôn tập lại các kiến thức về dãy số: Các cách cho một dãy số, Dãy số tăng giảm và bị chặn
2. Về kỹ năng:
- Kỹ năng xác định các số hạng và số hạng tổng quát cảu dãy số
- Kỹ năng chứng minh một dãy số là tăng giảm
- Kỹ năng xác định xem một dãy số là có bị chặn không.
3 . Về tư duy, thái độ:
- Thái độ cẩn thận, chính xác. Tư duy toán học một cách lôgíc và sáng tạo
II. Chuẩn bị:
1. Giáo viên: Đồ dùng giảng dạy
2. Học sinh: Đồ dùng học tập
III. Gợi ý về phương pháp giảng dạy: Vấn đáp
B. Tiến trình bài giảng:
I. Kiểm tra bài cũ: Kết hợp trong giờ học

1 2
3 4 5
1 3
b ) U ,U ,
3 5
7 15 24
U ,U ,U
15 24 35
= =
= = =
Bài 2:

1 2
3 4 5
a ) U 1,U 2,
U 5,U 8,U 11
= − =
= = =
b) Với n=1 ta có U
1
= -1, mệnh đề đúng
Giả sử mệnh đề đúng với n=k
( )
k 1≥
tức số hạng thứ k là:
k
U 3k 4= −
Ta chứng minh mệnh đề đúng với
n = k+1 tức là
k 1

U
và chứng minh bằng phương pháp
quy nạp công thức đó
Bài 4: Xét tính tăng giảm của dãy số
n
1
a ) U 2
n
= −

n
n 1
b ) U
n 1
−
=
+
( )
( )
n
n
n
c ) U 1 2 1 = − +

n
2n 1
d ) U
5n 2
−
=

= = =
= = =
b) Dự đoán công thức của số hạng tổng quát:
n
U n 8= +
Với n=1 ta có U
1
= 3, mệnh đề đúng
Giả sử mệnh đề đúng với n=k
( )
k 1≥
tức số hạng thứ k là:
k
U k 8= +
Ta chứng minh mệnh đề đúng với
n = k+1 tức là
( )
k 1
U k 1 8
+
= + +
Thật vậy:Theo giả thiết bài toán

( )
2
k 1 k
U 1 U
1 k 8
1 k 8
+

- Định nghĩa cấp số cộng - Số hạng tổng quát cấp số cộng- Tính chất số hạng tổng quát
2. Về kỹ năng: Rèn các kỹ năng
- Xác định một dãy số là cấp số cộng
- Xác định các số hạng và tìm công sai của cấp số cộng
- Giải quyết các bài toán thực tế liên quan
3 . Về tư duy, thái độ:
- Thái độ cẩn thận, chính xác. Phân biệt một dãy số là cấp số cộng
- Thấy được những ứng dụng thực tiễn của toán học
II. Chuẩn bị:
1. Giáo viên: Đồ dùng giảng dạy
2. Học sinh: Đồ dùng học tập
III. Gợi ý về phương pháp giảng dạy:
Gợi mở vấn đáp thông qua các hoạt động tư duy đan xen hoạt động nhóm
B. Tiến trình bài giảng:
I. Kiểm tra bài cũ: Không
II. Dạy bài mới:
Hoạt động 1: Định nghĩa cấp số cộng (7’)
Hoạt động tổ chức của GV Hoạt động của HS
- Tổ chức cho HS thực hiện hoạt động 1: Biết 4
số hạng đầu của một dạy số là:
-1, 3, 7, 11
Từ đó hãy chỉ ra một quy luật rồi viết tiếp 5 số
hạng của dãy theo quy luật đó
- Nhận xét mối quan hệ của số hạng đứng trước
với số hạng đứng sau liên tiếp?
- GV dẫn dắt HS tới khái niệm cấp số cộng và
cho HS phát biểu định nghĩa
GV cho HS ghi nhớ công thức truy hồi của cấp số
cộng


GV: Vậy với d =0 thì cấp số cộng là một dãy số
không đổi
- Dãy số sau đây có phải là cấp số cộng không? Vì
sao?

n
U 3n 1= +
Tổ chức cho HS thực hiện HĐ2: Cho (un) là một
cấp số cộng có 6 số hạng với u1 =
1
3
, d=3. Viết dạng
khai triển của dãy số
- GV tổ chức cho HS thực hiện HĐ3: Mai và Hùng
chơi trò xếp các que diêm thành hình tháp trên mặt
sân. Cách xếp được thể hiện trên hình:
Hỏi nếu thấp 7 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để
xếp đế tầng của tháp
c) Có với d = 5
d) Có với d=
1
3

Ta có:
( )
n 1
U 3 n 1 1 3n 4
+
= + + = +
( )

1
và d
GV cho HS ghi nhớ công thức của số hạng tổng
quát của cấp số cộng
( )
2 1
3 2 1
4 3 1
5 4 1
n n-1 1
U =U +d
U =U +d=U +2d
U =U +d=U +3d
U =U +d=U +4d
...
U =U +d=U + n-1 d

Hoạt động 4: Củng cố công thức của số hạng tổng quát (15’)
Hoạt động tổ chức của GV Hoạt động của HS
Tổ chức cho HS thực hiện VD1: Cho
cấp số cộng (U
n
) với U
1
=-2 và d=4
a) Viết 5 số hạng đầu của dãy
b) Xác định U
10
, U
20