Ma trận nghòch đảo
1
Ma trận nghòch đảo
Đònh nghóa
Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp
Tính chất
Giải phương trình ma trận
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận nghòch đảo
Đònh nghóa
Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp
Tính chất
Giải phương trình ma trận
Ma trận nghòch đảo
Đònh nghóa
Ma trận nghòch đảo của A = (a
ij
)
n×n
là A
−1
thỏa AA
−1
= A
−1
A = I
n
. Khi
đó A được gọi là ma trận khả nghòch.

B =


2 −3 −1
−3 5 0
1 −2 1


Ta có |A| = 12 = 0 nên A khả nghòch.
Ta có |B| = 10 + 0 − 6 + 5 − 9 − 0 = 0 nên B không khả nghòch.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận nghòch đảo
Đònh nghóa
Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp
Tính chất
Giải phương trình ma trận
Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Đònh lý
Cho A = (a
ij
)
n×n
khả nghòch, A
ij
= (−1)
i+j
|M
ij
| được gọi là phần bù đại

A
−1
=
1
|A|
A
T
p
Ví dụ
a. Cho A =

a b
c d

với |A| = ad − bc = 0
Ta có: A
p
=

+ d − c
− b + a

⇒ A
−1
=
1
ad − bc

d −b
−c a

1
5
2
5
−
1
5
3
5





Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận nghòch đảo
Đònh nghóa
Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp
Tính chất
Giải phương trình ma trận
Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số
c. Tìm ma trận nghòch đảo của A =


1 −2 0
1 −1 2
2 −3 3





1 2
2 3




+




1 −1
2 −3




−




−2 0
−3 3








−




1 0
1 2




+




1 −2
1 −1










T
p
=
1
1


3 6 −4
1 3 −2
−1 −1 1


=


3 6 −4
1 3 −2
−1 −1 1


Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận nghòch đảo
Đònh nghóa
Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp
Tính chất
Giải phương trình ma trận
Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp
Đònh lý
Cho A = (a

1 −1 2
2 −3 3


Ta có (A|I
3
) =


1 −2 0 1 0 0
1 −1 2 0 1 0
2 −3 3 0 0 1


d
2
=d
2
−d
1
−→
d
3
=d
3
+(−2)d
1


1 −2 0 1 0 0

−d
2


1 0 4 −1 2 0
0 1 2 −1 1 0
0 0 1 −1 −1 1


d
1
=d
1
−4d
3
−→
d
2
=d
2
−2d
3


1 0 0 3 6 −4
0 1 0 1 3 −2
0 0 1 −1 −1 1


Vậy A

Cho A =


1 −2 0
1 −1 2
2 −3 3


. Tính |A
−1
|.
Ta có: AA
−1
= I
3
⇒ |AA
−1
| = |I
3
| ⇒ |A||A
−1
| = 1 ⇒ |A
−1
| =
1
|A|
= 1, vì
|A| = 1.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận nghòch đảo

)A
−1
= AIA
−1
= I.
Tính chất (5)
(A
T
)
−1
= (A
−1
)
T
Chứng minh
(A
T
)(A
−1
)
T
=
(A
−1
A)
T
= I
T
= I.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

= CA
−1
⇔ XI
n
= CA
−1
⇔ X = CA
−1
3
AXB = C ⇔ A
−1
AXBB
−1
= A
−1
CB
−1
⇔ I
n
XI
m
= A
−1
CB
−1
⇔ X =
A
−1
CB
−1

1

3 −1
−2 1

=

1 2
3 5

.

3 −1
−2 1

=

−1 1
−1 2

.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận nghòch đảo
Đònh nghóa
Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp
Tính chất
Giải phương trình ma trận
Giải phương trình ma trận
Ví dụ

=


12 5 7
−5 −2 −3
1 1 1


.


1 −1 1
2 1 −3
−2 1 1


=


8 0 4
−3 0 −2
1 1 −1


.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH