sở giáo dục và đào tạo hà nội
Trờng ThPt nguyễn gia thiều

Sáng kiến kinh nghiệm:
Một số dạng bất phơng trình
chứa căn thức bậc hai thờng gặp
Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn
Tổ : Toán
Hà Nội, 5 / 2010
mở đầu
Giải bất phơng trình là bài toán khó với nhiều học sinh kể cả học sinh đ-
ợc cho là khá giỏi; trong đó có bất phơng trình chứa căn thức bậc hai đợc coi là
khó hơn cả. Nên tôi chọn đề tài: Một số dạng bất phơng trình chứa căn thức
bậc hai thờng gặp để làm sáng kiến kinh nghiệm. Với mục đích mong muốn
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
đề tài này sẽ góp phần giúp học sinh hiểu rõ hơn về mảng bất phơng trình chứa
căn thức bậc hai nói riêng và bất phơng trình nói chung, đồng thời cũng mong
muốn đây là tài liệu tham khảo cho những ai quan tâm đến môn toán.
Kiến thức thể hiện trong sáng kiến kinh nghiệm này hoàn toàn trong ch-
ơng trình Toán Đại số lớp 10 ban Cơ bản, ban Khoa học tự nhiên, ban Khoa
học xã hội và nhân văn. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm này có thể sử dụng
để chuyển sang phần phơng trình cũng đợc; xong khi chuyển sang phơng trình
có những phần sẽ đợc mở rộng để có bài toán hay hơn. Do đó ngời nghiên cứu
có thể sử dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào nhiều mục đích giáo dục khác
nhau cũng đợc.
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm này gồm có 9 dạng toán khác nhau.
Một số kiến thức cơ bản sau đã có trong sách giáo khoa đa ra sau
đây mà không nêu nội dung:
1. ôn tập hàm số bậc hai và đồ thị của nó.
2. ôn tập định lý về dấu của nhị thức bậc nhất.



≥

≥ ⇔

≥

f(x) 0
f(x) g(x)
f(x) g(x)
Bµi to¸n. Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau:
1)
2
3x 2 2x 5x 2
− + ≤ + +
2
x
(1)
2)
2 2
2x 10x 8 x 5x 36
+ + > − −
(2)
3)
3 2
x 8 2x 5x 14
− < + −
(3)
Gi¶i:

  


≤
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤
  


≥
− + ≤ + +



 

≥
+ ≥




≤ −


KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph¬ng tr×nh (1) lµ
] [ ] [
S ( ; 8 0 ; 1 2 ; )= −∞ − ∪ ∪ + ∞
.
2)
2

9
4
11
9
4
11
x
x
x
x
x
x
≥




≤ −
< −



⇔ ⇔


≥ −
> −




(x 1)(x x 6) 0 x x 6 0
x 2
2 x 3
2 x 3
≥ ≥
 
⇔ ⇔
 
− − − < − − <
 
≥

⇔ ⇔ ≤ <

− < <

KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph¬ng tr×nh (3) lµ
S =
[
)
2 ; 3
.
Bµi tËp t¬ng tù. Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau:
1)
2
3 4x x− −
≤
2
2 5x x+ −
2)

⇔

2
f (x) 0
g(x) 0
f (x) g (x)

≥

>


<

f(x)
≤ g(x)
2
f(x) 0
g(x) 0
f(x) g (x)
≥


⇔ ≥


≤


Bµi to¸n. Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau:

1 3 0
8 7 1 3
x x
x
x x x

− + ≥

− ≥


− + ≤ −

2 2
1
x
3
x 8x 7 9x 6x 1
x 7
x 1

≤



⇔ − + ≤ − +


≥




⇔


≥




≤ −


x 1⇔ ≤ −
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph¬ng tr×nh (1) lµ
S =
(
]
−∞ −; 1
.
2)
⇔ + −
(2)
2
2 9 8x x
< 9x
−
1
2
2 2


2
1
x 9
9
85x 50x 35 0

< ≤

⇔


− − >

1
x 9
9
x 1
7
x
17

< ≤


⇔
>




x
⇔


≠

−

≥


+

>


x 0
x 1
0
x
3x 1
0
x

H 5
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
⇔

<


1
x
3
x 1
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph¬ng tr×nh (3) lµ
S =
[
)
 
−∞ − ∪ + ∞
 ÷
 
1
; 1 ;
3
.
Bµi tËp t¬ng tù. Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau:
1)
2
x 2x 8− −
+ 2
≤ x
2)
2
2x 5x 2− +
+ x
≤ 2
3)
2
3x 8x 3− −




2
g(x) 0
f(x) 0
g(x) 0
f(x) g (x)

f(x)
≥ g(x)
 <



≥


⇔

≥



≥



2
g(x) 0






− + − ≥ +



2
(1)
2
2
x 1 0
3x 10x 3 0
x 1 0
3x 10x 3 x 1
 < −





≤ <


⇔

≥ −



− ≤


x 1
x 1
≥ −

⇔

=

x 1⇔ =

KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph¬ng tr×nh (1) lµ
S =
{ }
1
.
2)
⇔ − > −
(2)
2
4x x 3x 4

− <



− ≥

⇔



≥





− > − +


2 2
4
x
3
0 x 4
4
x
3
4x x 9x 24x 16
2
4
0 x
3
4
x
3
10x 28x 16 0



⇔
≥







< <





≤ <

⇔


≤ <


4
0 x
3
4
x 2

Kết luận: tập nghiệm bất phơng trình (3) là
S =
( )
2 ; 0
.
Bài tập tơng tự. Giải các bất phơng trình sau:
1)
(x 3)(5 x) 15 4 2x + + >
2)
2
x 5x 4 2 3x+ + +
3)
2
x 4x 5 x 11 +
4)
+ + +
4 2
x x 1 x 1
5)
4 2
x x 1 1 2x + + >
6)
4 2 2
2x 5x 2 2x 1 + +
.
Dạng 4

f (x) g(x) p(x) q(x)+ < +
hoặc:
f (x) g(x) p(x) q(x)+ +

1) Điều kiện: 0
7
x
3

( ) ( )
+ + < +
(1)
2 2
x 2 5 2x 2x 7 3x
H 8
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
x 2 5 2x 2 x 2. 5 2x 2x 7 3x 2 2x. 7 3x + + + + < + +
2 (x 2)(5 2x) 2 2x(7 3x) + <
2 2
2x x 10 6x 14x + + < +
2 2
2x x 10 6x 14 + + < +
x
2
4x 13x 10 0 + <
5
x 2
4
< <
; thoả mãn điều kiện.
Kết luận: tập nghiệm bất phơng trình (1) là
S =

ữ

+
2
4x 8x 0







x 0
x 2
Kết hợp điều kiện, có tập nghiệm bất phơng trình (2) là
S =
[ ]

5
; 2 0 ; 1 .
2
3) Điều kiện: 1
4
x
3( ) ( )
+ + + +

S =
1
;1
4
.
Bài tập tơng tự. Giải các bất phơng trình sau:
1)
x 1 3x 1 2x 1 2x 1+ + > + +
2)
x 1 3x 1 2x 1 2x 1
+ + + +
3)
2x 1 2x 2 x 1 3x 2+ + < + +
4)
+ + + +x 1 3x 2 2x 1 2x 2
5)
5x 1 5x 7 2x 3 2x 5 + > +
6)
2x 3 x 2 4x 3 3x 4.+ + <
Dạng 5
Có những bài toán gần giống dạng 2 và dạng 3, nhng g(x) ở đây là tam
thức bậc hai, khi bình phơng hai vế sẽ dẫn đến bất phơng trình bậc bốn rất khó
giải. Do đó ta có cách giải khác là đặt ẩn phụ, dới đây là một số bài toán minh
hoạ.
Bài toán 1. Giải các bất phơng trình sau:
1)
+ + +

t t 2 8 0 t t 6 0
t 3 (loại)
Vậy:


+



2 2
x 3
(x 1)(x 2) 2 x x 2 4 x x 6 0
x 2
Kết luận: tập nghiệm bất phơng trình (1) là
S =
(
] [
)
+ ; 2 3 ;
.
2) Đặt: t =
+
2
6x 18x 12 ; t 0


= + =
2
2 2 2
12 t






+ <











<
+ <




< <
<


Kết luận: tập nghiệm bất phơng trình (2) là
S =
(

a) Giải bất phơng trình (*) với m = 2.
b) Tìm m để bất phơng trình (*) có nghiệm.
H 11
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
c) Tìm m để bất phơng trình (*) nghiệm đúng
[ ]
x 4 ; 2 .

Giải:
+ + = + = + = +
2 2
(x 3)(1 x) 5 x 2x 8 (x 4)(2 x) 9 (x 1)

= + + Đặt : t (x 3)(1 x) 5; 0 t 3

= + + =
2 2 2 2
t x 2x 8 x 2x 8 t
+ + +
(*)
2 2
8 t t m t t 8 m (**)

a) m = 2,
+ +
(**)
2 2
t t 8 2 t t 6 0 2 t 3
Vậy:
+ +

Do đó (**) có nghiệm t
[ ]

33 33
0 ; 3 m m
4 4
Kết luận:

33
m ,
4
bất phơng trình (*) có nghiệm.
c) Bất phơng trình (*) nghiệm đúng
[ ]
x 4 ; 2
bất phơng trình (**)
nghiệm đúng t [0 ; 3].
Theo kết quả phần trên, có: 2 m m 2.
Kết luận:
m 2,
bất phơng trình (*) nghiệm đúng
[ ]
x 4 ; 2
.
H 12
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
Bài toán 3. Cho bất phơng trình:
+ + + +
2
2 (x 1)(x 7) 25 6x x m (1)

.
b) Bất phơng trình (1) có nghiệm bất phơng trình (2) có nghiệm t thoả
mãn: t 3
Gọi f(t) =

2
t 2t 18; t 3
Bảng biến thiên:
t - 1 3 +
f(t) +
15
f(t) 15 ; t 3.
Do bất phơng trình (2) có nghiệm
15 m m 15
Kết luận: m 15, bất phơng trình (1) có nghiệm.
Bài tập tơng tự.

Bài 1. Giải các bất phơng trình sau:
1)
2
x 12x 8 (x 2)(x 14)+ +
< 16
H 13
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
2)
− − ≥ + − −
2
(x 1)(x 9) 4 10 x 10x 11
3)
+

f (x)
+
g(x)
>
h(x)
ho c: ặ
f (x)
+
g(x)
≥
h(x)

Ph ng pháp:ươ
H 14
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
i u ki n: Đề ệ
f (x) 0
g(x) 0
h(x) 0
≥


≥


≥

Dạng này có thể còn những cách giải khác, xong ở đây xin giới thiệu
một số bài toán mà sau khi bình phương hai vế sẽ đưa về dạng 2 hoặc dạng 3
hoặc dạng 5.

2
x 5x 4− +
(4)
Giải:
1) Điều kiện: 1 ≤ x ≤ 5

⇔
(1)
5 x−
+
x 1−
≥
2x 2+
⇔
( ) ( )
2 2
5 x x 1 2x 2− + − ≥ +
⇔ 5 – x + x – 1 + 2
5 x−
.
x 1−
≥ 2x + 2
⇔ 2
(5 x)(x 1)− −
≥ 2x + 2 – 4
⇔
2
x 6x 5− + −
≥ x – 1
⇔ –x

.
x 2−
< 6 + x
⇔ 2
(x 1)(x 2)+ −
< x + 6 − 2x + 1
⇔ 2
2
x x 2− −
< 7 − x
H 15
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
⇔
2 2
7 x 0
x 2
4(x x 2) (7 x)
− >


≥


− − < −

⇔
2 2
x 7
x 2
4x 4x 8 x 14x 49

⇔ 2 ≤ x < 3
Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (2) là
S = [2 ; 3).
3) Điều kiện: x ≥ 1

⇔
(3)
( )
2
x 1 2x− +
<
(
)
+ −
2
2
2x x 1
⇔ x − 1 + 2x + 2
x 1−
.
2x
< 2x
2
+ x − 1
⇔ 2
2x(x 1)−
< 2x
2
+ x − 1 − 3x + 1
⇔ 2

2
2x 2x 2
2x 2x 0
⇔
−
2
2x 2x
> 2 ⇔ 2x
2
− 2x > 4 ⇔ x
2
− x − 2 > 0
⇔
x 2
x 1
>


< −

Kết hợp với điều kiện, có tập nghiệm bất phương trình (3) là
S = (2 ; +
∞
).
H 16
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu
4) Điều kiện:
2
2
2



≤



≥



≤



⇔
x 4
x 1
≥


≤
⇔
(4)

(x 1)(x 2)− −
+
(x 1)(x 3)− −

≥
4 x−
⇔
( )
2
2 x 3 x− + −
≥
( )
2
4 x−
⇔ 2 − x + 3 − x + 2
2 x−
3 x−
≥ 4 − x
⇔ 2
2 x−
.
3 x−
≥ 4 − x + 2x − 5
⇔ 2
2 x−
.
3 x−
≥ x − 1; nghiệm đúng
∀
x < 1
Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (4) là
S = (−
∞
; 1]

−
x 5−
5)
x 1−
≤
2
x 4x 1+ −
−
x 3+
6)
x 2+
+
3 x−
<
2
11 x x+ −
H 17
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
7)
2 x
+
x 3+
>
2
11 x x
8)
2
x 1
+
2

Điều kiện:
f (x) 0
g(x) 0





Đặt: t =
f (x) g(x)
; tìm điều kiện cho t


2
(t c)
f (x).g(x)
2

=
Sau đó thay vào bất phơng trình và giải tiếp
Chú ý : Dạng này nếu là phơng trình, ta còn có cách giải khác là đa về hệ ph-
ơng trình để giải.
Bài toán 1. Giải các bất phơng trình sau:
1)
2
x 1 4 x 1 2 4 3x x+ + + < +
(1)
2)
2
2x 1 9 16x 4x 9 2x 5

2 4 3x x t 5 + =
(1)
2 2
t 3
t 1 t 5 t t 6 0
t 2;
>

+ < >

<

loại
Vậy:
2
1 x 4 x 3 1 x 4 x 2 4 3x x 9+ + > + + + + >
2 2
2
2 4 3x x 4 4 3x x 4
x 3x 0 0 x 3;
+ > + >
< < <
Kết luận: tập nghiệm bất phơng trình (1) là
S = (0 ; 3).
2) Điều kiện:

1 9
x
2 2


>

Vậy:

+ <

+ >


2x 1 9 2x 0 (I)
2x 1 9 2x 2 (II)
+) Giải (I):
2x 1 9 2x 2x 1 9 2x 4x 8 x 2+ < + < < <
Kết hợp điều kiện, có:
1
x 2
2
<
+) Giải (II):
( )
2
2x 1 9 2x
2x 1 9 2x 4

+


+ >





+ <

H 19
thoả mãn điều kiện
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu

2
x 2
4x 16x 0
≥

⇔

− >


x 2
x 4
x 0
≥


⇔
>





2
t x 10 x
t x 10 x 2x 10 x
t 10
x. 10 x
2
⇔ = + −
⇔ = + − + −
−
⇔ − =
2
(3)
2 2
t 10
t 7 t 2t 10 14 t 2t 24 0 6 t 4
2
−
⇔ + < ⇔ + − < ⇔ + − < ⇔ − < <
VËy:
2
2
2
2
10 x 4 x
x 10 x 4
10 x (x 6); x 10 ; 10
x 10 x 6


− < −

10 ;1 3 ; 10
 
− ∪
 
.
Chó ý: NÕu t×m ®iÒu kiÖn cho Èn phô t th×:
10 t 5− ≤ ≤
4) §iÒu kiÖn:
5 x 5− ≤ ≤
§Æt: t =
2
x 5 x− −
H 20
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều

( )
2
2 2
t x 5 x =

2 2 2 2
t x 5 x 2x 5 x = +

2
2
5 t
x. 5 x
2

=




< +

đúng x 5
2
2 2 2 2
x 1 0 x 1
5 x x 1
5 x (x 1) 5 x x 2x 1
+ > >

< +

< + < + +

2
x 1
x 1
x 1
x 1
2x 2x 4 0
x 2
>

>


>

x 2 ; 7
.
Giải:
Điều kiện:

2
x 7
Đặt: t =
x 2 7 x+
;

3 t 3

( )
2
2
t x 2 7 x = +

2
t x 2 7 x 2 x 2. 7 x = + + +
H 21
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều

+ =
2
14 5x x

2
9 t
2

+ + + x 2 1 7 x 2 7 x 2 7 x 2x 6








>




> >




+



+

2x 6 0 x 3
x 5x 2 0
4(7 x) 4(x 3) 7 x x 6x 9
x 3
x 3
x 3
5 17
x
5 17
2
3 x
5 17 5 17
x
2
2 2
Kết hợp điều kiện, có tập nghiệm bất phơng trình (*) là
S =

+
5 17
2 ;
2
.
b. Bất phơng trình (*) có nghiệm bất phơng trình (**) có nghiệm t thoả
mãn:

3 t 3.


5
Kết luận: m

5, bất phơng trình (*) có nghiệm.
H 22
10
Nguyễn Quốc Hoàn THPT Nguyễn Gia Thiều
c. Bất phơng trình (*) nghiệm đúng với x [

2 ; 7] bất phơng trình (**)
nghiệm đúng t [

3 ; 3].
Theo kết quả trên, có: 6 2m m 3.
Kết luận: m 3, bất phơng trình (*) nghiệm đúng x [

2 ; 7].
Bài toán 3. Cho bất phơng trình
+ + + +
2
2x 4 16 2x 2 16 6x x m (1)
a) Giải bất phơng trình (1) với m =

2.
b) Tìm m để bất phơng trình (1) có nghiệm.
c) Tìm m để bất phơng trình (1) nghiệm đúng x [

2 ; 8].
Giải:

2
(1)
2 2
t 20
t m 2t t 20 2m t 2t 20 2m (2)
2
a) m =

2,

(2)
2 2
t 2t 20 4 t 2t 24 0 4 t 6
Vậy:

+ +


+ +


2x 4 16 2x 6
2x 4 16 2x 4; đúng x [ 2 ; 8]

2x 4 16 2x 6
+ +

2x 4 16 2x 2 2x 4 . 16 2x 36
+ + + +


20;
2 5 t 2 10

Bảng biến thiên:
t

1
2 5

2 10
+
f (t)

20 4 10
4 5



4 5 f(t) 20 4 10
; t 2 5 ; 2 10
Do đó (2) có nghiệm
4 5 2m m 2 5

Kết luận: m
2 5
, bất phơng trình (1) có nghiệm.
c. Bất phơng trình (1) nghiệm đúng x [

3 x 3 5 x 4 2 15 2x x
+ + + +
2)
2
1 x x x x 1
+ +
3)
2
x x 2 1 x 1 x 2
+ + +
4)
x 1
x 1 4 x (x 4). 3
4 x
+
+ >

5)
5 2x
2x 5 2x x . 2
2x

+ <
6)

+ +

6 x
x 1 6 x (1 x) . 1 0
x 1

x 8 x x 8x x 0+ − − + + <
(2)
Gi¶i:
1) §iÒu kiÖn:
−
2 ≤ x ≤
5
2
H 25