Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao
Phần I
Đặt vấn đề
Toán học là môn khoa học tự nhiên có từ rất lâu đời. Nó tồn tại và phát triển
cùng với sự tồn tại và phát triển của xã hội loài ngời. Từ 2000 năm trớc công
nguyên ngời Cổ đại đã biết cách giải các phơng trình bậc nhất, ngời cổ Babilon đã
biết giải phơng trình bậc hai và đã dùng các bảng đặc biệt để giải phơng trình bậc
ba.
Nhng để giải các phơng trình bậc cao hơn phải đến đầu thế kỷ 19, nhà Toán
học Nauy là Abet ( 1802 1829) chứng minh đợc rằng phơng trình tổng quát bậc
5 và lớn hơn bậc 5 là không để giải đợc bằng các phơng tiện thuần tuý đại số. Sau
cùng nhà toán học Pháp là Galoa ( 1811 1832) đã giải quyết một cách trọn vẹn
về vấn đề phơng trình đại số.
Sau nhiều năm giảng dạy môn Toán ở bậc trung học cơ sở tôi nhận thấy
mảng giải phơng trình bậc cao đợc đa ra ở sách giáo khoa lớp 8, 9 là rất khiêm
tốn, nội dung sơ lợc, mang tính chất giới thiệu khái quát, quỹ thời gian giành cho
nó là quá ít ỏi. Bên cạnh đó là các nội dung bài tập ứng dụng thì rất phong phú, đa
dạng và phức tạp. Các phơng trình bậc cao là một nội dung thờng gặp trong các kỳ
thi ở Bậc THCS, THPT và đặc biệt trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và cao
đẳng.
Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung, tính phức tạp hóa gây nên sự trở
ngại cho học sinh trong quá trình tiếp cận với phơng trình bậc cao. Cùng với sự
tích luỹ kinh nghiệm có đợc của bản thân qua nhiều năm giảng dạy. Kết hợp với
những kiến thức mà tôi đã lĩnh hội đợc trong chơng trình Đại học Toán mà đặc
biệt là sự hớng dẫn tận tình của các thầy cô giáo. Tôi mạnh dạn chọn đề tài
Những phơng pháp giải phơng trình bậc cao.
Qua đề tài, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này,
tự phân loại đợc một số dạng toán giải phơng trình bậc cao, nêu lên một số phơng
pháp giải cho từng dạng bài tập. Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng hơn trong
việc giải phơng trình bậc cao. Qua nội dung này tôi hy vọng học sinh phát huy đợc
khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua cá bài tập nhỏ. Từ đó hình thành

bản của các dạng phơng trình, các tính chất và các cách giải phơng trình từ đơn
giản đến phức tạp. Nghiên cứu, tìm tòi, khai thác để tìm đợc những ứng dụng đa
dạng, phong phú của phơng trình. Mặt khác phải lựa chọn các phơng pháp thích
hợp đối với từng đối tợng học sinh, đồng thời nâng cao nghiệp vụ của giáo viên.
* Đối với học sinh : Nắm chắc một cách có hệ thống các khái niệm, định
nghĩa, các phép biến đổi tơng đơng, các tính chất và các hệ quả. Từ đó phát triển
khả năng t duy, lôgíc cho ngời học. Giúp cho học sinh có một khả năng độc lập,
2
Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao
suy diễn và vận dụng, rèn trí thông minh cho học sinh. Đồng thời cho học sinh
thấy đợc sự thuận tiện hơn rất nhiều trong giải phơng trình.
II- Những kiến thức cơ bản trong giải phơng trình :
1- Các định nghĩa :
1.1 Định nghĩa phơng trình :
Giả sử A(x) = B(x) là hai biểu thức chứa một biến x. Khi nói A(x) = B(x) là
một phơng trình, ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị tơng ứng của hai
biểu thức này bằng nhau.
Biến x đợc gọi là ẩn.
Giá trị tìm đợc của ẩn gọi là nghiệm.
Việc tìm nghiệm gọi là giải phơng trình
Mỗi biểu thức gọi là một vế của phơng.
1.2. Định nghĩa phơng trình bậc nhất một ẩn :
Phơng trình có dạng ax + b = 0, với a, b là những hằng số; a 0 đợc gọi là
phơng trình bậc nhất một ẩn số, b gọi là hạng tử tự do.
1.3. Tập xác định của phơng trình :
Là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho mọi biểu thức trong phơng trình có nghĩa.
1.4. Định nghĩa hai phơng trình tơng đơng :
Hai phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm.
1.5. Các phép biến đổi tơng đơng :
Khi giải phơng trình ta phải biến đổi phơng trình đã cho thành những phơng

3
, , a
n
là các số thực xác định (
a
n
0).
2- Các định lý biến đổi tơng đơng của phơng trình :
a) Định lý 1 :
Nếu cộng cùng một đa thức của ẩn vào hai vế của một phơng trình thì đợc
một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho.
Ví dụ : 2x = 7 <=> 2x + 5x = 7 +5x.
* Chú ý :
Nếu cộng cùng một biểu thức chứa ẩn ở mẫu vào hai vế của một phơng
trình thì phơng trình mới có thể không tơng đơng với phơng trình đã cho.
Ví dụ : x 2 (1)
Không tơng đơng với phơng trình
2
1
2
1
2

=

+
xx
x
Vì x = 2 là nghiệm của (1) nhng không là nghiệm của (2)
* Hệ quả 1:

1- Phơng pháp đa về phơng trình tích :
1.1. áp dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử :
Để giải các phơng trình dạng này trớc hết ta phải nắm vững các phơng pháp
phân tích đa thức thành nhân tử bằng mọi cách đa phơng trình đã cho về dạng tích.
f(x).g(x) h(x) = 0 <=> f(x) = 0
g(x) = 0
= 0
h(x) = 0
Vì một tích bằng 0 khi và chỉ khi ít nhất 1 phần tử bằng 0. Nghiệm của ph-
ơng trình đã cho chính là tập hợp nghiệm của các phơng trình :
f(x) = 0; g(x) = 0; ; h(x) = 0.
* Bài toán 1 : Giải phơng trình (x-1)
3
+ x
3
+ ( x+1)
3
= (x+2)
3
(1)
Giải : (x-1)
3
+ x
3
+ ( x+1)
3
= (x+2)
3
<=> x
3

<=> ( x
2
+ x + 1) ( x 4) = 0 (2)
Với học sinh lớp 8 ta làm nh sau:
Do x
2
+ x + 1 0 nên phơng trình có một nghiệp x 4 = 0 <=> x = 4
Với học sinh lớp 9 :
(2) <=> x
2
+ x + 1 = 0 (*)
x 4 = 0 (**)
Giải phơng trình (*) : = 1 4 = -3 < 0 nên (*) vô nghiệm.
Giải (**) : x = 4.
Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm là x = 4.
1.2 . Nhẩm nghiệm rồi dùng lợc đồ Hoócne để đa về phơng trình tích.
* Lợc đồ Hoócne :
Nếu f(x) có nghiệm là x = x
0
thì f(x) chứa nhân tử ( x x
0
) tức là :
f(x) = ( x x
0
).g(x).
Trong đó : f(x) = a
n
x
n
+ a

n 1
+ a
n 1
.

b
i 1
= x
0
b
1
+ a
i
b
0
= x
0
b
1
+ a
1
.
Ta có bảng sau ( Lợc đồ Hoócne).
x
i
a
n
a
n - 1
a

các hệ số của số hạng bậc lẻ thì -1 là một nghiệm của đa thức, đa thức chứa thừa
số ( x + 1).
1.2.3. Mọi nghiệm nguyên của đa thức đều là ớc số của hệ số tự do a
0
.
1.2.4. Mọi nghiệm hữu tỉ của đa thức với hệ số nguyên :
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ + a
1
x + a
0
= 0 đều là số nguyên.
6
Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao
* Bài toán 2 :
Giải phơng trình : x
4
+ x
3
x 1 = 0 (2)
Nhận thấy : a
4
+ a
3
+ a

=1

a
2
=0 a
1
=-1 a
0
=-1
x =1 1 2 2 1 0
x = - 1 1 1 1 0
Phơng tình (2) có dạng phân tích nh sau :
(x-1) (x+1) (x
2
+ x + 1 ) = 0
Ta dễ dàng nhận thấy phơng trình(2) có 2 nghiệm là : x
1
= 1; x
2
= -1.
* Bài toán 3 :
Giải phơng trình : x
3
5x
2
+ 8x 16 = 0 (3)
ở bài toán này ta không thể áp dụng đợc việc nhẩm nghiệm theo nhận xét
ở 1.2.1 và 1.2.2. áp dụng nhận xét mục 1.2.3 và 1.2.4 ta có:
Ư (4) { 1; 2; 3; 4; 8; 16}
Kiểm tra thấy x = 4 là 1 nghiệm

3
5 (2x)
2
+ 16(2x) 12 = 0
Đặt y= 2x ta có:
y
3
- 5y
2
+ 16y 12 = 0 ( 4)
Nhận thấy: a
3

+ a
2
+ a
1
+ a
0
= 1 + ( -5) +16 + ( -12) = 0
áp dụng 1.2.1 ta có y = 1
áp dụng lợc đồ Hoócne (4) về dạng
( y 1) ( y
2
4y + 12) = 0
<=> y 1 = 0 (*)
y
2
4y + 12 = 0 (**)
(*) <=> y 1 = 0 <=> y = 1 => x = 1/2

3
13x
2
+ 9x 18 = 0 (0)
Giải : U(18) { 1, 2, 3, 6, 9, 18}
Hiển nhiên 1, 1 không là nghiệm của (5) =>f(1) 0, f(-1) 0.
Ta thấy :
Z
f
=

=

9
2
18
13
)1(
Z
f
=

=
+
11
4
44
13
)1(`
=> Phơng trình (5) có khả năng có nhiệm là x

2
8x - 4 = 0 (*)
Ư(4) {1, 2, 4}
áp dụng lợc đồ Hoócne ta có :
x
0
a
3
=1 a
2
=-5 a
1
=8 a
0
=-4
x =1 1 -4 4 0
x = - 1 1 -6 14 -18
x = 2 1 -3 2 0
x = -2 1 -7 22 -48
x = 4 1 -1 4 12
x = -4 1 -9 44 172
Nhận thấy x= 1 và x = 2 là nghiệm của phơng trình (*) lúc đó (*) viết dới
dạng phơng trình tích nh sau :
( x 1 ) ( x 2) ( x 2 ) = 0
2- Phơng pháp đặt ẩn phụ :
- Phơng pháp này thờng đợc sử dụng với các dạng phơng trình.
* Dạng 1 :
Phơng trình có dạng ax
4
+ bx

= 1; x
2
= -1
x
2
= 4 <=> x
3
= 2; x
4
= -2
Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm :
x = 1; x = -1; x = 2; x = -2.
* Dạng 2 : Phơng trình có dạng :
( x +a) (x+b) (x+c) (x+d) = m
Với a + b = c + d hoặc a + c = b + d hoặc a + d = b + c.
* Bài toán 8 : Giải phơng trình
( x 1) ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) = 9 (1)
Giải :
(1) <=> ( x 1) ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) = 9
<=> ( x
2
+ 4x 5) ( x
2
+ 4x + 3) = 9
Đặt y = x
2
+ 4x 5
Ta đợc phơng trình : y ( y+8) = 9
<=> y
2

=
102
; x
3
= -2
* Dạng 3 : Phơng trình dạng ( x + a)
4
+ ( x + b)
4
= c
+ Cách giải :Ta đa phơng trình trên về dạng phơng trình trùng phơng bằng
cách đặt y = x + ( a+b)/2
* Bài toán 9 : Giải phơng trình :
( x + 1)
4
+ ( x +3)
4
= 16
Giải : Đặt y = x + 2 ta đợc phơng trình.
( y-1)
4
+ ( y+1)
4
= 16
<=> 2y
4
+ 12y
2
+ 2 = 16
<=> y

+ a
1
x
2n-1
+ + a
n 1
x
n
+ a
n
x
n 1
+ + a
1
x + a
0
= 0
Cách giải: Vì 0 không là nghiệm của phơng trình nên chia cả hai vế của ph-
ơng trình cho x
2
rồi đa về phơng trình bậc n bằng cách đặt y = x + 1/x
* Bài toán 10: Giải phơng trình
2x
4
+ 3x
3
3x
2
+ 3x + 2 = 0 ( 1)
Giải: x = 0 không là nghiệm của ( 1)

x
x
x
x
x
x
x

Đặt y = Đa phơng trình về 2y
2
+ 3y 5 = 0 (2)
= 9 + 40 = 49 > 0
=> Phơng trình (2) có 2 nghiệm
2
5
4
73
;1
4
73
21

=

==
+
=
yy
( nhân 2 vế với x 0)
<=> x

x
n
+ + a
1
x + a
0
= 0
Cách giải: Phơng trình này bao giờ cũng có nghiệm x
0
= -1 và khi chia 2 vế
của phơng trình cho ( x +1) ta đợc phơng trình đối xứng bậc chẵn 2n.
* Bài toán 11: Giải phơng trình
2x
5
+ 5x
4
13x
3
13x
2
+ 5x + 2 = 0 ( 1)
Giải: Ta có 2 + (-13) + 5 = 5 + (-13) +2
=> a
5
+ a
3
+ a
1
= a
4

+
=
x
2
4
35
2
=

=
x
32
1
+=
x
Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao
Với x - 1 chia cả 2 vế của phơng trình ( 1) cho ( x+1) ta có phơng trình
2x
4
+ 3x
3
16x
2
+ 3x + 2 = 0 ( 3)
Dễ dàng thấy rằng x = 0 không là nghiệm của (3)
Chia cả 2 vế của ( 3) cho x
2
0, ta có phơng trình tơng đơng
2x
2

<=> x
2
+ 4x + 1 = 0 ( *)
= 4 - 1 = 3 > 0
=> phơng trình ( *) có 2 nghiệm : ;
( nhân 2 vế với 2x 0)
<=> 2x
2
5x + 2 = 0 ( **)
= 25 16 = 9 > 0
=> phơng trình ( **) có 2 nghiệm
Vậy phơng trình (1) có 4 nghiệm:
; ; ;
* Nhận xét:
Bài tập này tơng đối khó với học sinh nên khi dạy giáo viên cần lu ý khai
thác hết giả thiết, nhận xét có thể sử dụng phơng pháp nào, hằng đẳng thức nào để
13
x
x
1
+
2
5
4
133
1
=
+
=
y

=
+
=
x
2
1
4
35
2
=

=
x
32
2
=
x
3
3
=
x
2
1
4
=
x
Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao
phân tích cho thích hợp. Mỗi bài tập giải xong giáo viên nên chốt lại vấn đề và các
kiến thức sử dụng trong quá trình giải nhằm giúp học sinh nắm đợc bài và các
kiến thức cần sử dụng trong quá trình giải bài tổng quát, bài tơng tự, đặc biệt dùng

<=> 4y
2
+ 4y 3 = 0
<=> y
1
= 1/2 ; y
2
= -3/2
Với y = 1/2 ta có : 2x
2
+ 31x + 120 = 0
<=> x
1
= - 8; x
2
= -15/2
Với y = -3/2 ta có :2x
2
+ 35x + 120 = 0
4
26535
3
+
= x
;
4
26535
4

=x

2
8x + 12) = - 14x
2
(2)
Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của (1) nên chia 2 vế cho x
2
(2) <=>
14)
12
8)(
12
7( =+++
x
x
x
x
(3)
Đặt t = => = t + 15
(3) trở thành:
t (t + 15) = -14
<=> t
2
+ 15t + 14 = 0
<=> t
1
= -1; t
2
= -14
Với t = -1: = -1
<=> x

1
(x) = f
2
(x)
- Khử luỹ thừa bậc chẵn ở 2 vế của phơng trình f
2n
(x) = g
2n
(x) (2)
thành f(x) = g(x). Hai phép biến đổi này có thể làm mất nghiệm.
15
x
x
12
7
+
x
x
12
8
++
x
x
12
7
+
14
12
7
=+

3
+ v
3
= - q
3uv = - p
<=> u
3
+ v
3
= - q
u
3
v
3
= - p
3
/27
Sau đó áp dụng hệ thức Viét để tìm nghiệm u, v.
*Bài toán 14 : Giải phơng trình : x
3
+ 9x
2
+ 18x + 28 = 0 (*)
Đặt y = x + a/3 = x + 3 => x = y 3
(*) <=> y
3
9y + 28 = 0 ( **)
Đặt y = u + v (**) <=> (u + v )
3
9 ( u + v) + 28

3
= - 27 => u = - 1; v = - 3
=> y = u + v = - 1 3 = - 4
mà x = y 3 => x = -7
Vậy phơng trình (*) có một nghiệm là x = 7
3 Phơng pháp đa về hai luỹ thừa cùng bậc
16
<=>
Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao
* Cách giải: Ta thêm bớt hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức thích hợp rồi
từ đó đa hai vế của phơng trình về luỹ thừa cùng bậc. Sau đó vận dụng các hằng
đẳng thức đã học để giải phơng trình.
*Chú ý: A
2n
= B
2n
<=> A = B
A
2n 1
= B
2n 1
<=> A = B
*Bài toán 15: Giải phơng trình
x
4
= 24x + 32 (1)
Giải: Thêm 4x
2
+ 4 vào 2 vế của (1)
x

x
1
=
51+
; x
2
=
51
Giải (3): x
2
+ 2 = - 2x 6
<=> x
2
+ 2x + 8 = 0
= 1 8 = -7 < 0 => phơng trình vô nghiệm
Vậy phơng trình (1) có 2 nghiệm : x
1
=
51+
; x
2
=
51
*Bài toán 16: Giải phơng trình
x
4
+ 8x
2
8x + 17 = 0 (1)
Giải: (1) <=> x

Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao
Nên (2) <=>



=
=
014
04
2
x
x
<=>





=
=
4
1
2
x
x
Vậy phơng trình (1) vô nghiệm
*Bài toán 17: Giải phơng trình:
x
3
x

1).14(
3
=
x
<=>
14
1
3

=
x
Vậy nghiệm của phơng trình (1) là:
14
1
3

=
x
4 Phơng pháp dùng bất đẳng thức:
* Cách giải: Dùng tính chất đơn điệu của hàm số trên từng khoảng
* Bài toán 18: Giải phơng trình:
198
65
=+ xx
(1)
Giải: Viết phơng trình dới dạng
198
65
=+ xx
(1)

Nên vế trái của (1) nhỏ hơn : x 8 + 9 x = 1 ; ( 1) vô nghiệm
Vậy (1) có 3 nghiệm : x = 8 ; x = 9
5 Phơng pháp dùng điều kiện dấu = ở bất đẳng thức
không chặt:
* Bài toán 19: Giải phơng trình
321
22
=++ xxxx
(1)
Giải: Ta có x
2
x + 1 0 nên (1) <=> x
2
x 2 = 3 ( x
2
x +1)
<=> x
2
x 2 = ( x
2
x - 2)
áp dụng bất đẳng thức A - A xảy ra dấu = với A 0 tức là
x
2
x 2 0 <=> ( x + 1) ( x 2) 0
<=> - 1 x 2
6 Phơng pháp dùng hệ số bất định:
Giả sử phơng trình bậc 4: x
4
+ ax

bbbaa
aaa
21
1221
2121
21
Tiếp theo tiến hành nhẩm tìm các hệ số a
1
; b
1
; a
2
; b
2
. Bắt đầu từ b
1
b
2
= d và
chỉ thử với các giá trị nguyên.
*Bài toán 20: Giải phơng trình:
x
4
- 4x
3
- 10x
2
+ 37x - 14 = 0 (1)
Giả sử phơng trình trên phân tích đợc thành dạng:
19




=
=+
=++
=+
aabb
bb
baba
bbaa
aa
Phơng trình (1) có dạng (x
2
- 5x + 2) ( x
2
+ x - 7) = 0
Tiếp tục giải các phơng trình bậc hai: x
2
- 5x + 2 = 0 và x
2
+ x 7 = 0 ta có
nghiệm của phơng trình (1) là :
;
2
175
1
+
=x
;

Phơng pháp giảng môn Toán của bậc THCS về môn đại số trong phần ch-
ơng trình. Bản thân tôi đã đúc rút đợc trong quá trình giảng dạy ở một chừng mực
nào đó vấn đề dạy và học. Phơng pháp tìm lời giải cho các bài tập thực sự có tác
dụng giúp học sinh làm quen với phơng pháp t duy, phơng pháp làm bài. Tìm cách
giải trong đó xác định rõ các bớc cần tiến hành theo một trình tự lôgíc để hoàn
thành bài giải.
Một số cách giải phơng trình bậc cao đa về phơng trình bậc nhất và bậc hai
trong chơng trình lớp 8, 9 hiện nay mà bản thân tôi đã đúc rút trong quá trình
giảng dạy. Trong một chừng mực nào đó vấn đề dạy và học các phơng pháp tìm
20
Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao
lời giải các bài tập thực sự có tác dụng cho các dạng bài tập giúp học sinh làm
quen với phơng pháp suy nghĩ, tìm tòi. Giáo viên cần có yêu cầu cụ thể đối với
từng đối tợng học sinh, tăng cờng công tác kiểm tra bài cũ, có biện pháp khích lệ
những cách giải hay, hạn chế tối đa cho học sinh tâm lý chán môn học, ỉ nại và
chờ giáo viên chữa bài tập.
Bản thân tôi lần đầu tiên nghiên cứu đề tài này, tôi cũng đã trao đổi tham
khảo, bàn bạc, xin ý kiến của các thầy cô đi trớc và các thầy cô giáo dạy trong bộ
môn Toán của nhà trờng. Song đây là một vấn đề mới mà một bài toán có vô vàn
cách giải khác nhau. Bản thân tôi kính mong các thầy cô đi trớc tạo điều kiện giúp
đỡ tôi, đóng góp cho tôi nhiều ý kiến hay và bổ ích để tôi tiếp tục giảng dạy cho
các em học sinh đạt kết quả cao nhất trong suốt quá trình dạy học của tôi.
Xin chân thành cảm ơn!
Giao Thuỷ, ngày tháng năm 2008
Ngời viết
21